21.2.3 三角形的中位线 课件-2025-2026学年人教版数学八年级下册

新人教版数学8年级下册培优备课课件 21.2.3 三角形的中位线 第二十一章　四边形 授课教师： Home . 班 级： . 时 间： . 2026年2月16日 2026年2月16日星期一9时17分31秒 1 1.理解三角形中位线的概念，掌握三角形的中位线定理. 2.能利用三角形的中位线定理解决有关证明和计算问题. 学习目标 如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE. 像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线. 一个三角形有几条中位线？ 三角形的中位线和中线一样吗？ 符号语言： 如图所示，∵AD=BD，AE=CE， ∴DE 是△ABC的中位线. F 三角形的中位线 三角形的中线 图示 符号语言 ∵ D,E,F 分别是 BC,CA,AB 边的中点，∴ DE,EF,FD 是△ABC 的中位线. ∵ D,E,F 分别是 BC,CA,AB 边的中点，∴ AD,BE,CF 是△ABC 的中线. 区别 三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段. 三角形的中线是连接三角形的一个顶点与其对边中点的线段. 辨析 三角形的中位线与三角形的中线的区别 返回 C 中考考法 5 返回 2．如图，李伯伯家有一块等边三角形的空地ABC，已知点E，F分别是边AB，AC的中点，量得EF＝5 m．他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡， 则需用篱笆的总长为(　　) A．10 m B．13 m C．23 m D．25 m D 中考考法 6 探究 观察图，你能发现 △ABC 的中位线 DE 与边 BC 的位置关系吗？度量一下，DE 与 BC 之间有什么数量关系？你能证明你发现的结论吗？ 我们猜想：DE ∥ BC，DE = BC. 怎么证明呢？ 如图，D，E 分别是 △ABC 的边 AB，AC 的中点. 求证：DE ∥ BC，且 DE = BC. F 证明：如图，延长DE到点F，使EF=DE，连接FC，DC，AF. ∵ AE = EC，DE = EF， ∴ 四边形 ADCF 是平行四边形， ∴ CF DA. 又 D 是 AB 的中点，∴ CF BD. ∴ 四边形 DBCF 是平行四边形. ∴ DF BC. 又 DE = DF， ∴ DE ∥ BC，且 DE = BC. 返回 3．如图，在△ABC中，AB＝BC＝14，BD是AC边上的高，垂足为D，点F在边BC上，连接AF，E为AF的中点，连接DE，若DE＝5，则BF的长为(　　) A．3 B．6 C．5 D．4 D 中考考法 9 通过上述证明，得到三角形的中位线定理： 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半 符号语言： 如图所示， ∵ DE为△ABC的中位线， ∴ DE∥ BC，DE =BC. 例 求证：顺次连接四边形各边的中点，所得的四边形是平行四 边形. A B F C H D G E 已知：如图，在四边形 ABCD 中，E，F，G，H 分别是边 AB，BC，CD，DA 的中点. 求证：四边形 EFGH 是平行四边形. 分析：题目中给出了四边形各边中点，可以连接四边形的一条对角线，利用三角形中位线定理证明要证的四边形一组对边平行且相等，从而证明它是平行四边形. 例 求证：顺次连接四边形各边的中点，所得的四边形是平行四 边形. A B F C H D G E 证明：连接 AC. ∵ AH = HD，CG = GD， ∴ HG ∥ AC，且 HG = AC. 同理 EF ∥ AC，且 EF = AC. ∴ HG EF. ∴ 四边形 EFGH 是平行四边形. 4．[2025泰州期末]如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，DB＝4，AC＝6，点E，F分别为AB，CD的中点，则EF＝__________． 中考考法 13 1.如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点.以这些点为顶点，在图中，你能画出多少个平行四边形？为什么它们是平行四边形？ 解：能画出 3 个， 分别为 ▱BDFE，▱DECF，▱DEFA. 理由如下： 由三角形的中位线定理可得 DF ∥ BC，DE ∥ AC，EF ∥ AB， ∴ 四边形 BDFE，四边形 DECF，四边形 DEFA 均为平行四边形. 随堂练习 B C A E D F G O 2. 如图，△ABC 的中线 BD，CE 相交于点 O，且 F，G 分别是 OB，OC 的中点. 求证：四边形 DEFG 是平行四边形. 证明：∵ BD 和 CE 是 △ABC 的两条中线， ∴ DE 是 △ABC 的中位线， ∴ DE =BC，DE ∥ BC. ∵ F，G 分别是 OB，OC 的中点， ∴ FG 是 △OBC 的中位线， ∴ FG = BC，FG ∥ BC， ∴ DE = FG，DE ∥ FG， ∴ 四边形 DEFG 是平行四边形. 随堂练习 A C B 3. 如图，A，B 两点被池塘隔开，在 AB 外选一点 C，连接 AC 和 BC. 怎样利用三角形的中位线定理测出A，B两点间的距离？ 解：分别取 CA 和 CB 的中点 M，N，连接 MN，然后测出 MN 的长度，则 AB = 2MN. M N 随堂练习 返回 中考考法 17 5．如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点，BC＝15，CD＝9，EF＝6，∠AFE＝50°，则∠ADC的度数为________． 140° 中考考法 18 返回 【点拨】连接BD.∵点E，F分别是边AB，AD的中点， EF＝6，∴EF∥BD，BD＝2EF＝12.∴∠ADB＝∠AFE＝50°.在△BDC中，BD2＋CD2＝122＋92＝225，BC2＝225，则BD2＋CD2＝BC2，∴∠BDC＝90°.∴∠ADC＝90°＋50°＝140°. 中考考法 19 6．如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，点H在线段CE上，连接BH，G，F分别为BH，CH的中点． 中考考法 20 (1)求证：四边形DEFG为平行四边形； 中考考法 21 返回 (2)若DG⊥BH，BD＝3，EF＝2，求线段BG的长度． 中考考法 22 7．如图，点E在△ABC的内部，AE平分∠CAB，CE⊥AE于点E，F是BC的中点，连接EF，若AC＝5，AB＝9，则EF的长为(　　) A．2 B．2.4 C．3 D．3.5 中考考法 23 返回 【答案】A 中考考法 24 8．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5，M，N分别为线段BC，AB上的动点(含端点，但点M不与点B重合)，E，F分别为DM，MN的中点， 则EF的长度可能为(　　) A．2 B．5 C．7 D．9 中考考法 25 返回 【答案】B 中考考法 26 9．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F分别是AC，BD的中点，已知AB＝12，CD＝6，则EF＝________． 3 中考考法 27 三角形的中位线 定义 连接三角形两边中点的线段 定理 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半 课 堂 总 结 1．[2025山西]如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是边AD的中点，连接OE．下列两条线段的数量关系中一定成立的是(　　) A．OE＝AD B．OE＝BC C．OE＝AB D．OE＝AC 【点拨】如图，取BC边的中点G，连接EG，FG.∵E，F分别为AB，CD的中点，∴EG是△ABC的中位线，FG是△BCD的中位线．∴ EG∥AC，EG＝ AC，FG∥BD，FG＝ BD.又∵DB＝4，AC＝6，AC⊥BD， ∴EG＝3，FG＝2，EG⊥FG.∴在Rt△EGF 中，EF＝ ＝＝. 【证明】∵D，E分别为AB，AC的中点，G，F分别为BH，CH的中点， ∴DE是△ABC的中位线，GF是△HBC的中位线． ∴DE∥BC，DE＝BC，GF∥BC，GF＝BC. ∴DE∥GF，DE＝GF. ∴四边形DEFG为平行四边形． 【解】∵四边形DEFG为平行四边形， ∴DG＝EF＝2. ∵DG⊥BH，∴∠DGB＝90°. ∴BG＝＝＝. 【点拨】延长CE交AB于G.∵AE平分∠CAB， ∴∠CAE＝∠GAE.∵CE⊥AE，∴∠AEC＝∠AEG＝90°. 又∵AE＝AE，∴△AEC≌△AEG(ASA)．∴CE＝GE，AG＝AC＝5.∴BG＝AB－AG＝4.∵F是BC的中点， ∴EF＝BG＝2. 【点拨】连接DN.由题意易知EF＝DN.∴DN最大时，EF最大，DN最小时，EF最小．易知N与B重合时DN最大，此时DN＝DB＝＝＝13，∴EF的最大值为6.5.当N与A重合时DN最小，∴DN≥5.∴EF≥2.5.∴EF的长度可能为5. $