精品解析：江西省宜春市高安市2025一2026学年度上学期期末考试九年级数学试题

2025-2026学年度上学期期末考试 九年级数学试题 说明： 1．本卷共23题，全卷满分120分，考试时长120分钟． 2．本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上． 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：C． 2. 下列标志中，是中心对称图形的有 ( )个. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念逐一进行分析即可得. 【详解】第一个图形是中心对称图形； 第二个图形不是中心对称图形； 第三个图形是中心对称图形； 第四个图形不是中心对称图形， 故选B. 【点睛】本题考查了中心对称图形，熟知中心对称图形是指一个图形绕某一个点旋转180度后能与自身完全重合的图形是解题的关键. 3. 下列说法正确的是( ) A. “任意画一个三角形，其内角和是360°”是随机事件. B. “明天的降水概率为80%”，意味着明天降雨的可能性较大. C. “某彩票中奖概率是1%”，表示买100张这种彩票一定会中奖. D. 晓芳抛一枚硬币10次，有7次正面朝上，当她抛第11次时，正面向上的概率为. 【答案】B 【解析】 【分析】由概率是事件发生的可能性，逐一进行分析即可得答案. 【详解】A、任意画一个三角形，其内角和是360°是不可能事件，故此选项错误； B、“明天的降水概率为80%”，意味着明天降雨的可能性较大，该说法正确，故此选项正确； C、“某彩票中奖概率是1%”，表示买100张这种彩票可能会中奖，故此选项错误； D、由于抛硬币正反出现的概率是相同的，不论抛多少次出现正面或反面的概率是一致的，即正面向上的概率为，故此选项错误， 故选B． 【点睛】本题考查了概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能发生． 4. 二次函数与反比例函数图象在如图所示的同一坐标系中，若时，则的取值范围（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数和反比例函数的综合，根据函数图象得出当或时，二次函数图象在反比例函数的上面，即可得出当时，的取值范围． 【详解】解：根据函数图象可得：二次函数与反比例函数的图象交点坐标为，， 当或时，二次函数图象在反比例函数的上面，因此时，则的取值范围或． 故选：A． 5. 在平面直角坐标系中，以点为圆心，4为半径的圆与轴所在直线的位置关系是（ ）． A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】先找出圆心到轴的距离，再与圆的半径进行比较，若圆心到轴的距离小于半径，则圆与轴相交，反之相离，若二者相等则相切． 【详解】解：∵圆心的坐标为 ∴圆心与轴距离为3，小于其半径4， ∴以点为圆心，4为半径的圆与轴的关系为相交． 故选：C 【点睛】本题主要考查了圆与直线的位置关系，熟练掌握圆心距与圆到直线距离的大小关系对应的位置关系是关键． 6. 已知反比例函数的图像如图所示，则在同一直角坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图像与性质，一次函数的图像与性质，二次函数的图像与性质，对系数、的符号进行判断是解题关键． 先由反比例函数图像判断出，再逐一验证每个选项中一次函数和二次函数的、符号是否一致且满足． 【详解】解：据题可知，， 选项：一次函数，，，二次函数，对称轴，则，，不符合要求； 选项：一次函数，，，二次函数，对称轴，则，，不符合要求； 选项：一次函数，，，二次函数，对称轴，则，，不符合要求； 选项：一次函数，，，二次函数，对称轴，则，，符合要求； 故选：． 二、填空（每题3分，共18分） 7. 已知点与点关于原点对称，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称点的性质，熟练掌握关于原点对称点的横、纵坐标都是互为相反数的性质是解题的关键．关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 利用如果两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数，由此求出，的值，代入求解即可． 【详解】解：点与点关于原点对称， ， ， 故答案为：． 8. 将油箱注满升油后，轿车行驶的总路程（单位：千米）与平均耗油量（单位：升/千米）之间是反比例函数关系是常数，．已知某轿车油箱注满油后，以平均耗油量为每千米耗油升的速度行驶，可行驶千米，当平均耗油量为升/千米时，该轿车可以行驶__千米． 【答案】950 【解析】 【分析】根据“以平均耗油量为每千米耗油0.1升的速度行驶，可行驶760千米”再利用反比例函数图象上的坐标特征即可求出k值，再带入a=0.08求出S即可得出结论. 【详解】∵以平均耗油量为每千米耗油0.1升的速度行驶,可行驶760千米, ∴760=，解得:k=76， ∴当平均耗油量为0.08升/千米时，该轿车可以行驶的路程S==950(千米) 故答案为950. 【点睛】本题主要考查了反比例函数的相关计算，熟练掌握反比例函数的相关知识是解答本题的关键. 9. 若一元二次方程的两根为、，则的值为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系及利用完全平方公式求解．根据根与系数的关系得，，则，然后利用整体代入的方法计算求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：3． 10. 如图，元旦晚会上，小刚用一张半径为的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为，那么这张扇形纸板的圆心角应为___________度 【答案】144 【解析】 【分析】本题主要考查了圆锥侧面展开图的扇形的圆心角度数，圆锥的底面圆的周长等于其展开图的扇形的弧长，据此结合弧长公式建立方程求解即可． 【详解】解：设这张扇形纸板的圆心角应为n度， 由题意得，， 解得， ∴这张扇形纸板的圆心角应为144度， 故答案为：144． 11. 如图，在半径为的中，长度为的弦绕点A逆时针旋转到另一位置，则旋转度数为___________度． 【答案】60 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，特殊角锐角函数值．过点O作于C，于D，连接，根据垂径定理可得，再根据特殊角锐角函数值可得，即可求解． 【详解】解：过点O作于C，于D，连接，如图， 根据题意得：，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即旋转度数为60度． 故答案：60 12. 如图，是抛物线上的一点，以点为圆心、1个单位长度为半径作，当与轴相切时，点的坐标为___________ 【答案】或 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，切线的性质，根据题意得到点的纵坐标为1或，然后代入求解即可． 【详解】解：∵的半径为1，当与轴相切时， ∴点P到x轴距离为1 ∴点的纵坐标为1或， 当时， 解得； 当时， 解得； ∴点的坐标为或． 故答案为：或． 三、解答题（每题6分，共30分） 13. 计算 （1） （2）把抛物线的图象向左平移3个单位，再向上平移2个单位，所得图象的解析式为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，二次函数图象的平移的规律： （1）利用因式分解法计算即可求解； （2）先把原抛物线解析式化为顶点式，再根据平移的性质可得平移后的函数解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：， ， ∴或， 解得：； 【小问2详解】 解：∵， ∴把抛物线的图象向左平移3个单位，再向上平移2个单位，所得图象的解析式为， ∴， ∴． 14. 已知关于的方程 （1）若原方程有实数根，求的取值范围？ （2）选取一个你喜欢的非零整数值作为的值，使原方程有实数根，并解方程． 【答案】（1） （2）取，方程的根为，（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法，熟练掌握根的判别式的内容是解题的关键． （1）根据题意得到，进而求解即可； （2）根据题意取，然后利用配方法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：∵原方程有实数根， ∴ 解得； 【小问2详解】 解：∵，且k为非零整数 ∴取，原方程为 ∴ 解得，． 15. 某公司在羊年春节晚会上举行一个游戏，规则如下：有4张背面相同的卡片，正面分别是喜羊羊、美羊羊、慢羊羊、懒羊羊的头像，分别对应1000元、600元、400元、200元的奖金，现将4张纸牌洗匀后背面朝上摆放到桌上，让员工抽取，每人有两次抽奖机会，两次抽取的奖金之和为公司的年终奖金．现有两种抽取的方案：小芳抽取方案是：直接从四张牌中抽取两张．小明抽取的方案是：先从四张牌中抽取一张后放回去，再从四张中再抽取一张．你认为是小明抽到的奖金不少于1000元的概率大还是小芳抽取到的奖金不少于1000元的概率大？请用树形图或列表法进行分析说明． 【答案】小芳抽到的奖金不少于1000元的概率大，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率． 先利用列表法得到两种方案的所有等可能的结果数，利用概率公式求出小芳抽到的奖金不少于1000元的概率和小明抽取到的奖金不少于1000元的概率，然后比较概率的大小即可． 【详解】解：小芳的抽到奖金不少于1000元的概率大，理由如下： 小芳抽取方案： 列出表格如下： 共有12种等可能的结果数，其中抽取到的奖金不少于1000元的结果有8种， ∴抽取到的奖金不少于1000元的概率； 小明抽取的方案： 列出表格如下： 共有16种等可能的结果数，其中抽取到的奖金不少于1000元的结果有10种， ∴抽取到的奖金不少于1000元的概率 因 ， 所以小芳抽到的奖金不少于1000元的概率大． 16. 如图，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点，点为轴正半轴上一点，过点作轴，交反比例函数的图象于点，交正比例函数的图象于点，点为的中点，连接． （1）若的横坐标为2，求的值； （2）若点在反比例函数的图象上运动，试判断的面积是否发生变化，并说明理由． 【答案】（1） （2）的面积不变为，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数，熟练利用题中的关系表示出各点坐标是解题的关键． （1）先求得点坐标，再用待定系数法即可解答； （2）设点，再表示出两点坐标，利用三角形面积公式即可解答． 【小问1详解】 解：把代入，可得， ， 把代入，可得， 解得； 【小问2详解】 解：设点， 点为的中点， ， 轴，交反比例函数的图象于点， 17. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，P是⊙O上一点，请你只用无刻度的直尺，分别画出图①和图②中∠P的平分线． 【答案】见解析. 【解析】 【分析】如图①中连接PA，根据等弧所对得圆周角相等，易知∠APB=∠APC，所以PA就是∠BPC的平分线；如图②中，连接AO延长交⊙O于E，连接PE，由垂径定理和圆周角定理易知∠EPB＝∠EPC． 【详解】如图①中，连接PA，PA就是∠BPC的平分线． 理由：∵AB＝AC， ∴＝， ∴∠APB＝∠APC． 如图②中，连接AO延长交⊙O于E，连接PE，PE就是∠BPC的平分线． 理由：∵AB＝AC， ∴＝， ∴＝， ∴∠EPB＝∠EPC． 【点睛】本题主要考查圆周角定理和垂径定理，根据等弧所对的圆周角相等得到角平分线是关键. 四、解答题（每题8分，共24分） 18. 杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处（米）弹跳到人梯顶端B处，借助其弹性可以将演员弹跳到离地面最高处点． （1）若将其身体（看成一个点）的路线为抛物线的一部分，求抛物线的解析式． （2）在一次表演中，已知人梯高米，演员弹跳到最高点处后落到人梯上，为了这次表演成功，一人梯离起跳点A的水平距离是多少米？请说明理由． 【答案】（1） （2）4米，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，求二次函数的解析式． （1）先利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）把代入（1）中解析式即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴设抛物线的解析式为：， ∵， ∴把代入中得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：： 【小问2详解】 解：点A的水平距离是4米，理由如下： 把代入得： ， 解得：（舍去）， ∵点B在对称轴的右侧， ∴人梯到起跳点A的水平最远距离是4米时，这次表演是成功的． 19. 如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D． （1）求证：CD为⊙O的切线； （2）若CD＝2AD，⊙O的直径为20，求线段AC、AB的长． 【答案】（1）见解析；（2）AC＝，AB＝12． 【解析】 【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形和角平分线的性质，可得，即可求解； （2）作OF⊥AB于F，可得四边形CDFO是矩形，求解对应线段，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）连接OC． ∵点C在⊙O上，OA＝OC， ∴∠OCA＝∠OAC， ∵CD⊥PA， ∴∠CDA＝90°， ∴∠CAD+∠DCA＝90°， ∵AC平分∠PAE， ∴∠DAC＝∠CAO， ∴∠DCO＝∠DCA+∠ACO＝∠DCA+∠DAC＝90°， ∴CD是⊙O切线． （2）作OF⊥AB于F， ∴∠OCD＝∠CDF＝∠OFD＝90°， ∴四边形CDFO是矩形， ∴OC＝FD，OF＝CD， ∵CD＝2AD，设AD＝x，则OF＝CD＝2x， ∵DF＝OC＝10， ∴AF＝10﹣x， 在Rt△AOF中，AF2+OF2＝OA2， ∴， 解得x＝4或0（舍弃）， ∴AD＝4，AF＝6，， ∵OF⊥AB， ∴AB＝2AF＝12． 【点睛】此题考查了圆的有关性质，垂径定理、切线的判定与性质、矩形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关基本性质． 20. 在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）． （1）建立直角坐标系，使点B的坐标为，点C的坐标为，则点A的坐标为___________； （2）画出绕原点O顺时针旋转后的，写出的坐标，并求线段扫过的面积． 【答案】（1）见解析； （2）见解析；； 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转变换，扇形面积公式，正确作出旋转后的图形是解题的关键． （1）根据点B、C的坐标作出直角坐标系，然后写出点A的坐标； （2）分别作出点A、B、C绕点O顺时针旋转后的点，然后顺次连接，写出点的坐标，再根据线段扫过的面积，即可求解． 【小问1详解】 解：建立直角坐标系，如图： 点A的坐标为； 故答案为： 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 点， 根据题意得：，， ∴， ∴， ∴线段扫过的面积 ． 五、解答题（每题9分，共18分） 21. 每年淘宝网都会举办“双十一”购物活动，许多商家都会利用这个契机进行打折让利的促销活动．甲网店销售一件A商品成本为50元，网上标价80元． （1）“双十一”购物活动当天，甲网店连续两次降价销售A商品吸引买主，问平均每次降价率为多少，才能使这件A商品的利润率为10%？（参考数据： ≈0.83，≈0.64，≈1.05） （2）据媒体爆料，有一些淘宝商家在“双十一”购物活动当天，先提高商品的网上标价后再推出促销活动，存在欺诈行为．“双十一”活动之前，乙网店销售A商品的成本、网上标价与甲网店一致，一周可售出60件A商品．在“双十一”购物活动这天，乙网店先将网上标价提高a%，再推出五折销售的促销活动，吸引了大量网购者，乙网店在“双十一”购物活动当天卖出的A商品数量也比原来一周卖出的A商品数量增加了a%，这样“双十一”活动当天乙网店的利润达到了3600元，求乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为多少？ 【答案】（1）平均每次降价率为17%;（2）乙网店在双十一购物活动这天的网上标价为160元． 【解析】 【详解】分析：（1）设平均降价率为x，根据“这件A商品的利润率为10%”列出方程求解即可；（2）首先列出方程求得增长率，然后求得标价即可． 本题解析：（1）设平均降价率x， 根据题意得：80（1﹣x）2=50（1+10%）， 解得：x=17%， 答：平均每次降价率为17%； （2）依题意得：[80（1+a%）×50%﹣50]×60（1+a%）=3600， 解得：a=100， 标价80（1+100%）=160元， 答：乙网店在双十一购物活动这天的网上标价为160元． 22. 如图，为了美化校园，学校准备做一个周长的扇形花坛，且扇形花坛的圆心角小于，设扇形花坛的半径为米，面积为平方米．（注：的近似值取3） （1）求出与的函数关系式． （2）当半径为何值时，扇形花坛的面积最大，并求面积的最大值． （3）在（2）的条件下，将花坛分成3个面积相等的扇形分别种上不同品种的花，求每个扇形的圆心角的度数． 【答案】（1） （2）时，面积最大为 （3） 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积，二次函数的应用． （1）根据扇形的面积公式即扇形面积等于二分之一乘以扇形的弧长l乘以半径r即可求解； （2）利用二次函数的性质求解即可； （3）先求得圆心角的度数，即可求解． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：， ∵， ∴当时，面积最大为； 【小问3详解】 解：由（2）知半径米，此时圆心角弧度； 因为的近似值取3，所以弧度对应，即1弧度，故； 将花坛分成三个面积相等的扇形，每个扇形的圆心角为； 答：每个扇形的圆心角为． 六、（本大题12分） 23. 课题学习：我们知道二次函数的图像是抛物线，它也可以这样定义：如果一个动点到定点的距离与它到定直线的距离相等，那么动点形成的图形就是抛物线的图像，如图所示． （1）探究与的关系． （2）应用：已知动点到定点的距离与到定直线的距离相等，请写出动点形成的抛物线的解析式． 拓展：抛物线的图像看作到定点（_______，________）的距离与到定直线___________的距离相等的动点所形成的图形． （3）若点的坐标是，则在（2）应用中求得的抛物线上是否存在点，使得最短？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）；拓展：，，； （3）存在， 【解析】 【分析】（1）过点作直线交于点得，由新定义得，由勾股定理得，即可求解； （2）应用：由（1）得，即可求解； 拓展：由图像平移得 抛物线由抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位得到，由新定义得抛物线可以看作动点到定点的距离与到定直线的距离相等，动点形成的抛物线的解析式，定点与直线分别先向右平移个单位，再向上平移个单位得定点与直线，即可求解； （3）过点作直线的垂线垂足为，与抛物线的交点为，由新定义得，的最小值为的长，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点作直线交于点， ， 由题意得， ， 整理得， ， ， ； 【小问2详解】 解：应用：由（1）得， ， ； 拓展：由抛物线得 ，顶点为， 抛物线由抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位得到， 由（1）得， 解得， 抛物线可以看作动点到定点的距离与到定直线的距离相等，动点形成的抛物线的解析式， 定点与直线分别先向右平移个单位，再向上平移个单位得定点与直线， 抛物线可以看作动点到定点的距离与到定直线的距离相等，动点形成的抛物线的解析式， 故答案为：，，； 【小问3详解】 解：存在； 如图，过点作直线的垂线垂足为，与抛物线的交点为， ， ， 的最小值为的长， ， ． 【点睛】本题考查了新定义，待定系数法，垂线段最短，二次函数图像的平移等；理解新定义是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期期末考试 九年级数学试题 说明： 1．本卷共23题，全卷满分120分，考试时长120分钟． 2．本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上． 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 抛物线顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 下列标志中，是中心对称图形的有 ( )个. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 下列说法正确的是( ) A. “任意画一个三角形，其内角和是360°”是随机事件. B. “明天降水概率为80%”，意味着明天降雨的可能性较大. C. “某彩票中奖概率是1%”，表示买100张这种彩票一定会中奖. D. 晓芳抛一枚硬币10次，有7次正面朝上，当她抛第11次时，正面向上的概率为. 4. 二次函数与反比例函数的图象在如图所示的同一坐标系中，若时，则的取值范围（ ） A. 或 B. C. D. 或 5. 在平面直角坐标系中，以点为圆心，4为半径的圆与轴所在直线的位置关系是（ ）． A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法确定 6. 已知反比例函数的图像如图所示，则在同一直角坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 二、填空（每题3分，共18分） 7. 已知点与点关于原点对称，则的值为________． 8. 将油箱注满升油后，轿车行驶的总路程（单位：千米）与平均耗油量（单位：升/千米）之间是反比例函数关系是常数，．已知某轿车油箱注满油后，以平均耗油量为每千米耗油升的速度行驶，可行驶千米，当平均耗油量为升/千米时，该轿车可以行驶__千米． 9. 若一元二次方程的两根为、，则的值为_______． 10. 如图，元旦晚会上，小刚用一张半径为的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为，那么这张扇形纸板的圆心角应为___________度 11. 如图，在半径为的中，长度为的弦绕点A逆时针旋转到另一位置，则旋转度数为___________度． 12. 如图，是抛物线上的一点，以点为圆心、1个单位长度为半径作，当与轴相切时，点的坐标为___________ 三、解答题（每题6分，共30分） 13. 计算 （1） （2）把抛物线的图象向左平移3个单位，再向上平移2个单位，所得图象的解析式为，求的值． 14. 已知关于方程 （1）若原方程有实数根，求的取值范围？ （2）选取一个你喜欢的非零整数值作为的值，使原方程有实数根，并解方程． 15. 某公司在羊年春节晚会上举行一个游戏，规则如下：有4张背面相同的卡片，正面分别是喜羊羊、美羊羊、慢羊羊、懒羊羊的头像，分别对应1000元、600元、400元、200元的奖金，现将4张纸牌洗匀后背面朝上摆放到桌上，让员工抽取，每人有两次抽奖机会，两次抽取的奖金之和为公司的年终奖金．现有两种抽取的方案：小芳抽取方案是：直接从四张牌中抽取两张．小明抽取的方案是：先从四张牌中抽取一张后放回去，再从四张中再抽取一张．你认为是小明抽到的奖金不少于1000元的概率大还是小芳抽取到的奖金不少于1000元的概率大？请用树形图或列表法进行分析说明． 16. 如图，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点，点为轴正半轴上一点，过点作轴，交反比例函数的图象于点，交正比例函数的图象于点，点为的中点，连接． （1）若的横坐标为2，求的值； （2）若点在反比例函数图象上运动，试判断的面积是否发生变化，并说明理由． 17. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，P是⊙O上一点，请你只用无刻度的直尺，分别画出图①和图②中∠P的平分线． 四、解答题（每题8分，共24分） 18 杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处（米）弹跳到人梯顶端B处，借助其弹性可以将演员弹跳到离地面最高处点． （1）若将其身体（看成一个点）的路线为抛物线的一部分，求抛物线的解析式． （2）在一次表演中，已知人梯高米，演员弹跳到最高点处后落到人梯上，为了这次表演成功，一人梯离起跳点A的水平距离是多少米？请说明理由． 19. 如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D． （1）求证：CD为⊙O的切线； （2）若CD＝2AD，⊙O的直径为20，求线段AC、AB的长． 20. 在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）． （1）建立直角坐标系，使点B的坐标为，点C的坐标为，则点A的坐标为___________； （2）画出绕原点O顺时针旋转后的，写出的坐标，并求线段扫过的面积． 五、解答题（每题9分，共18分） 21. 每年淘宝网都会举办“双十一”购物活动，许多商家都会利用这个契机进行打折让利的促销活动．甲网店销售一件A商品成本为50元，网上标价80元． （1）“双十一”购物活动当天，甲网店连续两次降价销售A商品吸引买主，问平均每次降价率为多少，才能使这件A商品的利润率为10%？（参考数据： ≈0.83，≈0.64，≈1.05） （2）据媒体爆料，有一些淘宝商家在“双十一”购物活动当天，先提高商品的网上标价后再推出促销活动，存在欺诈行为．“双十一”活动之前，乙网店销售A商品的成本、网上标价与甲网店一致，一周可售出60件A商品．在“双十一”购物活动这天，乙网店先将网上标价提高a%，再推出五折销售的促销活动，吸引了大量网购者，乙网店在“双十一”购物活动当天卖出的A商品数量也比原来一周卖出的A商品数量增加了a%，这样“双十一”活动当天乙网店的利润达到了3600元，求乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为多少？ 22. 如图，为了美化校园，学校准备做一个周长的扇形花坛，且扇形花坛的圆心角小于，设扇形花坛的半径为米，面积为平方米．（注：的近似值取3） （1）求出与的函数关系式． （2）当半径为何值时，扇形花坛的面积最大，并求面积的最大值． （3）在（2）的条件下，将花坛分成3个面积相等的扇形分别种上不同品种的花，求每个扇形的圆心角的度数． 六、（本大题12分） 23. 课题学习：我们知道二次函数的图像是抛物线，它也可以这样定义：如果一个动点到定点的距离与它到定直线的距离相等，那么动点形成的图形就是抛物线的图像，如图所示． （1）探究与的关系． （2）应用：已知动点到定点的距离与到定直线的距离相等，请写出动点形成的抛物线的解析式． 拓展：抛物线的图像看作到定点（_______，________）的距离与到定直线___________的距离相等的动点所形成的图形． （3）若点的坐标是，则在（2）应用中求得的抛物线上是否存在点，使得最短？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $