21.2.3 三角形的中位线 同步练习 2025-2026学年人教版八年级数学下册

21.2.3 三角形的中位线 同步练习 一、单选题 1．如图，在中，D，E分别是边，的中点，，则的长为（    ） A．3 B． C．4 D． 2．如图，点D，E，F分别是各边的中点，连接．若的周长为10，则的周长为（    ） A．20 B．30 C．40 D．50 3．如图，在四边形中，E，F分别是，的中点，连接，，G，H分别是，的中点，已知，，，则的长为（　　） A．3 B．4 C． D． 4．如图，称为第1个三角形，它的周长是1，以它的三边中点为顶点组成第2个三角形，再以第2个三角形的三边中点为顶点组成第3个三角形，以此类推，则第2024个三角形的周长为（    ） A． B． C． D． 5．在平行四边形中，对角线相交于点O，，E，F，G分别是的中点．交于点H．下面四个结论： ①；②；③；④． 其中正确的结论是（    ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 6．如图，平行四边形 的对角线相交于点O，M为边上一点，且，N为的中点，连接，若平分，则平行四边形的周长为（   ） A．18 B．24 C．20 D．22 7．如图，在中，，已知点D是边的中点，点E是平面内一点，连接，若分别是的中点，连接，则的长度为（    ） A．2 B． C．3 D．4 二、填空题 8．如图，在中，，点分别是的中点，若，则的长为 ． 9．若点、、、分别为四边形 各边的中点，分别连接，，、，则四边形的形状是 ． 10．如图，在中，平分，于点E，延长交于点D，F是的中点，若，，则 ． 11．如图，在中，，，，以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N；再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，交于点D．点E，F分别是，的中点，则的长为 ．    12．如图，四边形中，，，，与的和是，点、、分别是、、的中点，则的周长是 . 13．如图，中，，是中的外角平分线，且，若是的中点，，则的长为 ． 14．如图，在中，分别是其角平分线和中线，过点C作于F，交于G，连接，则线段的长为 ． 15．如图，，是的中线，，分别是，的中点，则等于 ． 三、解答题 16．如图，在中，是边上的高，，分别是边，的中点，，，．求的周长． 17．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，图中A，B，C，D都是格点，E是上一点，连接，．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)如图1，先在上画一点F，使得；再画点E关于的对称点G； (2)如图2，若E是中点，先在上画点H，使得；再在，上分别画点M，N，使得四边形是平行四边形． 18．如图，在四边形中，点P是对角线的中点，点E、F分别是、的中点，，，求的度数． 19．如图，已知等边于D，，E为线段上一点，且，连接于G，连接． (1)求证：； (2)试说明与的位置关系和数量关系． 20．在探索平面图形的性质时，往往需通过剪拼的方式帮助我们寻找解题思路． （1）【知识回顾】 在证明三角形中位线定理时，就采用了如图①的剪拼方式，将三角形转化为平行四边形使问题得以解决，请写出已知，求证，并证明三角形中位线定理． （2）【数学发现】 如图②，在梯形中，，是腰的中点，请你沿着将上图的梯形剪开，并重新拼成一个完整的三角形． 如图③，在梯形中，，、分别是两腰、的中点，我们把叫做梯形的中位线．请类比三角形的中位线的性质，猜想和、有怎样的位置和数量关系？ 【证明猜想】 （3）证明（2）的结论，并在“，”的条件下，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】本题考查的是三角形中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：∵D，E分别是边，的中点，， ∴， 故选：A． 2．A 【分析】根据三角形中位线定理进行求解即可． 【详解】解：∵D、E分别是的边的中点， ∴是的中位线， ∴ 同理，， ∵的周长为10， ∴， ∴的周长， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，熟知三角形中位线定理是解题的关键． 3．D 【分析】此题考查了三角形中位线的性质，勾股定理，首先根据勾股定理求出，然后根据三角形中位线的性质求解即可． 【详解】如图所示，连接， ∵，，， ∴ ∵E，F分别是，的中点， ∴ ∵G，H分别是，的中点， ∴． 故选：D． 4．B 【分析】此题考查了中位线定理；熟练掌握三角形中位线定理，找出每一个新的三角形周长是上一个三角形周长的是解决问题的关键． 【详解】解：周长为1， ∵每条中位线均为其对边的长度的， ∴第2个三角形对应周长为； 第3个三角形对应的周长为； 第4个三角形对应的周长为； … 以此类推，第n个三角形对应的周长为； ∴第2024个三角形对应的周长为，即， 故选：B． 5．D 【分析】由等腰三角形“三线合一”得，根据三角形中位线定理可得；由直角三角形斜边上中线等于斜边一半可得，即可得；连接，可证四边形是平行四边形，即可得，由三角形面积关系得出，即可得出结论． 【详解】解：连接，如图所示： 四边形是平行四边形， ，，，，，， ， ， 点为中点， ，故①正确； 、、分别是、、的中点， ，， ，， ， ，故②正确； ，， 四边形是平行四边形， ，故③正确； ，， ，， ，故④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形性质和判定，三角形中位线定理，三角形面积，直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形性质等知识，熟练运用三角形中位线定理、等腰三角形的性质是解题关键． 6．C 【分析】此题考查了三角形中位线性质定理、平行四边形的性质、等角对等边等知识，根据平行线性质得到，，证明是的中位线，则,由得到，，证明，则即可得到答案. 【详解】解：∵平行四边形 的对角线相交于点O， ∴， ∵N为的中点， ∴是的中位线， ∴, ∵， ∴， ∵平分， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ ∴平行四边形的周长为， 故选：C 7．A 【分析】本师考查等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形中位线的性质是解题的关键． 连接，根据等腰三角形“三线合一”的性质证明，再用勾股定理求出的长，然后根据三角形中位线性质求解． 【详解】解：如图，连接， ∵点D是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选∶A． 8． 【分析】本题考查了直角三角形的性质及三角形的中位线定理，根据直角三角形的性质及三角形的中位线定理即可解答． 【详解】解：∵在中，， ∴是直角三角形， ∵点分别是的中点， ∴是斜边的中线， ∴， ∵， ∴， ∵分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：． 9．平行四边形 【分析】本题考查平行四边形的判定，连接，根据三角形中位线定理得，，，，继而得到，，可得结论．解题的关键是熟练应用三角形中位线定理． 【详解】解：四边形是平行四边形． 理由：连接，如图， ∵点、分别是、的中点， ∴，， ∵点、分别是、的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：平行四边形． 10． 【分析】本题考查角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，三角形中位线的性质等知识．根据角平分线的定义结合题意，即可利用“”证明，即得出，，从而可得出，点E为中点，从而可判定为的中位线，进而可求出的长． 【详解】解：由题意可得：，， 又∵， ∴， ∴，， ∴，点E为中点， 又点F是的中点， ∴为的中位线， ∴． 故答案为：． 11． 【分析】过点D作于点Q，根据勾股定理求出，根据作图可知，平分，根据角平分线的性质得出，证明，得出，求出，设，则，根据勾股定理得出，求出，根据中位线性质得出． 【详解】解：过点D作于点Q，如图所示：    ∵在中，，，， ∴， 根据作图可知，平分， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ∴， ∵点E，F分别是，的中点， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，勾股定理，中位线的性质，解题的关键是作出辅助线，利用勾股定理求出． 12． 【分析】过点作，交的延长线于点，取的中点，连接，根据三角形中位线，则，；根据与的和是，则，根据平行四边形的判定和性质，则四边形是平行四边形，求出，再根据，点，，三点共线，最后根据，即可． 【详解】解：过点作，交的延长线于点，取的中点，连接 ∵在中，点、分别是、的中点 ∴，； ∵在中，点、分别是、的中点， ∴，， ∴， ∵，点在的延长线上， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵点是的中点，点是的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴ ∵点是的中点，点是的中点， ∴，， ∴，点，，三点共线， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形中位线，平行四边形的知识，解题的关键是掌握三角形中位线的定义，平行四边形的判定和性质，即可． 13．9 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的中位线，正确作出辅助线，综合运用以上知识是解题的关键；延长交于点F，根据题目条件可证，得出，再根据三角形中位线的性质进行计算即可． 【详解】解：延长交于点F ， 为的外角平分线， ， ， ， ， ， ， 是的中点， ， ∴是的中位线， ， ， ， 故答案为：9． 14．1 【分析】本题考查了三角形的中位线定理以及等腰三角形的判定与性质，首先证明是等腰三角形，则，则是的中位线，利用三角形的中位线定理即可求解． 【详解】解：∵为的角平分线，， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴ ∵为的角平分线， ∴，即点为的中点， ∵为的中线， ∴点为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴． ∴． 故答案为：1． 15． 【分析】本题考查了三角形的中位线定理和三角形全等的判定，熟练掌握相关定理是解题的关键； 连接DE、EP构造出中位线，利用中位线定理找出线段之间的关系，进而求出． 【详解】解：如图，连接，连接并延长交于点． ，是的中线， ，， 是的中位线， ，， ． 是的中点， ． 在与中， ， ，， ，是的中点． 是的中点， 是的中位线， ， ． 故答案为：． 16． 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线定理，三角形的中位线定理，熟练掌握直角三角形相关性质是解题关键． 根据直角三角形斜边上的中线的性质分别求出、的值，根据三角形中位线定理求出，再根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：是边上的高， ， 在中，是边的中点，， ， 同理可得：， ，分别是边，的中点， 是的中位线， ， 的周长为． 17．(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题主要考查了用无刻度的直尺在网格中画出符合要求的点和坐标，掌握三等分点的概念，中位线的概念，平行四边形的性质，关于某条线段成轴对称的性质，是解本题的关键． （1）连接交于点，，故则点是符合条件的点；连接交于点，连接并延长交于点，利用三角形全等即可得到点与点关于对称． （2）连接交于点，交于点N， 因为是的中位线，故，连接交于点，连接则四边形是所作四边形． 【详解】（1）连接交于点，则点是符合条件的点，连接交于点，连接并延长交于点，则点与点关于对称． （2）连接交于点，交于N，连接则，连接交于点，连接则四边形是所作四边形． 18． 【分析】根据中位线定理得，，结合已知证明是等腰三角形，从而可得答案． 【详解】解：∵在四边形中，P是对角线的中点，E，F分别是、的中点， ∴，分别是与的中位线， ∴，， ∵， ∴， 故是等腰三角形， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理及等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 19．(1)见解析 (2)，且，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，三角形中位线定理，熟练运用三角形中位线定理是本题的关键． （1）根据等边三角形的性质得出相等角和边，利用三线合一表示出相关角的度数，最后利用证明，得出对应边相等即可； （2）连接，根据三线合一得出，根据全等三角形的性质得出，证明为等边三角形，再根据三线合一得出，利用三角形的中位线定理即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：，且，证明如下： 如图，连接， 由（1）得， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， 由（1）得， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴为的中位线， ∴，且． 20．（1）见解析；（2）画图见解析，猜想：，；（3）证明见解析，6； 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定： （1）根据三角形中位线定理的内容写出对应的已知，求证和证明过程即可； （2）延长交延长线于M，证明可得到所要的三角形；根据梯形性质和三角形的中位线进行猜想即可得出结论； （3）如图③，连接并延长，交延长线于点，证明得到，，在中，利用三角形的中位线可证得，，进而可证得结论；再根据结论求出的长即可． 【详解】解：（1）已知：在中，分别是的中点， 求证：： 证明：如图所示，过点C作交延长线与F， ∵分别是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； （2）如图所示，延长交延长线于M，则把延剪开后放置到的位置，即为所求； 猜想：，； （3）连接并延长，交延长线于点， ， ． 是的中点， ． ， ． ，． 点是的中点，又点是的中点， 是的中位线， ，． ． ，， ． ，． ∵，， ∴。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $