精品解析：贵州省遵义市湄潭县2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

遵义市湄潭县2025–2026学年度第一学期期末考试九年级（数学） 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．本卷为数学试卷，全卷共4页，三大题，25小题，满分150分，答题时间120分钟，考试形式为闭卷． 2．一律在答题卡相应位置作答，在试卷上答题视为无效． 3．不能使用科学计算器． 一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分． 1. 如果是方程的一个根，那么常数的值为（ ） A 2 B. C. 4 D. 2. 剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 对于抛物线，下列说法错误的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 时，随的增大而减小 D. ，函数有最小值 4. 某路口的交通信号灯设置每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，看到哪种灯的可能性最大（ ） A. 绿灯 B. 黄灯 C. 红灯 D. 可能性相等 5. 如图，正方形的边长为2，弧是以点B为圆心，长为半径的一段圆弧，则弧的长为（ ） A. B. C. D. 6. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 7. 在平面直角坐标系中，抛物线向左平移1个单位长度得到的抛物线为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，将绕点旋转，得到．若点的对应点恰好在的延长线上，则旋转方向和旋转角可能是（ ） A. 顺时针， B. 逆时针， C. 顺时针， D. 逆时针， 9. 如图，四边形内接于，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 10. 二次函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 11. 如图，五边形是内接正五边形，则正五边形的中心角的度数是（ ） A. 72° B. 60° C. 48° D. 36° 12. 已知点在抛物线上，若，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：每小题4分，共16分． 13. 二次函数的图象的开口向___________． 14. 已知点与点关于原点对称，则值等于_____________． 15. 已知m，n是方程的两个实数根，则的值是______． 16 如图，中，，，，将边绕点B顺时针旋转至，连，则___________． 三、解答题：本大题共9小题，共98分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：． （2）若关于的一元二次方程与方程有一个相同的根，求的值． 18. 如图，在的方格网中，所有标出的点均为格点，请按要求作图． （1）如图1，作出关于点O对称的； （2）如图2，旋转得到，标出旋转中心点P． 19. “筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”的工作原理．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心为圆心的圆，已知圆心始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）． （1）求该圆的半径； （2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦从原来的6米变为8米时，则水面下盛水筒的最大深度为多少米？ 20. 一次访谈活动，主办方邀请9名学生参加活动，在场地安排了9把椅子（每个方格代表一把椅子，横为排，竖为列）按图示方式摆放，其中圆点表示已经有学生入座的椅子． （1）如图1，如果有两名学生入座，又有一名学生随机入座，则这三名同学刚好在同一直线上的概率为_________； （2）如图2，如果有五名学生入座（剩余座位分别记为A，B，C，D），又有甲、乙两名同学随机入座，请用树状图或列表法求甲和乙坐在同一横排且相邻的概率． 21. 已知抛物线 在对称轴右侧呈下降趋势，其中． （1）求抛物线的对称轴； （2）二次函数有最大值还是最小值?请求出这个最值． 22. 我市“幸福之城”大型楼盘陆续交付，家装灯具销售商纷纷推出各类优惠政策．某灯具销售商通过大数据分析：成本为每个30元的台灯，当售价为70元时，平均每天售出20个．若售价每下降1元，每日销售量就增加2个． （1）设售价下降元，请填空： 售价 70 65 利润 40 ___________ 销售量 20 30 ___________ （2）为迎接“双十一”，该店决定降价促销，在每台台灯盈利不少于25元的前提下，若预计日销售获利恰好为1200元，求每个台灯的售价． 23. 学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长．设垂直于墙的边长为米，平行于墙的边为米，围成的矩形面积为． （1）求与与的关系式． （2）围成的矩形花圃面积能否为，若能，求出的值． （3）围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的值． 24. 如图，已知是半圆的直径，点在半圆上，，垂足为点，点是的中点，交于点，交于点． （1）__________； （2）判断的形状，并说明理由； （3）若为，，求阴影部分的面积． 25. 正方形中，点E在射线上（不与点B、C重合），连接，，将绕点E逆时针旋转得到，连接． （1）如图1，点E在边上． ①依题意补全图1； ②若，求的长； （2）如图2，点E在边的延长线上，用等式表示线段，，之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义市湄潭县2025–2026学年度第一学期期末考试九年级（数学） 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．本卷为数学试卷，全卷共4页，三大题，25小题，满分150分，答题时间120分钟，考试形式为闭卷． 2．一律在答题卡相应位置作答，在试卷上答题视为无效． 3．不能使用科学计算器． 一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分． 1. 如果是方程的一个根，那么常数的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根，利用方程的根的定义求解，将方程的已知根代入方程，通过计算即可得到常数c的值． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入方程，得， ∴． 故选：C． 2. 剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念，即可得出正确选项． 【详解】A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； C．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； D．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，熟练掌握概念是本题的关键． 3. 对于抛物线，下列说法错误的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 时，随的增大而减小 D. ，函数有最小值 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，故A选项正确，不符合题意； ∵抛物线， ∴对称轴是直线，故B选项正确，不符合题意； C、时，随的增大而增大，故C选项错误，符合题意； D、，函数有最小值，故D选项正确，不符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 4. 某路口的交通信号灯设置每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，看到哪种灯的可能性最大（ ） A 绿灯 B. 黄灯 C. 红灯 D. 可能性相等 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了概率公式的应用．根据概率计算公式进行求解即可 【详解】解：∵， ∴由题意得当你抬头看信号灯时， 是红灯的概率为， 是绿灯的概率为， 是黄灯的概率为， ∵， ∴看到红灯的可能性最大， 故选：C． 5. 如图，正方形的边长为2，弧是以点B为圆心，长为半径的一段圆弧，则弧的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式，由题意可得：所在圆的半径为，圆心角为，再由弧长公式进行计算即可，熟练掌握弧长公式是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：所在圆的半径为，圆心角为， 的长为， 故选：A． 6. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式与根的情况的关系是解题的关键． 通过计算一元二次方程根的判别式的值，根据其正负来判断根的情况． 【详解】解：∵在一元二次方程中，，，， ∴． ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 7. 在平面直角坐标系中，抛物线向左平移1个单位长度得到的抛物线为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了二次函数图象的平移，根据“左加右减，上加下减”规律进行解答即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，抛物线向左平移1个单位长度得到的抛物线为， 故选：A 8. 如图，在中，，将绕点旋转，得到．若点的对应点恰好在的延长线上，则旋转方向和旋转角可能是（ ） A. 顺时针， B. 逆时针， C. 顺时针， D. 逆时针， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了图形旋转的定义，平角的定义，正确理解图形旋转的定义是解题的关键．根据图形旋转的定义及平角的定义，即得答案． 【详解】解：将绕点C旋转，得到，且点A的对应点D恰好在的延长线上， ， 旋转方向为顺时针时,旋转角度为； 旋转方向为逆时针时,旋转角度为． 故选：A． 9. 如图，四边形内接于，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的性质是解题的关键． 根据圆内接四边形对角互补即可求解． 【详解】解：四边形内接于，， ∴， 故选：B． 10. 二次函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象，解题的关键是正确求出函数图象的顶点．求出二次函数图象的顶点，据此判断图象． 【详解】解：，， ∴该二次函数图象的顶点为，开口向上， 符合条件的图象为：C． 故选C． 11. 如图，五边形是的内接正五边形，则正五边形的中心角的度数是（ ） A. 72° B. 60° C. 48° D. 36° 【答案】A 【解析】 【分析】根据正多边形的中心角的计算公式：计算即可． 【详解】解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形， ∴五边形ABCDE的中心角∠COD的度数为， 故选：A． 【点睛】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式： 是解题的关键． 12. 已知点在抛物线上，若，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，通过直接计算点A和点B的纵坐标，得到和关于m的表达式，结合m的取值范围比较大小即可． 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴， ∵点在抛物线上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ， ∴， ∴． 故选:D． 二、填空题：每小题4分，共16分． 13. 二次函数的图象的开口向___________． 【答案】下 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，解题关键是掌握二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线开口向上；当时，抛物线向下开口．由即可判断开口方向． 【详解】解：二次函数，， 则图象的开口向下， 故答案为：下 14. 已知点与点关于原点对称，则的值等于_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据点与点关于原点对称，可得，再代入，即可求解． 详解】解∶∵点与点关于原点对称， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，熟练掌握两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数是解题的关键． 15. 已知m，n是方程的两个实数根，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解，正确理解一元二次方程的解的定义是解题的关键．由一元二次方程根与系数关系得，，再代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 16. 如图，中，，，，将边绕点B顺时针旋转至，连，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质及全等三角形的性质和判定，作，，在Rt中，可求得及的长，再证明，根据勾股定理可得的长． 【详解】解：过C作于M，过点D作，交延长线于点N， ，， 在Rt中， , ∴， 边绕点B顺时针旋转至， ，， ， 在和中， ， ，，， 在Rt中，根据勾股定理得，． 故答案为． 三、解答题：本大题共9小题，共98分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：． （2）若关于的一元二次方程与方程有一个相同的根，求的值． 【答案】（1）；（2）3 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，解一元二次方程，根据一元二次方程解的情况求参数，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键． （1）根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，二次根式性质，绝对值意义，进行求解即可； （2）先解方程得：，，然后再代入求出k的值即可． 【详解】解：（1） ； （2）解方程得：，， 把代入得： ， 解得：； 把代入得： ， 解得：， 当时，，此时方程为一元一次方程，不符合题意； 综上，． 18. 如图，在的方格网中，所有标出的点均为格点，请按要求作图． （1）如图1，作出关于点O对称的； （2）如图2，旋转得到，标出旋转中心点P． 【答案】（1）答案见解析 （2）答案见解析 【解析】 【分析】本题考查了作中心对称图形，利用图形旋转的性质作图，熟练掌握相关作图知识是解题的关键． （1）作出点A关于点O对称点D，连结，，即得答案； （2）图形旋转的性质，分别作，的中垂线，两线的交点即为所求． 【小问1详解】 解：如图，就是所求作的三角形； 【小问2详解】 解：如图，点P就是所求作的点． 19. “筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”的工作原理．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心为圆心的圆，已知圆心始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）． （1）求该圆的半径； （2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦从原来的6米变为8米时，则水面下盛水筒的最大深度为多少米？ 【答案】（1）该圆的半径为5米 （2）水面下盛水筒的最大深度为2米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，求圆的半径． （1）作于点，交圆于点，设圆的半径为米，根据勾股定理求解即可； （2）当米时，米，根据勾股定理求出米，即可求出最大深度． 【小问1详解】 解：如图，作于点，交圆于点， 则米，米， 设圆的半径为米， 在中，， ， 解得， 该圆的半径为5米； 【小问2详解】 解：如图，当米时，米， 在中，， ， 米， （米）， 答：水面下盛水筒的最大深度为2米． 20. 一次访谈活动，主办方邀请9名学生参加活动，在场地安排了9把椅子（每个方格代表一把椅子，横为排，竖为列）按图示方式摆放，其中圆点表示已经有学生入座的椅子． （1）如图1，如果有两名学生入座，又有一名学生随机入座，则这三名同学刚好在同一直线上的概率为_________； （2）如图2，如果有五名学生入座（剩余座位分别记为A，B，C，D），又有甲、乙两名同学随机入座，请用树状图或列表法求甲和乙坐在同一横排且相邻的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率公式求概率，列表法求概率，熟练掌握求概率的方法是解题的关键． （1）根据图形，结合题意，根据概率公式直接求解即可； （2）根据图形，结合题意，列表法求概率即可． 【小问1详解】 解：如图1，共有7个空位置，只有当坐在第3排第2列的那个位置时，符合题意，则这三名同学刚好在同一直线上的概率为； 故答案： 【小问2详解】 解：列表如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共有12种等可能的结果，其中甲和乙坐在同一横排且相邻的共有4种等可能的结果， ∴． 21. 已知抛物线 在对称轴右侧呈下降趋势，其中． （1）求抛物线的对称轴； （2）二次函数有最大值还是最小值?请求出这个最值． 【答案】（1）直线 （2）最大值， 【解析】 【分析】（）根据，可得，由抛物线在对称轴右侧呈下降趋势可得，进而可求出抛物线的解析式即可求解； （）根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵抛物线在对称轴右侧呈下降趋势， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线； 【小问2详解】 解：∵抛物线的开口向下， ∴二次函数有最大值， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，的值最大，． 22. 我市“幸福之城”大型楼盘陆续交付，家装灯具销售商纷纷推出各类优惠政策．某灯具销售商通过大数据分析：成本为每个30元的台灯，当售价为70元时，平均每天售出20个．若售价每下降1元，每日销售量就增加2个． （1）设售价下降元，请填空： 售价 70 65 利润 40 ___________ 销售量 20 30 ___________ （2）为迎接“双十一”，该店决定降价促销，在每台台灯盈利不少于25元的前提下，若预计日销售获利恰好为1200元，求每个台灯的售价． 【答案】（1）35； （2）60元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． （1）根据“当售价为70元时，平均每天售出20个；若售价每下降1元，每日销售量就增加2个”列出代数式，即可解答； （2）设每个台灯的售价为元．根据每个台灯的利润销售数量总利润列出方程并解答． 【小问1详解】 解：当售价为65元时，每台台灯的利润为：（元）， 售价下降元，每日能售出个； 【小问2详解】 解：设每个台灯售价y元，根据题意得： ， 即， ， 每台台灯盈利不少于25元， ，解得。 不合题意，舍去。 ， 答：每个台灯售价60元． 23. 学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长．设垂直于墙的边长为米，平行于墙的边为米，围成的矩形面积为． （1）求与与的关系式． （2）围成的矩形花圃面积能否为，若能，求出的值． （3）围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的值． 【答案】（1）； （2）能， （3）的最大值为800，此时 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用和二次函数的实际应用： （1）根据可求出与之间的关系，根据墙的长度可确定的范围；根据面积公式可确立二次函数关系式； （2）令，得一元二次方程，判断此方程有解，再解方程即可 ； （3）根据自变量的取值范围和二次函数的性质确定函数的最大值即可． 小问1详解】 解：∵篱笆长， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵墙长42m， ∴， 解得，， ∴； 又矩形面积 ； 【小问2详解】 解：令，则， 整理得：， 此时，， 所以，一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴围成的矩形花圃面积能为； ∴ ∴ ∵， ∴； 【小问3详解】 解： ∵ ∴有最大值， 又， ∴当时，取得最大值，此时， 即当时，的最大值为800 24. 如图，已知是半圆的直径，点在半圆上，，垂足为点，点是的中点，交于点，交于点． （1）__________； （2）判断的形状，并说明理由； （3）若为，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）或 （2）是等腰三角形 （3） 【解析】 【分析】（）根据同弧或等弧所对的圆周角相等，进行求解即可； （2）由圆周角定理可得，，进而可证，即可求证； （3）利用圆心角和弧的关系可得，进而可得为等边三角形，即可得，，，最后根据即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴； ∵为的中点， ∴， ∴； 综上，； 【小问2详解】 解：是等腰三角形，理由如下： ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∵， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 【小问3详解】 解：连接， ∵为， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，余角性质，等腰三角形的判定，圆心角和弧的关系，等边三角形的判定和性质，勾股定理，弓形的面积，掌握圆的有关性质是解题的关键． 25. 在正方形中，点E在射线上（不与点B、C重合），连接，，将绕点E逆时针旋转得到，连接． （1）如图1，点E在边上． ①依题意补全图1； ②若，求的长； （2）如图2，点E在边的延长线上，用等式表示线段，，之间的数量关系． 【答案】（1）①见解析；② （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查作图中的旋转变换，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）①根据要求画出图形即可． ②过点F作，交CB的延长线于H．证明，推出，推出，再利用勾股定理解决问题即可； （2）由②可得，推出，，推出，再利用等腰直角三角形的性质解决问题即可． 【小问1详解】 解：①根据要求补全图形，如图所示： ②过点F作，交的延长线于H， 四边形是正方形， ， ， 在和中， ， ， ， 中， ． 【小问2详解】 结论： ． 理由：过点F作，交于H， ∵四边形是正方形， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 和都是等腰直角三角形， ，， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $