第十九章　二次根式【章末复习】-课件--2025-2026学年人教版数学八年级下册

新人教版数学8年级下册培优备课课件 章末小结 第十九章　二次根式 授课教师： Home . 班 级： . 时 间：2026年01月18日 . 1 本章知识结构图 ≥ 0 (a ≥ 0)， ()² = a (a ≥ 0) ， = |a| (a 为任意实数) 二次根式的概念 二次根式的性质 二次根式的运算 二次根式的乘除 二次根式的加减 二次根式及其性质 一、概念 一般地，我们把形如 (a≥0) 的式子叫作二次根式. 二、性质 ≥0 (≥0)(双重非负性)， ()2=(≥0)， 不同点 表示的意义 表示非负数a的算术平方根的平方. 表示实数a的平方的算术平方根. 包含的运算顺序 先开方再平方. 先平方再开方. 的取值范围 a0. a为任意实数. 结果的表达形式 相同点 ()2与的结果都是非负数， 且当a0时，()2 =. 辨析 ()2与的相同点与不同点 二次根式的乘法与除法 乘法 法则：= (a0，b0) 逆用：= (a0，b0) 除法 法则： = (a0，b>0). 逆用： = (a0，b>0). 最简二次根式 最简二次根式 被开方数不含分母 被开方数中不含能开得尽平方的因数或因式 同时满足 二次根式的加法与减法 可以合并的二次根式 将二次根式化成最简二次根式，若被开方数相同，则这样的二次根式（也叫同类二次根式）可以合并 二次根式加减运算的 一般步骤 一化：将非最简二次根式化成最简二次根式 二找：找出被开方数相同的二次根式 三合：将被开方数相同的二次根式合并 二次根式的混合运算 二次根式的混合运算 运算顺序：先乘方，后乘除，最后加减； 如有括号，先做括号内的运算； 同级运算从左到右进行. 应用：化简求值 技巧：运用运算律和运算公式简化计算 1. 当x满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？ (1) ；(2)；(3) ；(4) . 解：（1）由 3 + x ≥ 0，得 x ≥ -3. ∴ 当 x ≥ -3 时，在实数范围内有意义. （2）由 2x - 1 ≥ 0 且 ≠ 0，得 x > ∴ 当 时，在实数范围内有意义. 解：（3）由 ≥ 0，且 2 - 3x ≠ 0，得 . ∴ 当 时，在实数范围内有意义. （4）由 x - 1 ≠ 0，得 x ≠ 1 时，∴当 x ≠ 1 时，在实数范围内有意义. 1. 当x满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？ (1) ；(2)；(3) ；(4) . 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是( ) B A. B. C. D. 3.下列各组二次根式中，能合并的是( ) C A.和 B.和 C.和 D.和 4.实数，在数轴上的对应点的位置如图所示， 则化简 的结果是( ) C A. B. C. D. 5. 化简： (1) ；(2) ；(3)；(4) ；(5) ；(6) 解：(1) = = . (2) = = . (3) = = . 5. 化简： (1) ；(2) ；(3)；(4) ；(5) ；(6) 解： (4) = = . (5) = = (6) = =. 6. 计算： (1) ； (2) ； 解：(1) = = = . (2) 2× ÷ = × × = 3 × = . 6. 计算： (3) ； (4) ； 解：(3) ()() = ()² - ()² = 12 - 6 = 6. (4) () ÷ = () ÷ = = = = . 6. 计算：(5) ; (5) ()² = ()² + + ()² = 8 + + 27 = 35 + . 6. 计算：(6) . (6) = = = = 5 - . 7. 正方形的边长为 a，它的面积与一个长为 96、宽为 12 的长方形的面积相等，求 a. 解：由题意得a= = =24. 8.有一块长方形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上裁出面积分别为 、和 的三块正方形木板. (1)裁出的三块正方形木板的边长分别为_______， _______ 和 _______ . （2）求长方形木板的面积.（结果保留根号） 解：根据题意，得长方形的宽为， 长为 , 长方形木板的面积为 . (3) 如果木工师傅想从剩余的木板中裁出长为1.5dm、宽为1dm的长方形木板，最多能裁出多少块这样的木板？(≈1.414,≈1.732) 解：根据题意，得剩余的木板的长为 ， 宽为 ， ， ， 最多能裁出2块这样的木板. 9.已知，化简：. 解：∵， ∴＜0，＞0. ∴ =-()-() =-x+3-x-1 =-2x+2. 10.若，是实数，且 ， 求的值. 解：由题意可知，， ， , 原式 . 11.阅读材料：小明在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如： ， 善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中,,, 均为整数）， 则有 这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法. 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当均为正整数时，若，用含的式子分别表示得 （2）试着把 化成一个完全平方式； 2mn 解： . （3）化简： . 解： . 返回 B 1. [2025长沙月考]下列各式中，一定是二次根式的有(　　) 中考考法 29 返回 2. x≥1 中考考法 返回 3. 下列二次根式是最简二次根式的是(　　) B 中考考法 返回 4. 2 中考考法 返回 5. D 中考考法 返回 6. 6 中考考法 返回 7. a≤1 中考考法 返回 8. 2<p＜6 中考考法 9. 中考考法 37 小马同学的解答过程从第几步开始出错？错误的原因是什么？请给出正确的解答过程． 返回 中考考法 38 返回 10. 60 中考考法 39 返回 11. [2025太原期中] 下列运算正确的是(　　) D 中考考法 40 返回 12. C 中考考法 41 13. 中考考法 返回 中考考法 14. 中考考法 (2)(a＋1)(b＋1)． 返回 中考考法 45 返回 15. 中考考法 16. 中考考法 (2)小明是一名爱动脑筋的学生，他发现沿图①中的虚线将阴影部分剪开，可拼成如图②所示的长方形，请你根据小明的思路求图①中阴影部分的面积． 返回 中考考法 48 返回 17. 7 2 中考考法 18. 中考考法 返回 中考考法 ①；②；③；④； ⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 [2025北京中考]若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是________． A． B． C． D． 若与最简二次根式5 可以合并，则a＝________． 化简的正确结果是(　　) A． B． C．－ D．－ 若＝，且a为偶数，则a的值为________． 若－()2＝－1，则a的取值范围是________． 若实数m，n满足等式＋＝0，且m，n恰好是△ABC的两条边的长，则△ABC第三条边的长p的取值范围为____________． (4分)先化简，再求值：2a＋，其中a＝．小马同学的解题步骤如下： 解：原式＝2a＋(a－2)第一步 ＝2a＋a－2第二步 ＝3a－2．第三步 把a＝代入，得原式＝3 －2．第四步 解：从第一步开始出错，错误的原因是没有正确化简. 正确的解答过程如下：∵a＝，∴a－2<0， ∴原式＝2a＋＝2a＋(2－a)＝2a＋2－a＝a＋2. 把a＝代入，得原式＝＋2. [2025天津中考]计算(＋1)(－1)的结果为________． A．－＝ B．4＋3＝7 C．÷＝9 D．×＝1 估计(＋)的值应在(　　) A．8和9之间 B．9和10之间 C．10和11之间 D．11和12之间 (12分)计算： (1)＋2×－÷； 解：原式＝＋2－2＝. 原式＝7－4－(25＋10－10－6)＝7－4－25＋6＝7－4－19. (2)(3－)(3＋)－； (3)(2－)2－(5－2)(5＋)． 解：原式＝2－＝2＋3＋3＝5＋3. (8分)已知a＝2＋，b＝2－，求下列式子的值： (1)a2－3ab＋b2； 解：a2－3ab＋b2＝－ab， ∵a＝2＋，b＝2－， ∴原式＝－＝24－＝26. 解：(a＋1)(b＋1)＝ab＋a＋b＋1， ∵a＝2＋，b＝2－， ∴原式＝＋2＋＋2－＋1＝3. [教材P17阅读与思考变式]海伦­秦九韶公式告诉我们，若一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p＝，则三角形的面积为S＝．如图，请你利用海伦­ 秦九韶公式计算S△ABC＝________． 解：由题意得S阴影＝－ ＝5＋2 ＋3－＝4 (cm2)． (8分)(1)如图①，在边长为(＋)cm的正方形的一角剪去一个边长为(－)cm的小正方形，求图中阴影部分的面积； 解：由题意得，题图②中长方形的长为＋＝2 (cm)，宽为－＝2 (cm)， ∴S阴影＝2 ×2 ＝4 (cm2)． 定义：我们将(＋)与(－)称为一对“对偶式”，(＋)(－)＝－2＝a－b，可以有效地去掉根号．若－＝1，则＋＝______，可求得x＝______． (8分)已知实数x，y满足|x－5 |＋＝0，求以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长． 解：根据题意得x－5 ＝0，y－2 ＝0，解得x＝5 ，y＝2 . ①当5 是腰长时，三角形的三边长分别为5 ，5 ，2 ，满足三角形的三边关系，所以周长为5 ＋5 ＋2 ＝10 ＋2 ； ②当2 是腰长时，三角形的三边长分别为2 ，2 ，5 ，满足三角形的三边关系，所以周长为2 ＋2 ＋5 ＝4 ＋5 . 所以三角形的周长为10 ＋2 或4 ＋5 . $