精品解析：福建泉州市泉港区2025年秋季八年级期末教学质量监测数学试卷

2025年秋季八年级期末教学质量监测试卷 数学试题 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 有理数的平方根是（ ） A. B. C. D. 2. 无理数的产生是数学史上的一个重要里程碑．下列四个数中属无理数的是（ ） A. 3.14 B. C. D. 3. 代数式可以表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列各多项式中，能直接用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 5. 以下列各组数为边长的三角形中,能组成直角三角形的是（ ） A. 2,4,6 B. 4,6,8 C. 6,8,10 D. 8,10,12 6. 为了表示小明同学从小学到初中身高变化情况，则最适合使用的统计图为（ ） A. 条形统计图 B. 扇形统计图 C. 折线统计图 D. 以上都不是 7. 如图，点B，F，C，E共线，∠A＝∠D，AB＝DE，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（　　） A. BF＝EC B. ∠B＝∠E C. AC＝DF D. ACFD 8. 下列命题是假命题的是（ ） A. 偶数一定能被2整除 B. 若，则 C. 三条边对应相等的两个三角形是全等三角形 D. 两直线平行，内错角相等 9. 如图，是的平分线，点是上的一点，点为直线上的一个动点．若的面积为9，，则线段的长不可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 已知实数满足为自然数，则的最小值是（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 16 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 比较大小：______3（填，，） 12. 因式分解：____． 13. 如图，在正方形网格中，点A、B、P是网格线的交点，则________. 14. 若，则的值为_____． 15. 如图，边长为8的等边三角形中，E是对称轴上的一个动点，连接，将线段绕点C逆时针旋转得到，连接，则在点E运动过程中，的最小值是______． 16. 如图，中，，于D，平分，于E，与相交于点F，H是边的中点，连接与相交于点G，下列结论：①；②；③是等腰三角形；④．正确的有___________．（填写序号） 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 已知：如图，点B，E，C，F在同一直线上，，，． 求证：． 20. 某学校为了增强学生体质，丰富大课间活动，组织了以“跳出健康，跃出精彩”为主题的跳绳比赛．学生跳绳成绩得分用x表示，共分成五组：A．，B．，C．，D．，E．．为了解本次大赛的成绩，学校随机抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计，制成如图不完整的统计图表根据所给信息，解答下列问题： 成绩x（分） 频数（人） A： 10 B： 30 C： 40 D： m E： 50 （1）表中________，并补全频数分布直方图； （2）在扇形统计图中，求D组所对应的圆心角的度数； （3）若成绩不低于80分为优秀，该校共有2000名学生，有的学生参与了本次跳绳比赛，请你估计该校参加本次跳绳比赛的学生成绩为优秀的人数是多少？ 21. 如图，在中，． （1）尺规作图：在上作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） （2）若，求的长． 22. 如图，现有A，B，C三种不同型号的卡片若干张，其中A型卡片是边长为的正方形，B型卡片是长为、宽为的长方形，C型卡片是边长为的正方形，其中．请你尝试根据以下两种情况，用不同数量的三类卡片，不重叠无缝隙地拼成一个大正方形． （1）用1张A型正方形卡片，4张B型长方形卡片和张C型正方形卡片，可以拼成一个大正方形，求的值及此时这个大正方形的边长； （2）A，B，C三种不同型号的卡片各有50张，从其中取若干张卡片（每种卡片至少取1张），取出的这些卡片正好能拼成一个大正方形，当所拼成的大正方形面积最大时，此时需要三类卡片共多少张？ 23. 如图，在中，，，，点、分别在边、上，． （1）若点是的中点，求的长． （2）如果在与中，一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，求的长． 24. 定义：若多项式满足（其中是常数，且），则称多项式为“和谐多项式群”，常数叫做多项式的“和谐值”．例如多项式满足，那么多项式叫做“和谐多项式群”，常数1叫做多项式，的“和谐值”． （1）试判定多项式是否是“和谐多项式群”？若是，求出“和谐值”；若不是，请说明理由； （2）若多项式为“和谐多项式群”（其中是常数，且），“和谐值”为． ①试说明满足的数量关系； ②设，请用含、的代数式表示； （3）若，，为“和谐多项式群”，，满足（，为常数），“和谐值”为，求出所有符合条件的的值． 25. 【了解概念】如图1，在和中，，，，连接，连接并延长与交于点，那么将叫做和的底联角． （1）【探究归纳】两个等腰三角形的底联角与这两个等腰三角形的顶角有怎样的数量关系？并说明理由． （2）【拓展提升】运用（1）中的结论解决问题：如图2，，，，，求的度数； （3）如图3，在四边形中，，，点为四边形内一点，且，，，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季八年级期末教学质量监测试卷 数学试题 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 有理数的平方根是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平方根的定义，根据平方根的概念直接求解即可. 【详解】解：， 有理数的平方根是， 故选：C. 2. 无理数的产生是数学史上的一个重要里程碑．下列四个数中属无理数的是（ ） A. 3.14 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查无理数的定义，算术平方根，需依据无理数（无限不循环小数）与有理数（整数、分数，含有限小数、无限循环小数）的概念，对各选项逐一判断． 【详解】A．3.14是有限小数，属于有理数； B．是分数，属于有理数； C．，2是整数，属于有理数； D．是无限不循环小数，属于无理数． 故选：D． 3. 代数式可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查幂的运算，根据同底数幂的乘法和除法，幂的乘方法则，分别计算各个选项后，判断即可解答． 【详解】解：A、与不属于同类项，不能合并，故A选项不符合题意； B、，故B选项符合题意； C、，故C选项不符合题意； D、，故D选项不符合题意． 故选：B． 4. 下列各多项式中，能直接用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了用平方差公式分解因式，根据平方差公式的结构特征，即两个平方项的差（符号一正一负），逐项判断即可． 【详解】解：A．是两个平方项的和，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式分解因式； B．，符合平方差公式结构，能直接用平方差公式分解因式； C．是两个平方项和的相反数，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式分解因式； D．是三项式，是完全平方公式的形式，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式分解因式． 故选：B． 5. 以下列各组数为边长的三角形中,能组成直角三角形的是（ ） A. 2,4,6 B. 4,6,8 C. 6,8,10 D. 8,10,12 【答案】C 【解析】 【分析】验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、22+42≠62，故不是直角三角形，故不正确； B、62+42≠82，故不是直角三角形，故不正确； C、62+82=102，故是直角三角形，故正确； D、82+102≠122，故不是直角三角形，故不正确． 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 6. 为了表示小明同学从小学到初中身高变化情况，则最适合使用的统计图为（ ） A. 条形统计图 B. 扇形统计图 C. 折线统计图 D. 以上都不是 【答案】C 【解析】 【分析】根据扇形统计图、折线统计图、条形统计图各自的特点来判断即可． 【详解】解：根据统计图的特点，知要反映小明同学从小学到初中身高变化情况，，最适合使用的统计图是折线统计图． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了统计图的选择．根据统计图的特点进行分析可得：扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目． 7. 如图，点B，F，C，E共线，∠A＝∠D，AB＝DE，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（　　） A. BF＝EC B. ∠B＝∠E C. AC＝DF D. ACFD 【答案】A 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断． 【详解】解：∵∠A＝∠D，AB＝DE， ∴当添加BF＝EC时，可得BC=EF不能判断△ABC≌△DEF 当添加∠B＝∠E时，根据“ASA”可判断△ABC≌△DEF； 当条件AC＝DF时，根据“SAS”可判断△ABC≌△DEF； 当添加ACDF时，则∠ACB＝∠DFE，根据“AAS”可判断△ABC≌△DEF． 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种判定方法，取决于题目中的已知条件． 8. 下列命题是假命题的是（ ） A. 偶数一定能被2整除 B. 若，则 C. 三条边对应相等的两个三角形是全等三角形 D. 两直线平行，内错角相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查真假命题的判断，偶数，全等三角形的判定和平行线的性质，根据相关定义、定理逐一分析各选项命题的真假． 【详解】解：A．偶数的定义为能被2整除的整数，故选项是真命题； B．若，则，故选项是假命题； C．三条边对应相等的两个三角形是全等三角形，故选项是真命题； D．两直线平行，内错角相等，故选项是真命题． 故选：B． 9. 如图，是的平分线，点是上的一点，点为直线上的一个动点．若的面积为9，，则线段的长不可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，垂线段最短，熟练掌握角平分线的性质与垂线段最短是解题的关键． 过点作，利用三角形的面积公式求出的长，根据垂线段最短得到时，最短，此时，进行判断即可． 【详解】解：如图，过点作， 则， ∴， ∵点为直线上的一个动点， ∴当时，最短， ∵是的平分线， ∴当时，， ∴线段的长不可能是2． 故选：A． 10. 已知实数满足为自然数，则的最小值是（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查因式分解及配方法确定代数式取值范围，联立等式消去n，结合的条件得出a与b的关系，再将n转化为关于a的二次式，结合自然数的要求确定最小值． 【详解】解：∵ ∴ 整理得 因式分解得 即 ∵ ∴，即 将代入，得 ∵ ∴，解得 ∴，故 又∵n为自然数 ∴n的最小值是13． 故选：C． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 比较大小：______3（填，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数比较大小，熟练掌握实数比较大小的方法是解题的关键． 由得到，即可比较大小． 【详解】解：∵， ∴，即． 故答案为：． 12. 因式分解：____． 【答案】 【解析】 【分析】利用提公因式法即可分解． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了用提公因式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解． 13. 如图，在正方形网格中，点A、B、P是网格线的交点，则________. 【答案】45 【解析】 【分析】取网格上的点C、D、E，连接．利用全等三角形的性质和平行线的性质求得，再利用勾股定理及其逆定理求得，即证明为等腰直角三角形，便可解答． 【详解】解：如图，点C、D、E是网格线交点，连接， 由图可得， ∴， ∴， ∴， ∴； 设小网格的边长为a，由勾股定理可得：， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴． 故答案为：45． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定和性质．结合图形构造直角三角形是解题关键． 14. 若，则的值为_____． 【答案】2035 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的应用，将原式利用平方差公式分解，并代入已知条件，逐步化简即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：2035． 15. 如图，边长为8的等边三角形中，E是对称轴上的一个动点，连接，将线段绕点C逆时针旋转得到，连接，则在点E运动过程中，的最小值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点． 连接，判定≌，即可得到，进而得出点F的运动轨迹为直线，依据当时，最短，即可得到的最小值是2． 【详解】解：如图，连接， 由旋转可得，，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴， ∵边长为8的等边三角形中，E是对称轴上的一个动点， ∴，， ∴， 即点F的运动轨迹为直线， ∴当时，最短， 此时， ∴的最小值是2． 故答案为：2． 16. 如图，中，，于D，平分，于E，与相交于点F，H是边的中点，连接与相交于点G，下列结论：①；②；③是等腰三角形；④．正确的有___________．（填写序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据角平分线的定义求出，求出，根据全等三角形的判定推出，，根据全等三角形的性质得出，，再逐个判断即可． 【详解】解：平分， ， ，， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ，，， ， ， ，即，故①正确； ，， ，故②正确； ，H为的中点， ， ， ，， ， ， 是等腰三角形，故③正确； ， ， 又和的面积不一定相等， ，故④错误； 即正确的是①②③， 故选：①②③． 【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识点，综合运用知识点进行推理是解此题的关键． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算，首先计算算术平方根和立方根，然后计算即可． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值、平方差公式、单项式乘以多项式，利用平方差公式和单项式乘以多项式的法则把多项式各项展开，再合并同类项，可得：原式，再把字母的值代入化简后的代数式计算求值． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 19. 已知：如图，点B，E，C，F在同一直线上，，，． 求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∴． 在和中， ∴． 20. 某学校为了增强学生体质，丰富大课间活动，组织了以“跳出健康，跃出精彩”为主题的跳绳比赛．学生跳绳成绩得分用x表示，共分成五组：A．，B．，C．，D．，E．．为了解本次大赛的成绩，学校随机抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计，制成如图不完整的统计图表根据所给信息，解答下列问题： 成绩x（分） 频数（人） A： 10 B： 30 C： 40 D： m E： 50 （1）表中________，并补全频数分布直方图； （2）在扇形统计图中，求D组所对应的圆心角的度数； （3）若成绩不低于80分为优秀，该校共有2000名学生，有的学生参与了本次跳绳比赛，请你估计该校参加本次跳绳比赛的学生成绩为优秀的人数是多少？ 【答案】（1）， 补全频数分布直方图如图， （2） （3）人 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表与频数分布直方图，扇形统计图，样本估计总体； （1）根据组的人数除以占比得出总人数，进而求得的值，并补全频数分布直方图； （2）用乘以组的占比，即可求解； （3）用乘以再乘以组的占比，即可求解． 【小问1详解】 解：， ， 故答案为：． 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 （人） 答：估计该校参加本次跳绳比赛的学生成绩为优秀的人数是人 21. 如图，在中，． （1）尺规作图：在上作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查基本作图，垂直平分线的性质，勾股定理，正确掌握垂直平分线的尺规作图和性质是解题的关键． （1）作的垂直平分线，可得，即，根据可得； （2）根据题意，得，设，再根据勾股定理，列方程，求解即可． 【小问1详解】 解：如图，点即为所作图形； 【小问2详解】 ， ， 连接， ，， ， ， 设，则， 在中，， ，解得， 故． 22. 如图，现有A，B，C三种不同型号的卡片若干张，其中A型卡片是边长为的正方形，B型卡片是长为、宽为的长方形，C型卡片是边长为的正方形，其中．请你尝试根据以下两种情况，用不同数量的三类卡片，不重叠无缝隙地拼成一个大正方形． （1）用1张A型正方形卡片，4张B型长方形卡片和张C型正方形卡片，可以拼成一个大正方形，求的值及此时这个大正方形的边长； （2）A，B，C三种不同型号的卡片各有50张，从其中取若干张卡片（每种卡片至少取1张），取出的这些卡片正好能拼成一个大正方形，当所拼成的大正方形面积最大时，此时需要三类卡片共多少张？ 【答案】（1）， （2）100张 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何意义及应用，解题的关键是将卡片面积之和转化为完全平方式，从而确定大正方形的边长及所需卡片数量； （1）通过将卡片面积和表示为完全平方式，求出的值及大正方形边长； （2）通过设大正方形边长为（p，q为正整数），结合卡片数量限制，找到使面积最大的p，q组合，进而求出卡片总数． 【小问1详解】 解：1张A型卡片面积为，4张B型卡片面积为，张C型卡片面积为，则大正方形面积为， ∵大正方形面积为完全平方式，且， ∴，此时大正方形边长为， 答：的值为，大正方形的边长为． 【小问2详解】 解：设大正方形边长为（p，q为正整数），则其面积为，对应A型卡片张，B型卡片张，C型卡片张， 由题意，，，，且， 要使面积最大，需最大，结合，优先增大， 时，，由得，取， 此时，，满足条件， 此时卡片总数为， 答：当所拼成的大正方形面积最大时，需要三类卡片共100张． 23. 如图，在中，，，，点、分别在边、上，． （1）若点是的中点，求的长． （2）如果在与中，一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，求的长． 【答案】（1） （2）的值为2或 【解析】 【分析】（1）延长至，使，连接，易证，再证，根据勾股定理，可求，即可求解． （2）根据题意，可得只有和可能为，则分两种情况：当是直角三角形，且，为等腰三角形，且时，根据线段之间的关系，即可求出；为直角三角形，且，为等腰三角形，且时，设，根据勾股定理，列方程，求解即可． 【小问1详解】 解：如图，延长至，使，连接， 点是的中点，， 在和中， ， （）， ，， ，即， 在中，，，则， ； 【小问2详解】 ， ， 若，则， 此时，与题意不符； 在中，，， 只有可能为， ①当是直角三角形，且；为等腰三角形，且时： 此时， ，， ， ，即， ，即为直角三角形，符合题意， 故； ② 为直角三角形，且；为等腰三角形，且时： 设，则，， 在Rt中，， 即，解得， 故； 综上所述，的值为2或． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，掌握相关知识和分类讨论的思想是解题的关键． 24. 定义：若多项式满足（其中是常数，且），则称多项式为“和谐多项式群”，常数叫做多项式的“和谐值”．例如多项式满足，那么多项式叫做“和谐多项式群”，常数1叫做多项式，的“和谐值”． （1）试判定多项式是否是“和谐多项式群”？若是，求出“和谐值”；若不是，请说明理由； （2）若多项式为“和谐多项式群”（其中是常数，且），“和谐值”为． ①试说明满足的数量关系； ②设，请用含、的代数式表示； （3）若，，为“和谐多项式群”，，满足（，为常数），“和谐值”为，求出所有符合条件的的值． 【答案】（1）多项式，，是“和谐多项式群”，“和谐值” （2）①；② （3）当时，或者当时， 【解析】 【分析】（1）通过计算判断即可； （2）①首先化简，然后根据题意得到，求出； ②将和代入求解即可； （3）根据题意分3种情况讨论，分别根据“和谐多项式群”的定义和“和谐值”为求解即可． 【小问1详解】 解：多项式，，是“和谐多项式群”． 理由： 多项式是“和谐多项式群”，“和谐值”． 【小问2详解】 解：① 多项式为“和谐多项式群” ，即； ②多项式为“和谐多项式群” “和谐值” 又 ； 【小问3详解】 解：当时，， 此时 又 ， 或 或 又 当时，， 此时 又 此时，不符合题意． 当时，， 此时 又 此时，符合题意． 综上所述，当时，或者当时，． 【点睛】本题主要考查了新定义、整式的乘法，解题关键是理解定义，正确计算． 25. 【了解概念】如图1，在和中，，，，连接，连接并延长与交于点，那么将叫做和的底联角． （1）【探究归纳】两个等腰三角形的底联角与这两个等腰三角形的顶角有怎样的数量关系？并说明理由． （2）【拓展提升】运用（1）中的结论解决问题：如图2，，，，，求的度数； （3）如图3，在四边形中，，，点为四边形内一点，且，，，直接写出的长． 【答案】（1）两个等腰三角形的底联角等于这两个等腰三角形的顶角，理由见解析 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）先利用“”证，得，再根据，，即可说明； （2）根据题意分两种情况，当点在的内部时，延长交于点，由（1）中的结论可得，，再根据三角形外角的性质可直接求出；当点在的外部时，交于点，交于点，利用“”可证，则，从而可求，最后计算即可求解； （3）连接、交于点，易得，根据勾股定理可得，，代入计算即可求解． 【小问1详解】 解：两个等腰三角形的底联角等于这两个等腰三角形的顶角． 理由：如图1，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：当点在的内部时，如图2甲，延长交于点， ，，， ， ， ； 当点在的外部时，如图2乙，交于点，交于点， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 综上所述，或； 【小问3详解】 如图3，连接、交于点， ，，， ， ，， ，， ， ，，， ， ， 的长为． 【点睛】本题考查新定义“底联角”的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形外角的性质等知识点，掌握相关知识和“底联角”的定义是解题的关键． 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