21.1.1四边形及其内角和 课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

新人教版数学8年级下册培优备课课件 21.1.1四边形及其内角和 第二十一章　四边形 授课教师： Home . 班 级： . 时 间： . 2026年2月16日 2026年2月16日星期一9时52分15秒 1 1. 理解四边形及其相关概念. 2. 能够辨别凸四边形与凹四边形. 3. 理解四边形的内角与外角的性质. 学习目标 这些生活中常见的四边形，你有注意到吗？ 与三角形类似，如图，在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形,组成四边形的各条线段叫作四边形的边，每相邻两条线段的公共端点叫作四边形的顶点.四边形用表示它的各个顶点的字母表示，例如：图中的四边形，可以按照顶点的顺序，记作“四边形ABCD”. A B C D 图 2 图 1 A C B D A C B D 注意：今后，如无特殊说明，所讨论的四边形都是凸四边形. 如图1，画出四边形ABCD的任何一条边所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫作凸四边形.而图2中的四边形ABCD就不是凸四边形,因为画出边AD（或DC）所在直线，整个四边形不都在这条直线的同一侧. 返回 B 1. 下列图形中是四边形的是(　　) 中考考法 6 如图(1)，画出四边形ABCD的任何一条边(例如CD)所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫作凸四边形.而图(2)中的四边形ABCD就不是凸四边形，因为画出边CD(或BC)所在直线，整个四边形不都在这条直线的同一侧.今后，如无特殊说明，所讨论的四边形都是凸四边形. A D C B A B D C 图(1) 图 (2) 返回 2. D 下列图形中是凸四边形的是(　　) 中考考法 连接四边形不相邻的两个顶点的线段，叫作四边形的对角线.在图中，AC，BD是四边形ABCD的两条对角线，它们分别将四边形 ABCD分为两个三角形. A D C B 与三角形类似，四边形相邻两边组成的角叫作四边形的内角，简称四边形的角；四边形的角的一边与另一边的延长线组成的角叫作四边形的外角. 请你画出四边形ABCD顶点C，D处的外角. A D C B 返回 3. 3 如图，在四边形ABCD中，点E，F分别 在边AD，BC上，连接EF． (1)图中共有________个四边形； (2)四边形ABCD与四边形CDEF的公共边是________，公共角是____________； (3)四边形AEFB的外角是______________； (4)任意四边形共有________条对角线，从顶点A出发，可以引出的对角线有________条． CD ∠C，∠D ∠DEF，∠EFC　 2 2 中考考法 返回 4. C 在四边形ABCD中，已知∠A＝85°，∠B＝95°，∠C＝75°，则∠D的度数是(　　) A．85° B．95° C．105° D．115° 中考考法 思考 我们知道，三角形的内角和是180°，长方形的内角和是360°.那么，任意一个四边形的内角和是多少度？你能证明你的结论吗？ 由于四边形的一条对角线将这个四边形分为两个三角形，所以四边形的有关问题就可以利用三角形的相关知识加以解决.下面按照上述思路解决这个问题. C A B D 如图，在四边形ABCD中，连接对角线AC，则四边形ABCD被分为△ABC和△ACD两个三角形.在△ABC中，由三角形内角和定理，得 ∠1+∠B+∠3=180°. 同理∠2+∠4+∠D=180°. 由此可得 ∠DAB+∠B+∠BCD+∠D =∠1+∠2+∠B+∠3+∠4+∠D =(1+∠B+∠3)+(∠2+∠4+∠D) =180°+180°=360°. 即四边形的内角和等于360° 2 1 3 4 C A B D 返回 5. B 在四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶3∶2，则∠B的度数是(　　) A．60° B．90° C．120° D．150° 中考考法 四边形的内角和等于360°. 例1 如图，在四边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫作四边形的外角和.四边形的外角和等于多少？ 分析：因为四边形的每一个内角与和它相邻的外角是邻补角，所以四边形的外角和与内角和的总和为4×180°.根据这个关系，可以利用四边形的内角和求出其外角和. A C B D 2 1 3 4 例1 如图，在四边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫作四边形的外角和.四边形的外角和等于多少？ A C B D 2 1 3 4 解：如图. ∵∠DAB与∠1是邻补角， ∴∠DAB+∠1=180°. 同理∠ABC+∠2=180°， ∠BCD+∠3=180°， ∠CDA+∠4=180°. 例1 如图，在四边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫作四边形的外角和.四边形的外角和等于多少？ A C B D 2 1 3 4 ∴∠DAB+∠1+∠ABC+∠2+∠BCD+∠3+∠CDA+∠4=720°. 而∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠CDA=360°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°. 四边形的外角和等于360° 返回 6. B [2025邢台期末]如图，BD是四边形ABCD的对角线，且四边形ABCD的内角和为α，△ABD与△BCD的内角和相加为β，则(　　) A．α＞β　　　　 B．α＝β C．α＜β　　　　 D．无法比较α，β的大小关系 中考考法 返回 7. 解：由题意得x°＋x°＋150°＋80°＝360°，解得x＝65. (8分)[教材P49练习T1变式]求出下列图形中x的值． (1) 　　　 　(2) 由题意得x°＋x°＋10°＋90°＋60°＝360°，解得x＝100. 中考考法 探究 如图(1)，在每个角上钉一枚钉子，将四根木条钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？如图(2)，在四边形木架上再钉一根木条，将它的一对不相邻的顶点连接起来，然后再扭动它，这时木架的形状还会改变吗？为什么？ 图 （1） 图（2） 可以发现，四边形木架的形状会改变.因为四边形的四条边确定后，四个角并不确定，这说明四边形不具有稳定性. 而再钉一根木条后，四边形木架变成两个三角形木架，由于三角形具有稳定性、这时四边形木架的形状不会改变. 图 （1） 图（2） 在日常生活中，有时需要利用四边形的不稳定性，如图中的伸缩门、升降机等；有时又需要克服四边形的不稳定性，如图中在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上钉一根木条，以防窗框变形等. 1.求出下列图形中x的值. 解：(1)由140+90+2x=360，得x=65. (2)由3x+4x+2x+3x=360，得x=30. (3)由120+80+75+(180-x)=360，得x=95. 随堂练习 2.四边形ABCD中有一组对角互补，且∠A，∠B，∠C的度数之比为2:3:4，则∠D 的度数是______. 解析：∵ 四边形ABCD 中有一组对角互补， ∴ 另一组对角也互补， ∴ ∠A+∠C=∠B+∠D=180°. 设 ∠A,∠B,∠C 的度数分别为2x,3x,4x， 则 2x+4x=180°， 解得 x=30°， ∴∠B=3x=90°， ∴ ∠D=180°−∠B=90°. 90° 随堂练习 3.下列图形中哪些具有稳定性？ (1) (2) (3) (4) (5) 解：(1)(4)具有稳定性； (2)(3)(5)不具有稳定性. 随堂练习 返回 8. A 如图，已知∠1＋∠2＋∠3＝240°，那么∠4的度数为(　　) A．120° B．130° C．140° D．150° 中考考法 返回 9. A 如图，将三角形纸片ABC剪掉一角得到△AD′E′与四边形BCDE，设△AD′E′的外角和、四边形BCDE的外角和分别为α，β，则下列正确的是(　　) A．α＝β　B．α＞β　 C．α＜β　D．β－α＝180° 中考考法 30 返回 10. D [2025厦门期中]下列生活实物图中，运用了四边形的不稳定性的是(　　) 中考考法 31 返回 11. D 下列图形中具有不稳定性的有(　　)   A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 中考考法 32 返回 12. C 如图，一个顶角为40°的三角形纸片，剪去顶角后得到一个四边形，则∠1＋∠2＝(　　) A．140° B．180° C．220° D．240° 中考考法 33 返回 13. C [教材P49练习T2变式]如图，两根细绳将一物体E挂在两面互相垂直的墙面AD与AB上，若∠ABC＝68°，BC⊥CD，CE∥AD，则∠DCE的度数为(　　) A．92° B．110° C．112° D．120° 中考考法 返回 14. 4∶3∶2∶1 如图，在四边形ABCD中，∠1∶∠2∶∠3∶∠4＝1∶2∶3∶4，则∠BAD∶∠ABC∶∠BCD∶∠ADC＝____________． 中考考法 15. (8分)如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC交CD于点E，DF平分∠ADC交AB于点F． (1)若∠ABC＝42°，求∠ADF的度数； 中考考法 (2)求证：DF∥BE． 返回 中考考法 37 16. 90 (12分) 规定：有一对相对的角互补的四边形叫作“智慧四边形”．例如，在四边形ABCD中， 若∠A＋∠C＝180°或∠B＋∠D＝180°， 则四边形ABCD是“智慧四边形”． (1)如图①，已知四边形ABCD是“智慧四边形”，其中三个内角∠A，∠B，∠C的度数之比是4∶3∶2，则∠D的度数为________°； 中考考法 (2)如图②，已知四边形ABCD是“智慧四边形”，∠ABC与∠ADC的平分线交于点O，若∠A＝50°，求∠O的度数； 中考考法 39 中考考法 中考考法 返回 中考考法 四边形及其内角和 相关概念 在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形，组成四边形的各条线段叫作四边形的边，每相邻两条线段的公共端点叫作四边形的顶点 内角和 四边形的内角和等于360° 外角和 四边形的外角和等于360° 课 堂 总 结 解：∵在四边形ABCD中， ∠A＝∠C＝90°，∠ABC＝42°， ∴∠ADC＝360°－∠A－∠ABC－∠C＝138°. 又∵DF平分∠CDA，∴∠ADF＝∠ADC＝69°. 证明：设∠ABC＝x，∵BE平分∠ABC， ∴∠EBA＝∠ABC＝x. ∵∠A＝∠C＝90°，∴∠ADC＝360°－∠A－∠ABC－∠C＝180°－x. 又∵DF平分∠CDA，∴∠ADF＝∠ADC＝90°－x， ∴在Rt△DAF中，∠AFD＝90°－∠ADF＝x， ∴∠EBA＝∠AFD，∴BE∥DF. 解：∵四边形ABCD是“智慧四边形”， ∴∠ABC＋∠ADC＝180°. ∵BO平分∠ABC，DO平分∠ADC， ∴∠ABO＝∠ABC，∠ADO＝∠ADC，∴∠ABO＋∠ADO＝(∠ABC＋∠ADC)＝×180°＝90°，∴∠O＝360°－∠A－∠ABO－∠ADO＝360°－50°－90°＝220°. (3)如图③，D为△ABC内一点，且∠D＝90°＋∠A，△ABC的两个外角∠MBC，∠BCN的平分线交于点E，判断四边形DBEC是不是“智慧四边形”． 解：∵△ABC的两个外角∠MBC，∠BCN的平分线交于点E， ∴∠CBE＝∠MBC，∠BCE＝∠NCB，∴∠CBE＋∠BCE＝(∠MBC＋∠NCB)＝(180°－∠ABC＋180°－∠ACB)＝(180°＋∠A)＝90°＋∠A. ∵∠CBE＋∠BCE＋∠E＝180°，∴90°＋∠A＋∠E＝180°. 又∵∠BDC＝90°＋∠A，∴∠BDC＋∠E＝180°， ∴四边形DBEC为“智慧四边形”． $