精品解析：山东济宁市邹城市2025-2026学年第一学期期末检测八年级数学试题

2025-2026学年度第一学期期末检测 八年级数学试题 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 在一些美术字中，有汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. 爱 B. 我 C. 中 D. 华 2. 在，，，，中，分式的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 3. 下列说法当中正确的是（ ） A. 是因式分解 B. 若使分式有意义，则 C. 的计算结果为 D. 是最简分式 4. 已知等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长是（ ） A. 10 B. 13 C. 17 D. 13或17 5. 在课堂上，李老师发给每人一张印有（如图①）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小宏同学先画出了，后续画图的主要过程如图②所示，这种画图方法的依据是（ ）． A. B. C. D. 6. 一艘轮船在静水中的最大航速为千米/时，它沿江以最大航速顺流航行千米所用时间，与以最大航速逆流航行千米所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为千米/时，则可列方程（ ） A. B. C. D. 7. 若多项式x2＋mx＋9能用完全平方公式分解因式，则m的值为( 　 ) A. 3 B. ±3 C. ±6 D. 6 8. 如图，在中，，，为的平分线，，则的面积为（ ） A. 8 B. 20 C. 28 D. 34 9. 已知关于的方程解为正数，则的取值范围是（） A. B. 且 C. D. 且 10. 如图所示，用“杨辉三角”可以解释的展开式（按的次数由大到小的顺序．b反之）的系数规律，例如，在“杨辉三角”中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着的展开式中各项的系数：第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着的展开式中各项的系数．当是大于4的自然数时，上述规律仍然成立．则的展开式中含的系数（ ） A B. 40 C. 80 D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 我国某品牌手机使用了自主研发的最新型号芯片．其晶体管栅极的宽度为0.0000000072毫米，将数据0.0000000072用科学记数法表示为___________． 12. 若分式的值为0，则的值为______． 13. 如图，在中，，，边的垂直平分线交于点，交于点，若，则的长是___________． 14. 如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是___________． 15. 如图，在中，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点，与交于点，若．下列结论：①；②是等腰直角三角形；③；④其中正确的有___________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 按要求计算下列各式． 计算： （1）； （2）； 解方程： （3）； （4）． 17. 先化简，再求值：，从0，1，3，4中选一个恰当的数作为的值代入求值． 18. 如图，在平面直角坐标系中，． （1）画出关于轴对称的，并直接写出点的坐标___________； （2）在轴上找一点使得最小，画出点所在的位置（保留作图痕迹，不写画法）． （3）点在轴上，且为等腰三角形，满足条件的点有___________个． 19. 如图，点在线段上，，且，．连接，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 20. 为了提前准备校庆活动，哪吒受校长之托，到厂家选购“乾坤圈”牌和“混天绫”牌的服装．每套“乾坤圈”牌服装进价比“混天绫”牌服装每套进价多20元，已知哪吒用2000元购进“乾坤圈”牌服装的数量是用800元购进“混天绫”牌服装数量的2倍． （1）求“乾坤圈”、“混天绫”两种品牌服装每套进价分别为多少元？ （2）“乾坤圈”牌服装每套售价为130元，“混天绫”牌每套售价为95元，陈塘关的服装店老板决定，购进“混天绫”牌服装的数量比购进“乾坤圈”牌服装的数量的2倍还多4套，两种服装全部售出后，可使总的获利不少于1860元，则最少购进“乾坤圈”牌的服装多少套？ 21. 阅读下列材料：关于的方程，方程两边同时除以得：，即，，． 根据以上材料，解答下列问题： 已知， （1）求的值； （2）求的值； 拓展思考：（3）若，求值． 22. 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）请写出图，图，图阴影部分的面积分别能解释的乘法公式． 图：___________，图：___________，图：__________ （2）根据上述图中你探索发现结论，完成下列计算： 已知，，求代数式①；②的值． （3）若，求值． 23. 问题：在等边中，点在边上，点在的延长线上，且，请完成下列探究问题． （1）【特例引路】当点E为的中点时，如图1，请判断线段与的数量关系，并说明理由． （2）【猜想证明】如图2，点E在边上，但点E不在的中点处，猜想与的数量关系，并说明理由．（辅助线提示：过点E作交于点F） （3）【变式探究】如图3，点E在的延长线上，点在线段上（不与点B重合），请你探究（2）中的结论是否仍然成立？若成立，给予证明；若不成立，写出与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末检测 八年级数学试题 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. 爱 B. 我 C. 中 D. 华 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、“爱”不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、“我”不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、“中”是轴对称图形，故此选项符合题意； D、“华”不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选C． 2. 在，，，，中，分式的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的判断，解题的关键是掌握：如果、为整式，且中含有字母，那么式子是分式，据此逐一判断即可． 【详解】解：在，，，，中， 其中，是分式， ∴分式的个数是． 故选：B． 3. 下列说法当中正确的是（ ） A. 是因式分解 B. 若使分式有意义，则 C. 的计算结果为 D. 是最简分式 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解定义、分式有意义条件、积的乘方与幂的乘方及负整数指数幂、最简分式的定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：A．，该变形不是因式分解，原说法错误，故此选项不符合题意； B．若使分式有意义，则，解得：，原说法错误，故此选项不符合题意； C．，原说法错误，故此选项不符合题意； D．是最简分式，原说法正确，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查因式分解定义、分式有意义条件、积的乘方与幂的乘方及负整数指数幂、最简分式的定义，掌握相应的知识点是解题的关键． 4. 已知等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长是（ ） A 10 B. 13 C. 17 D. 13或17 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义和三角形三边关系．分腰为3或7两种情况讨论，判断能否构成三角形，再计算周长． 【详解】解：∵等腰三角形两边长为3和7， 若腰为3，则三边为3、3、7， ∵，不满足三角形三边关系， ∴不能构成三角形． 若腰为7，则三边为7、7、3， ∵，，满足三角形三边关系， ∴能构成三角形，周长为． 故选：C． 5. 在课堂上，李老师发给每人一张印有（如图①）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小宏同学先画出了，后续画图的主要过程如图②所示，这种画图方法的依据是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，全等三角形的判定，关键是根据全等三角形的判定解答．根据演示由尺规作图的方法确定作图的具体步骤，即可判断． 【详解】解：由图示知，小宏第一步为截取线段，第二步为作线段， 在与中， ， ， 故选：D． 6. 一艘轮船在静水中的最大航速为千米/时，它沿江以最大航速顺流航行千米所用时间，与以最大航速逆流航行千米所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为千米/时，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，设江水的流速为千米/时，则顺流航行的最大航速为千米/小时，逆流航行的最大航速为千米/小时，利用时间路程速度，根据“它沿江以最大航速顺流航行千米所用的时间，与以最大航速逆流航行千米所用时间相等”可列出关于的分式方程，此题得解．找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【详解】解：设江水流速为千米/时，则顺流航行速度为千米/时，逆流航行速度为千米/时， 依题意，得：． 故选：A． 7. 若多项式x2＋mx＋9能用完全平方公式分解因式，则m的值为( 　 ) A. 3 B. ±3 C. ±6 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据完全平方公式，第一个数为x，第二个数为3，中间应加上或减去这两个数积的两倍． 【详解】解：依题意，得 mx=±2×3x， 解得m=±6． 故答案为±6． 【点睛】本题考查公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解题的关键． 8. 如图，在中，，，为的平分线，，则的面积为（ ） A. 8 B. 20 C. 28 D. 34 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，解决本题的关键是在边与边的高线． 作边与边的高线，由角平分线的性质可得高线相等，再根据，可求解边的垂线的长度，由此可得边的垂线的长度，再由三角形面积公式计算即可． 【详解】解：过点D作交于点E，交于点F，如图， ∵为的平分线，且，， ∴， ∵， 即，解得， ∴， ∴， 则． 故选：B ． 9. 已知关于的方程解为正数，则的取值范围是（） A. B. 且 C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根据分式方程的解求参数．先将方程两边同乘，转化为整式方程，求出方程的解，再根据方程的解为正数和最简公分母不为0列出不等式，求解即可． 【详解】解：方程两边同乘，得， 解得， ∵方程的解为正数， ∴当时，且， ∴， 解得且． 故选：D． 10. 如图所示，用“杨辉三角”可以解释的展开式（按的次数由大到小的顺序．b反之）的系数规律，例如，在“杨辉三角”中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着的展开式中各项的系数：第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着的展开式中各项的系数．当是大于4的自然数时，上述规律仍然成立．则的展开式中含的系数（ ） A. B. 40 C. 80 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查整式的乘法运算规律，结合“杨辉三角”写出第五行的数得出的各项系数，第六行的数得出的各项系数，然后结合即可求解． 【详解】解：依题意，在“杨辉三角”中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着的展开式中各项的系数：第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着的展开式中各项的系数．当是大于4的自然数时，上述规律仍然成立． ∴第行的个数分别为：，恰好对应着的展开式为， ∴第6行的6个数分别为：，恰好对应着的展开式为， 依题意， ， 则的展开式中含的系数为． 故选：C． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 我国某品牌手机使用了自主研发的最新型号芯片．其晶体管栅极的宽度为0.0000000072毫米，将数据0.0000000072用科学记数法表示为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：数据0.0000000072用科学记数法表示为， 故答案为：． 12. 若分式的值为0，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式的值为0，掌握分式的值为0，则分子为0，分母不能为0的知识是关键，分式的值为0的条件是分子等于0且分母不等于0． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴分子且分母， 解方程，得 ， ∴或， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在中，，，边的垂直平分线交于点，交于点，若，则的长是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直角三角形两锐角互余得，根据垂直平分线的性质得，继而得到，，再根据含角的直角三角形的性质得，可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵边的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ 即的长是． 故答案为：． 【点睛】本题考查直角三角形两锐角互余，垂直平分线的性质，等边对等角，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握等边对等角、含角的直角三角形的性质． 14. 如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过点作轴于点，过点作轴于点，证明，然后即可得到，，然后再根据点的坐标为，点的坐标为，即可得到点的坐标． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，，， ∴，， ∴， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、坐标与图形的性质、直角三角形两锐角互余，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解决问题． 15. 如图，在中，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点，与交于点，若．下列结论：①；②是等腰直角三角形；③；④其中正确的有___________． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题考查等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等，能够找出等量关系证明三角形全等是解题的关键． 先根据已知条件证明为等腰直角三角形，结合垂直的性质，等量代换角度，即可证明①的结论，再证明，推出是等腰直角三角形，即可证明②的结论，然后运用等腰直角三角形的性质，即可证明③的结论，最后证明，即可证明④的结论． 【详解】解：∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴，， ， ∵， ∴， ∴，故①符合题意， ∵，， ∴，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴等腰直角三角形，故②符合题意， ∴， ∴， ∴，故③符合题意， ∵在和中， ， ∴， ∴，故④符合题意， 综上，①②③④都符合题意． 故答案为：①②③④． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 按要求计算下列各式． 计算： （1）； （2）； 解方程： （3）； （4）． 【答案】（1）1；（2）；（3）；（4）无解 【解析】 【分析】本题主要考查整式的乘法公式、实数的运算及分式方程的解法，熟练掌握相关运算法则和解题步骤是解题的关键； （1）利用平方差公式简便运算即可求解； （2）根据零次幂、负整数指数幂和算术平方根的性质进行求解即可； （3）先去分母，然后再求解整式方程，检验即可求解； （4）先去分母，然后再求解整式方程，检验即可求解． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3）， 去分母得：， 去括号得：， 整理得：， 解得：； 经检验：当时，， ∴是方程的解； （4）， 去分母得：， 去括号得：， 整理得：， 解得：， 经检验：当时，， ∴是方程的增根，原方程无解． 17. 先化简，再求值：，从0，1，3，4中选一个恰当的数作为的值代入求值． 【答案】，5 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，先通分，再把除法化为乘法，然后化简得，再分析，故把代入，得． 【详解】解： ， ∵， ∴， 则把代入，得． 18. 如图，平面直角坐标系中，． （1）画出关于轴对称的，并直接写出点的坐标___________； （2）在轴上找一点使得最小，画出点所在的位置（保留作图痕迹，不写画法）． （3）点在轴上，且为等腰三角形，满足条件的点有___________个． 【答案】（1）见解析， （2）见解析 （3）4 【解析】 【分析】本题考查了作轴对称图形，最短路径问题，等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质；能根据轴对称图形的性质，等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质进行作图是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）作点关于y轴的对称点，连接与y轴交点即为点，则，那么由两点间线段最短可得，故此时点P即为所求； （3）根据等腰三角形的定义及线段垂直平分线的性质进行作图，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 点的坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，点即为所求； 【小问3详解】 解：如图，以A为圆心，长为半径作圆与y轴有两个交点，其中交点在直线上，所以另一个交点即为点；以C为圆心，长为半径作圆交y轴两个交点，即为点；作的垂直平分线交y轴的交点即为点，则满足条件的点F共有个， 故答案为：4． 19. 如图，点在线段上，，且，．连接，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得，再根据即可得证； （2）根据三角形外角的定义及性质得，再根据全等三角形的性质得，最后根据角的和差可得答案． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的度数为． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形外角的定义及性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 20. 为了提前准备校庆活动，哪吒受校长之托，到厂家选购“乾坤圈”牌和“混天绫”牌的服装．每套“乾坤圈”牌服装进价比“混天绫”牌服装每套进价多20元，已知哪吒用2000元购进“乾坤圈”牌服装的数量是用800元购进“混天绫”牌服装数量的2倍． （1）求“乾坤圈”、“混天绫”两种品牌服装每套进价分别为多少元？ （2）“乾坤圈”牌服装每套售价为130元，“混天绫”牌每套售价为95元，陈塘关的服装店老板决定，购进“混天绫”牌服装的数量比购进“乾坤圈”牌服装的数量的2倍还多4套，两种服装全部售出后，可使总的获利不少于1860元，则最少购进“乾坤圈”牌的服装多少套？ 【答案】（1）“乾坤圈”品牌服装每套进价为100元，“混天绫”品牌服装每套进价为80元 （2）最少购进“乾坤圈”牌的服装30套 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确地列出方程和不等式，是解题的关键． （1）设“乾坤圈”品牌服装每套进价为x元，根据哪吒用2000元购进“乾坤圈”牌服装的数量是用800元购进“混天绫”牌服装数量的2倍，列出方程即可； （2）设购进“乾坤圈”牌的服装a套，根据两种服装全部售出后，可使总的获利不少于1860元，列出不等式进行求解即可． 【小问1详解】 解：设“乾坤圈”品牌服装每套进价x元，则“混天绫”品牌服装每套进价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解，且符合题意， ∴； 答：“乾坤圈”品牌服装每套进价为100元，“混天绫”品牌服装每套进价为80元； 【小问2详解】 解：设购进“乾坤圈”牌的服装a套，则购进“混天绫”牌服装套， 由题意得：， 解得：， ∵a为整数， ∴a的最小值为30， 答：至少购进“乾坤圈”牌的服装30套． 21. 阅读下列材料：关于的方程，方程两边同时除以得：，即，，． 根据以上材料，解答下列问题： 已知， （1）求的值； （2）求的值； 拓展思考：（3）若，求的值． 【答案】 （1）；（2）；（3）． 【解析】 【分析】本题考查了完全平方的变形求值、分式的运算、解分式方程，能够理解题意，掌握运算法则是解题的关键． （1）将方程两边同时除以，得到，移项即可求解； （2）先对（1）所得的进行平方，解得，再对进行化简，将代入即可求解； （3）先分别让和都除，将（2）中代入，得出含的代数式，再代入，解分式方程，解出的值即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴； （2）∵由（1）得， ∴， ∴ ， ∴； （3）∵由（2）得， ∴，， ∵， ∴， 解得， 将代入中，， ∴是方程的解． 22. 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）请写出图，图，图阴影部分的面积分别能解释的乘法公式． 图：___________，图：___________，图：__________ （2）根据上述图中你探索发现的结论，完成下列计算： 已知，，求代数式①；②的值． （3）若，求的值． 【答案】（1）；； （2）①；② （3） 【解析】 【分析】本题考查乘法公式的几何背景，准确识图，熟练掌握图形的面积计算，乘法公式的结构特征是解决问题的关键． （1）根据图中的阴影部分是一个边长为的正方形得面积为，再根据图中的阴影部分是由两个边长分别为，的正方形和两个长为，宽为的长方形构成得面积为，由此可得出答案；根据图中的阴影部分是一个边长为的正方形得面积为，再根据图中边长为的大正方形是由边长分别为的正方形和两个长为，宽为的长方形构成及阴影部分构成得面积为，由此可得出答案；根据图中两种不同拼图计算面积即可得出答案； （2）①根据图所得出的乘法公式可求出的值； ②根据图及①的结论可求出，再根据图所得出的乘法公式即可求出的值； （3）设，，则，，根据即可得出的值． 【小问1详解】 解：∵图中的阴影部分是一个边长为的正方形， ∴图中的阴影部分的面积为， 又∵图中的阴影部分是由两个边长分别为，的正方形和两个长为，宽为的长方形构成， ∴图中的阴影部分的面积为， ∴， ∴图能解释的乘法公式是：； ∵图中的阴影部分是一个边长为的正方形， ∴图中的阴影部分的面积为， 又∵图中边长为的大正方形是由边长分别为的正方形和两个长为，宽为的长方形构成及阴影部分构成， ∴图中的阴影部分的面积为：， ∴， ∴图能解释的乘法公式是：； ∵图中的左边阴影部分是一个长为，宽为的长方形， ∴图中的阴影部分的面积为， ∵图中的右边阴影部分的面积是边长的正方形与边长为的正方形的差， ∴图中的右边阴影部分的面积为， ∴， ∴图能解释的乘法公式是：； 故答案为：；；； 【小问2详解】 解：①∵， 又∵，， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， 当，时，； 当，时，； 综上所述，的值为； 【小问3详解】 解：设，，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的值为． 23. 问题：在等边中，点在边上，点在的延长线上，且，请完成下列探究问题． （1）【特例引路】当点E为的中点时，如图1，请判断线段与的数量关系，并说明理由． （2）【猜想证明】如图2，点E在边上，但点E不在的中点处，猜想与的数量关系，并说明理由．（辅助线提示：过点E作交于点F） （3）【变式探究】如图3，点E在的延长线上，点在线段上（不与点B重合），请你探究（2）中的结论是否仍然成立？若成立，给予证明；若不成立，写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），理由见解析 （2），理由见解析 （3）仍然成立，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，平行线性质，等腰三角形性质，等边三角形的性质与判定，解题的关键是： （1）根据三线合一的性质求出，，根据等边对等角以及三角形外角的性质求出，然后根据等角对等边即可得出答案； （2）过点作交于点，证明是等边三角形，推出，根据证明，最后根据全等三角形的性质即可得出答案； （3）过点作交的延长线于点，证明是等边三角形，推出，根据证明，最后根据全等三角形的性质即可得出答案． 【小问1详解】 解：，理由如下： 是等边三角形， ， ∵点E为中点， ，， ， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：，理由如下： 过点作交于点， 是等边三角形， ，， ， ，， 是等边三角形， ， ，即， ， ， 又∵， ， ； 【小问3详解】 解：结论仍成立，理由如下： 过点作交的延长线于点， 是等边三角形， ，， ， ， 是等边三角形， ， ，即， 又∵， ， 又∵，， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $