精品解析：河南驻马店市遂平县2025-2026学年八年级上学期期末数学试题

2025－2026学年第一学期期末八年级质量监测 数学 （本试卷共八页，三个大题，23个小题，满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填涂在答题卡相应位置． 1. 的立方根是（ ） A. B. C. D. 2. 可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下面四个整式中，表示图中阴影部分面积的是（ ） A. B. C. D. 4. 定义新运算：对于任意实数a，b，都有，比如，数字2和5在该新运算下的结果为4，计算过程如下：，则的值为（　　） A. 3 B. C. D. 3 5. 某班为了解学生“上海一日游”出行的交通方式情况，对学生进行问卷调查，学生只选择一种交通方式作为出行方式，把调查结果分为“私家车”、“出租车”、“公交车”、“轨道交通”四类，绘制成如图所示的不完整的条形统计图．如果选择“公交车”出行的学生数是全部学生数的，那么选择“私家车”出行的学生人数是该班学生人数的（ ） A. B. C. D. 6. 如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 24 B. 18 C. 12 D. 6 7. 已知，，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 8. 海上巡逻是维护国家海洋权益的有效手段．如图，我军巡逻舰队在点A处巡逻，突然发现在南偏东方向距离15海里的点B处有可疑目标正在以16海里小时的速度沿南偏西方向行驶，我军巡逻舰队立即沿直线追赶，半小时后在点C处将其追上，则我军巡逻舰队的航行速度为（ ） A. 16海里小时 B. 20海里小时 C. 32海里小时 D. 34海里小时 9. 如图，图是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等．朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．探究学习中，标上字母绘成图所示，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图中的阴影部分面积为（ ） A. 20 B. 21 C. 22 D. 24 10. 如图，的两条高与交于点，，．点在射线上，且，动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，则的值为（ ） A. 秒 B. 秒 C. 秒或秒 D. 秒或秒 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 比较大小：_____2．（填＞、＝或＜） 12. 《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地四尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有4尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽，问绳索长是多少？根据题意求出绳索长为_____尺． 13. 人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如多项式，将其分解因式为．若取，，则有，，，其中12，17，13分别为因式码，将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然也可以取另外一些适当的数字，得出新的密码．已知多项式，当取，时，用上述方法生成的密码是______． 14. 如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”．当，时，阴影部分的面积为______． 15. 如图，做一个“”字形框架，其中，，足够长，于，于点，点从出发向运动，同时点从出发向运动，使运动的速度之比，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点，使与全等，则线段的长为______． 三、解答下列各题（本大题共8个小题，满分共75分） 16. （1）计算：； （2）运用乘法公式计算：． 17. 如图，已知在△ABC中，AM是△ABC的中线，MP平分∠AMB，MQ平分∠AMC，且BP⊥MP于点P，CQ⊥MQ于点Q． （1）求证：MP⊥MQ； （2）求证：△BMP≌△MCQ． 18. 中国清代学者华衡芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数学》，卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，说明了所谓“代数”，就是用符号代表数的一种方法．请你解答下面用符号代表数问题．已知的平方根是，是27的立方根，是的整数部分． （1）求的值； （2）若是的小数部分，求的算术平方根． 19. 阅读与思考 配方法：把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（两数和的平方公式或两数差的平方公式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解： 原式 ②求的最小值． 解： 先求出的最小值 ； 由于是非负数，所以，可得到． 即的最小值为2．进而的最小值为4． 请根据上述材料解决下列问题： （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式： ； （2）用配方法因式分解：（写过程）； （3）当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 20. 2025世界智能大会在上海举行，本届大会的主题是“智能时代，同球共济”．大会的举办掀起了人工智能热，学校计划组织七年级学生参观本地举办的智能科技展，其中5个展区的主题分别是：A．人工智能、B．工业互联网、C．智能交通、D．智慧生活、E．数字健康．为了解同学们的参展意向，学校随机抽取了七年级的部分学生进行了问卷调查，问卷全部收回，并将调查结果绘制成如下所示的统计图（均不完整） 请根据上面的信息，解答下列问题： （1）本次调查所抽取的学生人数有__________人． （2）请把条形统计图补充完整． （3）求扇形统计图中“C智能交通”对应的扇形圆心角的度数． （4）根据以上调查，请估计该校七年级1200名学生参观意向为“A人工智能”的人数． 21. 物理课上，李老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．如图2，若物体升高到，滑块向左滑动到的位置，求的长度．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，且绳子的总长度不变，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） 22. 【问题背景】 勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图①），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． 【探索求证】 （1）图②为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”的示意图，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理． 【问题解决】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，问新路比原路少多少千米？ 【延伸扩展】 （3）如图④，已知，，，，设，求的值． 23. 引入概念1：如果一个三角形的两个角分别等于另一个三角形的两个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 引入概念2：从不等边三角形的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段，把这个三角形分割成两个小三角形．若分成的两个小三角形中，一个是等腰三角形，另一个与原来的三角形是“等角三角形”，则把这条线段叫做这个三角形的“巧等线”． 【理解概念】 　 （1）如图1，在中，，，垂足为，请判断与是否为“等角三角形”，并说明理由． （2）如图2，在中，为角平分线，，，请说明是的“巧等线”． 【应用概念】 （3）在中，若，为的“巧等线”，请直接写出所有可能的的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第一学期期末八年级质量监测 数学 （本试卷共八页，三个大题，23个小题，满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填涂在答题卡相应位置． 1. 的立方根是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根、立方根，由算术平方根的定义可知，由立方根的定义可知，所以的立方根是. 【详解】解：，， 的立方根是. 故选：A． 2. 可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查假命题的反例概念，解题的关键是明确反例需满足命题的题设但不满足结论． 要说明“若，则”是假命题，需找到一组数满足但，据此逐一分析选项． 【详解】解：命题“若，则”的反例需同时满足：，且． A、因为，所以，满足；同时，即，不满足结论，符合反例条件； B、因为，所以，满足；同时，即，满足结论，不是反例； C、因为，所以，不满足，不符合反例的题设条件； D、因为，所以，不满足，不符合反例的题设条件． 故选：A． 3. 下面四个整式中，表示图中阴影部分面积的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了多项式乘法与图形面积．根据题意列式表示出该阴影部分的面积，再运用多项式的乘法法则进行化简、计算． 【详解】解：图中阴影部分面积为：或， 故选：B． 4. 定义新运算：对于任意实数a，b，都有，比如，数字2和5在该新运算下的结果为4，计算过程如下：，则的值为（　　） A. 3 B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算，新定义的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．根据新定义的运算法则和实数的混合运算法则求解即可． 【详解】解：， 故选：D． 5. 某班为了解学生“上海一日游”出行的交通方式情况，对学生进行问卷调查，学生只选择一种交通方式作为出行方式，把调查结果分为“私家车”、“出租车”、“公交车”、“轨道交通”四类，绘制成如图所示的不完整的条形统计图．如果选择“公交车”出行的学生数是全部学生数的，那么选择“私家车”出行的学生人数是该班学生人数的（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图，理解题意，由统计图获得所需信息是解题关键．先求出总人数，然后计算出“私家车”的学生人数，除以总人数即可得解． 【详解】解：全部学生数为（人）， 选择“私家车”出行的学生人数是该班学生人数的． 故选：C ． 6. 如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 24 B. 18 C. 12 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、正方形的性质以及三角形面积，由勾股定理得再由正方形面积公式得，求出，即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：是以为斜边的直角三角形， ， ， ， ， ∴阴影部分的面积为， 故选：D． 7. 已知，，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法和幂的乘方的逆运算，掌握同底数幂的除法法则和幂的乘方运算法则是解题的关键．先将通过同底数幂的除法和幂的乘方的逆运算拆解成含有和的式子，再根据已知条件把，代入求解即可． 【详解】，， ． 故选C． 8. 海上巡逻是维护国家海洋权益的有效手段．如图，我军巡逻舰队在点A处巡逻，突然发现在南偏东方向距离15海里的点B处有可疑目标正在以16海里小时的速度沿南偏西方向行驶，我军巡逻舰队立即沿直线追赶，半小时后在点C处将其追上，则我军巡逻舰队的航行速度为（ ） A. 16海里小时 B. 20海里小时 C. 32海里小时 D. 34海里小时 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，平行线的性质，正确理解题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先根据平行线的性质求得，并推得，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，由题意知，，， ， ， ， 根据题意，（海里），（海里）， （海里）， 我军巡逻舰队的航行速度为（海里小时）． 故选：D． 9. 如图，图是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等．朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．探究学习中，标上字母绘成图所示，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图中的阴影部分面积为（ ） A. 20 B. 21 C. 22 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用与勾股定理的几何背景，熟练掌握完全平方公式的变形（）是解题的关键． 先根据已知条件求出的值，再结合阴影部分面积与正方形、三角形面积的关系计算阴影面积． 【详解】解：如图2，，， 阴影部分面积， 朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为， ，， 青出与青入的三角形全等， ， ， ， ， ，， ， 阴影部分面积 ， 故选： 10. 如图，的两条高与交于点，，．点在射线上，且，动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，则的值为（ ） A. 秒 B. 秒 C. 秒或秒 D. 秒或秒 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 分情况讨论点分别在延长线上或在之间时，，根据对应边相等，解一元一次方程求得值即可选出结果． 【详解】解：①当点在延长线上时：设秒时，、分别运动到如图位置，． ， ∵，， ∴当时，， ∵，， ∴， 解得． ②当点在之间时：设秒时，、分别运动到如图位置，． ∵，， ∴当时，， ∵，， ∴， 解得． 综上，或， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 比较大小：_____2．（填＞、＝或＜） 【答案】< 【解析】 【分析】本题考查实数的大小比较，核心思路是利用平方的方法比较两个正数的大小．可以将整数转化为与左边分数同分母的形式，再比较分子的大小；也可通过平方法，利用“正数的平方大则原数大”的规律判断． 【详解】解：∵，且，， ∴， ∴； 故答案为：． 12. 《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地四尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有4尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽，问绳索长是多少？根据题意求出绳索长为_____尺． 【答案】10 【解析】 【分析】设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可． 【详解】解：设绳索长为x尺，根据题意得： x2﹣（x﹣4）2＝82， 解得：x＝10 答：绳索长为10尺． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，掌握知识点是解题关键． 13. 人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如多项式，将其分解因式为．若取，，则有，，，其中12，17，13分别为因式码，将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然也可以取另外一些适当的数字，得出新的密码．已知多项式，当取，时，用上述方法生成的密码是______． 【答案】1525425 【解析】 【分析】本题考查因式分解、新定义问题，正确理解新的定义是解题的关键． 将多项式分解因式，代入数值计算因式码，然后按从小到大的顺序排列形成密码即可． 【详解】解：多项式 可分解为 ， 其中 可进一步分解为 ， 因此 ， 当 ， 时， ， ， ， 因式码为 15、25、425，按从小到大的顺序排列为 15、25、425， 因此密码为1525425， 故答案为：1525425． 14. 如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”．当，时，阴影部分的面积为______． 【答案】16 【解析】 【分析】根据勾股定理求得的长度，再根据圆的面积公式分别计算三个半圆的面积，阴影部分的面积为：两个较小半圆的面积和减去以为直径的半圆的面积，之后再加上的面积， 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 以为直径半圆的面积：； 以为直径半圆的面积：； 以为直径半圆的面积：； 的面积为：， ∴阴影部分的面积为：． 故答案为：16． 【点睛】本题主要考查学生对图形的分解计算能力，先利用勾股定理求出的值是解题的关键． 15. 如图，做一个“”字形框架，其中，，足够长，于，于点，点从出发向运动，同时点从出发向运动，使运动的速度之比，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点，使与全等，则线段的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的概念和性质，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想是解决问题的关键． 由题意得，设，，则，分两种情况讨论：①，，；②，，，分别列方程求解即可． 【详解】解：由题意得， 运动的速度之比， 设，， ， ， ①当，，， ， 解得：， ； ②当，，， ， 解得：， ； 故答案为：或． 三、解答下列各题（本大题共8个小题，满分共75分） 16. （1）计算：； （2）运用乘法公式计算：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、运用平方差公式进行简便计算． (1)根据绝对值的定义、立方根的定义、算术平方根的定义、乘方的定义，把算式中各部分分别计算出来，再根据运算法则进行计算； (2)首先把写成，再利用平方差公式进行简便计算． 【详解】(1)解： ； (2)解：． ． 17. 如图，已知在△ABC中，AM是△ABC的中线，MP平分∠AMB，MQ平分∠AMC，且BP⊥MP于点P，CQ⊥MQ于点Q． （1）求证：MP⊥MQ； （2）求证：△BMP≌△MCQ． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用角平分线的定义得到∠AMP＝∠AMB，∠AMQ＝∠AMC，则可计算出∠PMQ＝（∠AMB＋∠AMQ）＝90°，从而得到结论； （2）先证明BP∥QM得到∠PBM＝∠QMC，根据根据“AAS”可判断△BMP≌△MCQ． 【详解】（1）∵MP平分∠AMB，MQ平分∠AMC， ∴∠AMP＝∠AMB，∠AMQ＝∠AMC， ∴∠PMQ＝∠AMP＋∠AMQ＝∠AMB＋∠AMC ＝（∠AMB＋∠AMQ） ＝×180° ＝90°， ∴MP⊥MQ； （2）∵BP⊥MP，CQ⊥MQ， ∴BP∥QM，∠BPM＝90°，∠CQM＝90°， ∴∠PBM＝∠QMC， ∵AM是△ABC的中线， ∴BM＝MC， 在△BMP和△MCQ中 ， ∴△BMP≌△MCQ（AAS）． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 18. 中国清代学者华衡芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数学》，卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，说明了所谓“代数”，就是用符号代表数的一种方法．请你解答下面用符号代表数问题．已知的平方根是，是27的立方根，是的整数部分． （1）求的值； （2）若是的小数部分，求的算术平方根． 【答案】（1）10 （2）4 【解析】 【分析】本题考查了立方根、算术平方根，平方根，无理数的整数部分以及小数部分，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合的平方根是，是27的立方根，得，，因为是的整数部分，所以，代入计算，即可作答． （2）先根据是的小数部分，得出，然后得出，最后运算出的算术平方根，即可作答． 【小问1详解】 解：∵的平方根是，是27的立方根， ∴，， ∵ ∴ ∵是的整数部分， ∴ ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵是的小数部分， ∴， 则， ∴， ∴的算术平方根是． 19. 阅读与思考 配方法：把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（两数和的平方公式或两数差的平方公式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解： 原式 ②求的最小值． 解： 先求出的最小值 ； 由于是非负数，所以，可得到． 即的最小值为2．进而的最小值为4． 请根据上述材料解决下列问题： （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式： ； （2）用配方法因式分解：（写过程）； （3）当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 【答案】（1）25 （2） （3）当时，多项式有最小值，最小值为5 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用，熟悉掌握配方法是解题的关键． （1）根据配方法解答即可； （2）利用配方法因式分解即可； （3）利用配方法，先把原式化为，再利用平方的非负性解答即可． 【小问1详解】 解： 故答案为：25； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：， ∵， ∴， ∴， ∴当时，多项式有最小值，最小值为5． 20. 2025世界智能大会在上海举行，本届大会的主题是“智能时代，同球共济”．大会的举办掀起了人工智能热，学校计划组织七年级学生参观本地举办的智能科技展，其中5个展区的主题分别是：A．人工智能、B．工业互联网、C．智能交通、D．智慧生活、E．数字健康．为了解同学们的参展意向，学校随机抽取了七年级的部分学生进行了问卷调查，问卷全部收回，并将调查结果绘制成如下所示的统计图（均不完整） 请根据上面的信息，解答下列问题： （1）本次调查所抽取的学生人数有__________人． （2）请把条形统计图补充完整． （3）求扇形统计图中“C智能交通”对应的扇形圆心角的度数． （4）根据以上调查，请估计该校七年级1200名学生参观意向为“A人工智能”的人数． 【答案】（1）80 （2） 补全图形如下： （3） （4）300 【解析】 【分析】本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，补全条形统计图，抽样调查的合理性，利用样本估计总体，掌握以上统计基础知识是解本题的关键． （1）由人工智能的人数除以其占比即可得总人数， （2）先求解选择“C智能交通”的学生人数，再补全图形即可； （3）由选择智能交通的人数除以总人数，得到比例，再求圆心角即可； （4）由样本估计总体直接求解即可． 【小问1详解】 解：总人数为：（人）， 故答案为：80； 【小问2详解】 由； 【小问3详解】 所调查的学生中选择“C智能交通”的学生人数占调查总人数的 ， 故所对的圆心角度数为； 【小问4详解】 七年级总人数为1200人，根据以上调查，“A人工智能”的学生占， 所以估计全校参观意向为“A人工智能”的学生人数约为：人． 21. 物理课上，李老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．如图2，若物体升高到，滑块向左滑动到的位置，求的长度．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，且绳子的总长度不变，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） 【答案】的长度为 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理．解决本题的关键是利用勾股定理求出直角三角形的未知边的长度． 根据中，，利用勾股定理求出斜边的长度，求得绳子的总长度为，若物体升高到，则，，，再利用利用勾股定理求出的长度，即可求解． 【详解】解：根据题意得：，，， ∴， 则绳子的总长度为， 若物体升高到，则，， ∴， ∴， ∴， 即：的长度为． 22. 【问题背景】 勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图①），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． 【探索求证】 （1）图②为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”的示意图，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理． 【问题解决】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，问新路比原路少多少千米？ 【延伸扩展】 （3）如图④，已知，，，，设，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）新路比原路少；（3） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，勾股定理的应用，三角形的面积，梯形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用，即可得到，然后化简即可证明； （2）设，然后在中利用勾股定理求得，最后利用得出答案； （3）利用，，然后联立求得答案． 【详解】解：（1）如图（2）所示： ，， ， ，， ， ， ， ； （2）设， ， ， ，， ， ，即， ， 新路比原路少； （3），，，，， ，， ， ． 23. 引入概念1：如果一个三角形的两个角分别等于另一个三角形的两个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 引入概念2：从不等边三角形的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段，把这个三角形分割成两个小三角形．若分成的两个小三角形中，一个是等腰三角形，另一个与原来的三角形是“等角三角形”，则把这条线段叫做这个三角形的“巧等线”． 【理解概念】 　 （1）如图1，在中，，，垂足为，请判断与是否为“等角三角形”，并说明理由． （2）如图2，在中，为角平分线，，，请说明是的“巧等线”． 【应用概念】 （3）在中，若，为的“巧等线”，请直接写出所有可能的的度数． 【答案】（1）是，理由见解析；（2）见解析；（3）或或或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键． （1）先根据垂直的定义可得，再根据互为“等角三角形”的定义即可得； （2）先求出，，则可得，再根据等腰三角形的判定可得是等腰三角形，然后证出与互为“等角三角形”，由此即可得； （3）分六种情况：①当时，是等腰三角形，②当时，是等腰三角形，③当时，是等腰三角形，④当时，是等腰三角形，⑤当时，是等腰三角形，⑥当时，是等腰三角形，利用“巧等线”的定义、三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】解：（1）与互为“等角三角形”，理由如下： ∵，， ∴， 又∵， ∴与互为“等角三角形”． （2）∵在中，，， ∴， ∵在中，为角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 又∵，， ∴与互为“等角三角形”， ∴是的“巧等线”． （3）①如图，当时，是等腰三角形， 则， ∴， ∵为的“巧等线”， ∴与互为“等角三角形”， ∵，， ∴， ∴； ②如图，当时，是等腰三角形， 则， ∴， ∵为的“巧等线”， ∴与互为“等角三角形”， ∵，， ∴， ∴； ③如图，当时，是等腰三角形， ∴， ∴，， ∵为的“巧等线”， ∴与互为“等角三角形”， ∵，， ∴， ∴，不符合题意，舍去； ④如图，当时，是等腰三角形， ∴， ∴， ∵为的“巧等线”， ∴与互为“等角三角形”， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 解得； ⑤如图，当时，是等腰三角形， ∴， ∴， ∵为的“巧等线”， ∴与互为“等角三角形”， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 解得； ⑥如图，当时，是等腰三角形， ∴， ∴，， ∵为的“巧等线”， ∴与互为“等角三角形”， ∵，， ∴， ∴，不符合题意，舍去； 综上，所有可能的的度数为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $