精品解析：山西长治市长子县2025-2026学年九年级上学期2月期末数学试题

2025-2026学年度九年级数学期末考试卷 考试时间：120分钟；满分：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（共30分） 1. 柘沟澄泥是山东泗水县柘沟镇特有的陶土资源．用柘沟澄泥制作的壶，具有独特的质感和色泽，可能会呈现出紫砂色、青铜器色等，且因窑变而具有丰富的色彩变化．如图是一把做工精湛的澄泥壶，下面四幅图中哪一个是该壶的俯视图（ ） A. B. C. D. 2. 反比例函数的图象位于（ ） A. 第一、三象限 B. 第二、三象限 C. 第二、四象限 D. 无法判断 3. 如图，是某运动员进行跳伞运动时的示意图，运动员在空中的A点处打开降落伞，此时显示离地高度为，且从点看地面降落区中心点的俯角为，则此时降落伞到降落区中心的水平距离为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，，．将绕点A按顺时针方向旋转，得到，点B，C的对应点分别为，，的延长线与边相交于点D，连接，若，则线段的长度为（　　） A. B. C. 8 D. 5. 若，且与相似比是，则它们对应高的比是（ ） A. B. C. D. 6. 无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向．如图，在高速公路上，交警在处操控无人机巡查，无人机从点处飞行到点处悬停，探测到它的正下方公路上点处有汽车发生故障，测得点处到点处的距离为，从点处观测点处的仰角为．已知，则可求得点处到点处的距离约为（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，对于点，若满足，则称点为“和谐点”，有下列结论： ①点为“和谐点”； ②若点是一次函数的图象与反比例函数的图象的交点，则为“和谐点”； ③若点两点不重合）为“和谐点”，且，则； ④若点两点不重合）为“和谐点”，且，则． 其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 8. 若将（）的两直角边的长度都扩大为原来的3倍，则该中锐角的正切值（ ） A. 扩大为原来的3倍 B. 没有变化 C. 缩小为原来的 D. 不能确定 9. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为．若点都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正六边形内接于，半径为，则边心距的长为（　　） A. 2 B. C. 4 D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（共15分） 11. 如图，树在路灯O的照射下形成投影．若树高，路灯高度，树与路灯的水平距离，则树影________． 12. 在同一平面直角坐标系内，一次函数的图象与反比例函数的图象只有一个公共点，则这个公共点的坐标为_____________． 13. 手影戏是一种独特的艺术形式，它的表演全靠手部动作投影的改变，幻化形成各种不同的形象，手影戏中的手影属于_____________．（填“平行投影”或“中心投影”）． 14. 如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，、两点分别在轴、轴上，轴，，点的坐标为，将沿翻折，点落在点位置，交轴于点．则点的纵坐标为________． 15. 如图，在中，点在边上，，，连结，在上取一点，使，连结，若，则的长为______． 三、解答题（共75分） 16. （1）解方程：． （2）计算：． 17. 计算： 18. 已知一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点和． （1）求这两个函数的解析式． （2）当取何值时，？ 19. 大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大意是：影像倒立，在光线交会处有一小孔；关于影像的大小，在于小孔相对物像的位置，图2是图1中小孔成像实验的示意图，在图2中，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：）的反比例函数，图象如图3所示，且当时，． （1）求y关于x的反比例函数表达式； （2）若小孔到蜡烛的距离x为，求火焰的像高y； （3）根据反比例函数的图象分析，若火焰的像高y不超过时，求小孔到蜡烛的距离x至少是多少厘米？ 20. 【问题探究】 （1）如图1，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，连接，． ①请探究与之间的位置关系：　　　　　　； ②若，，则线段的长为　　　　　　； 【拓展延伸】 （2）如图2，和均为直角三角形，，，，，．将绕点在平面内顺时针旋转，设旋转角为，作直线，连接，当点，，在同一直线上时，画出图形，并求线段的长． 21. 暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山，需要登顶高的山峰，由山底A处先步行到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处．已知点A，B，D，E，F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计）． （1）求登山缆车上升的高度； （2）若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟？（结果精确到0.1）（参考数据：） 22. 如图，已知矩形，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中，点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线上运动，连接，过点B作交x轴于点E，连接交直线于点F，设运动时间为t秒． （1）当时，　　，　　， ； （2）当点P在原点上方，且时，求点P坐标； （3）在运动过程中，是否存在t使得为等腰三角形．若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 23. 【问题情境】 数学活动课上，老师发给每位同学一个直角三角形纸片，，，． 【问题发现】 奋进小组将三角形纸片进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片使点与点重合，然后展开铺平，得到折痕；第二步：然后将绕点顺时针方向旋转得到．点，的对应点分别是点，，直线与边交于点（点不与点重合），与边交于点． 如图小明发现，折痕的长很容易求出，并且和的数量关系也能证明． 如图小红发现，在绕点旋转的过程中，当直线经过点时或直线时，的长都可求…… 【问题提出与解决】 奋进小组根据小明和小红的发现，讨论后提出问题1和问题2，请你解答． 问题1：如图1，按照如上操作 （1）折痕的长为 ； （2）在绕点旋转的过程中，试猜想与的数量关系；并证明你的结论； 问题2：（3）如图2当直线经过点时，在绕点旋转的过程中，求的长； 【拓展应用】 小刚受到探究过程的启发，在绕点旋转的过程中，尝试画图，并提出问题3，请你解答． 问题3：（4）在绕点旋转的过程中，连接，当取最小值时，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度九年级数学期末考试卷 考试时间：120分钟；满分：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（共30分） 1. 柘沟澄泥是山东泗水县柘沟镇特有的陶土资源．用柘沟澄泥制作的壶，具有独特的质感和色泽，可能会呈现出紫砂色、青铜器色等，且因窑变而具有丰富的色彩变化．如图是一把做工精湛的澄泥壶，下面四幅图中哪一个是该壶的俯视图（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据俯视图是从上面看的图形可得答案． 【详解】解：从上面看的图形如下： 故选：B． 2. 反比例函数的图象位于（ ） A. 第一、三象限 B. 第二、三象限 C. 第二、四象限 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的比例系数来判断图象所在的象限，，位于一、三象限；，位于二、四象限，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象位于第二、四象限． 故选：C． 3. 如图，是某运动员进行跳伞运动时的示意图，运动员在空中的A点处打开降落伞，此时显示离地高度为，且从点看地面降落区中心点的俯角为，则此时降落伞到降落区中心的水平距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三角函数的实际应用，根据题意得到对应的三角函数是解题的关键． 首先根据题意可以得到，，即可求解表示． 【详解】解：由题意可得：，， ∴， 故选：B． 4. 如图，在中，，，．将绕点A按顺时针方向旋转，得到，点B，C的对应点分别为，，的延长线与边相交于点D，连接，若，则线段的长度为（　　） A. B. C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，连接，，证明，得，由求出，证明，运用相似三角形的性质可得结论． 【详解】解：连接，， 的延长线与边相交于点D， ，，， ， ∴ ∴， ， ， ，， ， ， ， 解得， 故选：D． 5. 若，且与相似比是，则它们对应高的比是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形对应高的比等于相似比是关键． 根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵，且与相似比是， ∴它们对应高的比是． 故选：B． 6. 无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向．如图，在高速公路上，交警在处操控无人机巡查，无人机从点处飞行到点处悬停，探测到它的正下方公路上点处有汽车发生故障，测得点处到点处的距离为，从点处观测点处的仰角为．已知，则可求得点处到点处的距离约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】解：在中，，，， ∴， 答：A处到B处的距离为． 故选：C． 7. 在平面直角坐标系中，对于点，若满足，则称点为“和谐点”，有下列结论： ①点为“和谐点”； ②若点是一次函数的图象与反比例函数的图象的交点，则为“和谐点”； ③若点两点不重合）为“和谐点”，且，则； ④若点两点不重合）为“和谐点”，且，则． 其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查新定义，一次函数与反比例函数的交点问题，整式乘法的应用，分式运算的应用，根据“和谐点”定义，可推导出，逐一判断各结论即可． 【详解】解：∵点，满足， ∴， ① ∵ ∴点为“和谐点”，故正确； ② 联立，则，即， 解得， 则， ∴一次函数的图象与反比例函数的图象的交点为或， ∵，， ∴为“和谐点”，正确； ③ ∵点两点不重合）为“和谐点”， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴，正确； ④∵点两点不重合）为“和谐点”，且， 设，且， 则， ∴， ∴，错误； 综上，①②③正确． 故选：A． 8. 若将（）的两直角边的长度都扩大为原来的3倍，则该中锐角的正切值（ ） A. 扩大为原来的3倍 B. 没有变化 C. 缩小为原来的 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握正切的定义（直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比值）是解题的关键． 利用正切的定义，分析直角边扩大倍数后，锐角的对边与邻边的比值是否发生变化，从而判断正切值的变化情况． 【详解】解：设原中，， ， 两直角边都扩大为原来的3倍， 新对边为，新邻边为， 新， 锐角的正切值没有变化， 故选：B． 9. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为．若点都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，锐角三角函数，取格点，连接，，则共线，根据勾股定理及其逆定理得到，所以，再利用正弦定义求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，取格点，连接，， 根据网格特点，共线， 因为每个小正方形的边长均为， 所以由勾股定理得：，，， ∴， ∴， 在中，， 故选：． 10. 如图，正六边形内接于，半径为，则边心距的长为（　　） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正六边形的性质、等边三角形以及三角函数，连接，利用正六边形的性质得到圆心角的度数，证明是等边三角形后利用三角函数即可． 【详解】解：连接， 正六边形内接于， ， ， ， 是等边三角形， ， 是边心距， ， ． 故选：B． 第II卷（非选择题） 二、填空题（共15分） 11. 如图，树在路灯O的照射下形成投影．若树高，路灯高度，树与路灯的水平距离，则树影________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 根据相似三角形的判定证出，然后利用相似三角形的性质求解即可得． 【详解】解：由题意知，， 又， ， ， ， 解得， 故答案为：6． 12. 在同一平面直角坐标系内，一次函数的图象与反比例函数的图象只有一个公共点，则这个公共点的坐标为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，一元二次方程根的判别式． 设两个函数相等得到方程，由于只有一个公共点，判别式为0，解出k，再求公共点坐标即可． 【详解】解：将一次函数与反比例函数联立得， 整理得， ∵一次函数的图象与反比例函数的图象只有一个公共点， ∴， 解得：（舍去），， 即， 即， 解得：， 代入一次函数得， 故公共点坐标为． 故答案为：． 13. 手影戏是一种独特的艺术形式，它的表演全靠手部动作投影的改变，幻化形成各种不同的形象，手影戏中的手影属于_____________．（填“平行投影”或“中心投影”）． 【答案】 中心投影 【解析】 【分析】本题考查中心投影和平行投影的识别，解题的关键是掌握两者的定义：中心投影是指把光由一点向外散射形成的投影，平行投影是在一束平行光线照射下形成的投影．根据中心投影和平行投影的定义即可判断． 【详解】解：手影戏表演时，使用点光源（如灯泡）照射手部，投影线从光源点发射并投射到屏幕，形成影子，因此属于中心投影． 故答案为：中心投影． 14. 如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，、两点分别在轴、轴上，轴，，点的坐标为，将沿翻折，点落在点位置，交轴于点．则点的纵坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】考查知识点平面直角坐标系中点的坐标特征、翻折的性质、勾股定理、两点间距离公式． 首先由轴、得；由得．再翻折后，．最后设，用两点间距离公式列方程和，联立解得． 【详解】轴，，∴ C 点坐标为． 由为直角三角形，，可得轴，得． ，， 设，由得， 由得． 由①得， 由②得， 得，故， 将代入①，得 解得或（舍去） 即点 D 的纵坐标为． 故答案为：． 15. 如图，在中，点在边上，，，连结，在上取一点，使，连结，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质等知识，构造平行线是解题的关键． 延长交于点G，过点D作交于点H，则，设，则，再由平行线分线段成比例定理得，得，从而，再证明，得，由此求得x的值，进而求得． 【详解】解：如图，延长交于点G，过点D作交于点H， 则， 设，则， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 解得：， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共75分） 16. （1）解方程：． （2）计算：． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，特殊角的三角函数值的混合运算． （1）根据公式法求解即可； （2）先计算特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减即可． 【详解】解：（1）， ，，， ， ， 解得：，； （2） ． 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，先计算特殊角的三角函数值、绝对值、负整数指数幂，算术平方根，然后计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】解： ． 18. 已知一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点和． （1）求这两个函数的解析式． （2）当取何值时，？ 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了求函数解析式、函数图像与不等式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）将代入反比例函数求得k的值，进而求得m的值，然后运用待定系数法求a、b即可解答； （2）根据函数图像确定x的取值范围即可解答． 【小问1详解】 解：将代入反比例函数可得：，解得：， ∴反比例函数的解析式为； 将代入，即； 将、代入可得： ，解得：， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）可得：一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点和， ∴根据函数图像可得：当或时，． 19. 大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大意是：影像倒立，在光线交会处有一小孔；关于影像的大小，在于小孔相对物像的位置，图2是图1中小孔成像实验的示意图，在图2中，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：）的反比例函数，图象如图3所示，且当时，． （1）求y关于x的反比例函数表达式； （2）若小孔到蜡烛的距离x为，求火焰的像高y； （3）根据反比例函数的图象分析，若火焰的像高y不超过时，求小孔到蜡烛的距离x至少是多少厘米？ 【答案】（1） （2）火焰的像高为 （3）至少是 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握用待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键． （1）根据题意可设，然后用待定系数法即可解答； （2）把代入中，进行计算即可解答； （3）当时，，再利用反比例函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设，把，代入中， 解得． y关于x的函数表达式为． 【小问2详解】 解：把代入中，解得． 火焰的像高为． 【小问3详解】 解：当时，． 由的图象可得，当时，y随x的增大而减小， 若火焰的像高y不超过时，小孔到蜡烛的距离x至少是． 20. 【问题探究】 （1）如图1，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，连接，． ①请探究与之间的位置关系：　　　　　　； ②若，，则线段的长为　　　　　　； 【拓展延伸】 （2）如图2，和均为直角三角形，，，，，．将绕点在平面内顺时针旋转，设旋转角为，作直线，连接，当点，，在同一直线上时，画出图形，并求线段的长． 【答案】（1）①；②4； （2）解：如图，若点在右侧，； 如图，若点在左侧，． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，关键是添加恰当辅助线． （1）①由可证，可得，可得； ②过点C作于点F，由勾股定理可求，，的长，即可求的长； （2）分点D在左侧和右侧两种情况讨论，根据勾股定理和相似三角形的性质可求解． 【详解】（1）解：∵和均为等腰直角三角形， ，，， ， ，且，， ， ， ， ， 故答案为：； ②如图，过点作于点， ，，， ， ， ， 故答案为：4； （2）解：若点在右侧，如图，过点作于点， ，，，，， ，， ， ， ，， ， ，， ， ， 即， ，， ， ； 若点在左侧， ，，，，， ，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 即， ，， ， ． 21. 暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山，需要登顶高的山峰，由山底A处先步行到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处．已知点A，B，D，E，F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计）． （1）求登山缆车上升的高度； （2）若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟？（结果精确到0.1）（参考数据：） 【答案】（1）登山缆车上升的高度； （2）从山底A处到达山顶D处大约需要． 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提． （1）根据直角三角形的边角关系求出，进而求出即可； （2）利用直角三角形的边角关系，求出的长，再根据速度、路程、时间的关系进行计算即可． 【小问1详解】 解：如图，过B点作于点C，于点E， 则四边形是矩形， 在中，，，， ∴， ∴， 答：登山缆车上升的高度； 【小问2详解】 解：在中，，，， ∴， ∴从山底A处到达山顶D处大约需要：， 答：从山底A处到达山顶D处大约需要． 22. 如图，已知矩形，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中，点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线上运动，连接，过点B作交x轴于点E，连接交直线于点F，设运动时间为t秒． （1）当时，　　，　　， ； （2）当点P在原点上方，且时，求点P坐标； （3）在运动过程中，是否存在t使得为等腰三角形．若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；； （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定、矩形的性质、一元二次方程，熟练掌握以上知识点，结合图形找到相似三角形是解题的关键． （1）通过证明和是等腰直角三角形，即可解答； （2）先证明，利用相似三角形的面积比是相似比的平方，可得，再证明，得到，代入数据求出的长，即可得到点P坐标； （3）当在原点上方时，又为等腰三角形，则，得到，进而可证，得到，即，再解方程；当在原点或下方时，由为等腰三角形，则，进而得到，再证，得到，即，再解方程即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， 由题意得，当时，， 在矩形中，，，， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ，则； 故答案为：；3；； 【小问2详解】 解：， ， ， ，即， 又， ， 由（1）得，， ， ， 又 ， ，即， 解得：，则， ； 【小问3详解】 解：由（2）知，，即，解得， ，，， ①当在原点上方时，即时，如图， ， 又为等腰三角形， ， ， ， ， 又， ， ， ，即， 整理得， 解得或（舍去）， 或（舍去）； ②当在原点或下方时，即时，如图， ， ， 又为等腰三角形， ， ， ， ， 又， ， ，即， 整理得， 解得或（舍去）； 综上，存在，当或时，为等腰三角形． 23. 【问题情境】 数学活动课上，老师发给每位同学一个直角三角形纸片，，，． 【问题发现】 奋进小组将三角形纸片进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片使点与点重合，然后展开铺平，得到折痕；第二步：然后将绕点顺时针方向旋转得到．点，的对应点分别是点，，直线与边交于点（点不与点重合），与边交于点． 如图小明发现，折痕的长很容易求出，并且和的数量关系也能证明． 如图小红发现，在绕点旋转的过程中，当直线经过点时或直线时，的长都可求…… 【问题提出与解决】 奋进小组根据小明和小红的发现，讨论后提出问题1和问题2，请你解答． 问题1：如图1，按照如上操作 （1）折痕的长为 ； （2）在绕点旋转的过程中，试猜想与的数量关系；并证明你的结论； 问题2：（3）如图2当直线经过点时，在绕点旋转的过程中，求的长； 【拓展应用】 小刚受到探究过程的启发，在绕点旋转的过程中，尝试画图，并提出问题3，请你解答． 问题3：（4）在绕点旋转的过程中，连接，当取最小值时，求的面积． 【答案】（1）； （2），证明如下， 如图1，连接， 由旋转性质得，，又， ∴， ∴； （3）的长为； （4） 【解析】 【分析】本题考查了折叠性质、旋转性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及两点之间线段最短等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． （1）先由折叠性质得，，然后可得，根据平行线分线段成比例可得出是的中位线，即可求得； （2）连接，先由旋转性质得，，再证明即可得到结论； （3）先根据旋转性质和等腰三角形的性质得到，设，在中，利用勾股定理求得，进而可求解； （4）如图2，连接、，由知，当、、共线时取等号，此时最小，由勾股定理求得，根据直角三角形的斜边中线性质得到，则，证明，利用相似三角形的性质求得 ，进而利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：（1）由折叠的性质得：，， ∴， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴； （2）略 （3）如图2， ∵， ∴， 由旋转性质得，， ∴， ∴， 设，则， 在中，由得， 解得， ∴； （4）如图，连接， 则，当A、F、D共线时取等号，此时最小， ∵， ∴， ∵，， ∴，则， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $