精品解析：山东省烟台市莱山区2023-2024学年 （五四学制）九年级上学期期末数学试题

2023-2024学年度第一学期第二阶段检测练习题 初四数学 注意事项： 1．本试卷共8页、共120分；考试时间120分钟，考试结束后，请将答题卡交回． 2．答题前，务必用0.5毫米黑色的签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡规定的位置上． 3．选择题进出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 5．写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效． 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 下图出自《九章算术》“商功”卷，在互相垂直的墙体角落里，堆放着粟谷，将谷堆看作圆锥的一部分，则该谷堆的主视图为（ ） A B. C. D. 2. 在直角三角形中，，，，则的长为（ ） A. 5 B. 10 C. 12 D. 24 3. 将抛物线进行平移后，其顶点在坐标轴上，则这个平移的过程可能是（　　） A 向上平移3个单位长度 B. 向下平移2个单位长度 C. 向左平移2个单位长度 D. 向右平移3个单位长度 4. 有数字4，5，6的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位数，摆出的三位数是5的倍数的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 在下列说法中：①若两条弧的度数相等，则它们是等弧；②直径是圆中最长的弦；③如果两条弦相等，那么这两条弦所对的圆心角相等；④平分弦的直径垂直于弦，并平分弦所对的两条弧；其中说法正确的个数是（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 如图，是的直径，D，C是上的点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，小明随意向水平放置大正方形内部区域抛一个小豆子，则小豆子落在小正方形内部及边界（阴影）区域的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知：如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧上的点D处，折痕交于点C，连接，则扇形的弧长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆，，的最大仰角为.当时，则点到桌面的最大高度是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线经过点，．下列结论：①；②；③若抛物线上有点，，，则；④方程的解为，，其中正确的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 如果函数是二次函数，那么m的值为_____． 12. 定义一种运算；，．例如：当，时，，则的值为_______． 13. 如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接，则的度数为_______． 14. 设计者给出了蒙古包的三视图(图中尺寸单位：)，现在想用毛毡搭建个这样的蒙古包，至少需要________平方米的毛毡(取)． 15. 山东高考“”模式是指：除语文、数学、外语3门学科以外，学生应在物理、化学、生物、思想政治、地理、历史6门学科中选择3科．小明酷爱物理必选这一科，再从其余的5门科目中随机选择2科，恰好选择化学和地理的概率为______． 16. 已知，抛物线与轴交于点，与轴交于点，，点关于抛物线对称轴的对称点为点，点在轴上，点在以点为圆心，半径为的圆上，则的最小值是______． 三、解答题（本大题共8个小题，满分72分） 17. 计算： 18 作图题，要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法． （1）如图，已知，请作出它的外接圆； （2）过外一点作圆的一条切线． 19. “基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才．已知，，，，五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学．某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图． （1）请将条形统计图补充完整； （2）在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为_________；若该市有中学生参加本次活动，则选择大学的大约有_________人； （3）甲、乙两位同学计划从，，三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率． 20. 于8月29日上市，该系列完成了核心技术领域从0到1的跃迁，让无数国人为之自豪并被赞誉为“争气机”，手机背面有一条圆弧，象征着以山河之美致敬奔腾不息的力量，圆弧对应的弦长，弓形高长，半径的长． 21. 乒乓球被誉为中国国球．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度为的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分． 乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：），乒乓球运行的水平距离记为x（单位：）．测得如下数据： 水平距离 竖直高度 （1）在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象； （2）①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是______，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是______； ②求满足条件的抛物线解析式． 22. 图1是东缉虎营路口临时设置的一个太阳能移动交通信号灯，图2是信号灯的几何图形，信号灯由太阳能板、支架、指示灯、灯杆、底座构成，该信号灯是轴对称图形．太阳能板，且D，E是靠近N，Q的三等分点，支架．经过调研发现，当太阳能板与支架所成的，且支架与灯杆所成的时，太阳能板接收的光能最充足，信号灯的续航时间最长，求此时两个太阳能板之间的长度．（结果精确到） （参考数据：） 23. 如图，点M为内切圆的圆心，是的外接圆，的延长线交于点N，交于点D，连接，过点D作直线，使． （1）求证：直线是的切线； （2）求证：； （3）若，，求的长． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，，与y轴交于点．直线与抛物线在第一象限内交于点E，连接． （1）求此抛物线的解析式； （2）为第四象限抛物线上一点，若的面积与的面积相等，请求出点P的坐标； （3）若点是抛物线上的点，且在直线的上方，连接，，，求四边形面积的最大值； （4）如图2，经过、、三点的圆交轴于点（点与点不重合），请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度第一学期第二阶段检测练习题 初四数学 注意事项： 1．本试卷共8页、共120分；考试时间120分钟，考试结束后，请将答题卡交回． 2．答题前，务必用0.5毫米黑色的签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡规定的位置上． 3．选择题进出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 5．写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效． 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 下图出自《九章算术》“商功”卷，在互相垂直的墙体角落里，堆放着粟谷，将谷堆看作圆锥的一部分，则该谷堆的主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三视图知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．找到从正面看所得到的图形，作出判断即可． 【详解】解：该谷堆的主视图为：    ． 故选：D． 2. 在直角三角形中，，，，则的长为（ ） A. 5 B. 10 C. 12 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形．在直角三角形中，余弦值定义为邻边与斜边的比，即 【详解】解：，且， ， ． 故选：B． 3. 将抛物线进行平移后，其顶点在坐标轴上，则这个平移的过程可能是（　　） A. 向上平移3个单位长度 B. 向下平移2个单位长度 C 向左平移2个单位长度 D. 向右平移3个单位长度 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换；根据顶点坐标的变化发现平移方式是解题的关键．根据抛物线解析式得到顶点坐标，平移后顶点左坐标轴上，分两种情况分析即可，结合点的平移规律可求解． 【详解】解：的顶点坐标为：， 当平移后其顶点在x轴上，则为， 平移方式为：向下平移2个单位； 当平移后其顶点在y轴上，则为， 平移方式为：向左平移3个单位； 故选：B． 4. 有数字4，5，6的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位数，摆出的三位数是5的倍数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列出所有可能，根据概率公式即可求解． 【详解】∵有数字4，5，6的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位数， ∴摆出的三位数有共6种可能，其中是 ∴摆出的三位数是5的倍数的概率是， 故选：C． 【点睛】本题考查了列举法求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． 5. 在下列说法中：①若两条弧的度数相等，则它们是等弧；②直径是圆中最长的弦；③如果两条弦相等，那么这两条弦所对的圆心角相等；④平分弦的直径垂直于弦，并平分弦所对的两条弧；其中说法正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆的基本概念，包括等弧的定义、弦的性质、圆心角与弦的关系以及垂径定理．根据圆的基本性质、垂径定理、弦与弧的关系及三角形外心的定义，逐项判断即可． 【详解】解：∵在同圆或等圆中，能够完全重合的弧是等弧，所以度数相等的弧不一定是等弧，还要求所在的圆是同圆或等圆，故①错误； ∵直径是圆中最长的弦，故②正确； ∵在同圆或等圆中，弦相等则所对圆心角相等，故③错误； ∵当弦是直径时，平分弦的直径不一定垂直于弦，故④错误． ∴正确的只有②，共1个． 故选：A． 6. 如图，是的直径，D，C是上的点，，则的度数是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆的性质，圆内接四边形对角互补和直径所对圆周角等于90度；根据圆内接四边形对角互补和直径所对圆周角等于度求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故选：A． 7. 如图，小明随意向水平放置的大正方形内部区域抛一个小豆子，则小豆子落在小正方形内部及边界（阴影）区域的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】算出阴影部分的面积和大正方形的面积的比值，这个比值就是所求的概率． 【详解】解：设小正方形的边长为1，则其面积为1． 圆的直径正好是大正方形边长， 根据勾股定理，其小正方形对角线为，即圆的直径为， 大正方形的边长为， 则大正方形的面积为，则小球落在小正方形内部（阴影）区域的概率为． 故选：． 【点睛】概率相应的面积与总面积之比，本题实质是确定圆的内接正方形和外切正方形的边长比．设较小边长为单位1是在选择填空题中求比的常见方法． 8. 已知：如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧上的点D处，折痕交于点C，连接，则扇形的弧长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求弧长，等边三角形的判定和性质，根据翻折的性质以及等边三角形的判定得出是等边三角形，进而求出扇形圆心角度数，再根据弧长的计算公式进行计算即可． 【详解】解：由翻折的性质可知，， ∵， ∴， ∴是正三角形， ∴， ∴， ∴扇形的弧长． 故选：B． 9. 如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆，，的最大仰角为.当时，则点到桌面的最大高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作于，过点作于，利用解直角三角形可得，，根据点到桌面的最大高度，即可求得答案． 【详解】如图，过点作于，过点作于， 在中，， 在中，， 点到桌面的最大高度， 故选：D． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是添加辅助线，构造直角三角形，利用解直角三角形解决问题． 10. 如图，抛物线经过点，．下列结论：①；②；③若抛物线上有点，，，则；④方程的解为，，其中正确的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质．根据二次函数图象可知：，，，得出，故①不正确；将点，代入，得出：，再求出，故②正确；根据函数图象可得，故③正确；把，代入方程，得，解得，，故④不正确． 【详解】解：根据二次函数图象可知：，，， ∴， ∴，故①不正确； 将点，代入得出：， 两式相减得出：， ∴， 将，代入得出：，故②正确； 由图象可知：抛物线开口向下，与x轴交点为， ， ∵， ∴，，， ∵抛物线对称轴为直线， ∵，， ∴， ∴，故③正确； 把，代入方程， 得 ∴，，故④不正确； 正确的个数是2个， 故选：C． 二、填题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 如果函数是二次函数，那么m的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义．根据形如“，其中a，b，c是常数的函数，称为y关于x的二次函数”，即可求解． 【详解】解：∵是二次函数， ∴，且， 解得：． 故答案为： 12. 定义一种运算；，．例如：当，时，，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据代入进行计算即可． 【详解】解： = = = =． 故答案为：． 【点睛】此题考查了公式的变化，以及锐角三角函数值的计算，掌握公式的转化是解题的关键． 13. 如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接，则的度数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】方法一∶如图：连接，由题意可得：，，然后再根据等腰三角形的性质求得、，最后根据角的和差即可解答． 方法二∶ 连接，由题意可得：，然后根据圆周角定理即可求解． 【详解】方法一∶ 解：如图：连接， 由题意可得：，，， ∴，， ∴． 故答案为． 方法二∶解∶ 连接， 由题意可得：， 根据圆周角定理，知． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了角的度量、圆周角定理等知识点，掌握圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半是解答本题的关键． 14. 设计者给出了蒙古包的三视图(图中尺寸单位：)，现在想用毛毡搭建个这样的蒙古包，至少需要________平方米的毛毡(取)． 【答案】990 【解析】 【分析】先根据三视图算出一个蒙古包需要的毛毡，然后求出30个蒙古包需要的毛毡面积． 【详解】解：根据图形可知，一个这样的蒙古包，需要的毛毡为： （平方米）， 搭建个这样的蒙古包，至少需要毛毡（平方米）． 故答案为：990． 【点睛】本题主要考查了扇形面积计算，圆柱侧面积的计算，解题的关键是熟练掌握扇形面积公式和圆柱侧面积公式，准确计算． 15. 山东高考“”模式是指：除语文、数学、外语3门学科以外，学生应在物理、化学、生物、思想政治、地理、历史6门学科中选择3科．小明酷爱物理必选这一科，再从其余的5门科目中随机选择2科，恰好选择化学和地理的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法求概率，根据列表求得总可能结果数和恰好选择化学和地理的情形，再求概率． 【详解】解：设化学、生物、思想政治、地理、历史分别记为，列表如下， 共有种等可能结果，其中，恰好选择化学和地理的有2种， 恰好选择化学和地理的概率为． 故答案为： 16. 已知，抛物线与轴交于点，与轴交于点，，点关于抛物线对称轴的对称点为点，点在轴上，点在以点为圆心，半径为的圆上，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查抛物线与坐标轴的交点问题、二次函数的图象与性质、点到圆上的距离最值问题，先求得点A、B、C、D的坐标，作点D关于y轴的对称点，连接交y轴的交点E，交圆C于点F，则为最小值，求解即可求解． 【详解】解：令，则， ∴， 令，由，得，， ∴，， ∵抛物线的对称轴为直线，点A关于抛物线对称轴的对称点为点D， ∴， 作点D关于y轴的对称点H，连接交y轴的交点E，交圆C于点F，则，， ∴为最小值， ∵， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，满分72分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，先计算特殊角的三角函数值、绝对值、负整数指数幂，算术平方根，然后计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】解： ． 18. 作图题，要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法． （1）如图，已知，请作出它的外接圆； （2）过外一点作圆的一条切线． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作三角形的外接圆，作圆的切线． （1）分别作的中垂线交于点，以为半径作，则为的外接圆； （2）连接，作的中垂线交于点，以为半径，为圆心作弧交于点，则即为圆的一条切线． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求 19. “基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才．已知，，，，五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学．某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图． （1）请将条形统计图补充完整； （2）在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为_________；若该市有中学生参加本次活动，则选择大学的大约有_________人； （3）甲、乙两位同学计划从，，三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率． 【答案】（1）见解析 （2）；． （3） 【解析】 【分析】（1）根据的人数除以占比得到总人数，进而求得的人数，补全统计图即可求解； （2）根据的占比乘以得到圆心角的度数，根据乘以选择的人数的占比即可求解； （3）根据列表法求概率即可求解． 【小问1详解】 解：总人数为（人） ∴选择大学的人数为，补全统计图如图所示， 【小问2详解】 在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为， 选择A大学的大约有（人） 故答案为：；． 【小问3详解】 列表如下， 甲 乙 共有9种等可能结果，其中有3种符合题意， ∴甲、乙两人恰好选取同一所大学的概率为． 【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，列表法求概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 20. 于8月29日上市，该系列完成了核心技术领域从0到1的跃迁，让无数国人为之自豪并被赞誉为“争气机”，手机背面有一条圆弧，象征着以山河之美致敬奔腾不息的力量，圆弧对应的弦长，弓形高长，半径的长． 【答案】半径的长为 【解析】 【分析】此题主要考查了垂径定理，勾股定理．设半径的长为，则，由已知可得然后在中，由勾股定理得，即，由此解出r即可． 【详解】解：设半径的长为，则， ∵弓形高， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 即， 解得：． 答：半径的长为． 21. 乒乓球被誉为中国国球．如图，是乒乓球台截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度为的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分． 乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：），乒乓球运行的水平距离记为x（单位：）．测得如下数据： 水平距离 竖直高度 （1）在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象； （2）①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是______，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是______； ②求满足条件的抛物线解析式． 【答案】（1）图形见解析 （2）①，；②抛物线解析式为 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，画二次函数图象，二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． （1）依据题意，根据描点法画出函数图象即可求解； （2）①依据题意，根据二次函数图象的对称性求得对称轴以及顶点，根据表格数据，可得当时，； ②依据题意，待定系数法求解析式即可求解． 【小问1详解】 解：描出各点，画出图象如下： 【小问2详解】 解：①观察表格数据，可知当和时，函数值相等， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， ∵抛物线开口向下， ∴最高点时，乒乓球与球台之间的距离是， 当时，， ∴乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是； 故答案为：；． ②设抛物线解析式为， 将代入得，， ∴解得：， ∴抛物线解析式为：． 22. 图1是东缉虎营路口临时设置的一个太阳能移动交通信号灯，图2是信号灯的几何图形，信号灯由太阳能板、支架、指示灯、灯杆、底座构成，该信号灯是轴对称图形．太阳能板，且D，E是靠近N，Q的三等分点，支架．经过调研发现，当太阳能板与支架所成的，且支架与灯杆所成的时，太阳能板接收的光能最充足，信号灯的续航时间最长，求此时两个太阳能板之间的长度．（结果精确到） （参考数据：） 【答案】的长度为． 【解析】 【分析】过点D作的垂线，交延长线与点F，过点M作的垂线，交与点G，连接交延长线于点H，在和中，解直角三角形求得和的长，据此求解即可． 【详解】解：过点D作的垂线，交延长线与点F，过点M作的垂线，交与点G，连接交延长线于点H， ∴． 且由题意可知，四边形是矩形， ∴， ∵，∴， 在中，，， 又∵， ∴． ∵，且D是靠近N的三等分点， ∴． ∵，∴． 在中，， ， ∴， ∴， ∵该信号灯几何图形是轴对称图形， ∴， 答：的长度为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，作辅助线构造直角三角形以及正确应用锐角三角函数关系是解题的关键． 23. 如图，点M为内切圆的圆心，是的外接圆，的延长线交于点N，交于点D，连接，过点D作直线，使． （1）求证：直线是的切线； （2）求证：； （3）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，交于点F，根据内切圆的性质得到平分，从而得到，再利用垂径定理的推论得到，证出即可证明； （2）连接，根据内切圆的性质得到平分，证出，即可得到答案． （3）根据已知得到，然后证明，由相似三角形的性质得到答案． 【小问1详解】 证明：连接，交于点F， 点M为内切圆的圆心， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 直线是的切线； 【小问2详解】 证明：连接， 点M为内切圆的圆心， 平分， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：， ， ， ， ， ， ， ， 的长为． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，三角形的外接圆与外心，三角形的内切圆与内心，圆周角定理，切线的判定与性质，根据题目的已知条件添加正确的辅助线是解题的关键． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，，与y轴交于点．直线与抛物线在第一象限内交于点E，连接． （1）求此抛物线的解析式； （2）为第四象限抛物线上一点，若的面积与的面积相等，请求出点P的坐标； （3）若点是抛物线上的点，且在直线的上方，连接，，，求四边形面积的最大值； （4）如图2，经过、、三点的圆交轴于点（点与点不重合），请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数和一次函数的交点问题，圆周角定理； （1）设抛物线解析式为，代入，利用待定系数法求解； （2）根据题意得出，进而求得直线的解析式为，联立抛物线解析式，即可求解； （3）将二次函数与一次函数解析式联立，求出点E的坐标，过点M作轴，交直线于点H，用代数式表示出的长度，进而根据三角形面积公式及相关点的坐标表示出四边形的面积，即可求解； （4）先求出和，再根据圆周角定理得出，进而证明，再根据全等三角形的性质求出，即可得到点F的坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于两点，， 设抛物线解析式为 代入得， 解得： ∴抛物线解析式为 【小问2详解】 解：∵的面积与的面积相等， ∴到直线的距离相等， ∴ ∵直线的解析式为： 设直线的解析式为，代入得， 解得 ∴直线的解析式为 联立 解得：或 ∴ 【小问3详解】 解：联立， 消去y，得， 解得，， 当时，， ． 如图，过点M作轴，交直线于点H， 设，则， ， ， 当时，四边形面积取最大值，最大值为； 【小问4详解】 解：如图所示，连接， ∵，， ，则 ，，， ， ∴， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $