精品解析：山西长治市平顺县2025-2026学年九年级上学期2月期末数学试题

2025-2026学年度九年级数学期末考试卷 考试时间：120分钟；满分：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（共30分） 1. 下列函数是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义．根据反比例函数的定义，形如（为常数，）的函数是反比例函数，判断各选项是否符合此形式． 【详解】解：反比例函数的形式为（）， 选项A：，符合定义； 选项B：，为二次函数，不符合； 选项C：，为正比例函数，不符合； 选项D：，为正比例函数，不符合． ∴A反比例函数． 故选：A． 2. 如图，线段，，设，分别是，的中点，连接，若，，则（ ） A. 2 B. 1 C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定及性质，证得，可得，进而求得，，据此即可求得答案． 【详解】解：如图所示，设和交于点． ∵，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵，分别是，的中点， ∴，． ∵， ∴． ∴ ． ∵， ∴ ． 故选：B 3. 如图所示的几何体是由一个圆锥和一个长方体组成的，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查几何体的三视图，熟练掌握几何体的三视图的画法是解题的关键．根据几何体的主视图的含义可直接进行判断． 【详解】解：由题意可得：该几何体的主视图为 故选：B． 4. 如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，轴，分别交，的图像于C，B两点，若的面积是6，则k的值是（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，掌握相关知识是解决问题的关键．连接、，因为轴，可以得出，结合反比例函数的几何意义即，可求出的值． 【详解】解：如图所示：连接、， 轴， ， ， 又的面积是6， ， ， 又图像在第二象限， ． 故选：B． 5. 如图，、分别是的边、上的点，且，、相交于点，若，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，同高三角形的面积比，理解“同高三角形面积比等于底的比”是解题关键． 先由得，根据两个三角形的面积比推出，再由推出，最后由“同高三角形的面积比等于底的比”得出结果． 【详解】解：， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 与的高相等， ． 故选：． 6. 如图，四边形是平行四边形，对角线在轴上，位于第一象限的点和第二象限的点分别在双曲线和的一支上，过点，点分别作轴的垂线，垂足分别为和．有以下结论：① ② ③阴影部分面积是 ④若四边形是菱形，则图中曲线关于轴对称．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象、反比例函数k的几何意义、平行四边形的性质、菱形的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键． ①作轴于点E，轴于点F，根据平行四边形的性质得，利用三角形面积公式得到，则有；②再利用反比例函数k的几何意义和三角形面积公式得到，，所以有；③由， ，得到；④若是菱形，根据菱形的性质得，可判断，则，所以，即，根据反比例函数的性质得两双曲线关于y轴对称． 【详解】解：作轴于点E，轴于点F，如图， ∵轴，轴， ∴， ∴四边形、矩形， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，故①正确； 则，， ∴，故②正确； ∵， ， ∴， 故③错误； 若是菱形，则， 而， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴两双曲线关于y轴对称，故④正确； 综上分析可知，①②④正确，故C正确． 故选：C． 7. 已知在中，，，，则的值是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数，根据直角三角形中正切的定义，等于的对边与邻边的比值． 【详解】∵ 在中，， ∴ ， ∵ ， ∴ = ， 故选：A． 8. 下图所示物体的影子中，不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了投影的意义，熟练掌握定义是解题的关键．根据平行投影，中心投影，解答即可． 【详解】解：根据题意，得太阳光线是平行的，中心投影的光线是相交的，且交点在光源处， 故A错误，B、C、D是正确的； 故选：A． 9. 如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．连接，并延长与延长线相交，交点坐标即为位似中心的坐标． 【详解】解：如图，连接，并延长与延长线相交，交点即为位似中心， 由图可知，位似中心的坐标为， 故选：C． 10. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点落在反比例函数上，点落在反比例函数上，则的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合及三角函数，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点、点作轴的垂线，垂足分别为、，然后根据特殊三角函数值结合勾股定理求得，，再求得点，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：如图，过点、点作轴的垂线，垂足分别为、，    ∵， ∴， ∴设，则， ∴点， ∵点A在反比例函数上， ∴， ∴，如图所示，负值舍去，则点， ∴，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴点， ∵点B落在反比例函数上， ∴， 故选：D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（共15分） 11. 在设计某河流的防洪堤坝中，工程师需要计算该河堤横断面的尺寸．如图所示，堤坝的垂直高度为2米，迎水坡的坡度为，则迎水坡的长是__________米． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握坡度的概念． 根据迎水坡的坡度为，可得，得到，再根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解：由题意得，， ∵堤坝的垂直高度为2米，迎水坡的坡度为， ∴， ∴（米）， ∴（米）， 故答案为：． 12. 阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，根据题意可得，进而利用相似三角形性质即可计算出本题答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴，解得：， 故答案为：． 13. 如图，四边形中，．点是四边形ABCD四条边上的一个动点，若到的距离为4，则两点间距离是_____． 【答案】或或1 【解析】 【分析】本题考查了三角函数，勾股定理． 根据勾股定理得到，根据三角函数得到，，证明得到，即，分三种情况根据三角函数及勾股定理作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即 当P在上运动时，如图，作交于E， ∵到的距离为4， ∴， ∴， ∴， 当P在上运动时，如图，作交于F， ∵到的距离为4， ∴， ∴， 即此时P在C处，； 当P在上运动时，如图，作交于G， ∵到的距离为4， ∴， ∴， ∴； 故答案为：或或1． 14. 如图是某校音乐社团购买的一种乐器．乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则A，D之间的距离为________．（结果精确到） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割点，解题的关键在于能够熟练掌握黄金分割比例．根据黄金分割点的定义，得解答即可． 【详解】解：根据黄金分割点的定义，得， 解得， 故， 故答案为：． 15. 如图，在平行四边形中，顶点A，B，D在上，与相切于点D，对角线，相交于点E，与交于点F.若，，则的半径为______，的长度为_____. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】连接并延长交于点H，连接，过点作于点，过点作交延长线于点，先解求出，设圆半径为，则，再运用勾股定理建立方程求解半径即可；在中，由勾股定理求解，延长交于点，连接，然后证明，求出，则，由，得到，则可求，那么，，最后对运用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接并延长交于点H，连接，过点作于点，过点作交延长线于点， ∵平行四边形， ∴， ∵与相切于点D， ∴， ∴， ∵经过圆心， ∴ ∵， ∴， ∴， 设圆半径为，则， ∴在中，由勾股定理得，， ∴， 解得； ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴中，， 延长交于点，连接， ∴， ∵是直径， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆的切线的性质，圆周角定理，勾股定理，解直角三角形，平行四边形的判定与性质等知识点，难度大，正确添加辅助线，熟练掌握各知识点是解题的关键． 三、解答题（共75分） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合运算，解一元二次方程，正确计算是解题的关键． （1）先计算特殊角三角函数值，再根据二次根式的混合运算法则求解即可； （2）先去括号，然后利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ， 或， 解得． 17. 计算： 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，先进行零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值和开方运算，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式． 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．解决问题的关键是掌握用待定系数法确定一次函数的解析式． （1）先把点的坐标代入反比例函数解析式，可得到，把点的坐标代入反比例函数解析式，求出，再用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）找出反比例函数图象位于一次函数的图象的下方的部分，再确定这部分对应的取值范围即可． 【小问1详解】 解：把点代入反比例函数中，得， 则反比例函数的解析式为． 当时，， 所以点的坐标为 把点，点代入一次函数中， 得， 解得， 所以一次函数的解析式为． 【小问2详解】 由图象可得不等式的解集为或． 19. 如图，为测量观景台距离地面的高度，小明在地面处测得的仰角为，他在平地上沿正对观景台的方向前进至处，测得的仰角为．若测角仪的高度忽略不计，，求观景台距离地面的高度（精确到）． （参考数据：，） 【答案】观景台距离地面的高度为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的相关应用，设，分别在中，在中，利用角的正切值，表示出，，再根据，求出x的值即可． 【详解】解：设． 在中，由，得． 在中，由，得． ， ． ． 答：观景台距离地面的高度为． 20. 如图，在中，，以为直径作，分别交于点D，E．连接并延长，交于点F，过点F作的切线，交的延长线于点G． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、圆周角定理、圆的切线性质、解直角三角形等知识点，熟练掌握圆的切线性质和三角函数的应用是解题的关键． （1）利用等腰三角形的性质得出角相等，进而得到同位角相等，证明两直线平行； （2）先设圆的半径，结合切线性质和三角函数求出半径，再利用圆的直径所对圆周角为直角、然后解即可求解． 【小问1详解】 证明：， ． ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图，设的半径为，连接， 切于点， ． 在中，， 解得， ， ， ． 为的直径， ． ∴在中，． 21. 生物实践小组搜集了某种植园温室大棚智能控制系统测试阶段时的温度变化，并绘制出大棚内的温度随时间（时）变化的图象，如图所示，点表示智能控制系统在0时启动，此时大棚内的温度为，线段表示升温阶段，线段表示恒温阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，点表示24时温度降到． （1）求线段及双曲线段的函数解析式（写出自变量取值范围）； （2）求该大棚在时内，温度不低于的时长， （3）此地日出时间为，日落时间为，为保证该大棚中的植物至少有9小时的光照且在此期间大棚温度不低于，小组同学决定推迟智能控制系统的启动时间，至少推迟___________小时，能满足上述要求． 【答案】（1）， （2）大棚在时内，温度不低于的时长为12小时． （3）1 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，一次函数的应用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）设线段所在直线的解析式为．将和代入，则，求解即可得出线段的函数解析式为．设段的函数解析式为，将代入，，求解即可得出结果； （2）令，解得，则段温度为的时刻为15时． 令，解得，则段温度为的时刻为3时，由此即可得出结果； （3）由题意得，日出时间为，此时大棚气温是，符合要求，由（2）得到15时后，大棚气温低于，因此符合要求的时间只有小时，由此即可得出结果． 【小问1详解】 解：设线段所在直线的解析式为． 将和代入，则， 解得， 线段的函数解析式为． 设段的函数解析式为， 将代入，， ． 当时，， ， 段的函数解析式为． 【小问2详解】 解：令， 解得， 段温度为的时刻为15时． 令，解得， ∴段温度为的时刻为3时， ， 大棚在时内，温度不低于的时长为12小时． 【小问3详解】 解：由题意得，日出时间为，此时大棚气温是，符合要求， 由（2）得到15时后，大棚气温低于， 因此符合要求的时间只有（小时）， 故至少需要推迟（小时）． 故答案为：1． 22. 阅读下面的材料：小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题： 定义运算“※”为：，求的值． 小明是这样解决问题的：由新定义可知，，又，所以． 请你参考小明的解题思路，回答下列问题： （1）计算：______； （2）若，则______； （3）函数的图象大致是______； （4）若函数与的图象有3个交点，则k的取值范围是______． 【答案】（1） （2） （3）D （4） 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，实数的新定义运算等知识． （1）根据新定义进行解答即可； （2）根据新定义分两种情况进行解答即可； （3）分和两种情况进行分析即可得到答案； （4）求出当函数图象的第二象限部分与的图象有1个交点时，k的值，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意可得，； 故答案为： 【小问2详解】 解：当时， ， 解得：， 当时，， 解得：， ； 故答案为： 【小问3详解】 解：当时，， 此时是双曲线的第一象限部分； 当时，， 此时是双曲线的第二象限部分； 故函数的图象大致是D． 【小问4详解】 解：联立得：， 整理得：， 当函数图象的第二象限部分与的图象有1个交点时， 此时， 解得：（负值舍去）， ∴函数与的图象有3个交点时，k的取值范围是． 故答案为： 23. 在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“差距离”，给出如下定义：若，则点与点的“差距离”为；若，则点与点的“差距离”为．例如：点，点，因为，所以点与点的“差距离”为．当时，我们将称为点与点的“完美距离”（“完美距离”是“差距离”的特殊情况）． （1）已知点，为轴上的一个动点．判断下列说法正确与否：（填“√”，或“×”） ①若点与点的“差距离”为1，则点的坐标为或_____； ②点与点“差距离”的最大值为3_____， ③已知是直线上的一个动点，点，当点与点的“差距离”是“完美距离”时，这样的点只有一个_____， （2）已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，点为线段上一动点，点是以点为圆心，1为半径的圆上的一个动点；求点与点的“完美距离”的取值范围． （3）已知二次函数的图象与轴最左侧的交点为点，与轴交于点．点，点分别在线段和直线下方的抛物线上，均不与、点重合，且，求点与点的“差距离”的最大值． 【答案】（1）①√；②√③× （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数综合，相似三角形判定与性质，与圆有关的最值问题； （1）根据“差距离”和“完美距离”的定义判断即可； （2） 过作轴交于，过作于，由点与点的“完美距离”得到，则直线经过圆心时，有最大值和最小值，求出，即可得到由可得； （3）先求出，，设，过作轴，过作轴交于，交轴于，过，得到，即，设，则，则，把代入得到，再根据点与点的“差距离”为求解即可． 【小问1详解】 解：为轴上的一个动点，设， ∵， ∴，， ①若点与点的“差距离”为1，则，解得，点的坐标为或， ∴原说法正确， 故答案为：√； ②若，，则点与点的“差距离”为； 若，，则点与点的“差距离”为； 当，时，点与点的“完美距离”（“完美距离”是“差距离”的特殊情况）． ∴点与点的“差距离”的最大值为3， ∴原说法正确， 故答案为：√； ③是直线上的一个动点，设， ∵点，当点与点的“差距离”是“完美距离”时， ∴， 解得或， ∴这样的点有两个， ∴原说法错误， 故答案为：×； 【小问2详解】 解：过作轴交于，过作于， ∵点与点的“完美距离” ∴， ∴，， ∵一次函数的图象与轴，轴分别交于点，， ∴，， ∴， ∴， ∵轴 ∴， ∴，， ∴， ∵点为线段上一动点，点是以点为圆心，1为半径的圆上的一个动点， ∴直线经过圆心时，有最大值和最小值， 此时，， ∴，， ∴， ∴， 由可得； 【小问3详解】 解：当时，解得，当时，， ∴，， 设直线解析式为，把代入得，解得， ∴直线解析式为， 设， 过作轴，过作轴交于，交轴于，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 设，则， ∴向下移动，再向右移动得到 ∴， 把代入得， 整理得， ， 解得， ∵，， ∴点与点的“差距离”为， ∴点与点的“差距离”的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度九年级数学期末考试卷 考试时间：120分钟；满分：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（共30分） 1. 下列函数是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，线段，，设，分别是，的中点，连接，若，，则（ ） A 2 B. 1 C. 4 D. 3. 如图所示的几何体是由一个圆锥和一个长方体组成的，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，轴，分别交，的图像于C，B两点，若的面积是6，则k的值是（ ） A B. C. 3 D. 5. 如图，、分别是的边、上的点，且，、相交于点，若，则是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形是平行四边形，对角线在轴上，位于第一象限的点和第二象限的点分别在双曲线和的一支上，过点，点分别作轴的垂线，垂足分别为和．有以下结论：① ② ③阴影部分面积是 ④若四边形是菱形，则图中曲线关于轴对称．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 已知在中，，，，则的值是（ ） A. B. 2 C. D. 8. 下图所示物体影子中，不正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点落在反比例函数上，点落在反比例函数上，则的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 第II卷（非选择题） 二、填空题（共15分） 11. 在设计某河流的防洪堤坝中，工程师需要计算该河堤横断面的尺寸．如图所示，堤坝的垂直高度为2米，迎水坡的坡度为，则迎水坡的长是__________米． 12. 阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是__________． 13. 如图，四边形中，．点是四边形ABCD四条边上的一个动点，若到的距离为4，则两点间距离是_____． 14. 如图是某校音乐社团购买的一种乐器．乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则A，D之间的距离为________．（结果精确到） 15. 如图，在平行四边形中，顶点A，B，D在上，与相切于点D，对角线，相交于点E，与交于点F.若，，则的半径为______，的长度为_____. 三、解答题（共75分） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 17. 计算： 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象直接写出不等式的解集． 19. 如图，为测量观景台距离地面高度，小明在地面处测得的仰角为，他在平地上沿正对观景台的方向前进至处，测得的仰角为．若测角仪的高度忽略不计，，求观景台距离地面的高度（精确到）． （参考数据：，） 20. 如图，在中，，以为直径作，分别交于点D，E．连接并延长，交于点F，过点F作的切线，交的延长线于点G． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. 生物实践小组搜集了某种植园温室大棚智能控制系统测试阶段时的温度变化，并绘制出大棚内的温度随时间（时）变化的图象，如图所示，点表示智能控制系统在0时启动，此时大棚内的温度为，线段表示升温阶段，线段表示恒温阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，点表示24时温度降到． （1）求线段及双曲线段的函数解析式（写出自变量取值范围）； （2）求该大棚在时内，温度不低于的时长， （3）此地日出时间为，日落时间为，为保证该大棚中的植物至少有9小时的光照且在此期间大棚温度不低于，小组同学决定推迟智能控制系统的启动时间，至少推迟___________小时，能满足上述要求． 22. 阅读下面的材料：小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题： 定义运算“※”为：，求的值． 小明是这样解决问题的：由新定义可知，，又，所以． 请你参考小明的解题思路，回答下列问题： （1）计算：______； （2）若，则______； （3）函数的图象大致是______； （4）若函数与的图象有3个交点，则k的取值范围是______． 23. 在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“差距离”，给出如下定义：若，则点与点的“差距离”为；若，则点与点的“差距离”为．例如：点，点，因为，所以点与点的“差距离”为．当时，我们将称为点与点的“完美距离”（“完美距离”是“差距离”的特殊情况）． （1）已知点，为轴上的一个动点．判断下列说法正确与否：（填“√”，或“×”） ①若点与点的“差距离”为1，则点的坐标为或_____； ②点与点的“差距离”的最大值为3_____， ③已知是直线上的一个动点，点，当点与点的“差距离”是“完美距离”时，这样的点只有一个_____， （2）已知一次函数图象与轴，轴分别交于点，，点为线段上一动点，点是以点为圆心，1为半径的圆上的一个动点；求点与点的“完美距离”的取值范围． （3）已知二次函数的图象与轴最左侧的交点为点，与轴交于点．点，点分别在线段和直线下方的抛物线上，均不与、点重合，且，求点与点的“差距离”的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $