第二十章 勾股定理【章末复习】 课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

新人教版数学8年级下册培优备课课件 章末小结 第二十章 勾股定理 授课教师： Home . 班 级： . 时 间： . 2026年2月16日 2026年2月16日星期一9时11分39秒 1 本章知识结构图 勾股定理 勾股定理的逆定理 直角三角形边长的数量关系 直角三角形的判定 互逆定理 2 1. 勾股定理： 如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c， 那么 a2 + b2 = c2 . B A C b a c 变式 1: a2 = c2－b2 变式 2: b2 = c2－a2 2. 勾股定理的应用： 实际问题 数学问题 勾股定理 直角三角形 转化 建构 利用 解决 3. 勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长 a，b，c 满足a2 + b2 = c2， 那么这个三角形是直角三角形. 4. 利用勾股定理的逆定理判定直角三角形的步骤： ①找：找三角形的最长边； ②算：计算最长边的平方与另两边的平方和； ③判：若两者相等，则是直角三角形，否则不是. 5. 勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,称为勾股数，即在a²+b²=c²中，当a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数. 3 4 5 8 6 10 12 13 5 返回 1. 如图，长为16 cm的橡皮筋放置在直线 l 上，固定两端点 A 和 B，然后把中点 C 向上拉升6 cm至 D 点，则橡皮筋被拉长了( ) A. B. C. D. C 6 8 随堂练习 B C A D 2. 如图,一圆柱体的底面周长为 24 cm,高AB为 5 cm,BC 是直径,一只蚂蚁从点 A 出发沿着圆柱体的侧面爬行到点 C 的最短路程是( ) A. 6 cm B. 12 cm C. 13 cm D. 16 cm C 12 5 随堂练习 解析：∵ 在Rt△ABC 中，∠CAB=90°，BC=17米，AC=8米， ∴AB===15 （米）. ∵CD=10 米， ∴AD==6 （米）， ∴BD=AB-AD=15-6=9（米）， ∴ 船向岸边移动了9米. 3.如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D 的位置，此时绳子CD的长为10米，则船向岸边移动了_____米. 9 随堂练习 解：由题意可知，∠NOB = 90°. 在 Rt△OAM 中，AM = 10 m，OA = 6 m， 则OM = = 8 m. 在 Rt△OBN 中，BN = 10 m，OB = 8 m， 则ON = = 6 m. ∴ MN = OM - ON = 2 m. 4. 如图，灯板MN垂直地面AB于点O， 第一次将竹竿的一个端点与点M重合，另一个端点落在地面上的A处，第二次将竹竿的一个端点与点N重合，另一个端点落在地面上的B处.已知AO=6 m ，BO=8 m，求灯板MN的长. 随堂练习 5.如图，点 D 在 Rt△ABC 的边 AB 上，AD = 8，DB = 2，CD = 17. 求 AC 和 BC 的长. 17 8 2 解：在 Rt△ACD 中，由勾股定理， AC = = = 15. ∵AD = 8，DB = 2，∴AB = 10. 在 Rt△ABC 中，由勾股定理， BC = = =. ? ? 随堂练习 6. 如图，每个小正方形的边长都为 1. （1）求四边形 ABCD 的面积和周长； 解:（1）由勾股定理，BC = =， CD = =， AD = =， AB = =， ∴四边形 ABCD 的周长为 AB + BC + CD + AD = + +3. 随堂练习 6. 如图，每个小正方形的边长都为 1. （1）求四边形 ABCD 的面积和周长； 如图，沿格线过 A，B，C 三点作正方形 AEFG， 过点 D 作 DH ⊥ AG 于点 H. ∴S四边形ABCD = S正方形AEFG-S△BCF-S△ABE-S△ADH- S梯形CDHG= = H E F G 随堂练习 解：（2）∠BCD 是直角. 理由如下： 如图，连接 BD， 由勾股定理，BD = = 5. 由（1）知 CD = ，BC = ， 因此在△BCD 中，BD2 = 25，CD2 + BC2 =()2 + ()2 = 25， ∴BD2 = CD2 + BC2， ∴△BCD 是直角三角形，且∠BCD 是直角. 6. 如图，每个小正方形的边长都为 1. （2）∠BCD 是直角吗？请说明理由. 随堂练习 7. 如图，在△ABC中，D为BC的中点，AB=26，AD=12，AC=10， 求BC的长. 解：如图，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE. ∵ AD = 12，∴ AE = 24. ∵ 点 D 是 BC 的中点， ∴ BD = CD. 在 △ADC 和 △EDB 中， ∴ △ADC≌△EDB（SAS）， ∴ AC = EB. E 随堂练习 7. 如图，在△ABC中，D为BC的中点AB=26，AD=12，AC=10， 求BC的长. 又 AC = 10，∴ EB = 10. ∴ BE² + AE² = 10² + 24² = 26² = AB²， ∴ ∠AEB = 90°. ∴ 在 Rt△BDE 中，BD = = 2， ∴ BC = 2BD = 4， 即 BC 的长为 4. E 随堂练习 返回 B 1. 下面三幅图中，能证明勾股定理的有(　　) A．一幅 B．两幅 C．三幅 D．都不能 中考考法 17 返回 2. 如图所示的图形表示勾股定理的一种证明方法，该方法运用了刘徽的出入相补原理．若图中空白部分的面积是14，整个图形(连同空白部分)的面积是36，则大正方形ABCD的边长是________． 5 中考考法 返回 3. 如图，△OAB的顶点O的坐标为(0，0)，顶点A，B分别在第一、四象限，且AB⊥x轴，若AB＝6，OA＝OB＝5，则点A的坐标是(　　) A．(5，4) B．(3，4) C．(5，3) D．(4，3) D 中考考法 返回 4. 如图，两个边长为1的正方形排列在数轴上形成一个长方形，以表示3的点为圆心，以长方形的对角线长为半径作圆与数轴有两个交点，其中点P表示的数是(　　) C 中考考法 返回 5. [2025成都中考]如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2．以点A为圆心，以AB长为半径作弧；再以点C为圆心，以BC长为半径作弧，两弧在AC上方交于点D，连接BD，则BD的长为________． 中考考法 返回 6. [2025深圳南山区二模]最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定的夹角(如图①)．图②是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中AB＝BC＝20 cm，∠ABC＝120°．机器狗正常状态下的高度可以看成A，C两点间的距离，则机器狗正常状态 下的高度为________cm． 中考考法 返回 7. [教材P26练习T2变式]如图，图中所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，已知S＝31， S1＝4，S2＝9，S3＝8，则S4的值是________． 10 中考考法 返回 8. [2025郑州月考]勾股数，又名毕达哥拉斯三元数，是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．下列各组数中，是勾股数的是(　　) C 中考考法 返回 9. 在单位长度为1的正方形网格中，下面的三角形是直角三角形的是(　　) C 中考考法 25 返回 10. 如图，已知A，B，C是海上的三座小岛，岛B在岛A的北偏东38°方向上，距离为12海里，岛C在岛A的北偏东方向上，距离为13海里，岛B和岛C之间的距离为5海里，则岛B在岛C的北偏西______方向上． 52° 中考考法 26 11. (8分)如图，某社区有一块四边形空地ABCD，AB＝15 m，CD＝8 m，AD＝17 m．从点A修了一条垂直BC的小路AE(垂足为E)，E恰好是BC的中点，且AE＝12 m． (1)求边BC的长； 中考考法 27 中考考法 (2)连接AC，判断△ADC的形状． 解：∵AE⊥BC，E是BC的中点， ∴AC＝AB＝15 m. 又∵AD＝17 m，CD＝8 m， ∴CD2＋AC2＝AD2， ∴△ADC是直角三角形． 返回 中考考法 29 12. (8分) 如图为某品牌婴儿车的简化结构示意图．根据安全标准需满足BC⊥CD，现测得 AB＝8 dm，BC＝9 dm，CD＝12 dm，AD＝ 17 dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接(即∠ABD＝90°)，通过计算说明该婴儿车是否符合安全标准． 中考考法 30 返回 中考考法 返回 13. 中考考法 返回 14. 如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为8 m的半圆，其边缘AB＝CD＝20 m，点E在CD上，CE＝5 m，一名滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为(边缘部分的厚度忽略不计，π取3，结果精确到1 m)(　　)  A．17 m B．18 m C．19 m D．20 m C 中考考法 15. (8分)如图，在△ABC中，AB＝20，AC＝12，BC＝16，把△ABC折叠，使AB落在边AC所在的直线上，且点B的对应点为B′，折痕为AD，求重叠部分(阴影部分)的面积． 中考考法 返回 中考考法 A．5．2 B．2 C．3＋ D．2＋ 20 A．1，2，3 B．4，5， C．7，24，25 D．0．6，0．8，0．9 解：∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°. 在Rt△ABE中，∵AB＝15 m，AE＝12 m，∴BE＝＝＝9(m)． 又∵E是BC的中点， ∴BC＝2BE＝18 m. 解：在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，AB＝8 dm，AD＝17 dm， ∴由勾股定理得BD＝＝＝15(dm)， 在△BCD中，BC＝9 dm，CD＝12 dm，BD＝15 dm， ∵92＋122＝225，152＝225， ∴BC2＋CD2＝BD2， ∴△BCD是直角三角形，且∠BCD＝90°，即BC⊥CD， ∴该婴儿车符合安全标准． 10或2 若Rt△ABC的两边长a，b满足＋(b－8)2＝0，则它的第三边长c为___________． 解：∵AB＝20，AC＝12，BC＝16， ∴AC2＋BC2＝122＋162＝400＝202＝AB2, ∴∠ACB＝90°， 设CD＝x，由折叠的性质可得BD＝B′D＝16－x， AB′＝AB＝20，∴B′C＝AB′－AC＝8. 在Rt△B′CD中，CD2＋B′C2＝B′D2， ∴x2＋82＝2，解得x＝6， ∴阴影部分的面积为×6×12＝36. $