精品解析：山东烟台市莱山区2025-2026学年上学期期末初四（五四学制）数学试题

2025－2026学年度第一学期第二阶段检测练习题 初四数学 注意事项： 1．本试卷共8页，共120分；考试时间120分钟．考试结束后，请将答题卡交回． 2．答题前，务必用0.5毫米黑色的签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡规定的位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 5．写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效． 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 如图，在中，，，，则的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】先根据正弦函数得出，求出，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了正弦函数，掌握三角函数的定义是解题的关键． 2. 安塞腰鼓是延安地区的一种传统民间舞蹈艺术．如图是一个腰鼓的示意图，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三视图的有关知识，熟练掌握三视图的概念是解题的关键．直接根据俯视图是从上面看到的平面图形，进行解答即可． 【详解】解：腰鼓的俯视图为． 故选：C． 3. 如图，这是一枚2025年发行的正十二边形的纪念币，则该正十二边形的中心角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查多边形的中心角，掌握知识点是解题的关键． 根据多边形的中心角的定义求解即可． 【详解】解：该正十二边形的中心角为． 故选A． 4. 当自变量时，下列函数随的增大而增大的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查函数的增减性，掌握一次函数、反比例函数、二次函数的增减性是解题关键． 根据各函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵在中，， ∴随的增大而减小，故A错误； ∵在中，， ∴当时，随的增大而减小，故B错误； ∵在中，， ∴随的增大而增大，故C正确； ∵在中，，图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故D错误． 故选：C． 5. 已知下列函数：；；；，则图象上的任意三点均可以确定一个圆的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查确定圆的条件，一次函数、二次函数与反比例函数的图象，熟练掌握相关知识是关键． 不在同一直线上的三点可以确定一个圆，结合函数的图象逐个判断即可． 【详解】解：不在同一直线上的三点可以确定一个圆， 对于①和④，一次函数的图象的形状是直线，故不符题意； 对于②，二次函数的图象的形状是抛物线，与直线最多两个交点，故符合题意； 对于③，反比例函数的图象的形状是双曲线，与直线最多两个交点，故符合题意． 故选：D． 6. 小华用铁皮制作一个烟囱帽，烟囱帽的三视图如图所示，已知主视图和左视图均为边长是的等边三角形，则所需铁皮面积（接缝面积忽略不计）为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】这道题考查的是圆锥侧面积的计算，首先明确圆锥侧面积公式为 (r为底面半径，l为母线长)，由三视图可知，圆锥的母线长，底面圆的直径等于等边三角形的边长，即底面半径，代入圆锥侧面积公式计算即可． 【详解】解：则所需铁皮面积 故选B 7. 如图，是圆的弦，过圆心作于点，交于点，，点是上异于，的一点，连接，，的值是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，圆周角定理，余弦函数的定义，熟练掌握相关知识是关键． 连接，设的半径为，由垂径定理和圆周角定理可得，在直角中，使用余弦函数的定义进行计算即可． 【详解】解：如图，连接，设的半径为， ∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在直角中，， ∴． 故选：A． 8. 将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（ ） A. 图象与轴的交点坐标是 B. 当时，函数取得最大值 C. 图象与轴两个交点之间的距离为 D. 当时，的值随值的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，以及图象的翻折变换，图象的翻折变化对函数图象的影响变化，正确分析变换前后点的坐标，函数的最值，以及增减性是解决本题的关键． 先求出二次函数翻折前图象与轴的交点坐标，即可求解翻折后图象与轴的交点坐标，判断A选项即可；根据图象可知函数的最大值，判断B选项即可；求解出二次函数与轴的交点坐标，求解距离判断C选项；根据函数图象即可判断D选项． 【详解】解：A选项，二次函数， 令，解得， ∴原二次函数与轴的交点坐标为， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标是，A选项错误； B选项，二次函数， 对称轴为， 将代入函数解析式可得， ∴原二次函数顶点坐标为， 翻折后新函数图象的对称轴不变，为， 在处，函数没有最大值，B选项错误； C选项，二次函数， 令，则有， 即，解得，， ∴原二次函数与轴的交点坐标为，， 翻折后新函数图象与轴交点坐标不变，为，， ∴图象与轴两个交点之间的距离为，C选项正确； D选项，新函数图象的对称轴为， 由图象可知，函数在时，的值随值的增大而减小， 当时，的值随值的增大而增大，D选项错误． 故选：C ． 9. 抛物线的部分图象如图，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．下列说法：①；②；③若与是抛物线上的两个点，则；④当时，y随x的增大而增大；⑤当时，函数有最大值．其中正确的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，求二次函数的最大值， 根据抛物线的对称轴是解答①；先确定抛物线与x轴的另一个交点是，可得，再根据对称轴可得，进而得出，然后根据解答②；根据抛物线的开口方向和对称轴可得点离对称轴越近函数值越大，当时，函数值y随着x的增大而增大，解答③④；根据直线经过点，可得，由上述知，进而得出，再根据可得关系式，再讨论极值即可说明⑤，则此可解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是， ∴，则①不正确； ∵抛物线与x的一个交点为且对称轴是， ∴另一个交点是． 当时，． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵抛物线开口向下， ∴， ∴，则②正确； ∵抛物线开口向下，对称轴是， ∴点离对称轴越近函数值越大，当时，函数值y随着x的增大而增大． ∵， ∴，则③④正确； ∵直线经过点， ∴， 则． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴当时，函数有最大值，则⑤正确， 所以正确的有4个． 故选：C． 10. 如图，在同一平面内放置的和矩形，与重合，，，，以的速度沿方向匀速运动，当点F与点C重合时停止．在运动过程中，与矩形重叠部分的面积S（）与运动时间t（s）之间的函数关系图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得和，则，分三种情况求解，当时，结合题意求得和，利用面积公式求解：当时，；当时，，同理，此时，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：如图， 由题意知，，， 则， ∴， ①当时， ∵以的速度沿方向匀速运动， ∴， ∵，，， ∴， 即， ； ②当时， ； ③当时，如图， 则，同理，， ； 故选：B． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、三角形的面积公式、相似三角形的判定和性质以及二次函数的性质，解题的关键是熟悉二次函数的性质和动态思想的应用． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. _____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，实数的混合运算，零指数幂，熟练记忆特殊角的三角函数值是解题关键． 将特殊角的三角函数值和零指数幂化简，然后按照实数的混合运算的法则进行计算即可． 【详解】解： ， ， ， ． 故答案为：． 12. 如图，是的直径，，则的度数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键；先求出，再根据等弧对等角即可解答， 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查二次函数与二次不等式，运用数形结合思想是解题关键． 将不等式转化为二次函数与一次函数之间的大小比较，并结合函数的图象确定解集． 【详解】解：不等式的解集可以看作一次函数的图象不低于二次函数的图象的时对应的自变量的取值， 结合图象可知，点以及点的左侧，点以及点的右侧，符合题意， ∴关于的不等式的解集为或． 故答案为：或． 14. 如图，在网格中，每个小正方形边长均为1，与相交于点，则的值为_________． 【答案】1 【解析】 【分析】取网格点E，连接，，根据题意可得：，从而利用平行线的性质可得，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，再利用锐角三角函数的定义进行计算可得的值，即可解答． 【详解】解：如图，取网格点E，连接，， 由题意得：， ∴， 在中，，，， ∴，且， ∴是直角三角形，且， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查网格中的锐角三角函数，勾股定理及其逆定理，平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 15. 一块梯形木板，按如图方式设计一个矩形桌面（点在边上）．当___________时，矩形桌面面积最大． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质．作于点H，先根据已知数据证明和是等腰直角三角形，再设，则，列出矩形桌面面积关于x的二次函数，化为顶点式，即可得出答案． 【详解】解：如图，作于点H， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 矩形中， 是等腰直角三角形， 设，则， 矩形桌面的面积， 当时，S取最大值， 即当时，矩形桌面面积最大． 故答案为：5． 16. 如图，点是正六边形内一点，，当时，连接，则线段的最小值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】由正六边形可知，，，，由，，可知在以为直径的圆上运动，作以为直径的，连接，与交点即为，连接，则，过作于，则，，则，，，勾股定理得，，根据的最小值为，计算求解即可． 【详解】解：由正六边形可知，，，， ∵，， ∴在以为直径的半圆上运动， 如图，作以为直径的，连接，与交点即为，连接，则， 过作于，则，， ∴，， ∴， 由勾股定理得，， ∴的最小值为， 故答案：． 【点睛】本题考查了正多边形的性质，等边对等角，解直角三角形的相关计算，勾股定理，的圆周角所对的弦为直径．解题的关键在于确定点的运动轨迹． 三、解答题（本大题共8个小题，满分72分） 17. 先化简，再求值，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式的化简，负整数指数幂，锐角三角函数，先对原式进行化简，再计算的值，代入化简后的原式即可解答． 【详解】解： 当时，原式． 18. 已知：圆及圆外一点，求作：过点作圆的切线． 作法：①连接，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点和，连接，交于点； ②以为圆心，长为半径作圆，交圆于点，两点； ③作直线，． 所以直线，为的切线． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明推理的依据 证明：连接，， ∵为的直径，且点、在上， ∴，（_______________）， ∵，为的半径， ∴直线，为的切线（_______________）． 【答案】（1）图见解析 （2）直径所对的圆周角是直角； 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【解析】 【分析】本题考查尺规作图画圆的切线，切线的判定定理，熟练掌握相关知识是关键． （1）根据题干的步骤进行尺规作图即可； （2）根据圆周角定理和切线的判定定理进行填空即可． 【小问1详解】 解：补全图形如图所示： 【小问2详解】 证明：连接，， ∵为的直径，且点、在上， ∴，（①直径所对的圆周角为直角）， ∵、为的半径， ∴直线，为的切线（②经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线） 故答案为：直径所对的圆周角是直角； 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 19. 为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了以“逐梦科技强国”为主题的活动．下面是该校某调查小组对活动中模具设计水平的调查报告，请完成报告中相应问题． 调查主题 “逐梦科技强国”活动中模具设计水平 调查目的 通过数据分析，获取信息，能在认识及应用统计图表和百分数的过程中，形成数据观念，发展应用意识． 调查对象 某校学生模具设计成绩 调查方式 抽样调查 数据收集与表示 随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用表示），并整理，将其分成如下四组：A．，B．，C．，D．． 数据分析与应用 根据以上信息解决下列问题： （1）本次共抽取了_____名学生的模具设计成绩，在扇形统计图中，C组对应圆心角的度数为_____； （2）请补全频数分布直方图； （3）请估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数； （4）学校决定从模具设计成绩优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两位同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率． 【答案】（1）50， （2）见解析 （3）估计全校模具设计成绩不低于80分的人数为720人 （4） 【解析】 【分析】（1）由D组学生人数除以其百分比可求出抽取的学生人数，乘以C组人数所占的百分率可得C组对应圆心角度数； （2）求出B组学生人数，补全频数分布直方图即可； （3）用1200乘以成绩不低于80分的人数占比即可； （4）画出树状图，根据树状图解答即可； 【详解】解：（1）（名）， 本次共抽取了50名学生的模具设计成绩， C组对应圆心角的度数为； 故答案为：50，； （2）B组学生人数为（人）， 补全频数分布直方图如下： （3）（人）， 答：估计全校模具设计成绩不低于80分的人数为720人； （4）解：画树状图： 共有12种等可能的结果，其中所选两位同学恰为甲和丙的结果有2种， 所选的两位同学恰为甲和丙的概率为． 【点睛】本题考查了频数直方图，扇形统计图，样本估计总体，用树状图或列表法求概率，看懂统计图是解题的关键． 20. 某品牌的香水瓶从正面看上去它可以近似看作割去两个弓形后余下的部分与矩形组合而成的图形（点B，C在⊙O上），其中．已知半径为，，，，求香水瓶高度h． 【答案】香水瓶的高度为 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会构造直角三角形解决问题．作于，延长交于，连接，．利用垂径定理，勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：作于，延长交于，连接，， ，， 过圆心， ， ， 在中， ， ， 同理 香水瓶的高度为． 21. 如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱和分别垂直地面水平线l于点B，D，分米，．在点A，C之间的晾衣绳上有固定挂钩E，分米，一件连衣裙挂在点E处（点M与点E重合），且直线． （1）如图1，当该连衣裙下端点N刚好接触到地面水平线l时，点E到直线的距离等于12分米，求该连衣裙的长度； （2）如图2，为避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩F处再挂一条长裤（点F在点E右侧），若，求此时该连衣裙下端N点到地面水平线l的距离约为多少分米？ （结果保留整数，参考数据：，，） 【答案】（1）该连衣裙的长度为14分米 （2）该连衣裙下端N点到地面水平线l的距离约为2分米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理等知识点，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）利用勾股定理求出的长，进而求出的长，再证明四边形是矩形，得到，即可得到答案； （2）过M作于K，先求出，再求出，进而即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题可知：在中，分米，分米，， ∴（分米）， ∵分米， ∴（分米）， ∵，和分别垂直地面水平线l， ∴， ∴四边形是矩形， ∴（分米）， ∴该连衣裙的长度为14分米； 【小问2详解】 解：如图2，过M作于K， ∵在中，分米，，， ∴（分米）， ∵分米， ∴（分米）， ∴（分米）， ∴该连衣裙下端N点到地面水平线l的距离约为2分米． 22. 综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景，如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 【研究条件】 条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数=现场总人数-已入场人数； 条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数与安检时间之间满足关系式： 结合上述信息，请完成下述问题： （1）当开通3条安检通道时，安检时间分钟时，已入场人数为__________，排队人数与安检时间的函数关系式为_________. 【模型应用】 （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ （3）已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支． 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由? 【总结反思】 函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性． 【答案】（1）；；（2）当时，；（3）最少开7条通道 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，理解题意是解答本题的关键． （1）根据题意得安检时间为分钟，则已入场人数为（用表示），与的函数表达式为； （2）根据二次函数的性质可得出结论； （3）运用二次函数的性质解答即可 【详解】解：（1）若开设3条安检通道，安检时间为分钟，则已入场人数为（用表示），若排队人数为，则与的函数表达式为 （2） 当时， （3）设开了条通道则： 对称轴为 ∵排队人数10分钟（包括10分钟）内减少 ，即： 又最多开通9条 为正整数， 最小值为7 ， 最少开7条通道； 23. 如图，为外接圆的直径，点C为线段上一点（不与D，O重合），点B为的延长线上一点，连接并延长至点M，满足． （1）求证：平分； （2）证明：； （3）若射线与相切于点A，，，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）． 【解析】 【分析】（1）利用圆周角定理求得，再利用，求得，据此即可证明平分； （2）利用半径相等求得，利用三角形外角性质可证明，推出，可证明，等量代换即可证明结论成立； （3）利用切线的性质结合，证明，设，则，利用，列式计算求得，据此求解即可． 【小问1详解】 证明：∵为的直径， ∴，即，， ∵， ∴， ∴，即平分； 【小问2详解】 证明：连接， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：∵射线与相切于点A， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴设，则， ∴，， ∵， ∴， 整理得， 解得或（舍去）， ∴，， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识．作出合适的辅助线是解题的关键． 24. 综合与探究 如图，抛物线交轴于A、两点，交轴于点．直线经过、两点，若点，．点是抛物线上的一个动点（不与点A、重合）． （1）求抛物线的函数解析式． （2）过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标． （3）若点是直线上的一个动点．请判断在点右侧的抛物线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）， （3）存在，P点坐标，或，或 【解析】 【分析】（1）把，代入，解方程组，求出a，b的值，即得； （2）求出，直线的解析式，设，则，分，， 和 ，四种情况解答； （3）过点F，P作轴于G，轴于H，得，根据等腰直角三角形．得，得，得，得，设，分和两种情况解答． 【小问1详解】 解：∵抛物线交轴于，两点， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：∵中，当时，， ∴， ∴设直线的解析式为， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则， 当时， ，， ∵， ∴， 解得（舍去），或（舍去）， ∴点P不存在； 当时，， ∴， 解得解得，或（舍去）， ∴， ∴； 当时，，点P不存在； 当时，，， ∴， 解得，或（舍去）， ∴， ∴， 故点坐标为， 【小问3详解】 解： 过点F，P作轴于G，轴于H，则， ∵是以为斜边的等腰直角三角形． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴, 解得，， ∴P坐标为，或； 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴, 解得，（舍去）， ∴P坐标为； 故P坐标为，或，或． 【点睛】本题考查了函数与三角形综合．熟练掌握待定系数法求一次函数解析式，求二次函数解析式一次函数图象和性质，二次函数图象和性质，函数的线段问题，等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第一学期第二阶段检测练习题 初四数学 注意事项： 1．本试卷共8页，共120分；考试时间120分钟．考试结束后，请将答题卡交回． 2．答题前，务必用0.5毫米黑色的签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡规定的位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 5．写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效． 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 如图，在中，，，，则的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 2. 安塞腰鼓是延安地区的一种传统民间舞蹈艺术．如图是一个腰鼓的示意图，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，这是一枚2025年发行的正十二边形的纪念币，则该正十二边形的中心角为（ ） A. B. C. D. 4. 当自变量时，下列函数随的增大而增大的是（ ）． A. B. C. D. 5. 已知下列函数：；；；，则图象上的任意三点均可以确定一个圆的是（ ）． A. B. C. D. 6. 小华用铁皮制作一个烟囱帽，烟囱帽的三视图如图所示，已知主视图和左视图均为边长是的等边三角形，则所需铁皮面积（接缝面积忽略不计）为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是圆的弦，过圆心作于点，交于点，，点是上异于，的一点，连接，，的值是（ ）． A. B. C. D. 8. 将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（ ） A. 图象与轴的交点坐标是 B. 当时，函数取得最大值 C. 图象与轴两个交点之间的距离为 D. 当时，的值随值的增大而增大 9. 抛物线的部分图象如图，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．下列说法：①；②；③若与是抛物线上的两个点，则；④当时，y随x的增大而增大；⑤当时，函数有最大值．其中正确的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 如图，在同一平面内放置的和矩形，与重合，，，，以的速度沿方向匀速运动，当点F与点C重合时停止．在运动过程中，与矩形重叠部分的面积S（）与运动时间t（s）之间的函数关系图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. _____． 12. 如图，是的直径，，则的度数是_____． 13. 如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于不等式的解集是___________． 14. 如图，在网格中，每个小正方形边长均为1，与相交于点，则的值为_________． 15. 一块梯形木板，按如图方式设计一个矩形桌面（点在边上）．当___________时，矩形桌面面积最大． 16. 如图，点是正六边形内一点，，当时，连接，则线段的最小值是_____． 三、解答题（本大题共8个小题，满分72分） 17. 先化简，再求值，其中． 18. 已知：圆及圆外一点，求作：过点作圆的切线． 作法：①连接，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点和，连接，交于点； ②以为圆心，长为半径作圆，交圆于点，两点； ③作直线，． 所以直线，为的切线． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明推理的依据 证明：连接，， ∵为的直径，且点、在上， ∴，（_______________）， ∵，为的半径， ∴直线，为的切线（_______________）． 19. 为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了以“逐梦科技强国”为主题的活动．下面是该校某调查小组对活动中模具设计水平的调查报告，请完成报告中相应问题． 调查主题 “逐梦科技强国”活动中模具设计水平 调查目的 通过数据分析，获取信息，能在认识及应用统计图表和百分数过程中，形成数据观念，发展应用意识． 调查对象 某校学生模具设计成绩 调查方式 抽样调查 数据收集与表示 随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用表示），并整理，将其分成如下四组：A．，B．，C．，D．． 数据分析与应用 根据以上信息解决下列问题： （1）本次共抽取了_____名学生的模具设计成绩，在扇形统计图中，C组对应圆心角的度数为_____； （2）请补全频数分布直方图； （3）请估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数； （4）学校决定从模具设计成绩优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两位同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率． 20. 某品牌的香水瓶从正面看上去它可以近似看作割去两个弓形后余下的部分与矩形组合而成的图形（点B，C在⊙O上），其中．已知半径为，，，，求香水瓶高度h． 21. 如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱和分别垂直地面水平线l于点B，D，分米，．在点A，C之间的晾衣绳上有固定挂钩E，分米，一件连衣裙挂在点E处（点M与点E重合），且直线． （1）如图1，当该连衣裙下端点N刚好接触到地面水平线l时，点E到直线距离等于12分米，求该连衣裙的长度； （2）如图2，为避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩F处再挂一条长裤（点F在点E的右侧），若，求此时该连衣裙下端N点到地面水平线l的距离约为多少分米？ （结果保留整数，参考数据：，，） 22. 综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景，如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 研究条件】 条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数=现场总人数-已入场人数； 条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数与安检时间之间满足关系式： 结合上述信息，请完成下述问题： （1）当开通3条安检通道时，安检时间分钟时，已入场人数为__________，排队人数与安检时间的函数关系式为_________. 【模型应用】 （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ （3）已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支． 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由? 【总结反思】 函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性． 23. 如图，为外接圆的直径，点C为线段上一点（不与D，O重合），点B为的延长线上一点，连接并延长至点M，满足． （1）求证：平分； （2）证明：； （3）若射线与相切于点A，，，求的值． 24. 综合与探究 如图，抛物线交轴于A、两点，交轴于点．直线经过、两点，若点，．点是抛物线上的一个动点（不与点A、重合）． （1）求抛物线的函数解析式． （2）过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标． （3）若点是直线上的一个动点．请判断在点右侧的抛物线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $