21.3.1 矩形 同步练习 2025-2026学年人教版八年级数学下册

21.3.1 矩形 同步练习 一、单选题 1．下列性质中，矩形具有但平行四边形不一定具有的是（        ） A．对边相等 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对边平行 2．矩形两条对角线的夹角为，一条对角线与短边的和为18，则短边长是（　　） A．6 B．9 C．12 D．18 3．如图，矩形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点落在点处，折痕为，且，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．如图，四边形和四边形都是矩形，点B在边上，若矩形和矩形的面积分别为和，则和的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．如图所示，将一张矩形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为，若，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，且，，是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为（        ）    A．2 B． C． D． 7．如图，在四边形中，，，，点从点出发，以的速度向点运动，点从点同时出发，以相同的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点的运动时间为（单位：），下列结论正确的是（    ） A．当时，四边形为矩形 B．当时，四边形为平行四边形 C．当时， D．当时，或 8．如图，在矩形中，，，上一点从点向点移动，连接，点关于的对称点为，若恰好为直角三角形，则的长为（    ） A．1 B．或3 C．1或 D．1或3 9．如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，垂足为，，则的长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 10．矩形的周长为，对角线相交于点，的周长比的周长多，则矩形的各边长分别为 ． 11．如图，在中、相交于点，，当 时，是矩形． 12．如图，在矩形中，点E在上，且平分．若，则 ． 13．如图，把矩形沿折叠，使点点分别落在点、，若，则 ．    14．如图，公路，互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开，若测得的长为，则 ．    15．出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一、如图，在矩形中，，，对角线与交于点O，点E为边上的一个动点，，，垂足分别为点F，G，则 ．    16．如图，矩形中，，，、分别是直线、上的两个动点，，沿翻折形成，连接、，则 ，的最小值是 .    17．如图：矩形，延长到点，连接，平分．若，，则 ．    18．如图，将一长方形纸片放在平面直角坐标系中，，，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发沿向点运动，同时动点从点出发沿向点运动，运动3秒后，点和点同时停止运动．此时再将沿翻折，点恰好落在边上的点处．下列说法：①；②点的坐标为；③动点的运动速度为每秒2个单位长度；④点是长方形边上的一个动点，当是以为底边的等腰三角形时，点点的坐标为或其中正确的结论是 ．（填序号） 三、解答题 19．如图，在矩形中，点E，F在BC上，且，连接．求证：． 20．如图所示，在矩形中，，是对角线，过顶点作的平行线与的延长线相交于点，求证：是等腰三角形． 21．已知四边形是矩形，点是边上的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)如图①中，过点E作线段，使得，交于点F； (2)如图②中，在线段上找一点，使得，连接． 22．如图，在梯形中，，，动点P从点A出发沿方向向点D以的速度运动，动点Q从点C开始沿着方向向点B以的速度运动，点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动． (1)经过多长时间，四边形是平行四边形？ (2)经过多长时间，四边形是矩形？ 23．如图，已知矩形，点E在的延长线上，点F在的延长线上，且，连接交于点G，求证：． 24．下面是小东设计的“利用直角三角形和它的斜边中点作矩形”的作图过程． 已知：如图，在中，，O为的中点． 求作：四边形，使得四边形是矩形． 作法：①作射线，在射线上截取； ②连接． 四边形是所求作的矩形． 根据小东设计的作图过程， (1)依作法补全图形； (2)完成下面的证明． 证明：点O为的中点， ． 又______， 四边形是平行四边形（______）（填推理的依据）． ， 是矩形（______）（填推理的依据）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】根据矩形和平行四边形的性质，比较即可得到答案． 【详解】解：A、矩形和平行四边形的对边都相等，故不合题意； B、矩形和平行四边形的对角线都互相平分，故不合题意； C、矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等，故符合题意； D、矩形和平行四边形的对边都平行，故不合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查对矩形的性质，平行四边形的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行说理是解此题的关键． 2．A 【分析】画出图形如解析图，根据矩形的性质可证明是等边三角形，可得，结合即可求出，即得答案. 【详解】解：如图，矩形中，对角线交于点，，， 则， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； 故选：A.    【点睛】本题考查了矩形的性质和等边三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质、得出是等边三角形是解题的关键. 3．B 【分析】先根据矩形的性质求出的长，再由翻折变换的性质得出是直角三角形，利用勾股定理即可求出的长即可． 【详解】解：四边形是矩形，， ， 是翻折而成， ，，是直角三角形， ， 在中，， 故选：B． 【点睛】本题考查的是翻折变换及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键． 4．B 【分析】本题主要考查了矩形的性质及面积的计算，能够熟练运用矩形的性质进行一些面积的计算问题．由于矩形的面积与矩形的面积都等于2个的面积，即可得两个矩形的面积关系． 【详解】∵，， ∴． 故选：B． 5．D 【分析】本题考查矩形的性质，三角形的外角定理，轴对称的性质，掌握轴对称的性质是解题的关键． 利用求，根据折叠性质求，根据三角形外角性质求解即可． 【详解】解：由折叠的性质知，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴, ∵, ∴ 故选：D． 6．C 【分析】由勾股定理求出的长，再证明四边形是矩形，可得，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题． 【详解】∵，且，， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形 如图，连接，则，    ∴当时，的值最小，此时，的面积， ∴， ∴的最小值为； 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 7．D 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，对于选项A、B，分别计算当与时相应线段的长度结合平行四边形的判定方法判断即可；对于C、D选项，作，垂足分别为E、F，如图，证明，得出，进而得出关于t的方程，解方程判定即可. 【详解】解：当时，，cm，， ∴， ∴四边形不为矩形，故选项A结论错误； 当时，，，cm， ∴， ∴四边形不为平行四边形，故选项B结论错误； 当时，作，垂足分别为E、F，如图， ∵， ∴， ∴四边形都是矩形， ∴， ∴当时，，， ∴， ∵， ∴， 解得：或，故选项C错误、选项D正确； 故选：D. 8．C 【分析】此题考查了矩形的性质和勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． 根据题意分两种情况讨论，然后分别根据勾股定理和矩形的性质求解即可． 【详解】当为直角三角形时，有两种情况： ①当时，如图（1）所示，连接． 在中，，， ． 由轴对称可知，． 又， 点，，共线， ． 设，则，， ， ， 解得， ． ②当时，如图（2）所示， 又， 四边形为矩形． 又， 此时矩形为正方形， ， ． 综上所述，的长为或1． 故选：C． 9．D 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，证明是等边三角形是本题的关键． 由矩形的性质得出，得出，由已知条件得出，由线段垂直平分线的性质得出，得出为等边三角形，因此，由三角形的外角性质得出，由含角的直角三角形的性质即可得出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 10． 【分析】本题考查矩形的知识，熟知矩形的性质是解题的关键； 本题考查矩形的性质，根据矩形的对角线相等且平分，结合已知条件，列出等式进行计算即可． 【详解】∵矩形的周长为， ∴cm， ∴cm．① ∵的周长比的周长多cm， ∴cm． ∵点是矩形的对角线的交点， ∴， ∴cm．② 联立①②，解得cm， cm． ∴cm， cm． ∴矩形的各边长分别为． 故答案为： 11．6 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和矩形的判定，解题的关键是掌握矩形的判定方法． 利用平行四边形的性质得出对角线相等时即可判定出四边形是矩形． 【详解】解：当时，四边形是矩形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴时，四边形是矩形， ∴， ∴当时，四边形是矩形， 故答案为：6． 12． 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理．根据矩形的性质以及角平分线的定义可得，从而得到，再证得是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 13． 【分析】本题考查了矩形的性质、平行线的性质、折叠的性质，由矩形得，根据折叠的性质，结合平角为，得计算，根据“两直线平行，同旁内角互补”，则，计算得出答案即可，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵把矩形沿折叠，使点点分别落在点、，， ∴，， ∴， 故答案为：． 14． 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，由，得出，由点M为的中点可得出，即可求出． 【详解】解：∵， ∴ ∵点M为的中点，且， ∴， 故答案为：． 15．/ 【分析】连接，根据矩形的性质得到，，，根据勾股定理得到，求得，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：连接，   四边形是矩形， ，，， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了矩形的性质、勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 16． 1 4 【分析】本题考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理、轴对称的最短路线问题，作点关于的对称点，连接，．由，推出，又是定值，即可推出当、、、共线时，定值最小，最小值． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，．    在中，，， ， ， ， 是定值， 当、、、共线时，定值最小，最小值， 的最小值为4， 故答案为：1，4． 17．5 【分析】根据矩形的性质可得，，，， 再证明结合解答即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 【点睛】此题考查矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理的应用，关键是根据矩形的性质和勾股定理解答． 18．①② 【分析】作线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，，，过点作于点．利用翻折变换的性质求出，即可判定①②正确；求出，即可判断③错误，利用勾股定理构建方程求出点，的坐标，即可判断④错误． 【详解】解：如图，作线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，，，过点作于点． 当时，， ，， ，， ，故①正确， 四边形是矩形，， ， 四边形是矩形， ，， 由翻折变换的性质可知，， ， ， ，故②正确． 设，则有， 解得， ， 点的运动速度为单位长度秒，故③错误， 垂直平分线段， ， 设，则， 解得， ， ， 设， ， ， 解得， ， 当是以为底边的等腰三角形时，点点的坐标为或，故④错误． 故答案为：①②． 【点睛】本题考查翻折变换，等腰三角形判定，矩形的性质，坐标与图形变化对称，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题． 19．证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定．利用证明即可． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴，． 在和中， ∵， ∴． 20．见解析 【分析】本题综合考查了平行四边形及矩形的性质．首先根据平行四边形的性质及矩形中对角线相等的性质求证出四边形是矩形，然后求得，所以是等腰三角形． 【详解】证明：∵是矩形， ∴, ∵， 四边形是平行四边形． ． 四边形是矩形， ． ． 是等腰三角形． 21．(1)见解析； (2)见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图、矩形的性质，正确理解题意是解题的关键： （1）连接对角线和，交于点O，连接并延长交于点F，线段即为所求； （2）连接对角线和，交于点P，连接并延长交于点G，连接． 【详解】（1）解：线段即为所求， （2）解：点即为所求， 22．(1)经过时，四边形是平行四边形 (2)经过时，四边形是矩形 【分析】本题主要考查了平行四边形的想在，矩形的性质： （1）设经过时，四边形是平行四边形，则，根据即可求解； （2）设经过时，四边形是矩形，则，根据，即可求解． 【详解】（1）解：设经过时，四边形是平行四边形，则， 由题意得，， ∴ ∵， ∴， 解得，    即经过时，四边形是平行四边形； （2）解：设经过时，四边形是矩形，则， 由题意得，， ∴， ∵， ， 解得， 即经过时，四边形是矩形． 23．见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边，先由矩形的性质得，因为，整理得，所以证明，则，即可作答． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴． 24．(1)图见解析 (2)；对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形 【分析】本题考查矩形的判定，平行四边形的判定和性质，尺规作图—作线段等于已知线段： （1）根据题意，补全图形即可； （2）根据对角线互相平分的四边形为平行四边形以及有一个角是直角的平行四边形是矩形进行作答即可． 【详解】（1）解：补全图形如图： （2）证明：点O为的中点， ． 又， 四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形为平行四边形）． ， 是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $