21.3.1.1 矩形的性质 课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

新人教版数学8年级下册培优备课课件 21.3.1.1 矩形的性质 第二十一章　四边形 授课教师： Home . 班 级： . 时 间： . 2026年2月16日 2026年2月16日星期一9时23分24秒 1 1.理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与联系. 2.会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题. 3.掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单的运用. 学习目标 有一个角是直角的平行四边形叫作矩形，矩形也就是长方形. 注意： 矩形是特殊的平行四边形，平行四边形不一定是矩形. 一个角是直角 思考 矩形也是常见的几何图形，生活中你见过哪些矩形的形象？ 与研究平行四边形一样，对于矩形，仍重点研究它的性质和判定. 返回 1．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是(　　) A．对边相等 B．对角相等 C．对角线相等 D．对角线相互平分 C 中考考法 5 2．[2025陕西]如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，CD为AB边上的中线，DE⊥AC，则图中与∠A互余的角共有(　　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 中考考法 6 返回 【点拨】题图中与∠A互余的角是∠B，∠DCB，∠CDE，∠ADE，共有4个． 【答案】C 中考考法 7 思考 因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有 性质.但由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形 不具有的一些特殊性质呢？ 可以从边，角，对角线等方面来考虑. 活动1 利用一个活动的平行四边形教具演示，使平行四边形的一个内角变化，请同学们注意观察. 矩形 活动2 准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等. (1)请同学们以小组为单位,测量身边的矩形（如书本,课桌,铅笔盒等）的四条边长度、四个角度数和对角线的长度及夹角度数,并记录测量结果. 已知：如图,四边形ABCD是矩形,∠ABC=90°,对角线AC与BD相交于点O. 求证(1)∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°;(2)AC=DB. 证明：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=∠CDA，∠BCD=∠DAB(矩形的对角相等). ∵ AB∥CD(矩形的对边平行), ∴∠ABC+∠BCD=180°. 又∵∠ABC = 90°, ∴∠BCD = 90°. ∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB =90°. B C D A O 已知：如图,四边形ABCD是矩形,∠ABC=90°,对角线AC与DB相交于点O. 求证(1)∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°;(2)AC=DB. (2)∵四边形ABCD是矩形, ∴AB=DC(矩形的对边相等). 在△ABC和△DCB中, ∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC= CB, ∴△ABC≌△DCB（SAS）. ∴AC=DB. B C D A O 矩形除了具有平行四边形的所有性质，还具有的性质有： 矩形的四个角都是直角； 矩形的对角线相等. 符号语言： ∵四边形 ABCD是矩形， ∴∠BAD=∠ADC=∠DCB=∠CBA=90°. ∴AC=BD. B C D A O 返回 D 中考考法 14 4．[2025无锡期中]如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，如果∠ADB＝40°，则∠E的度数是________． 20° 中考考法 15 返回 中考考法 16 活动3 请同学们拿出准备好的矩形纸片，折一折，观察并思考.矩形是不是轴对称图形? 如果是，那么对称轴有几条? 矩形的性质： 对称性： 对称轴： 轴对称图形 2条 矩形是轴对称图形，它每组对边中点连线所在的直线就是它的对称轴. 如图，直线l1，l2是矩形ABCD的两条对称轴. 返回 5．如图，在矩形ABCD中，点E为BA的延长线上一点，F为CE的中点，以点B为圆心，BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点G，连接BG．若AB＝4，CE＝10，则AG＝________． 3 中考考法 19 例1 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB= 60°，AB=4，求矩形ABCD的对角线的长. B C D A O 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC与BD相等且互相平分， ∴OA=OB. 又∠AOB=60°， ∴△OAB是等边三角形. ∴OA=AB=4. ∴AC=BD=2OA=8. 上一节我们运用平行四边形的判定和性质研究了三角形的中位线，下面利用矩形的性质研究直角三角形的一个性质. A B C O 思考 BO与AC有什么样的关系？ 6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且∠CDF＝∠BDC，∠DCF＝∠ACD． 中考考法 22 (1)求证：DF＝CF； 中考考法 23 返回 (2)若∠CDF＝60°，DF＝8，求矩形ABCD的面积． 中考考法 24 思考 如图，BO是Rt△ABC斜边AC上的中线， BO与AC有什么关系？你能证明你发现的结论吗？ A B C O BO是Rt△ABC斜边AC上的中线，BO= AC. 如何证明BO=AC ？ 证明：如图，延长BO至D，使OD=BO，连接AD，DC. ∵AO=OC，BO=OD， ∴四边形ABCD是平行四边形. ∵∠ABC=90°， ∴平行四边形ABCD是矩形. ∴BD=AC， ∴BO= BD = AC. A B C O D 直角三角形的一个性质： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. A B C O 符号语言： 在Rt△ABC中，∵∠ABC=90°，AO=CO， ∴OB = AC. 依据：矩形的对角线相等且互相平分. 性质的应用： 证明线段的倍、分、相等关系. 性质的逆命题： “如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”仍然成立，它可以用来判定一个三角形为直角三角形.（只可以在选择题或填空题中直接应用）. 7．出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一． 中考考法 29 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD＝3，AB＝4，E是CD边上一点，过点E作EH⊥BD于点H，EG⊥AC于点G，则EH＋EG的值是(　　) A．2.4 B．2.5 C．3 D．4 中考考法 30 返回 【答案】A 中考考法 31 例2 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD=2，CE=5，则CD=( ) A.2 B.3 C.4 D.2 解析：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CE为 AB边上的中线，CE=5， ∴AE=CE=5. ∵AD=2，∴DE=3. ∵CD为AB边上的高， ∴在Rt△CDE中，CD = = = 4. C 8．如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴、y轴上，连接AC，将纸片OABC沿AC折叠，使点B落在点D的位置，AD与y轴交于点E，若B(2，4)，则OE的长为________． 中考考法 33 返回 中考考法 34 9．如图，在矩形ABCD中，E是CD边的中点，EF⊥AE交BC于点F，连接AF．若∠CFE＝α，则∠BAF的度数为________． 2α－90° 中考考法 35 【点拨】延长AE，交BC的延长线于点G，如图所示． ∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD＝∠D＝∠DCB＝90°，AD∥BC.∴∠ECG＝∠D＝90°.∵E为CD边的中点， ∴DE＝CE.又∵∠AED＝∠GEC， ∴△ADE≌△GCE.∴AE＝GE. 又∵EF⊥AE， ∴EF垂直平分线段AG.∴AF＝GF.∴∠FAE＝∠G. 中考考法 36 返回 中考考法 37 中考考法 38 四个角都是直角 性质 对角线相等 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 是轴对称图形，有两条对称轴 定义 有一个角是直角的平行四边形叫作矩形 矩形 课 堂 总 结 3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F．已知AB＝4，△AOE的面积为5，则DE的长为(　　) A．2 B． C． D．3 【点拨】如图，连接AC交BD于点O.∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BE，AC＝BD，OA＝AC，OD＝BD.∴∠E＝∠DAE，OA＝OD.∴∠ADB＝∠CAD＝40°.∵BD＝CE， ∴CE＝CA，∴∠E＝∠CAE.∵∠CAD＝∠CAE＋∠DAE，∴∠E＋∠E＝40°，即∠E＝20°. 【证明】∵四边形ABCD是矩形， ∴OD＝BD，OC＝AC，且AC＝BD.∴OD＝OC. ∴∠ODC＝∠OCD. 又∵∠CDF＝∠BDC，∠DCF＝∠ACD， ∴∠FDC＝∠FCD.∴DF＝CF. 【解】∵∠CDF＝60°， ∴∠CDO＝∠CDF＝∠DCO＝∠DCF＝60°. ∴△OCD，△DCF都是等边三角形．∴DF＝CD＝OD＝8. ∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，BD＝2OD＝16. ∴BC＝＝＝8. ∴S矩形ABCD＝BC·CD＝64. 【点拨】连接OE.∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝4，AO＝CO＝BO＝DO，∠ADC＝90°.∴AC＝＝＝5.∴OD＝OC＝.∴S△DOC＝S△DOE＋S△COE＝OD· EH＋OC·EG＝S△ADC.∴×EH＋×EG＝××3×4. ∴EG＋EH＝＝2.4. 【点拨】∵四边形OABC是矩形，∴OC∥AB.∴∠ECA＝ ∠CAB.根据题意得∠CAB＝∠CAD，∴∠ECA＝∠EAC.∴EC＝EA.在矩形OABC中，B(2，4)，∴OC＝AB＝4，OA＝2.设OE＝x，则AE＝EC＝OC－OE＝4－x.在Rt△AOE中，AE2＝OE2＋OA2，即(4－x)2＝x2＋22，解得x＝.∴OE＝. ∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠G.∴∠DAE＝∠FAE.∴∠DAE＝.∵∠DAE＋∠AED＝90°，∠AED＋∠FEC＝90°，∴∠FEC＝∠DAE＝.∵∠FEC＋∠EFC＝90°， ∴∠EFC＝90°－＝α.∴∠BAF＝2α－90°. 10．如图，矩形ABCD中，AB＝，BC＝，P是BC边上的一动点，E，F分别是线段PA，PD的中点，连接BE，EF，CF，过点E作EG∥FC，交BC边于点G，则BE＋EG的最小值为________． $