21.3.1.2 矩形的判定 课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

新人教版数学8年级下册培优备课课件 21.3.1.2 矩形的判定 第二十一章　四边形 授课教师： Home . 班 级： . 时 间： . 2026年2月16日 2026年2月16日星期一9时29分54秒 1 1.经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握矩形的判定定理． 2.能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题. 学习目标 问题1 矩形的定义是什么？ 有一个角是直角的平行四边形叫作矩形. 问题2 矩形有哪些性质？ 矩形 边：对边平行且相等. 角：四个角都是直角. 对角线：对角线相等且互相平分. 回顾 我们在研究平行四边形的判定时，用了什么判定方法？ 定义法、性质定理的逆命题. 问题 类比平行四边形的判定，如何研究矩形的判定？ 定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形. 性质定理的逆命题： 性质1 矩形的四个角都是直角. 性质2 矩形的对角线相等. 逆命题是否成立？ 返回 1．在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是几个学习小组拟定的方案，其中正确的方案是(　　) A．测量其中三个角是否为直角 B．测量两组对边是否相等 C．测量对角线是否相互平分 D．测量对角线是否相等 A 中考考法 5 返回 2．如图，有下列四个条件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④∠ADC＝∠BAD，从中选取一个作为补充条件，使▱ABCD为矩形，其中错误的是(　　) A．① B．② C．③ D．④ A 中考考法 6 思考1 我们知道，矩形的对角线相等，反过来，对角线相等的四边形是矩形吗？ 若是把“四边形”换成“平行四边形” 成立吗？ 即对角线相等的平行四边形是矩形. 证明 如图，在□ABCD中，AC ，DB是它的两条对角线，AC=DB.求证：□ABCD是矩形. A B C D 证明：∵AB = DC，BC = CB，AC = DB， ∴ △ABC≌△DCB ， ∴∠ABC = ∠DCB. ∵AB∥CD， ∴∠ABC + ∠DCB = 180°， ∴ ∠ABC = 90°， ∴ □ ABCD是矩形（矩形的定义）. 矩形的判定1： 对角线相等的平行四边形是矩形. 符号语言： 如图，在□ ABCD中，∵AC=BD, ∴ □ ABCD是矩形. A B C D 返回 3．如图，过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC，BD的平行线，若所围成的四边形EFGH是矩形，则原四边形ABCD需满足的条件是__________． AC⊥BD 中考考法 10 返回 4．一种燕尾夹如图①所示，图②是在闭合状态时的示意图，图③是在打开状态时的示意图(数据如图，单位：mm)．则在图③时，点B，D之间的距离为________mm. 20 中考考法 11 工人师傅在做矩形门窗或零件时，为了确保它的形状是矩形，不仅要测量它们的两组对边是否分别相等，还要测量它们的两条对角线是否相等. 你知道其中的道理吗？ 对角线相等的平行四边形是矩形. 思考2 我们知道，矩形是四个角都是直角的四边形，它的逆命题成立吗？即四个角都是直角的四边形是矩形吗？进一步，至少有几个角是直角的四边形是矩形？ 思考 如何证明这一猜想？ 猜想：有三个角是直角的四边形是矩形. A B D C (有一个角是直角) A B D C (有二个角是直角) A B D C (有三个角是直角) A B D C (有四个角是直角) 证明 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°. 求证：四边形ABCD是矩形. 证明：∵∠A=∠B=∠C=90°， ∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°， ∴AD∥ BC，AB∥ CD. ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形. A B C D 矩形的判定2： 有三个角是直角的四边形是矩形. 符号语言： 在四边形ABCD中， ∵∠A=∠B=∠C=90°, ∴四边形ABCD是矩形. 返回 5．如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC，连接AE，BF．当∠ACB为________°时，四边形ABFE为矩形． 60 中考考法 16 例1 如图，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H，求证：四边形EFGH是矩形． A B D C G F E H 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠BAD+∠ADC=180°. 又AF，DF分别平分∠BAD，∠ADC， ∴∠DAF+∠ADF = ∠BAD+ ∠ADC = (∠BAD+∠ADC)=90°， ∴∠F=90°.同理∠H=∠AEB=90°， ∴ ∠FEH= ∠AEB =90°. ∴四边形EFGH为矩形. 6．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F． 中考考法 18 (1)求证：FA＝BD； 【证明】∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE. ∵E为AD的中点，∴AE＝DE. ∴△AEF≌△DEC(AAS)．∴AF＝DC. ∵D为BC的中点，∴BD＝CD.∴AF＝BD. 中考考法 19 返回 (2)连接BF，若AB＝AC，求证：四边形ADBF是矩形． 【证明】∵AF＝BD，AF∥BD， ∴四边形ADBF是平行四边形． ∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC. ∴∠ADB＝90°.∴四边形ADBF是矩形． 中考考法 20 中考考法 21 【点拨】在AB的延长线上截取BM＝AB，连接CM，过点C作CN⊥AB，交AB的延长线于点N，如图．∵AB∥CD，AB⊥BD，∴CD⊥BD.∴易得四边形BNCD是矩形．∴BN＝CD＝3，CN＝BD＝4.∴NM＝BM－BN＝AB－BN＝2. 中考考法 22 返回 【答案】C 中考考法 23 8．如图，在平面直角坐标系中，A，B两点坐标分别为(0，8)，(－6，0)，P为线段AO上一动点，以PB，PA为边构造平行四边形APBQ，则使对角线PQ的值 最小的点Q的坐标为(　　) A．(－3，4) B．(－4，3) C．(－6，4) D．(－6，3) 中考考法 24 返回 【点拨】如图，由端点分别在两条平行线上的所有线段中，垂直于平行线的线段最短可知，当QP⊥AO时，PQ最短. ∵QP⊥AO，∠AOB＝90°.∴∠APQ＝∠AOB＝90°，∴PQ∥BO.∵四边形APBQ是平行四边形， ∴AP∥BQ，AP＝BQ. ∴PO∥BQ.又∵PQ∥BO，∠BOP＝90°，∴四边形POBQ是矩形，∴PQ＝BO＝6，BQ＝OP＝AP＝4.∴Q(－6，4)． 【答案】C 中考考法 25 矩形的 判定定理 有一个角是直角的平行四边形 有三个角是直角的四边形 对角线相等的平行四边形 课 堂 总 结 7．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BD，AB＝5，BD＝4，CD＝3，点E是AC的中点，则BE的长为(　　) A．2 B． C． D．3 在Rt△CNM中，CM＝＝＝2. ∵点E是AC的中点，AB＝BM， ∴BE是△ACM的中位线．∴BE＝CM＝.故选C. $