精品解析：河南省漯河市召陵区2025-2026学年九年级数学学科阶段性学情分析

2025-2026学年九年级数学学科阶段性学情分析 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟； 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列体育运动图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形是某几何体的三视图，则这个几何体是（ ） A. 三棱锥 B. 四棱柱 C. 圆锥 D. 圆柱 3. 一元二次方程的根的情况正确的是（ ） A. 有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 4. 将抛物线平移，使它平移后图象的顶点为，则需将该抛物线（） A. 向上平移5个单位 B. 向下平移5个单位 C. 向左平移5个单位 D. 向右平移5个单位 5. 如图，在三张完全相同的卡片上依次写有三个实数，将卡片置于暗箱中，摇匀后随机抽取两张，则抽取的两张卡片上的数字都是无理数的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中与是位似图形，以原点O为位似中心，若，B点坐标为，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的切线，为切点，连接．若，，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知在中，，延长至，使，连接，交于点，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 9. 如图1，，点D在线段上，交射线于点E，连接，设，的面积为y．若y关于x的函数图像如图2所示，则图1中的长是（ ） A. 7 B. C. 14 D. 15 10. 如图，在平面直角坐标系中，射线是第一象限的角平分线，线段，将绕原点顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束后，点B的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个常数项为0，有一个根为的一元二次方程：_______． 12. 若点，在抛物线上，则，的大小关系为：___________． 13. 为贯彻教育部《关于加强新时代中小学科学教育工作的意见》精神，某校生物兴趣小组的同学在相同试验条件下开展“水果玉米”种子萌发试验，经过长时间的统计发现：该种子在一定条件下萌发的频率稳定在，若学校劳动基地需要该批次“水果玉米”幼苗株，试估算需要准备______粒种子进行萌发培育． 14. 如图，是的直径，与弦交于点E，，，，则图中阴影部分的面积为______． 15. 等腰三角形纸片中，，将纸片沿直线l折叠，使点A与点B重合，直线l交于点D，交直线于点E，连接，若，，则的面积为__________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）解方程： x（x+4）=3x+12 （2）计算2sin²45°－ tan60°·cos30° 17. 如图，学校准备在教学楼后面搭建一简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为），另外三边利用学校现有的总长的铁栏围成．已知车棚在平行于后墙的一边留出宽的缺口作门，且铁栏无剩余． （1）若围成的面积为，试求出自行车车棚的长和宽； （2）能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 18. 烽燧即烽火台，是古代军情报警的一种措施，史册记载，夜间举火称“烽”，白天放烟称“燧”．克孜尔尕哈烽燧是古丝绸之路北道上新疆境内时代最早、保存最完好、规模最大的古代烽燧（如图1）．某数学兴趣小组利用无人机测量该烽燧的高度，如图2，无人机飞至距地面高度米的A处，测得烽燧的顶部C处的俯角为，测得烽燧的底部B处的俯角为，试根据提供的数据计算烽燧的高度．（参考数据：，，，，，） 19. 2025年1月，哈尔滨亚冬会举办前，亚冬会组委会为使参与服务的志愿者队伍整齐一致，随机抽取部分志愿者，对其身高情况进行了调查，将身高（单位：）数据分为、、、、五组，并制成了如下不完整的统计图表． 组别 身高分组 人数 5 4 12 9 根据以上信息回答： （1）这次抽查的志愿者共有________人，扇形统计图中的圆心角度数是________，请补全条形统计图． （2）若组的4人中，男女志愿者各有2人，从中随机抽取2人担任组长，请用列表法或画树状图法，求出刚好抽中两名女志愿者担任组长的概率． 20. 如图，直线与反比例函数的图象交于点． （1）求一次函数和反比例函数解析式； （2）将直线l向上平移，在x轴上方与反比例函数图象交于点C，连接，当时，求点C的坐标及直线l平移的距离． 21. 马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白彩共用，彩绘线条流畅细致，图案繁缛多变，形成了绚丽典雅的艺术风格，创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术精品，体现了古代劳动人民的智慧．如图1的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通．如图2，已知和圆上一点M．作法如下： ①以点M为圆心，长为半径，作弧交于A，B两点； ②延长交于点C； 即点A，B，C将的圆周三等分． （1）请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图2中将的圆周三等分（保留作图痕迹，不写作法）； （2）根据（1）画出的图形，连接，，，若的半径为，则的周长为______． 22. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点与点之间的一点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点． （1）若点为该二次函数的顶点， 求二次函数的表达式； 求线段长度的最大值； （2）若该二次函数与轴的一个交点为，且，求的取值范围． 23. 数学老师在课堂上给出了一个问题，让同学们探究．在中，，点D在直线上，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，过点E作，交直线于点F． （1）当点D在线段上时，如图①，求证：； 分析问题：某同学在思考这道题时，想利用构造全等三角形，便尝试着在上截取，连接，通过证明两个三角形全等，最终证出结论： 推理证明：写出图①的证明过程： 探究问题：　　 （2）当点D在线段的延长线上时，如图②：当点D在线段的延长线上时，如图③，请判断并直接写出线段，，之间的数量关系； 拓展思考： （3）在（1）（2）的条件下，若，，则______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学学科阶段性学情分析 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟； 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列体育运动图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，解题的关键是掌握：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形，据此依次对各个运动图标进行分析即可作出判断． 【详解】解：A．该运动图标不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．该运动图标是中心对称图形，故此选项符合题意； C．该运动图标不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．该运动图标不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：B． 2. 下列图形是某几何体的三视图，则这个几何体是（ ） A. 三棱锥 B. 四棱柱 C. 圆锥 D. 圆柱 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”． 根据主视图和俯视图为矩形可得这个几何体是柱体，根据左视图是圆可判断出这个几何体应该是圆柱． 【详解】解：根据主视图和俯视图为矩形可得这个几何体是柱体，根据左视图是圆可判断出这个几何体应该是圆柱． 故选：D． 3. 一元二次方程的根的情况正确的是（ ） A. 有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式的应用，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 利用一元二次方程根的判别式的符号判断根的情况． 【详解】解：中，，，， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 4. 将抛物线平移，使它平移后图象的顶点为，则需将该抛物线（） A. 向上平移5个单位 B. 向下平移5个单位 C. 向左平移5个单位 D. 向右平移5个单位 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，二次函数的图象及性质．通过比较原抛物线的顶点坐标与平移后图象的顶点坐标，确定平移方向和距离． 【详解】解：∵原抛物线的顶点为，平移后图象的顶点为， ∴需向上平移个单位． 故选：A． 5. 如图，在三张完全相同的卡片上依次写有三个实数，将卡片置于暗箱中，摇匀后随机抽取两张，则抽取的两张卡片上的数字都是无理数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，无理数的定义，根据题意准确画出树状图，确定总共种等可能性结果，抽取的两张卡片上的数字都是无理数的结果有种，即可求解，根据题意正确画出树状图是解题的关键． 【详解】解：画树状图如图， ∴总共种等可能性结果，抽取的两张卡片上的数字都是无理数的结果有种， ∴抽取的两张卡片上的数字都是无理数的概率是， 故选：． 6. 如图，在平面直角坐标系中与是位似图形，以原点O为位似中心，若，B点坐标为，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求位似图形的对应坐标，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵， ∴与的位似比为， ∵B点坐标为， ∴点D的坐标为， 故选：C． 7. 如图，是的切线，为切点，连接．若，，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据切线的性质及正切的定义得到，再根据勾股定理得到． 【详解】解：连接， ∵是的切线，为切点， ∴， ∵，， ∴在中，， ∵， ∴在，， 故选． 【点睛】本题考查了切线的性质，锐角三角函数，勾股定理，掌握切线的性质是解题的关键． 8. 如图，已知在中，，延长至，使，连接，交于点，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形性质与相似三角形的判定及性质，解题关键是利用平行四边形性质证明三角形相似，再根据相似三角形对应边成比例建立线段关系求解． 先利用平行四边形对边平行且相等的性质，得出相关线段和角的关系；再据此证明，得到对应边成比例关系；最后结合已知线段长度，通过线段间的等量代换求出答案。 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，． ∴， ∴． ∴ ， ∵， ∴ ， 则， ∴ ． ∵，且，， ∴，即 ， 解得． 故选：A． 9. 如图1，，点D在线段上，交射线于点E，连接，设，的面积为y．若y关于x的函数图像如图2所示，则图1中的长是（ ） A. 7 B. C. 14 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了从函数图像获取信息，解题的关键是数形结合，由函数图像可知，当D是中点，即时，，再根据三角形的面积可求出m，即可得解． 【详解】解：由函数图像可知，当D是中点，即时，，则，， ， ， ， ， ， ， ， 解得， ， 故选：． 10. 如图，在平面直角坐标系中，射线是第一象限的角平分线，线段，将绕原点顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束后，点B的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化﹣旋转及探索图形规律．根据题意和角平分线的性质，即可得到B点的坐标，根据旋转的规律即可得到旋转后B的坐标，找到规律，即可求解．找到旋转的规律是解题的关键． 【详解】∵射线是第一象限的角平分线，， ∴设点，则， ∴，（不合题意舍去） ∴， 由题意得：第一次旋转后点对应点的坐标为， 第二次旋转后点对应点的坐标为， 第三次旋转后点对应点的坐标为， 第四次旋转后点对应点的坐标为， 第五次旋转后点对应点的坐标为， 第六次旋转后点对应点的坐标为， 第七次旋转后点对应点的坐标为， 第八次旋转后点对应点的坐标为， ∴第八次旋转后与原来点B重合， ∴每8次一个循环， ， ∴第次旋转结束后，点对应点的坐标与第一次的坐标相同为． 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个常数项为0，有一个根为的一元二次方程：_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义，常数项为0即，且有一个根为，因此可构造一个以和为根的一元二次方程。 【详解】解：设一元二次方程为， 由题意，常数项，故方程为， 由于有一个根为，代入方程得，即， 整理得，即， 取，则，因此方程为， 故答案为：． 12. 若点，在抛物线上，则，的大小关系为：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数与方程的关系．分别把，代入解析式求解即可． 【详解】解：∵点，在抛物线上， ∴， ， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 为贯彻教育部《关于加强新时代中小学科学教育工作的意见》精神，某校生物兴趣小组的同学在相同试验条件下开展“水果玉米”种子萌发试验，经过长时间的统计发现：该种子在一定条件下萌发的频率稳定在，若学校劳动基地需要该批次“水果玉米”幼苗株，试估算需要准备______粒种子进行萌发培育． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，用需要该批次“水果玉米”幼苗株除以该批次“水果玉米”种子萌发的概率可得答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵该种子在一定条件下种子萌发的频率稳定在， ∴该批次“水果玉米”种子萌发的概率为， ∴需要准备（粒）， 故答案为：． 14. 如图，是的直径，与弦交于点E，，，，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解直角三角形，扇形的面积公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 连接、，由，，求得，由得，由得，根据三角形内角和定理求得，进而求得，最后根据即可得解． 【详解】解：连接、， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 等腰三角形纸片中，，将纸片沿直线l折叠，使点A与点B重合，直线l交于点D，交直线于点E，连接，若，，则的面积为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查折叠的性质，等腰三角形的性质，勾股定理以及相似三角形的判定与性质，分为锐角和钝角两种情况讨论求解：①当为锐角时求出，，由折叠得，可求得，过点作于点，证明，可求出，可求出，根据可得结论；②当为钝角时，过点作于点，得出，可求出，，从而可得． 【详解】解：当为锐角时，如图， 根据题意得， ∵， ∴设，则， ∵， ∴，即，解得， ∴，， 由折叠得， ∴； ∴， 过点作于点，则， ∴， ∴，即， ∴ ∴， ∴； 当为钝角时，如图， 过点作于点，则， ∴， 同（1）可得，， ∴， 同理可得 ∴； 综上所述，的面积为或． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）解方程： x（x+4）=3x+12 （2）计算2sin²45°－ tan60°·cos30° 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】（1）根据因式分解法即可求解； （2）根据特殊三角函数值即可代入求解． 【详解】（1）x（x+4）=3x+12 x（x+4）=3（x+4） x（x+4）-3（x+4）=0 （x+4）（x-3）=0 ∴x-3=0或x+4=0 ∴， （2）2sin²45°－ tan60°·cos30° =2×- =2×- = ． 【点睛】此题主要考查解一元二次方程与实数的计算，解题的关键是熟知因式分解法与特殊角的三角函数值． 17. 如图，学校准备在教学楼后面搭建一简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为），另外三边利用学校现有的总长的铁栏围成．已知车棚在平行于后墙的一边留出宽的缺口作门，且铁栏无剩余． （1）若围成的面积为，试求出自行车车棚的长和宽； （2）能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）自行车车棚的长和宽分别为 （2） 不能围成面积为的自行车车棚．理由如下： 设车棚垂直于墙的一边长为，则平行于墙的边长为， 根据题意，得， 整理，得， ∴， ∴此方程没有实数根， ∴不能围成面积为的自行车车棚． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用： （1）设车棚垂直于墙的一边长为米，根据题意，列出一元二次方程进行求解即可； （2）根据题意，列出新的一元二次方程，根据判别式的符号，进行判断即可． 【小问1详解】 解：设车棚垂直于墙的一边长为米，则：则平行于墙的边长为， 由题意，得：， 解得：或， 当时，不合题意， ∴，， ∴自行车车棚的长和宽分别为； 【小问2详解】 略 18. 烽燧即烽火台，是古代军情报警的一种措施，史册记载，夜间举火称“烽”，白天放烟称“燧”．克孜尔尕哈烽燧是古丝绸之路北道上新疆境内时代最早、保存最完好、规模最大的古代烽燧（如图1）．某数学兴趣小组利用无人机测量该烽燧的高度，如图2，无人机飞至距地面高度米的A处，测得烽燧的顶部C处的俯角为，测得烽燧的底部B处的俯角为，试根据提供的数据计算烽燧的高度．（参考数据：，，，，，） 【答案】米 【解析】 【分析】过点A作的平行线交的延长线于点G，过点C作，根据题意得出边形为矩形，，再由正切函数求解即可． 【详解】解：过点A作的平行线交的延长线于点G，过点C作，如图所示： 根据题意得：四边形为矩形，， ∴， ∴， ∵， ∴米， ∴米． 【点睛】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，结合图形求解是解题关键． 19. 2025年1月，哈尔滨亚冬会举办前，亚冬会组委会为使参与服务的志愿者队伍整齐一致，随机抽取部分志愿者，对其身高情况进行了调查，将身高（单位：）数据分为、、、、五组，并制成了如下不完整的统计图表． 组别 身高分组 人数 5 4 12 9 根据以上信息回答： （1）这次抽查的志愿者共有________人，扇形统计图中的圆心角度数是________，请补全条形统计图． （2）若组的4人中，男女志愿者各有2人，从中随机抽取2人担任组长，请用列表法或画树状图法，求出刚好抽中两名女志愿者担任组长的概率． 【答案】（1）40，， 补全条形统计图如下： （2） 【解析】 【分析】此题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联，树状图或列表法求概率，准确理解题意是解题的关键． （1）先根据D组的人数和百分比求出抽查的总人数，再利用乘以组的的百分比即可求出扇形统计图中的圆心角度数，再求出C组的人数并补全统计图即可； （2）画出树状图或列表法得到所有等可能情况，用概率公式求出答案即可． 【小问1详解】 解：这次抽查的志愿者共有：（人）， 扇形统计图中的圆心角度数是， C组的人数为（人）， 故答案为：40， 【小问2详解】 解：设2名男志愿者分别记作、，2名女志愿者分别记作、 根据题意可以画出如下的树状图 列表法如下图 由树状图法或列表法可以看出共有12种结果出现的可能性相等，选中的2名女志愿者担任组长的是和的情况有两种. 20. 如图，直线与反比例函数的图象交于点． （1）求一次函数和反比例函数解析式； （2）将直线l向上平移，在x轴上方与反比例函数图象交于点C，连接，当时，求点C的坐标及直线l平移的距离． 【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数和解析式为； （2）点，直线l平移的距离为． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，求反比例函数解析式，全等三角形的判定和性质，直线的平移，解题的关键是熟练掌握待定系数法． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先得到点和点关于直线对称，可求得，设直线l向上平移个单位经过点，再利用待定系数法求解即可． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∵直线经过点， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为，反比例函数和解析式为； 【小问2详解】 解：作一三象限的角平分线，如图， ∵，∴， 根据双曲线的对称性，知点和点关于直线对称， ∴， 作轴于点，作轴于点， ∵，，， ∴， ∵， ∴，， ∴点，设直线l向上平移个单位经过点， ∴平移后的直线为， ∴， 解得， ∴直线l平移的距离为． 21. 马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白彩共用，彩绘线条流畅细致，图案繁缛多变，形成了绚丽典雅的艺术风格，创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术精品，体现了古代劳动人民的智慧．如图1的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通．如图2，已知和圆上一点M．作法如下： ①以点M为圆心，长为半径，作弧交于A，B两点； ②延长交于点C； 即点A，B，C将的圆周三等分． （1）请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图2中将的圆周三等分（保留作图痕迹，不写作法）； （2）根据（1）画出的图形，连接，，，若的半径为，则的周长为______． 【答案】（1） 作图如下，点A，B，C是求作的的圆周三等分点： （2） 【解析】 【分析】（1）根据尺规作图的基本步骤解答即可； （2）连接，设的交点为D，得到，根据的半径为，是直径，是等边三角形，计算即可． 本题考查了尺规作图，圆的性质，等边三角形的性质，熟练掌握尺规作图的方法和圆的性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，设的交点为D， 根据垂径定理得到， ∵的半径为，是直径，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴的周长为， 故答案为：． 22. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点与点之间的一点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点． （1）若点为该二次函数的顶点， 求二次函数的表达式； 求线段长度的最大值； （2）若该二次函数与轴的一个交点为，且，求的取值范围． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质，二次函数的最值，掌握这些知识点的应用是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； 正比例函数表达式为，设，则，，则，然后通过二次函数的性质即可求解； （2）令，解得，，又二次函数与轴的一交点为，，所以，即，则有，然后解不等式即可． 【小问1详解】 解：∵为二次函数的顶点， ∴， 解得， ∴二次函数表达式为； 因为正比例函数经过点， ∴， ∴， ∴正比例函数表达式为， 设，则，， ∴ ， ∴当时，线段的长度取得最大值； 【小问2详解】 解：∵二次函数经过点， ∴，即， 令， 解得，， ∵二次函数与轴的一个交点为，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴的取值范围是． 23. 数学老师在课堂上给出了一个问题，让同学们探究．在中，，点D在直线上，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，过点E作，交直线于点F． （1）当点D在线段上时，如图①，求证：； 分析问题：某同学在思考这道题时，想利用构造全等三角形，便尝试着在上截取，连接，通过证明两个三角形全等，最终证出结论： 推理证明：写出图①的证明过程： 探究问题：　　 （2）当点D在线段的延长线上时，如图②：当点D在线段的延长线上时，如图③，请判断并直接写出线段，，之间的数量关系； 拓展思考： （3）在（1）（2）的条件下，若，，则______． 【答案】（1）证明：在边上截取，连接． 在中，． ， ． 又， ． 又，， ． 又， ． ． ． ． ， ． 是等边三角形． ， ， ； （2）图②：，图③：； （3）10或18 【解析】 【分析】（1）在边上截取，连接，根据题意证明出，得到，然后证明出是等边三角形，得到，进而求解即可； （2）图②：在上取点H，使，连接并延长到点G使，连接，首先证明出是等边三角形，得到，然后求出，然后证明出，得到，，然后证明出是等边三角形，得到，进而求解即可； 图③：在上取点H使，同理证明出，得到，，进而求解即可； （3）根据勾股定理和含角直角三角形的性质求出，，然后结合，分别（1）（2）的条件下求出的长度，进而求解即可． 【详解】（1）略 （2）图②：当点D在线段的延长线上时，，证明如下： 如图所示，在上取点H，使，连接并延长到点G使，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵线段绕点A顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 图③：当点D在线段的延长线上时，，证明如下∶ 如图所示，在上取点H使， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵将线段绕点A顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （3）如图所示， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 由（1）可知，， ∴； 如图所示，当点D在线段的延长线上时， ∵，与矛盾， ∴不符合题意； 如图所示，当点D在线段的延长线上时， ∵，， ∴， 由（2）可知，， ∵， ∴． 综上所述，或18． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，等边三角形的性质和判定，含角直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $