21.1.2 多边形及其内角和 课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

新人教版数学8年级下册培优备课课件 21.1.2 多边形及其内角和 第二十一章　四边形 授课教师： Home . 班 级： . 时 间： . 2026年2月16日 2026年2月16日星期一10时21分40秒 1 1.掌握多边形的相关概念. 2.会用分割法探索多边形的内角和计算公式.（难点） 3.运用多边形的内角和计算公式、外角和解决问题.（重点） 学习目标 多边形在生活中也很常见，观察下图中的图片，你能从中找出一些多边形的形象吗？ 与三角形、四边形类似，如图，在平面内，由n(n≥3)条线段 A₁A₂，A₂A₃，…，An-1An，AnA₁首尾顺次相接，组成的图形叫作多边形. 边 顶点 对角线 内角 外角 返回 1．[2025广安期中]下列说法正确的有(　　) ①由n(n≥3)条线段首尾顺次相接，组成的图形叫作多 边形； ②正多边形的各边都相等； ③各角都相等的多边形是正多边形； ④等边三角形是正多边形； ⑤正多边形的各对角线相等． A．1个　 B．2个　 C．3个　 D．4个 B 中考考法 5 与三角形、四边形类似，如图，在平面内，由n(n≥3)条线段 A₁A₂，A₂A₃，…，An-1An，AnA₁首尾顺次相接，组成的图形叫作多边形. 边 顶点 对角线 内角 说明 ： n(n≥3)边形共有n条边，n个顶点，n个内角，2n个外角，从一个顶点处可以引(n-3)条对角线. 外角 返回 2．对于八边形对角线的描述，正确的是(　　) 甲：过八边形的一个顶点可以引出5条对角线； 乙：过八边形的一个顶点画出所有的对角线，可以将这个八边形分成5个三角形． A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错 A 中考考法 7 多边形的边、顶点、内角、外角、对角线的概念与四边形相应的概念类似. 多边形有几条边就叫作几边形. 多边形同样用表示它的各个顶点的字母表示，例如，图中的六边形，记作“六边形ABCDEF”. A E D C B F 与四边形类似，在多边形中，有的是凸多边形，有的不是凸多边形.今后，如无特殊说明，所讨论的多边形都是凸多边形. 我们知道，正方形的各个角都相等，各条边都相等.像正方形这样，各个角都相等、各条边都相等的多边形叫作正多边形.下图中是正多边形的一些例子. 正三角形 正方形 正五边形 正六边形 例1 下列图形中，一定是正多边形的是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.长方形 D.正方形 三条边不都相等，三个角不都相等. 三条边不一定都相等，三个角也不一定都相等. 四个角都相等，但四条边不一定都相等. 四条边都相等，四个角都相等. D 返回 3．苯分子的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的．随着研究的不断深入，发现苯分子中的6个碳原子与6个氢原子均在同一平面，且所有碳碳键的键长都相等(如图①)，组成了一个完美的六边形(正六边形)，图②是其平面示意图，则∠1的度数为(　　) A．130°　 B．120°　 C．110°　 D．60° B 中考考法 11 探究 类比四边形的内角和的推导过程，你能推导出五边形和六边形的内角和各是多少度吗？由上述推导过程，你能得出多边形的内角和与边数的关系吗？ (1)从四边形的一个顶点出发，可以引______条对角线，将四边形分成______个三角形，四边形的内角和等于_____×180°； (2)从五边形的一个顶点出发，可以引______条对角线，将五边形分成______个三角形，五边形的内角和等于_____×180°； 2 2 1 3 3 2 (3)从六边形的一个顶点出发，可以引______条对角线，将六边形分成______个三角形，六边形内角和等于_____×180°； (4)从n边形的一个顶点出发，可以引______条对角线，将n边形分成______个三角形，n边形内角和等于_____×180°. 4 4 3 (n-2) (n-3) (n-2) 把一个多边形分成若干个三角形，还有其他分法吗？由新的分法，能得出多边形的内角和公式吗？ 返回 4．如图，将五边形ABCDE沿虚线裁去一个角，得到六边形ABCDGF，则下列说法正确的是(　　) A．外角和减少180° B．外角和增加180° C．内角和减少180° D．内角和增加180° D 中考考法 15 把一个多边形分成若干个三角形，还有其他分法.可在多边形的内部或一边上任取一点，将该点与各顶点连接得到n个或(n-1)个三角形，由此可推导出多边形内角和公式.具体如下表 方法 图示 方法1： 如图所示，在n边形内任取一点P，连接 PA₁, PA₂, ..., PAn，把n边形分成n个三角形，这n个三角形的内角和为n×180°，再减去一个周角的度数，即得n边形的内角和为 n×180° - 360° = (n-2)×180°. 把一个多边形分成若干个三角形，还有其他分法.可在多边形的内部或一边上任取一点，将该点与各顶点连接得到n个或(n-1)个三角形，由此可推导出多边形内角和公式.具体如下表 方法 图示 方法2：如图所示，在n边形的一边上任取一点P与各顶点相连，得(n-1)个三角形，n 边形内角和等于这 (n-1) 个三角形的内角和减去在点P处的一个平角的度数，即得n边形的内角和为 (n-1)×180° - 180° = (n-2)×180°. 这样就得出了多边形的内角和公式： n边形的内角和等于(n-2)×180°. 例2 若一个六边形的每个内角都是x°，则x的值为（ ） A. 60 B. 90 C. 120 D. 150 解析：∵ 一个六边形的每个内角都是x°， ∴ 6×x°=(6−2)×180°， 解得 x=120. C 探究 与四边形的外角和类似，在多边形的每个顶点处各取一个外角、它们的和叫作多边形的外角和.多边形的外角和等于多少度？请你说明理由. 与四边形类似，多边形的每一个内角与和它相邻的外角是邻补角，因此 n边形的内角和与外角和的总和等于n×180°，外角和等于 n×180°-(n-2)×180°=360°. 这样就得出了多边形的外角和公式： n边形的外角和等于360°. 也可以这样理解为什么多边形的外角和等于360°：如图，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边依次走过各顶点，再回到点A,然后转向出发时的方向.在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和，由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360° 6．如图，将正五边形纸片ABCDE折叠，使点B与点E重合，折痕为AM，展开后，再将纸片折叠，使边AB落在线段AM上，点B的对应点为点B′，折痕为AF，则∠AFB′为________． 45° 中考考法 22 返回 中考考法 23 例3 一个多边形的内角和等于外角和的2倍，这个多边形是几边形？ 解：设这个多边形的边数为n. 因为它的内角和等于(n-2)×180°，外角和等于360°，所以 (n-2)×180°=2×360°. 解得 n=6. 因此这个多边形是六边形. 返回 5．“花影遮墙，峰峦叠窗”，苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素．如图是窗棂中的部分图案．若∠1＝∠2＝75°，∠3＝∠4，∠5＝80°，则∠3的度数是________． 65° 中考考法 25 中考考法 26 返回 (2)若这个正多边形的一个内角为108°，求n的值． 中考考法 27 返回 8．如果一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1 080°，那么原多边形的边数为(　　) A．7 B．7或8 C．8或9 D．7或8或9 D 中考考法 28 9．小聪利用所学的数学知识，给同桌出了这样一道题：如图，假如从点A出发，沿直线走6 m后向左转θ，接着沿直线前进6 m后，再向左转θ，…，如此下去，当第一次回到点A时，一共走了72 m，则θ的度数为(　　) A．60° B．75° C．30° D．45° 中考考法 29 返回 【点拨】∵第一次回到点A时，所经过的路线正好构成一个正多边形，∴正多边形的边数为72÷6＝12.∵多边形的外角和为360°，∴θ＝360°÷12＝30°. 【答案】C 中考考法 30 10．如图，n边形A1A2A3A4A5…An，从n边形的一个顶点出发可以作________条对角线．若过n边形的一个顶点有7条对角线，m边形没有对角线，k边形对角线的总条数等于边数，则n－m＋k＝________． (n－3) 12 中考考法 31 返回 中考考法 32 11．剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选1张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片；从这3张中任选1张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸片……如此下去，若最后得到10张纸片，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5张四边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为________． 6 中考考法 33 返回 【点拨】由题意可知，每剪一次，所有的多边形的内角和增加360°，最后得到10张纸片，故剪了9次，即增加的度数为360°×9.设还有一张多边形纸片的边数为n，可得(5－2)×180°＋3×180°＋(4－2)×180°×5＋(n－2)×180°＝ 360°＋360°×9，解得n＝6. 中考考法 34 12．阅读小明和小红的对话，解决下列问题． (1)这个“多加的锐角”是________． 30° 中考考法 35 (2)小明求的是几边形的内角和？ 【解】设这个多边形为n边形，由题意，得(n－2)× 180°＝1 830°－30°，解得n＝12， ∴小明求的是十二边形的内角和． 中考考法 36 返回 (3)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多 少度？ 中考考法 37 多边形及其内角和 相关 概念 与三角形、四边形类似，如图，在平面内，由n(n≥3)条线段A₁A₂，A₂A₃，…，An-1An，AnA₁首尾顺次相接，组成的图形叫作多边形. 内角和 公式 n边形的内角和等于(n-2)×180° 外角和 公式 多边形的外角和等于360° 课 堂 总 结 【点拨】∵五边形的内角和为(5－2)×180°＝540°，∴∠B＝∠BAE＝＝108°.由图形的折叠可知∠BAM＝∠BAE＝54°，∠BAF＝∠BAM，∠AFB′＝∠AFB，∴∠BAF＝27°.∴∠AFB′＝∠AFB＝180°－∠B－∠BAF＝180°－108°－ 27°＝45°. 7．已知一个正多边形的边数为n． (1)若这个正多边形的内角和的比外角和多90°，求n的值； 【解】依题意，得(n－2)×180°×＝360°＋90°， 解得n＝12. 【解】∵正多边形的一个内角为108°， ∴这个正多边形的一个外角为72°. ∵多边形的外角和为360°，∴n＝＝5. 【点拨】从n边形的一个顶点出发可以作(n－3)条对角线．∵过n边形的一个顶点有7条对角线，∴n＝7＋3＝10.∵m边形没有对角线，∴m＝3.∵k边形对角线的总条数等于边数，∴＝k.∵k＞0，∴k－3＝2.∴k＝5.∴n－m＋k＝10－ 3＋5＝12. 【解】∵＝150°， ∴这个正多边形的一个内角是150°. $