21.2.1.1 平行四边形的性质 课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

新人教版数学8年级下册培优备课课件 21.2.1.1 平行四边形的性质 第二十一章　四边形 授课教师： Home . 班 级： . 时 间： . 2026年2月16日 2026年2月16日星期一7时59分22秒 1 1．理解并掌握平行四边形的概念及其性质. 2．根据平行四边形的性质进行简单的计算和证明. 学习目标 平行四边形是常见的几何图形.学校的伸缩门、庭院的竹篱笆等，都有平行四边形的形象.你还能举出一些例子吗？ 我们知道，两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形.平行四边形用“▱”表示，如图，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”. A D C B 注意： 1.表示平行四边形时一定要按顺（或逆）时针依次书写各顶点字母； 2.“▱”后要紧跟表示四个顶点的字母，不能单独使用. 下面，我们从平行四边形的边、角、对角线出发，从数量关系和位置关系的角度研究平行四边形的性质. A D C B 边：AB与DC、AD与BC互为对边； AD和AB、AD和DC、DC和BC、BC和AB互为邻边. 角：∠ABC与∠ADC，∠DAB与∠BCD互为对角， ∠ABC与∠DAB，∠DAB与∠ADC，∠ADC与∠BCD，∠BCD与∠ABC互为邻角. 对角线：线段AC和BD. 5 返回 1．[2025绍兴期中]在▱ABCD中，∠A∶∠B＝2∶1，则∠C的度数为(　　) A．50°　 B．60°　 C．100° D．120° D 中考考法 6 返回 2．如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点A(－3，2)，点B(－1，－2)，点C(3，－2)，则点D的坐标为(　　) A．(1，2) B．(2，1) C．(1，3) D．(2，3) A 中考考法 7 例1 如图所示，在▱ABCD中，EF∥AB，GH∥AD，EF与GH相交于点O，则图中平行四边形共有（ ） A.7个 B.8个 C.9个 D.11个 平行四边形的组成 个数 名称 单独1个四边形 4 ▱DEOH，▱EAGO， ▱OGBF，▱HOFC 由2个四边形组成 4 ▱DAGH，▱HGBC， ▱EABF，▱DEFC 由4个四边形组成 1 ▱ABCD C 8 探究 根据定义画一个平行四边形并进行观察，除了“两组对边分别平行”，它的边之间还有什么关系？它的角之间呢？度量一下，和你的猜想一致吗？你能证明你的猜想吗？把你的结论和同学比较一下. 通过观察和度量，我们猜想： 平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等. 怎么证明？ 构造全等三角形. A D C B 证明：如图，连接▱ABCD的对角线AC. ∵AD∥BC，AB∥CD， ∴∠1=∠2，∠3=∠4. 又AC是△ABC和△CDA的公共边， ∴△ABC≌△CDA. ∴AB=CD，BC=DA，∠B=∠D. ∵∠1=∠2，∠3=∠4. ∴∠1+∠4=∠2+∠3， 即∠BAD=∠DCB. 请你自己证明∠BAD=∠DCB. 不添加辅助线你能否直接运用平行四边形的定义证明其对角相等呢? A D C B 已知：四边形ABCD是平行四边形， 求证：平行四边形对角相等. 证明：∵AD∥BC，AB∥CD， ∴∠A+∠B=180°，∠A+∠D=180°. ∴∠B=∠D. 同理∠A=∠C. 3．如图，在▱ABCD中，AB＝5，AD＝7，∠ADC的平分线交BC于点E，则BE的长为(　　) A．1　 B．2　 C．3　 D．4 【答案】B 中考考法 12 返回 4．如图，在▱ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为5，则阴影部分的面积为(　　) A．8 B．10 C．15 D．30 C 中考考法 13 这样，就得到平行四边形的性质： 平行四边形的对边相等； 平行四边形的对角相等. 符号语言： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，AB=CD. ∴∠A=∠C，∠B=∠D. 接下来研究平行四边形的对角线. 探究 如图，在▱ABCD中，连接AC，BD，并设它们相交于点O.点O把每条对角线都分成两部分，这两部分有什么关系？ 利用信息技术工具，改变▱ABCD的形状，你发现的结论还成立吗？证明你发现的结论. 容易发现，即便改变▱ABCD的形状， 仍然有OA=OC，OB=OD. 这个结论也可以通过三角形全等证明 （请你完成证明). 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，AD∥ BC， ∴∠1=∠2，∠3=∠4， ∴△OAD≌△OCB (ASA)， ∴OD=OB，OA=OC， 即▱ABCD的对角线互相平分. 5．如图，AC是▱ABCD的对角线，点E在AC上，AD＝AE＝BE，∠D＝114°，则∠BAC的度数是________． 22° 中考考法 18 返回 【点拨】设∠BAC＝α.∵AE＝BE，∴∠EBA＝∠BAC＝α，∴∠BEC＝∠EBA＋∠BAC＝2α.∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD，AD∥BC，AB∥CD.又∵AD＝BE，∴BE＝BC，∠DAC＝∠BCE.∴∠BCE＝∠BEC＝∠DAC＝2α.∴∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝3α.∵AB∥CD，∴∠D＋∠BAD＝180°，即114°＋3α＝180°.∴α＝22°，即∠BAC＝22°. 中考考法 19 由此又得到平行四边形的一个性质： 平行四边形的对角线互相平分. 符号语言: ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC=AC，OB=OD=BD. 例2 如图，在△ABC中，AB=10，AD=8，AC⊥BC.求BC，CD，AC，OA的长，以及▱ABCD的面积. A B C D O 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC=AD=8，CD=AB=10. ∵ AC⊥BC， ∴△ABC是直角三角形. 根据勾股定理，AC===6. ∴OA=OC=AC=3， S▱ABCD=BCAC=8×6=48. 例3 如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E，F. 求证：OE=OF. A E D C B O F 证明：在▱ABCD中，AB∥ CD, ∴∠EAO=∠FCO, ∠AEO=∠CFO. 又OA=OC, ∴△AOE≌△COF. ∴OE=OF. 8 中考考法 23 返回 中考考法 24 7．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E在AD上，点F在BC上，连接EF使EF恰好经过点O． 中考考法 25 (1)求证：DE＝BF； 【证明】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OD＝OB，AD∥BC. ∴∠EDO＝∠FBO，∠DEO＝∠BFO. ∴△DEO≌△BFO(AAS)．∴DE＝BF. 中考考法 26 返回 (2)若AC⊥BD，ED＋CF＝5，AC＝6，求BD的长． 中考考法 27 8．已知▱ABCD的周长为48 cm，∠ABC的平分线交边AD所在的直线于点E，且AE∶ED＝3∶2，则边AD的长是(　　) A．9 cm或18 cm B．6 cm或15 cm C．9 cm D．15 cm 中考考法 28 【点拨】如图①，当点E在线段AD上时．∵AE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∴∠EBC＝∠AEB.∴∠ABE＝∠AEB. ∴AB＝AE.∵AE∶ED＝3∶2， ∴设AE＝3x cm，ED＝2x cm.∴AB＝3x cm. ∵▱ABCD的周长是48 cm， ∴2(3x＋3x＋2x)＝48，解得x＝3. ∴AD＝AE＋ED＝3x＋2x＝5x＝15 cm； 中考考法 29 返回 如图②，当点E在AD的延长线上时，同理可得AB＝AE. ∵AE∶ED＝3∶2，∴设AE＝3x cm，ED＝2x cm，∴AB＝3x cm，AD＝AE－ED＝3x－2x＝x cm. ∵▱ABCD的周长为48 cm，∴2(3x＋x)＝48， 解得x＝6，∴AD＝6 cm. 综上所述， 边AD的长是6 cm或15 cm. 【答案】B 中考考法 30 中考考法 31 返回 【答案】B 中考考法 32 10．[2025邢台期中]将一张平行四边形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，CE，CF为折痕，折叠后点B′，D′，C在同一直线上，连接BB′，DB′．已知B′C＝B′D，∠BB′C＝58°，∠B′DA＝18°，则 ∠EBC的度数为(　　) A．49°　 B．44°　 C．42°　 D．40° 中考考法 33 返回 【点拨】设∠EBC＝α.∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC＝∠EBC＝α，AB∥CD.∴∠BCD＝180°－∠EBC＝180°－α.∵B′C＝BC，∴∠BB′C＝∠B′BC＝58°. ∴∠BCB′＝180°－∠BB′C－∠B′BC＝180°－58°－58°＝64°.∴∠B′CD＝∠BCD－∠B′CB＝180°－α－64°＝116°－α. ∵B′C＝B′D，∴∠B′CD＝∠B′DC.∴116°－α＝α＋18°，解得α＝49°，即∠EBC＝49°. 【答案】A 中考考法 34 平行四边形 定义 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 边 两组对边分别平行且相等 角 两组对角分别相等，邻角互补 对角线 对角线互相平分 性质 课 堂 总 结 Lavf57.25.100 6．如图，在▱ABCD中，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于F．分别以点F，B为圆心，大于BF长为半径画弧，两弧交于点G，作射线AG交BC于点E，若BF＝6，AB＝5，则AE的长为________． 【点拨】设AE交BF于点O.由作图可知AB＝AF＝5，AE平分∠BAD，∴∠FAE＝∠BAE，AE垂直平分BF.∴BO＝BF＝3.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∴∠EAF＝∠AEB.∴∠BAE＝∠AEB.∴AB＝BE.∴BF垂直平分AE.∴AO＝OE＝＝4.∴AE＝8. 【解】由(1)知BF＝DE. ∵ED＋CF＝5，∴BF＋CF＝BC＝5. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CO＝AC＝×6＝3，BD＝2OB. ∵AC⊥BD，∴∠BOC＝90°. ∴OB＝＝4.∴BD＝2×4＝8. 9．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．过点O作OE⊥AC交AD于E．如果AE＝4，DE＝2，DC＝2，则AC的长为(　　) A．3 B．4 C．5 D． 【点拨】连接CE.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO.∵OE⊥AC，∴OE垂直平分AC.∴CE＝AE＝4.∵DE＝2，∴CE2＋DE2＝42＋22＝20＝CD2.∴∠CED＝90°.∴∠AEC＝90°.∴△AEC是等腰直角三角形．∴AC＝AE＝4. $