21.2.2 平行四边形的判定 同步练习 2025-2026学年人教版八年级数学下册

21.2.2 平行四边形的判定 同步练习 一、单选题 1．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形．转动其中一张纸条，下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．下列说法不正确的是（     ） A．平行四边形对边平行 B．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 C．平行四边形对角相等 D．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 3．如图，在四边形中，与相交于点，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，平行四边形中，，为锐角，要在对角线上找点，使四边形为平行四边形，现有图中的甲、乙两种方案，则正确的方案（    ） A．甲是 B．乙是 C．甲、乙都不是 D．甲、乙都是 5．如图，，，且平分，则下列结论：；；．其中正确的个数是（　　）．    A． B． C． D． 6．如图，中，要在对角线上找点E、F，使四边形为平行四边形，现有甲、乙、丙三种方案，则正确的方案是（　　） 甲：只需要满足 乙：只需要满足 丙：只需要满足 A．甲、乙、丙都是 B．只有甲、丙才是 C．只有甲、乙才是 D．只有乙、丙才是 二、填空题 7．如图，线段，相交于点，且点，，与点，，分别四等分线段与，则依次连接这些点可以构成 个平行四边形． 8．四边形中，，当 时，这个四边形是平行四边形． 9．如图，小康将两根木条，的中点O重叠，并用钉子固定，使，可以绕着点O转动，无论木条怎么转动，以点A，B，C，D为顶点的四边形是 ． 10．如图，剪两张对边平行的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，线段和的关系 ． 11．如图所示，在中，，是上的一点，且，，则 ．    12．古代数学家贾宪曾经提出“从矩形对角线上任意一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两矩形面积相等”，如图①所示的图形中两阴影部分面积相等．这个方法可以帮助我们解决很多类似的数学问题，如图②，在平行四边形中，G为对角线上一点，过点G作的平行线分别交，于点F，E，连接，，若，则 ． 13．如图，在四边形中，，，，点P从点A出发，以的速度向终点D运动；同时点Q从点C出发，以的速度向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．当 s时，． 14．在四边形中，对角线相交于点O，在下列条件中，①②③④⑤能够判定四边形是平行四边形有 （填序号）． 15．如图，矩形中，，点P在上，点Q在上，且，连接，则的最小值为 ． 三、解答题 16．如图，已知四边形，，，求证：四边形是平行四边形． 17．如图，，．求证：四边形是平行四边形． 18．如图，四边形是平行四边形，点E、F分别在边、上，且，连接、、、，与相交于点P，求证：． 19．已知：如图，中，，点、分别是，的中点，四边形是平行四边形吗？说说你的理由．    20．如图，四边形的对角线相交于点O，，，求证：四边形是平行四边形．    21．已知：如图，在中，点是的中点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 22．已知，点为对角线的中点，过点分别作直线，，直线交边、于点、，直线交边、于点、．求证：四边形为平行四边形． 23．【阅读材料】 老师的问题：如图，在中，点E在上，连接，只用一把无刻度的直尺，求作四边形，使得四边形是平行四边形． 小明的作法： （1）连接，，相交于点O； （2）连接并延长，交于点F； （3）连接．四边形即为所求． 【解答问题】 请根据材料中的信息，判断小明的作图方法是否正确．若正确，给出证明；若不正确，说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《21.2.2平行四边形的判定同步练习2025-2026学年人教版八年级数学下册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C D C D C B 1．C 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质；证明四边形为平行四边形是解题的关键． 由条件可知，可证明四边形为平行四边形，可得到． 【详解】由题意可知：， ∴四边形为平行四边形， ， 故选：C． 2．D 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，根据平行四边形的判定与性质逐项判断即可，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：、平行四边形对边平行，原选项说法正确，不符合题意； 、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，原选项说法正确，不符合题意； 、平行四边形对角相等，原选项说法正确，不符合题意； 、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，原选项说法错误，符合题意； 故选：． 3．C 【分析】本题考查平行四边形的判定定理，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线相互平分的四边形是平行四边形；逐项验证即可得到答案，熟记平行四边形的判定定理是解决问题的关键． 【详解】解：A、由平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形确定可以判定四边形为平行四边形，不符合题意； B、由平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形确定可以判定四边形为平行四边形，不符合题意； C、由平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形确定不能判定四边形为平行四边形，符合题意； D、由平行四边形的判定定理：对角线相互平分的四边形是平行四边形确定可以判定四边形为平行四边形，不符合题意； 故选：C． 4．D 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，利用平行四边形的判定方法分别对甲、乙两种方案进行正确即可判断求解，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：甲方案：∵点为的中点， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴四边形为平行四边形，故甲方案正确； 乙方案：∵，， ∴，， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形，故乙方案正确； 故选：． 5．C 【分析】根据条件， 可以判断四边形是平行四边形，于是可判断答案正确，由三角形全等判断方法可以判断错误，即可做出选择． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴答案正确； ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴答案正确； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴与不会全等， ∴答案错误． 故选：． 【点睛】本题考查的是平行线的判定和性质，三角形全等的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 6．B 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；只要证明，即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 甲：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故甲正确； 乙：由，不能证明，不能判定四边形为平行四边形，故乙不正确； 丙：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故丙正确； 故选：B． 7．4 【分析】本题考查了平行四边形的定义，熟练掌握相关内容是解题的关键； 根据平行四边形的定义数出具体有几个平行四边形． 【详解】解：根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可得： 在四边形中，， ∴四边形是平行四边形 同理可得，四边形，四边形，四边形，均为平行四边形；一共4个； 故答案为：4． 8．3 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定，正确把握平行四边形的判定方法是解题关键．直接利用平行四边形的判定方法得出时可得出这个四边形是平行四边形即可得出答案． 【详解】解：当，时，四边形是平行四边形， 当时，这个四边形是平行四边形． 故答案为：3 9．平行四边形 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得解． 【详解】解：根据题意得出，， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：平行四边形． 10．平行且相等 【分析】由条件可知，，可证明四边形为平行四边形，可得到． 【详解】解：线段和的关系为平行且相等，理由如下： 由条件可知，，， ∴四边形为平行四边形， ∴． 故答案为：平行且相等． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质；证明四边形为平行四边形是解题的关键． 11． 【分析】首先根据两组对边互相平行的四边形是平行四边形判定出四边形是平行四边形，进而得到，然后证明，即可得到，从而得解． 【详解】∵，， 四边形是平行四边形， ， 又∵， ， 又， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，关键是掌握平行四边形对边平行且相等，两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 12．4 【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定， 首先根据题意证明出四边形，，，是平行四边形，然后得到，，，，然后利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】如图所示，过点G作 ∵ ∴ 同理可得， ∴四边形，，，是平行四边形 ∴，，， ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∴． 故答案为：4． 13． 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，一元一次方程的应用，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．先表示出，，可得四边形为平行四边形，则，继而得到关于的一元一次方程，即可求解． 【详解】解：由题意得，，， ∵， ∴当时，四边形为平行四边形， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 14．①②④⑤ 【分析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，平行线的性质等，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键，根据平行四边形的判定分别进行求证即可． 【详解】解：①添加条件， 则根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 即可判定四边形是平行四边形，故①正确； ②添加条件， 则根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形， 即可判定四边形是平行四边形，故②正确； ③添加条件， 即一组对边平行，另一组对边相等，该情况不能判定平行四边形，故③不正确； ④添加条件， 则根据对角线相互平分的四边形是平行四边形， 即可判定四边形是平行四边形，故④正确； ⑤添加条件， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 则根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， 即可判定四边形是平行四边形，故⑤正确； 故答案为：①②④⑤． 15． 【分析】连接，易证明四边形是平行四边形，则，可得，在的延长线上截取，连接，可证明，则，连接，则，由勾股定理得到．则的最小值为，即的最小值为． 【详解】解：如图，连接， 在矩形中，，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴的最小值转化为的最小值， 在的延长线上截取，连接， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， 连接，则， ∵，， ∴． ∴的最小值为，即的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是最短线路问题，矩形的性质，勾股定理，平行四边形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定等等，正确把求的最小值转换成求出是最小值是解题的关键． 16．见详解 【分析】本题考查了平行线的判定、平行四边形的判定；熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 由可证得，结合，依据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得结论. 【详解】证明：∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 17．证明过程见详解 【分析】本题主要考查平行四边形的判定，掌握其判定是关键，根据内错角相等，两直线平行得到，结合题意，根据两组对边平行的四边形是平行四边形即可求解． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 18．证明过程见详解 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键，平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系． 根据可得且平行，证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质∶对角线互相平分得到与互相平分即可得结论． 【详解】证明∶ 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． 19．四边形是平行四边形，理由见解析 【分析】根据平行四边形的性质得出，根据已知条件可得，则四边形是平行四边形，进而可得,，根据线段中点的性质得出，即可得出，进而即可得出结论． 【详解】四边形是平行四边形，理由如下， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形 ∴,， ∵点、分别是，的中点， ∴ ∴ 又， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握是解题的关键． 20．见解析 【分析】证明，得到，即可得证． 【详解】证明：在与中， ， ∴， ∴ 又∵， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查平行四边形的判定．熟练掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形，是解题的关键． 21．(1)见解析 (2)见解析． 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）由平行四边形性质得，则，再点是的中点，得出，又，即可得出结论； （2）由（1）得，则，再由平行四边形的判定即可得出结论． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，即， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ； （2）解：由（1）得：， ， 又， 四边形是平行四边形． 22．见解析 【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 由平行四边形得到，，，证明出，得到，同理得到，即可证明四边形为平行四边形． 【详解】∵，点为对角线的中点， ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴同理可证， ∴ ∴四边形为平行四边形． 23．小明的作图方法正确，理由见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定和性质． 由平行四边形的性质可得，，得，进而证明，得到，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可求证． 【详解】解：小明的作图方法正确， 理由：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 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