精品解析：江苏宜兴市2025--2026学年上学期九年级数学期末试卷

宜兴市初三数学期末试卷 2026.2.3 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 方程的根是（ ） A. B. C. D. 2. 已知的半径为，点到圆心的距离为，则点在（ ） A. 圆外 B. 圆上 C. 圆内 D. 不能确定 3. 将二次函数向下平移3个单位长度得到对应的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 4. 下列图形一定相似的是（ ） A. 两个等边三角形 B. 两个直角三角形 C. 两个矩形 D. 两个菱形 5. 抛物线与轴交点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的外接圆，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 我国古代著作《四元玉鉴》中记载“买椽多少”问题，其大意为：现请人代买一批椽，这批株的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．根据题意可列方程，其中x表示（　　） A. 剩余椽的数量 B. 这批椽的数量 C. 剩余椽的运费 D. 每株椽的价钱 8. 下列说法正确的是（ ） A. 长度相等的弧是等弧 B. 同弧所对的圆周角相等 C. 经过半径外端的直线是圆的切线 D. 正多边形是中心对称图形 9. 如图，在中，，，，点是边的中点，点是边上的动点，沿所在的直线折叠，使点的对应点落在的边上（点除外），则的长为（ ） A. 5 B. C. 5或 D. 5或 10. 为了反映函数在某一范围内函数值变化的幅度，提出如下定义：在一段连续的函数图象上，当时，函数的最小值为，最大值为，若，则称为该函数在区间上的起伏度．则下列判断正确的是（ ） ①二次函数在区间上起伏度为3； ②一次函数（k，b为常数，k≠0）在任意区间上的起伏度是一个定值； ③二次函数在区间上的起伏度为，二次函数在区间上的起伏度为，则； ④函数在区间（为常数且）上的起伏度随着的增大而减小． A. ①④ B. ②③ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共计24分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．） 11. 如果，那么__________． 12. 已知圆锥的侧面积为，母线长为5，则圆锥的底面半径是_____． 13. 某校举办“校园文化节”主持人选拔比赛，其中才艺展示分占，主持模拟分占，小云参加并在这两项中分别取得90分和80分的成绩，则小云的最终成绩为__________分． 14. 已知抛物线开口向上，与y轴交于点，写出一个符合题意的抛物线表达式______． 15. 抛物线上有两点，则_____（填“”“”或“”）． 16. 如图，拱桥可以近似的看作直径为260的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，那么这些钢索中最长的一根的长度为__________． 17. 如图，矩形的顶点分别在反比例函数与的图象上，点在轴上，分别交轴于点，则阴影部分的面积等于__________． 18. 如图，已知中，，，则与之间的距离为__________．点为直线上的动点，连接并延长，使，连接并延长，使，以为边作，连接，则的最小值为__________． 三、解答题（本大题共10小题，共计96分．解答需写出必要的文字说明或演算步骤．） 19 解方程： （1） （2） 20. 已知分别是中所对的边长，且关于的一元二次方程有两个相等的实数根，若，试判断的形状并求其面积． 21. 如图，在中，、分别是上的点，． （1）求证：； （2）若，求的长． 22. 某校要从甲、乙两位射击队员中挑选一人参加比赛．在最近10次的选拔赛中，他们的射击成绩（单位：环）信息如下： 信息一：甲、乙队员的射击成绩 甲：10，7，8，8，7，8，6，9，9，8 乙：8，9，10，9，6，7，7，9，10，5 信息二：甲、乙队员射击成绩的部分统计量 队员 平均数 中位数 众数 方差 甲 8 8 1.2 乙 8 9 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中的值； （2）__________队员射击选拔赛中发挥得更稳定（填“甲”或“乙”）； （3）小瑜认为甲、乙两人射击成绩的平均数一样，推荐哪位队员参赛都可以．你认为他说得对吗？请说明理由（写出一条合理的理由即可）． 23. 2022年4月15日是第七个全民国家安全教育日，某校七、八年级举行了一次国家安全知识竞赛，经过评比后，七年级的两名学生（用，表示）和八年级的两名学生（用，表示）获得优秀奖． （1）从获得优秀奖的学生中随机抽取一名分享经验，恰好抽到七年级学生的概率是_________． （2）从获得优秀奖的学生中随机抽取两名分享经验，请用列表法或画树状图法，求抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的概率． 24. 如图，中，，以为直径作，点为上一点，且，连接并延长交的延长线于点． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，求的值． 25. 如图，在中，，点是上一点，点到边的距离等于，连接． （1）用直尺和圆规作，点在上，且经过、两点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，则的半径为__________，与的重叠部分面积为__________．（如需画草图，请使用备用图） 26. 综合与实践：如何制作简易风筝 问题情境】 风筝起源于中国东周春秋时期，至今已有2000多年的历史．传统风筝的技艺概括起来四个字：扎、糊、绘、放．简称“四艺”．九年级数学兴趣小组计划制作一个筝形风筝参加学校文化节． 【设计原理】 筝形风筝由两条垂直的竹条骨架构成，其中较长的主骨架垂直平分较短的横骨架．这种结构易于保持平衡，飞行稳定． 【制作要求】 要求1：图1是简易“筝形”风筝的结构图，现以两条线段、作为骨架，垂直平分且，并按的比例固定骨架，骨架与共消耗竹条，四边形的面积为． 要求2：考虑到实际需要，蒙面（风筝面）边缘离骨架端点要留出一定距离．如图2，现以上部分的蒙面设计为抛物线形状，过距离三点分别为的三点绘制抛物线（建立如图的平面直角坐标系，横纵坐标轴上1个单位长度均代表）．以下部分的蒙面设计为，点在延长线上且． 要求3：设计完成后，小聪同学想先剪下一张筝形纸片来裁剪无拼接的风筝蒙面（包括以上抛物线部分及以下三角形部分），如图3这张筝形纸片的对角线交点为三点落在坐标轴上，． 【问题解决】 （1）确定骨架长度：求骨架和的长度． （2）研究蒙面形状：求抛物线的函数表达式． （3）选择纸张大小：小聪同学剪下的这张筝形纸片面积至少为多少． 27. 已知二次函数（其中、为常数）． （1）若，判断二次函数的图象与轴公共点的个数，并说明理由； （2）若点，都在二次函数的图象上，试比较、的大小． （3）若该函数图象经过点和，若点在轴上，过作轴的垂线，交直线于点，以为斜边作等腰直角．当点落在抛物线上时，求此时的横坐标． 28. 如图，在矩形中，，直线绕矩形的对称中心逆时针旋转，该直线与折线分别相交于点．以为边作． （1）若点在上，则的长为__________； （2）若点在的平分线上，求的长； （3）若点在的平分线上，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宜兴市初三数学期末试卷 2026.2.3 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 方程的根是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的求解，可通过移项后因式分解的方法，将一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴或 解得， 故选：B． 2. 已知的半径为，点到圆心的距离为，则点在（ ） A. 圆外 B. 圆上 C. 圆内 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆位置关系的判定规则是解题关键，即点到圆心的距离与圆半径的大小关系：时在圆外，时在圆上，时在圆内．据此解答即可． 【详解】解：的半径，点到圆心的距离 点在内． 故选：C． 3. 将二次函数向下平移3个单位长度得到对应的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，解题关键是掌握“上加下减”的平移规律，直接根据规律计算平移后的函数解析式即可． 【详解】解：向下平移3个单位长度，得到的函数解析式为； 故选：C． 4. 下列图形一定相似的是（ ） A. 两个等边三角形 B. 两个直角三角形 C. 两个矩形 D. 两个菱形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似多边形的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据相似图形的定义（对应角相等、对应边成比例的图形相似），结合各选项图形的性质逐一分析判断即可． 【详解】解：相似图形需满足对应角相等且对应边成比例， A选项：∵等边三角形的三个内角均为，且各边长度相等， ∴任意两个等边三角形对应角相等，对应边的比值为定值， ∴两个等边三角形一定相似，该项正确； B选项：∵两个直角三角形仅直角相等，另外两个锐角不一定相等，对应边也未必成比例， ∴两个直角三角形不一定相似，该项错误； C选项：∵两个矩形的对应角均为，但对应边的比值不一定相等， ∴两个矩形不一定相似，该项错误； D选项：∵两个菱形的对应边成比例，但对应角不一定相等， ∴两个菱形不一定相似，该项错误； 故选A． 5. 抛物线与轴交点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了求抛物线与轴交点的坐标．求抛物线与y轴交点的纵坐标，只需令，代入抛物线解析式计算对应的y值即可． 【详解】解：∵y轴上点的横坐标为0， ∴将代入中， 得， ∴抛物线与y轴交点的纵坐标为， 故选：D． 6. 如图，是的外接圆，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质以及圆周角定理． 根据等边对等角以及三角形内角和定理得到，再由圆周角定理得到． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 7. 我国古代著作《四元玉鉴》中记载“买椽多少”问题，其大意为：现请人代买一批椽，这批株的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．根据题意可列方程，其中x表示（　　） A. 剩余椽的数量 B. 这批椽的数量 C. 剩余椽的运费 D. 每株椽的价钱 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设这批椽的数量为，则每株椽的价格为，利用总价单价数量，即可得出关于的一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：设这批椽的数量为，则每株椽的价格为， 依题意得：． 故x表示这批橡的数量， 故选：B． 8. 下列说法正确的是（ ） A. 长度相等的弧是等弧 B. 同弧所对的圆周角相等 C. 经过半径外端的直线是圆的切线 D. 正多边形是中心对称图形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆的相关概念、圆周角定理、切线的判定及正多边形的对称性，需逐一分析各选项的正误． 【详解】解：∵等弧的定义是在同圆或等圆中，能够完全重合的弧，仅长度相等的弧不一定能重合，∴A选项错误． ∵圆周角定理的推论：同弧所对的圆周角相等，∴B选项正确． ∵圆的切线判定定理是经过半径的外端且垂直于这条半径的直线才是圆的切线，仅经过半径的外端的直线不一定垂直于该半径，∴C选项错误． ∵只有边数为偶数的正多边形是中心对称图形，如正三角形不是中心对称图形，∴D选项错误． 故选：B． 9. 如图，在中，，，，点是边的中点，点是边上的动点，沿所在的直线折叠，使点的对应点落在的边上（点除外），则的长为（ ） A. 5 B. C. 5或 D. 5或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质和勾股定理及相似三角形的判定和性质，熟练掌握它们的性质是解题的关键； 首先根据勾股定理得出，然后根据折叠的性质分点在边上和在边上两种情况，利用相似三角形的判定得出即可解答． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∵沿所在的直线折叠，使点的对应点落在的边上（点除外）， ∴点的对应点关于对称， 当点在边上时，如图， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴ ∵，，， ∴， ∴， 当点在边上时，如图， ， ∵， ∴， ∵， 在和中 ， ∴， ∴ ∵，，， ∴， ∴， 综上所述：的长为或， 故选：D 10. 为了反映函数在某一范围内函数值变化的幅度，提出如下定义：在一段连续的函数图象上，当时，函数的最小值为，最大值为，若，则称为该函数在区间上的起伏度．则下列判断正确的是（ ） ①二次函数在区间上的起伏度为3； ②一次函数（k，b为常数，k≠0）在任意区间上的起伏度是一个定值； ③二次函数在区间上的起伏度为，二次函数在区间上的起伏度为，则； ④函数在区间（为常数且）上的起伏度随着的增大而减小． A. ①④ B. ②③ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数，二次函数的综合． 根据起伏度的定义，结合一次函数、二次函数、反比例函数的性质，逐一验证四个判断的正误． 【详解】解：①∵二次函数，图象开口向上，对称轴为，在区间中， ∴当时，取最小值；当时，取最大值， ∴，故①错误； ②∵一次函数，在区间中， 当时，函数随增大而增大，，， ∴（定值）， 当时，函数随增大而减小，，， ∴（定值）； 综上，一次函数在任意区间上的起伏度为定值，故②正确； ③∵是平移得到的，平移不改变函数值的差， ∴区间的长度为，与长度相等， 设在上的最值差为，则在上的最值差也为， ∴，，即，故③正确； ④∵在时单调递增，在区间上 ∴，， ∴， 区间长度为， ∴， ∵，当增大时，起伏度随之减小， ∴起伏度随着的增大而减小，故④正确； 综上所述，正确的有②③④， 故选：D． 二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共计24分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．） 11. 如果，那么__________． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例关系，设参数代入计算即可． 【详解】解：由，设，（）， 则． 故答案为：． 12. 已知圆锥的侧面积为，母线长为5，则圆锥的底面半径是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥侧面积公式，根据，代入数据即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴， ∴， 故答案为：． 13. 某校举办“校园文化节”主持人选拔比赛，其中才艺展示分占，主持模拟分占，小云参加并在这两项中分别取得90分和80分的成绩，则小云的最终成绩为__________分． 【答案】82 【解析】 【分析】本题考查加权平均数，根据加权平均数的计算公式进行计算即可得出答案． 【详解】解：小云的最终成绩为：（分）， 故答案为：82． 14. 已知抛物线开口向上，与y轴交于点，写出一个符合题意的抛物线表达式______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查按要求构造二次函数，根据二次函数的图象和性质，开口向上，得到，与y轴交于点，得到，结合二次函数的定义，构造即可． 【详解】解：由题意，符合题意的抛物线的表达式可以为； 故答案为：（答案不唯一） 15. 抛物线上有两点，则_____（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小，根据题意，得到抛物线开口向下，进而得到抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为轴， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵点在抛物线上，且， ∴； 故答案为：． 16. 如图，拱桥可以近似的看作直径为260的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，那么这些钢索中最长的一根的长度为__________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 设圆弧的圆心为O，过O作于C，交于D，连接，先由垂径定理得，再由勾股定理求出，然后求出的长即可． 【详解】解：设圆弧的圆心为O，过O作于C，交于D，连接， 则，， ∴， ∴， 即这些钢索中最长的一根为， 故答案为：10． 17. 如图，矩形的顶点分别在反比例函数与的图象上，点在轴上，分别交轴于点，则阴影部分的面积等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的比例系数的几何意义，反比例函数的图象上点的坐标的特征，矩形的性质，利用点的坐标表示相应线段的长度是解题的关键． 设点的坐标为，，根据题意，利用函数关系式表示出线段，，，，，利用三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：设点的坐标为，，则，， ∴点的纵坐标为， ∴点的横坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴，， ∴， ， ， 故答案为：． 18. 如图，已知中，，，则与之间的距离为__________．点为直线上的动点，连接并延长，使，连接并延长，使，以为边作，连接，则的最小值为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】过点A作于点H，过点C作于点N，利用等积法求出，即可得到与之间的距离；设的延长线与的延长线相交于点M，与相交于点，设，证明得到，则，再证明，得到，可设得到，则，求出则点是上的定点，点是上的动点，则当取得最小值时，最小，进一步求出即可． 【详解】解：过点A作于点H，过点C作于点N，如图 在中，， ∴，是直角三角形， ∴， ∵， ∴ 设的延长线与的延长线相交于点M，与相交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， 设 ∵， ∴ ∴， 在中，， ∴ 又∵， ∴ ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ 由可设 ∴， ∴， ∴ 由可设 ∴ ∴解得 ∴ ∴点是上的定点，点是上的动点， ∵ ∴当取得最小值时，最小， 根据垂线段最短可知，当时，取得最小值为与之间的距离， ∴的最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：， 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，添加合适的辅助线是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共计96分．解答需写出必要的文字说明或演算步骤．） 19. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键： （1）直接开方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 或， 解得，． 20. 已知分别是中所对的边长，且关于的一元二次方程有两个相等的实数根，若，试判断的形状并求其面积． 【答案】是直角三角形，面积为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理的逆定理．一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1），方程有两个不相等的实数根；（2），方程有两个相等的实数根；（3），方程没有实数根． 根据已知条件得出，将等式变形，利用勾股定理的逆定理得到是直角三角形，然后由勾股定理求解，再由三角形面积公式求解． 【详解】解：因为关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， 所以其判别式． 化简可得：， 由可知，是直角三角形，且c为斜边． 又因为， ∴ 所以其面积． 21. 如图，在中，、分别是上的点，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． （1）根据已知以及得到，再由，则得到； （2）根据相似三角形的性质直接列式计算即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴ ∴ ∴ 22. 某校要从甲、乙两位射击队员中挑选一人参加比赛．在最近10次的选拔赛中，他们的射击成绩（单位：环）信息如下： 信息一：甲、乙队员的射击成绩 甲：10，7，8，8，7，8，6，9，9，8 乙：8，9，10，9，6，7，7，9，10，5 信息二：甲、乙队员射击成绩的部分统计量 队员 平均数 中位数 众数 方差 甲 8 8 1.2 乙 8 9 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中的值； （2）__________队员在射击选拔赛中发挥得更稳定（填“甲”或“乙”）； （3）小瑜认为甲、乙两人射击成绩的平均数一样，推荐哪位队员参赛都可以．你认为他说得对吗？请说明理由（写出一条合理的理由即可）． 【答案】（1） 8，8.5 （2） 甲 （3） 不对，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查调查与统计的相关计算，掌握中位数，众数，方差等知识是关键． （1）根据众数，中位数的计算求解； （2）根据方差的计算求解； （3）根据方差作决策即可． 【小问1详解】 解：甲队员的射击成绩中，8分出现的次数最多， ∴， 乙队员的射击成绩从小到大排序为：5，6，7，7，8，9，9，9，10，10， ∴， 故答案为：8，8.5； 【小问2详解】 解：乙队员的射击成绩的平均数为， ∴ ， ∵， ∴甲队员在射击选拔赛中发挥得更稳定； 【小问3详解】 解：不对，理由如下， 在平均数相同的情况下，甲的方差更小，成绩更稳定， ∴推荐甲参加比赛，故小瑜的说法不对． 23. 2022年4月15日是第七个全民国家安全教育日，某校七、八年级举行了一次国家安全知识竞赛，经过评比后，七年级的两名学生（用，表示）和八年级的两名学生（用，表示）获得优秀奖． （1）从获得优秀奖的学生中随机抽取一名分享经验，恰好抽到七年级学生的概率是_________． （2）从获得优秀奖的学生中随机抽取两名分享经验，请用列表法或画树状图法，求抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的概率． 【答案】（1）； （2）作图见解析，． 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 从获得优秀奖的学生中随机抽取一名分享经验，恰好抽到七年级学生的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 树状图如下： 由表知，共有12种等可能结果，其中抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的有8种结果， 所以抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的概率为． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率． 24. 如图，中，，以为直径作，点为上一点，且，连接并延长交的延长线于点． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，求的值． 【答案】（1）相切，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形． （1）连接，证明，则，再由切线的判定即可证明； （2）设，则,运用勾股定理建立方程求解，再由求出，即可求解，最后再由勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：直线与相切，理由如下： 连接， ∵ ∴ ∴ ∵为半径， ∴直线与相切； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，． 25. 如图，在中，，点是上一点，点到边的距离等于，连接． （1）用直尺和圆规作，点在上，且经过、两点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）条件下，若，则的半径为__________，与的重叠部分面积为__________．（如需画草图，请使用备用图） 【答案】（1）图见解析 （2）， 【解析】 【分析】此题考查了角平分线的性质、扇形面积公式、解直角三角形等知识，正确作图是关键． （1）作的垂直平分线交于点，交于点，以点为圆心，的长为半径画圆即可； （2）求出，进一步得到，，，，即可求出与重叠部分面积． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， 【小问2详解】 解：∵，点是上一点，点到边的距离等于， ∴平分， ∵ ∴ ∴ ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴ ∴， ∴， ∴与的重叠部分面积为， 故答案为：， 26. 综合与实践：如何制作简易风筝 【问题情境】 风筝起源于中国东周春秋时期，至今已有2000多年历史．传统风筝的技艺概括起来四个字：扎、糊、绘、放．简称“四艺”．九年级数学兴趣小组计划制作一个筝形风筝参加学校文化节． 【设计原理】 筝形风筝由两条垂直竹条骨架构成，其中较长的主骨架垂直平分较短的横骨架．这种结构易于保持平衡，飞行稳定． 【制作要求】 要求1：图1是简易“筝形”风筝的结构图，现以两条线段、作为骨架，垂直平分且，并按的比例固定骨架，骨架与共消耗竹条，四边形的面积为． 要求2：考虑到实际需要，蒙面（风筝面）边缘离骨架的端点要留出一定距离．如图2，现以上部分的蒙面设计为抛物线形状，过距离三点分别为的三点绘制抛物线（建立如图的平面直角坐标系，横纵坐标轴上1个单位长度均代表）．以下部分的蒙面设计为，点在延长线上且． 要求3：设计完成后，小聪同学想先剪下一张筝形纸片来裁剪无拼接的风筝蒙面（包括以上抛物线部分及以下三角形部分），如图3这张筝形纸片的对角线交点为三点落在坐标轴上，． 【问题解决】 （1）确定骨架长度：求骨架和的长度． （2）研究蒙面形状：求抛物线的函数表达式． （3）选择纸张大小：小聪同学剪下的这张筝形纸片面积至少为多少． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设的长为，则的长为．列式，解出即可作答． （2）先得出，结合“过距离A，B，D三点分别为的E，F，G三点绘制抛物线”，得出，根据图象性质，设，再运用待定系数法求解，即可作答； （3）求出，求出直线的解析式为，进一步求出，，直线的解析式为，令，解得，得到，根据筝形纸片面积至少为即可求出答案． 【小问1详解】 解：设的长为，则的长为． 由题意，得， 解得，． ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴． ∵过距离A，B，D三点分别为的E，F，G三点绘制抛物线， ∴， 设所求抛物线表达式为， 把代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式是； 【小问3详解】 解：∵， ∴， 即， ∴， 设直线的解析式为， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴可知直线的解析式为， 令， 则， 令， 解得，， ∴，，直线的解析式为， 令，解得 即， 故筝形纸片面积至少为 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，求二次函数的解析式，平行线分线段成比例定理等知识，正确求出二次函数解析式解题的关键． 27. 已知二次函数（其中、为常数）． （1）若，判断二次函数的图象与轴公共点的个数，并说明理由； （2）若点，都在二次函数的图象上，试比较、的大小． （3）若该函数图象经过点和，若点在轴上，过作轴的垂线，交直线于点，以为斜边作等腰直角．当点落在抛物线上时，求此时的横坐标． 【答案】（1）二次函数的图象与轴有个公共点； （2）； （3）点横坐标为或． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键． （1）利用判别式判断即可； （2）开口向上的抛物线，点距离对称轴的距离越大函数值越大； （3）设，则，则PH的中点为，根据等腰直角三角形的性质可得或，将点代入函数解析式即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴二次函数的图象与轴有个公共点； 【小问2详解】 ∵的对称轴为， ∴，， ∵开口向上，越靠近对称轴的函数值越小， 又∵， ∴； 【小问3详解】 将点和代入， 得， 解得，， ∴， ∵设直线的解析式为：， 将点和代入，得：， 解得，， ∴， ∵设，轴，点在直线上， ∴， ∴中点为， ∵为斜边，根据等腰直角三角形的性质，点在直线上，点到的距离， ①当时，，点到的距离， 当在的左侧，，当在的右侧， ∴或， ∵点在抛物线上， ∴当时，， 解得(舍)或； 当时，， 当时， 解得或(舍)； 当时，， ②当时，，点到的距离， 当在的左侧，，当在的右侧， ∴或， ∵点在抛物线上， ∴或， 当时，， 解得(舍)或(舍)； 当时， 解得(舍)或(舍)； 综上所述：点横坐标为或． 28. 如图，在矩形中，，直线绕矩形的对称中心逆时针旋转，该直线与折线分别相交于点．以为边作． （1）若点在上，则的长为__________； （2）若点在的平分线上，求的长； （3）若点在的平分线上，直接写出的长． 【答案】（1） （2） （3）4或 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，解直角三角形，等边三角形的判定与性质，熟练掌握相应性质和方法是解题的关键． （1）由点在上，是平行四边形，可得，由矩形的对称中心，可得，即可求得结论； （2）当在上时，延长交于点，由四边形是矩形，，可得是等边三角形，可得，由平分， 可得，再由是平行四边形，可得，，可得，在和中，分别求出，，即可求得； 当在上时，过点作，，由是平行四边形，可得，，可得，由（1）可知到的距离为，可得，在中，可得，则点与重合，不符合题意舍去； （3）当在上时，同理（2）可得，由平分，可得，从而可得，则可得的长； 当在上时，过点作于点，延长交于点，同理（2）可得，利用即可求解． 【小问1详解】 解：如图，点在上， ∵是平行四边形， ∴，，， ∵四边形是矩形， ∴，即， ∴， ∵是矩形的对称中心， ∴． 故答案为：． 【小问2详解】 解：如图，当在上时，延长交于点， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∵是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； 如图，当在上时，过点作交于点，交延长线于点， ∵平分，，， ∴，， ∵是平行四边形， ∴，， ∴， 由（1）可知，到的距离为， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴与重合，与绕矩形的对称中心逆时针旋转矛盾，舍去； 综上所述，的长为． 【小问3详解】 解：如图，当在上时， 由（2）可知，， ，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当在上时，过点作于点，延长交于点， ∵是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵平分，，， ∴， 在中，， ∴， ∵是矩形的对称中心， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，点在的平分线上时，的长为4或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $