精品解析：江苏盐城市滨海县、建湖县2025-2026学年上学期期末九年级数学试卷

2025~2026学年度第一学期期末考试 九年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷考试时间120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将姓名、考试证号用黑色墨水签字笔填写在答题卡相应位置内． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中只有一个选项是正确的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程定义，即只含一个未知数、未知数最高次数为的整式方程，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义，对各选项逐一判断即可解答． 【详解】解：A选项：，未知数最高次数为，是一元一次方程，故不符合题意； B选项：，只含有一个未知数，未知数最高次数为，是整式方程，是一元二次方程，符合题意； C选项，含有两个未知数，是二元方程，故不符合题意； D选项，式子中含，不是整式，不属于整式方程，故不符合题意． ∴故选：B． 2. 已知的半径为5，点P在内，则的长可能是（　　） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点在圆内，点到圆心的距离小于圆的半径进行判断． 【详解】解：∵的半径为5，点P在内， ∴． 故选：D． 3. 如图，是的直径，是弦，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理． 先根据垂径定理和圆周角定理得到，即可求出答案． 【详解】解：连接． ∵是的直径，是弦，， ∴， 故选：A． 4. 如图，在中，，若，则的值为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据余弦的定义计算即可． 【分析】解：中， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了求余弦，掌握余弦的定义是解题的关键． 5. 如图，在中，点在上，，交于，且，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例．利用，得出，再代入值求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：D． 6. 已知，且与的相似比为2：3，若的面积为4，则的面积为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，同时结合已知条件计算即可求解． 【详解】解：∵，相似比为， ∴与的面积比为， 设的面积为， ∵的面积为， ∴， ∴， 故选：C． 7. 已知一组数据：6，6，7，8，8．下列说法错误的是（ ） A. 该组数据的极差是2 B. 该组数据的平均数是7 C. 该组数据的众数是6 D. 若该组数据加入一个数7，则这组新数据的方差变小 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求一组数据的平均数，众数，极差，根据极差、平均数、众数、方差的定义及计算方法，逐一判断各选项，找出错误选项即可． 【详解】解：A．极差为：，故A正确，不符合题意； B．平均数为：，故B正确，不符合题意； C．数据中6和8均出现2次，出现次数最多，因此众数是6和8，故C错误，符合题意； D．原数据平均数为7， 原方差， 加入7后新数据为6，6，7，7，8，8，平均数仍为7， 新方差， ∵， ∴方差变小，故D正确，不符合题意． 故选：C． 8. 抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图像如图所示，下列结论：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④当时，随增大而增大，其中结论正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，掌握a、b、c的值决定抛物线的位置以及二次函数与一元二次方程的关系，是解题的关键． 根据二次函数图像的开口方向、对称轴位置、与轴的交点坐标等知识，逐个判断即可． 【详解】解：由已知条件可知，该抛物线开口向下，，故①错误， 由图象可知，抛物线与轴有两个交点，即方程有两个不相等的实数根，则；故②正确； 由图象可知抛物线与轴的交点为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴关于直线的对称点也在抛物线上， ∴方程有两个不相等的实数根分别为，； 故③正确； ∵抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∴当时，随增大而增大， 故④正确； 综上可知，②③④正确， 故选：C 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上） 9. 在比例尺为的地图上，量得、两地的图上距离是厘米，那么、两地的实际距离是____________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例线段，掌握比例尺图上距离实际距离是解题的关键． 根据图上距离与实际距离的比等于比例尺，即可求解． 【详解】解：设、两地的实际距离为厘米， 则：， 解得：， 厘米米． 故答案为：． 10. 若是一元二次方程的一个根，则的值为____________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根，将代入方程，使方程成立，从而求解m． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入方程，得：， 即， 整理得， 解得：． 故答案为：6． 11. 圆锥的侧面积为，母线长为5．则这个圆锥的底面半径为________． 【答案】4 【解析】 【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：设底面半径为， 则底面周长， 圆锥的侧面积， ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了圆锥的底面半径，利用圆锥侧面积公式求解是解题的关键． 12. 若正多边形的一个内角是，则正多边形的边数是______ 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和公式是解题关键．设该正多边形的边数是，根据多边形的内角和建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设该正多边形的边数是， 则， 解得， 所以该正多边形的边数是12， 故答案为：12． 13. 在平面直角坐标系中，若抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则所得到的抛物线的表达式为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 利用二次函数图象的平移规律求解． 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位长度， 得到， 再向上平移2个单位长度， 得到， 故答案为：． 14. 已知：如图，是的直径，，则____________°． 【答案】70 【解析】 【分析】本题考查了半圆（直径）所对的圆周角是直角，圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先根据直径所对的圆周角是直角，得出，再利用直角三角形的性质求得，然后利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：70． 15. 如图1，这是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量，得到扇形的圆心角的度数为，，C，D分别为的中点，则花窗的面积为___________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形的面积公式是解题的关键．根据扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：由题知， 又分别为的中点， 又 故答案为：． 16. 如图，在矩形中，，，点是边上的动点，将沿直线翻折得到，过点作，垂足为，点是线段上一点，且，当点从点运动到点时，点运动的路径长是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形与折叠，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，求弧长，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造相似三角形，确定点的运动轨迹，是解题的关键． 作 ，交于点，以为直径画，证明，推出点在以为直径的运动，并求出半径，再连接，推出点运动的路径长为，然后根据三角形函数和圆周角定理解出，最后运用弧长公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵将沿直线翻折得到， ∴， 作 ，交于点，以为直径画， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴点在以为直径的运动， ∵点从点运动到点， ∴连接，点运动的路径长为， ∵，，， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴的弧长为． ∴点的运动路径总长为：． 故答案为：． 三．解答题（本大题共有11小题，共102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）求锐角的度数：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）先化简各个特殊角的三角函数值，再四则运算即可； （2）先判断出，再求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵，为锐角， ∴， 解得． 18. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），． （2），． 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键． （1）运用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）运用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 解得，． 【小问2详解】 解：， ， 或， 解得，． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是方程的两根，且，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）k的值为 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程相关问题，涉及一元二次方程判别式与根的情况，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程等知识，熟练掌握一元二次方程相关知识是解决问题的关键． （1）根据一元二次方程判别式与根的情况，证明即可得到答案； （2）由一元二次方程根与系数的关系得，根据题意，代入，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 证明：关于的一元二次方程， ， 方程总有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 解：由一元二次方程根与系数的关系得， ， ， 解得：． 20. 某校举办了“数学节”活动，通过开展趣味数学游戏、知识拓展、数学创意展示、数学素养竞赛等活动，展现数学魅力、传播数学文化，研究小组为了解学生数学素养竞赛的答题情况，从七、八年级各随机抽取了名学生的成绩（百分制）进行整理和分析．所有学生的成绩均高于分（成绩用表示，共分成四个等级：A：；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级名学生的成绩是： ，． 八年级名学生的成绩在B等级的数据是：． 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 众数 八年级所抽学生的竞赛成绩统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中___________，___________，___________； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级哪个年级学生的数学素养竞赛成绩更好？请说明理由； （3）该校七年级有名学生、八年级有名学生参加了此次数学素养竞赛，估算该校七、八年级成绩为A等级的学生共有多少人？ 【答案】（1），， （2）八年级学生成绩较好，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图，用样本估计总体，平均数，中位数，众数． （1）根据众数和中位数的定义求解即可；求出八年级成绩为B等级的学生人数的占比，用可得的值； （2）七年级和八年级学生的平均数和众数相等，八年级学生的中位数较高，八年级学生成绩较好； （3）利用样本百分比估计总体百分比，分别计算出七、八年级学生成绩为A等级的学生的大约人数． 小问1详解】 解：由七年级学生的成绩可知，分出现的次数最多，出现了次， 七年级成绩的众数为； 八年级学生的成绩在B等级的数据有个， 八年级学生的成绩在B等级的数据占总数的， 八年级学生的成绩在A等级的数据占； 八年级学生的成绩在A等级的人数有人， 由八年级学生的成绩在B等级的数据可知：把八年级学生成绩从高到低排列，第名成绩是，第名是， 八年级学生成绩中位数是； 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：八年级学生成绩较好， 理由如下： 七年级和八年级学生的平均数和众数相等，八年级学生的中位数较高， 八年级学生成绩较好； 【小问3详解】 解：七年级名学生达到A等级的有人，占抽查总人数的， 八年级名学生达到A等级的占， 该校七、八年级成绩为A等级的学生共有人． 21. 二十四节气是中华民族农耕文明智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小兰购买了三张形状、大小、质地均相同的“二十四节气”主题邮票，正面分别印有“大寒”“立春”“雨水”三种不同的图案，背面完全相同，她将三张邮票背面朝上，洗匀放好． （1）小兰从中随机抽取一张恰好抽到“立春”的概率是____________． （2）若印有“大寒”“立春”“雨水”三种不同图案的邮票分别用，，表示，小兰从中随机抽取两张邮票，请用画树状图或列表的方法求小兰抽到的两张邮票恰好是“大寒”和“雨水”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了概率的应用，掌握画树状图或列表求概率的方法是解题的关键． （1）根据概率公式直接求解即可； （2）通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【小问1详解】 解：小兰从中随机抽取一张恰好抽到“立春”的概率是． 【小问2详解】 解：由题意画树状图如下： 由图可知，共有6种等可能的情况，其中抽到“大寒”和“雨水”的情况有2种， ∴小兰抽到的两张邮票恰好是“大寒”和“雨水”的概率为． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，以原点为位似中心，在轴的右侧，画出的位似图形，使它与的相似比为． （1）请画出； （2）若点为边上一点，则点的对应点的坐标是____________； （3）的面积为____________． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查作图位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． （1）根据位似的性质作图即可． （2）由位似变换可得，点的横纵坐标分别除以，即可得点的横纵坐标． （3）利用长方形的面积减去两个直角三角形的面积即可得到的面积． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 解：由题意可得，点的坐标为． 故答案为：． 【小问3详解】 的面积为， 故答案为： 23. 如图，在以为直径的中，点为上一点，连接，，延长至点，使得，过点作交的延长线于点，交于点． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见详解； （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线判定、圆周角定理、三角函数、勾股定理以及相似三角形的综合运用．掌握通过角度推导证明切线，并利用三角函数和相似三角形构建方程求解是解题的关键． （1）通过连接，利用直径所对的圆周角为直角（）以及已知的等角关系（），逐步推导出，从而证明，结合的条件，最终得出，满足切线的判定定理； （2）首先在中利用三角函数和勾股定理求出和的长；接着由第一问的平行结论导出，建立含半径r的比例式，用r表示；最后利用另一组相似三角形（）建立关于r的方程，解方程并舍去负值得出半径． 【小问1详解】 解：连接， ∵为的直径，点为上一点， ∴， ∵过点作交的延长线于点， ∴，A、D、C三点共线，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， 又∵为的半径， ∴为的切线； 【小问2详解】 解：∵，， 在中，， ∴， ∴， 由勾股定理可得， 由（1）得， ∴， ∴， 设的半径为r，即， ∴， 化简得：， 又∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 化简得：， 解得：或（舍）， 故答案为：． 24. 如图，学校在教学楼顶部竖立一块标语牌，小明在距教学楼的点处（即），利用测角仪测得标语牌底部点的仰角为，然后小明向教学楼方向前进到达点处（即），测得标语牌顶部点的仰角为，已知测角仪支架高，图中点，，，，，，在同一平面内．求： （1）教学楼的高度； （2）标语牌的高度．（结果可保留根号） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是矩形，再根据矩形的性质得出，，再利用正切求得，从而可利用线段的和求得； （2）先证明四边形是矩形，再根据矩形的性质得出，从而可利用线段的差求得，再利用正切求得，从而可利用线段的差求得． 【小问1详解】 解：如图，延长交于点，则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，．        在中，，， ∴．        ∴．        答：教学楼的高度约为； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， 又， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，        在中，，， ∴，        ∴．        答：标语牌的高度为． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形，根据矩形的性质与判定求线段长，解直角三角形的相关计算，仰角俯角问题(解直角三角形的应用)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 25. 某体育用品商店销售一款足球，已知每个足球的成本是元，当售价为元时，平均每天能售出个．随着“苏超”联赛火爆出圈，该商店抓住商机，决定对足球进行降价促销，经过一段时间的销售发现，售价每降低元，平均每天能多售出2个． （1）当售价为元时，该商店平均每天售出足球___________个； （2）当每个足球降价多少元时，该商店平均每天销售的利润为元？ （3）当每个足球降价多少元时，商店每天售卖该款足球的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2） 元或元 （3） 当每个足球降价元时，最大利润是元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用． (1)售价每降低元，平均每天能多售出个，计算出当售价为元时，该商店平均每天售出足球个数； (2)设当每个足球降价元时，该商店平均每天销售的利润为元，根据销售的利润单个利润销售数量列方程求解； (3)设商店每天售卖足球的利润是元，可得：，利用二次函数的性质求出最大利润． 【小问1详解】 解：当售价为元时，该商店平均每天售出足球个， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设当每个足球降价元时，该商店平均每天销售的利润为元， 根据题意可得：， 整理得：， 解得：，， 答：当每个足球降价元或元时，该商店平均每天销售的利润为元； 【小问3详解】 解：设商店每天售卖足球的利润是元， 根据题意可得：， 整理得：， 当时，有最大值，最大值是， 答：当每个足球降价元时，最大利润是． 26. 一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上． （1）求这个正方形零件的边长； （2）如图2，把它加工成矩形零件，当时，求矩形的周长． 【答案】（1）正方形零件的边长为； （2）矩形的周长为． 【解析】 【分析】本题主要考查矩形和正方形的性质、三角形相似的判定与性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据正方形的性质可证，由相似三角形的性质可得，设，然后代入比例式求解即可； （2）设，则，利用矩形的性质可得得，即，可求得，最后根据矩形的周长公式求解即可． 【小问1详解】 解：四边形是正方形， ， ，， ； ， 设， ， ， 正方形零件的边长为； 【小问2详解】 解：∵， ∴设，则， 四边形是矩形， ，，即， ，， ， ， ∴，解得：， ∴，则， ∴矩形的周长是． 27. 如图1，抛物线交轴于点，点，交轴于点 （1）求抛物线的表达式及顶点坐标； （2）当时，的取值范围为___________；（直接写出答案） （3）点为对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标； （4）如图2，过原点作直线交抛物线于、两点，点的横坐标为，点的横坐标为，求证：是一个定值． 【答案】（1）抛物线的表达式为，顶点的坐标为； （2） （3） （4）见解析 【解析】 【分析】（1）将A、B两点的坐标代入抛物线表达式中，求得待定系数，从而可得抛物线的表达式，再配方求得顶点坐标； （2）根据自变量的范围，结合对称性求得函数值的范围； （3）利用轴对称的性质，根据两点之间线段最短求得当的周长最小时，P点的坐标； （4）设过原点O的直线为，与抛物线联立得到关于x的方程，再利用根与系数的关系求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线交轴于点，点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为， ， ∴抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵抛物线开口向下，对称轴在范围内， ∴在处取得最大值． 当时，； 当时，． ∴的最小值为0． ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：的周长． 其中的长度一定， 当最小时，的周长最小． ∴点A关于对称轴的对称点为， ∴． ∴只需在对称轴上找一点P，使最小． 当B，P，C三点共线时，最小，即为的长． 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为． 当时，， ∴； 【小问4详解】 解：设过原点O的直线为， 与抛物线联立，得， 整理得：， ∵过原点作直线交抛物线于、两点，点的横坐标为，点的横坐标为， ∴该方程的两个根即为M，N的横坐标m，n， ∴， 由于−3是与k无关的常数， ∴是一个定值． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，的最值，待定系数法求二次函数解析式，线段周长问题(二次函数综合)，根据成轴对称图形的特征进行求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期期末考试 九年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷考试时间120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将姓名、考试证号用黑色墨水签字笔填写在答题卡相应位置内． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中只有一个选项是正确的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ）． A. B. C. D. 2. 已知的半径为5，点P在内，则的长可能是（　　） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 3. 如图，是的直径，是弦，，，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，若，则的值为( ) A. B. C. D. 5. 如图，在中，点在上，，交于，且，则长为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 9 6. 已知，且与的相似比为2：3，若的面积为4，则的面积为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 7. 已知一组数据：6，6，7，8，8．下列说法错误的是（ ） A. 该组数据的极差是2 B. 该组数据的平均数是7 C. 该组数据的众数是6 D. 若该组数据加入一个数7，则这组新数据的方差变小 8. 抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图像如图所示，下列结论：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④当时，随增大而增大，其中结论正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上） 9. 在比例尺为的地图上，量得、两地的图上距离是厘米，那么、两地的实际距离是____________米． 10. 若是一元二次方程的一个根，则的值为____________． 11. 圆锥的侧面积为，母线长为5．则这个圆锥的底面半径为________． 12. 若正多边形的一个内角是，则正多边形的边数是______ 13. 在平面直角坐标系中，若抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则所得到的抛物线的表达式为____________． 14. 已知：如图，是的直径，，则____________°． 15. 如图1，这是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量，得到扇形的圆心角的度数为，，C，D分别为的中点，则花窗的面积为___________．（结果保留） 16. 如图，在矩形中，，，点是边上的动点，将沿直线翻折得到，过点作，垂足为，点是线段上一点，且，当点从点运动到点时，点运动的路径长是____________． 三．解答题（本大题共有11小题，共102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）求锐角的度数：． 18 解下列方程： （1）； （2）． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是方程的两根，且，求的值． 20. 某校举办了“数学节”活动，通过开展趣味数学游戏、知识拓展、数学创意展示、数学素养竞赛等活动，展现数学魅力、传播数学文化，研究小组为了解学生数学素养竞赛的答题情况，从七、八年级各随机抽取了名学生的成绩（百分制）进行整理和分析．所有学生的成绩均高于分（成绩用表示，共分成四个等级：A：；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级名学生的成绩是： ，． 八年级名学生的成绩在B等级的数据是：． 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 众数 八年级所抽学生的竞赛成绩统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中___________，___________，___________； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级哪个年级学生的数学素养竞赛成绩更好？请说明理由； （3）该校七年级有名学生、八年级有名学生参加了此次数学素养竞赛，估算该校七、八年级成绩为A等级的学生共有多少人？ 21. 二十四节气是中华民族农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小兰购买了三张形状、大小、质地均相同的“二十四节气”主题邮票，正面分别印有“大寒”“立春”“雨水”三种不同的图案，背面完全相同，她将三张邮票背面朝上，洗匀放好． （1）小兰从中随机抽取一张恰好抽到“立春”的概率是____________． （2）若印有“大寒”“立春”“雨水”三种不同图案的邮票分别用，，表示，小兰从中随机抽取两张邮票，请用画树状图或列表的方法求小兰抽到的两张邮票恰好是“大寒”和“雨水”的概率． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，以原点为位似中心，在轴的右侧，画出的位似图形，使它与的相似比为． （1）请画出； （2）若点为边上一点，则点的对应点的坐标是____________； （3）面积为____________． 23. 如图，在以为直径的中，点为上一点，连接，，延长至点，使得，过点作交的延长线于点，交于点． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的半径． 24. 如图，学校在教学楼顶部竖立一块标语牌，小明在距教学楼的点处（即），利用测角仪测得标语牌底部点的仰角为，然后小明向教学楼方向前进到达点处（即），测得标语牌顶部点的仰角为，已知测角仪支架高，图中点，，，，，，在同一平面内．求： （1）教学楼的高度； （2）标语牌的高度．（结果可保留根号） 25. 某体育用品商店销售一款足球，已知每个足球的成本是元，当售价为元时，平均每天能售出个．随着“苏超”联赛火爆出圈，该商店抓住商机，决定对足球进行降价促销，经过一段时间的销售发现，售价每降低元，平均每天能多售出2个． （1）当售价为元时，该商店平均每天售出足球___________个； （2）当每个足球降价多少元时，该商店平均每天销售的利润为元？ （3）当每个足球降价多少元时，商店每天售卖该款足球利润最大？最大利润是多少？ 26. 一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上． （1）求这个正方形零件的边长； （2）如图2，把它加工成矩形零件，当时，求矩形的周长． 27. 如图1，抛物线交轴于点，点，交轴于点 （1）求抛物线的表达式及顶点坐标； （2）当时，的取值范围为___________；（直接写出答案） （3）点为对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标； （4）如图2，过原点作直线交抛物线于、两点，点横坐标为，点的横坐标为，求证：是一个定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $