精品解析：山西晋城市阳城县第五中学等校2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

2025-2026学年度八年级数学期末考试卷 考试时间：120分钟；满分：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（共30分） 1. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四个图案中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C D. 3. 将分式方程去分母后得到的整式方程，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 将一副三角板如图放置，使点D落在上，，如果，那么的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 6. 如图，，，添加下列条件，不能判定的是（ ）． A. B. C. D. 7. 下列从左到右的分式变形中，正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，的垂直平分线与的平分线相交于点．若，则的度数为（ ） A B. C. D. 9. 如图是蜡烛平面镜成像原理图，若以平面为x轴，镜面侧面为y轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某时刻火焰顶点S的坐标是，此时对应的虚像的坐标是，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 10. 下列命题的逆命题是假命题的是（ ） A. 等边对等角 B. 全等三角形的对应角相等 C. 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上 D. 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 第II卷（非选择题） 二、填空题（共15分） 11 若，则 __________． 12. 如图，平分，，，，，垂足为，则_____． 13. 若，则________． 14. 已知，，，，则最大值和最小值的和为________． 15. 在如图所示的中，已知，，，平分交于点D，则的面积为______（用含m，n的式子表示）；若动点E、F分别在线段上，连接，则的最小值为______． 三、解答题（共75分） 16. （1）分解因式：； （2）解分式方程：． 17. 先化简：，然后从，1，2中选取一个作为值代入求值． 18. 【数学与生活】 为建设美丽校园，营造舒适宜人的学习环境，学校组织八年级（1）班和(2）班的同学开展校园绿植布置实践活动．活动中，（1）班需完成的花坛绿植布置任务，（2）班需完成的任务．已知（2）班每小时比（1）班多完成，并且（1）班完成任务的总时间是（2）班的1.5倍，设（1）班每小时能完成的布置任务． 【学以致用】 （1）八（2）班每小时能完成_________的花坛绿植布置任务，（1）班完成任务所需的时间是_____________小时；（2）班完成任务所需的时间是____________小时．（用含有的式子表示） （2）请列出关于的分式方程，并求出两个班布置花坛绿植的速度分别是多少？ （3）为保障活动开展，学校采购单价为 10元的铲子分配给两班，分给（2）班的铲子数量是（1）班的 2倍，且采购总费用不超过280 元，求（1）班最多可以分到多少把铲子？ 19. 如图，在四边形中，，连接，且平分，，是的高． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求证：． 20. 项目化学习 材料一 如图，已知线段a，画一条线段，使得． 材料二 如图，已知，求作，使． 材料三 如图，已知直线l是线段的垂直平分线，垂足为D点，点C是 l 上除D 点外任意一点，连接，，试用叠合法说明，． 理由：将A，B沿直线l对折，∵A，B关于l 对称 ，∴A，B重合，∵C点在l 上，且C点是 与 的公共端点，∴与 重合，∴，同理， 与重合，∴． 任务一：这种作图方法的名称是 ；使用的作图工具有 和 ． 任务二：如图，在等腰中，，利用上述作图方法，求作的平分线交于点 D． 任务三：仿照材料三，用叠合的推理方法，试说明的平分线垂直平分． 21. 如图，在中，，是内一点，且．求证：平分． 22. 【问题背景】综合实践课上，王老师给出了这样一道题：在等边右侧作射线，（），点A关于射线的对称点为点D，连接．求的大小（用含的代数式表示）． 小明读完题后很快给出了解法：如图，连接．点A关于射线的对称点为点D， 为的垂直平分线 ， 根据等腰三角形的三线合一性质可得． 是等边三角形，，，，． ． 【变式拓展】为了帮助学生更好地掌握几何推理计算和证明方法，感悟数学思想，王老师对上述问题进行了变式和拓展，请你解答下面问题：已知等边，过顶点C作射线，（），点B关于射线的对称点为点D，交于点E，射线交于点G，连接． （1）如图1，若射线在边右侧， ①求的大小（用含的代数式表示）； ②求证：． （2）如图2，若射线在边左侧，且，，请直接写出的长为 ． 23. 观察下列等式： ， ， ， …… （1）特例感知：根据上述的运算规律按照上述形式填空： ； （2）规律表示：设两位数的十位上的数字为m，个位上数字为5，m为整数，且，用含m的等式表示上述运算的一般规律为 ； （3）类比探究：小聪同学计算下列两位数乘积：，，，，…．他发现结果也存在类似的运算规律．若设其中一个两位数十位上的数字为a，个位上的数字为b（其中a，b为小于10的正整数），请你用含字母a，b的等式表示小聪发现的运算规律，并用所学知识说明你的结论的正确性． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度八年级数学期末考试卷 考试时间：120分钟；满分：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（共30分） 1. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件．根据分式有意义的条件是分母不为零，即可求解． 【详解】解：∵分式有意义， ∴分母， ∴. 故选：A． 2. 下列四个图案中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形．将一个图形沿着某条直线对折，直线两旁的图形能够互相重合，那么这个图形就是轴对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、它不是轴对称图形； B、它不是轴对称图形； C、它不是轴对称图形； D、它是轴对称图形． 故选：D． 3. 将分式方程去分母后得到的整式方程，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，通过去分母将分式方程转化为整式方程，最简公分母为． 【详解】解：， 方程两边乘以最简公分母得： ． 故选：B． 4. 将一副三角板如图放置，使点D落在上，，如果，那么的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，直角三角形两锐角互余，由平行线的性质可得，再由，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 由题意可得：， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 5. 在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查关于y轴对称的点的坐标特征，代入求值，掌握相关知识是解决问题的关键．关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同． 【详解】解：∵点与点关于y轴对称， ∴，， 解得，， ∴ 故选：A． 6. 如图，，，添加下列条件，不能判定的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握好全等三角形的判定定理是关键． 根据全等三角形的判定方法“边边边，边角边，角角边，角边角，斜边直角边”进行推理判定即可． 【详解】解：对于选项A：添加，根据无法判断，故选项A符合题意； 对于选项B：添加，符合，能判断，故选项B不符合题意； 对于选项C：∵， ∴，即， ∴可根据判断，故选项C不符合题意； 对于选项D：添加，符合，能判断，故选项D不符合题意． 故选：A． 7. 下列从左到右的分式变形中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键． 根据分式的性质：分子和分母同时乘以或除以同一个非零数，分式值不变． 据此直接计算或反例验证各选项即可解答． 【详解】解：A．，当或时相等，其他情况下不相等，如，左边，右边，故选项 A错误，不符合题意； B．，相当于分子分母乘以不同值，如，左边，右边，不相等，故选项 B错误，不符合题意； C．，由为分母，则时，分子分母约去可得，故C选项变形正确，符合题意； D．，一般情况下不相等，如，左边，右边，不相等，故 选项D错误，不符合题意． 故选：C． 8. 如图，在中，的垂直平分线与的平分线相交于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查中垂线的性质，等边对等角，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．作，证明，得到，进而得到，根据四边形的内角和为360度，进行求解即可． 【详解】解：作，则， ∵的垂直平分线与的平分线相交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选A． 9. 如图是蜡烛平面镜成像原理图，若以平面为x轴，镜面侧面为y轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某时刻火焰顶点S的坐标是，此时对应的虚像的坐标是，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平面镜成像原理中坐标的轴对称．根据平面镜成像原理，点S与其像关于y轴对称，根据对称的性质可列方程求出x，y的数值，代入计算即可求解． 【详解】 解：∵点S与关于y轴对称， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 10. 下列命题的逆命题是假命题的是（ ） A. 等边对等角 B. 全等三角形的对应角相等 C. 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上 D. 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了逆命题的真假判断，需写出各命题的逆命题，并依据初中几何知识判断其真假． 【详解】解：A．等边对等角的逆命题为等角对等边，即有两个角相等的三角形是等腰三角形，是真命题，故A不符合题意； B．全等三角形的对应角相等的逆命题为对应角相等的两个三角形全等，但对应角相等的三角形不一定全等，是假命题，故B符合题意； C．在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上的逆命题为角平分线上的点到角的两边距离相等，是真命题，故C不符合题意； D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等的逆命题为到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，是真命题.，故D不符合题意． 故选：B． 第II卷（非选择题） 二、填空题（共15分） 11. 若，则 __________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，零指数幂，根据，得到，利用完全平方公式法进行因式分解后，整体代入法求值即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：1． 12. 如图，平分，，，，，垂足为，则_____． 【答案】8 【解析】 【分析】此题主要考查角平分线的性质和平行线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 作于点，根据角平分线的性质可得，根据平行线的性质可得，，则为等腰三角形，可得，由直角三角形中的角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得． 【详解】解：如图，过点作于点， 平分，，， ，， ， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∵在中，， ∴． 故答案为：8． 13. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】主要考查幂的混合运算，负整数指数幂，熟练掌握同底数幂的乘法法则和除法法则是解题的关键． 先运算，再化简方程，推出，代入即可求解． 【详解】解：∵， 又∵， ∴． 将代入得：． 故答案为：． 14. 已知，，，，则最大值和最小值的和为________． 【答案】7 【解析】 【分析】先分别计算、、、的值，再比较大小找出最大值和最小值，最后计算它们的和． 【详解】解：①计算各值： ②比较大小： ∴最大值，最小值为 ③计算最大值与最小值和： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了零指数幂、负整数指数幂和乘方的运算，解题关键是准确计算每个表达式的值，并正确比较大小． 15. 在如图所示的中，已知，，，平分交于点D，则的面积为______（用含m，n的式子表示）；若动点E、F分别在线段上，连接，则的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，含角直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，探究出最小值的位置是解题的关键． 过点A作于点M，用m的代数式表示出，根据三角形面积公式即可求出的面积；在上取一点，使，探究出最小时，点A，E，三点在一条直线上，且，即可解决问题． 【详解】解：过点A作于点M，则， ∵， ∴， ∴； 在上取一点，使， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，点A，E，三点在一条直线上，且， ∴的最小值为的长，即． 故答案为：，． 三、解答题（共75分） 16. （1）分解因式：； （2）解分式方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，解分式方程． （1）直接提取公因式即可； （2）方程两边乘化为整式方程，求解后检验即可． 【详解】（1）解：； （2）解：方程两边乘，得， 解得， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为． 17. 先化简：，然后从，1，2中选取一个作为的值代入求值． 【答案】，当时，原式． 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值，先运用分式的通分化简括号内的式子，再运算分式的除法，然后根据分式有意义的条件得到，，然后将代入求解即可．熟练掌握分式化简求值以及注意分母不为0是解题的关键． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴当时，原式． 18. 【数学与生活】 为建设美丽校园，营造舒适宜人的学习环境，学校组织八年级（1）班和(2）班的同学开展校园绿植布置实践活动．活动中，（1）班需完成的花坛绿植布置任务，（2）班需完成的任务．已知（2）班每小时比（1）班多完成，并且（1）班完成任务的总时间是（2）班的1.5倍，设（1）班每小时能完成的布置任务． 【学以致用】 （1）八（2）班每小时能完成_________的花坛绿植布置任务，（1）班完成任务所需的时间是_____________小时；（2）班完成任务所需的时间是____________小时．（用含有的式子表示） （2）请列出关于的分式方程，并求出两个班布置花坛绿植的速度分别是多少？ （3）为保障活动开展，学校采购单价为 10元的铲子分配给两班，分给（2）班的铲子数量是（1）班的 2倍，且采购总费用不超过280 元，求（1）班最多可以分到多少把铲子？ 【答案】（1），， （2）（1）班布置花坛绿植的速度是每小时，（2）班布置花坛绿植的速度是每小时 （3）9把 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用： （1）根据题意列代数式即可； （2）结合（1）结论，根据（1）班完成任务的总时间是（2）班的1.5倍，列分式方程，解方程即可； （3）设（1）班分到m把铲子，则（2）班分到把铲子，根据采购总费用不超过280 元，列一元一次不等式，求出不等式的最大整数解即可． 【小问1详解】 解：设（1）班每小时能完成的布置任务，则八（2）班每小时能完成的花坛绿植布置任务，（1）班完成任务所需的时间是小时；（2）班完成任务所需的时间是小时． 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：由题意得，， 化为整式方程，得， 解得， 经检查，是原方程解， ， 即（1）班布置花坛绿植的速度是每小时，（2）班布置花坛绿植的速度是每小时． 【小问3详解】 解：设（1）班分到m把铲子，则（2）班分到把铲子， 由题意得：， 解得， m是正整数， m的最大值为9， 即（1）班最多可以分到9把铲子． 19. 如图，在四边形中，，连接，且平分，，是的高． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识点是做题的关键． （1）根据已知，结合角平分线的定义和三角形内角和定理，得出，根据等角对等边即可得证； （2）根据三线合一可得，进而证明，得出，即可得证． 【小问1详解】 证明：，平分， ． ，， ， ， ， 是等腰三角形． 【小问2详解】 证明：，， ． ，， ． 由（1）可知，， 在和中， ， ， ， ． 20. 项目化学习 材料一 如图，已知线段a，画一条线段，使得． 材料二 如图，已知，求作，使． 材料三 如图，已知直线l是线段的垂直平分线，垂足为D点，点C是 l 上除D 点外任意一点，连接，，试用叠合法说明，． 理由：将A，B沿直线l对折，∵A，B关于l 对称 ，∴A，B重合，∵C点在l 上，且C点是 与 的公共端点，∴与 重合，∴，同理， 与重合，∴． 任务一：这种作图方法的名称是 ；使用的作图工具有 和 ． 任务二：如图，在等腰中，，利用上述作图方法，求作的平分线交于点 D． 任务三：仿照材料三，用叠合的推理方法，试说明的平分线垂直平分． 【答案】任务一：尺规作图；无刻度直尺；圆规；任务二：详见解析；任务三：详见解析 【解析】 【分析】本题主要考查尺规作图，等腰三角形及角平分线的性质，掌握作图步骤和相关性质是解题的关键． 任务一：根据定义求解即可； 任务二：以为圆心作弧，交与两点，再以相交点为圆心作弧，相交于一点，接着连线即可； 任务三：由折叠的方式结合等腰三角形的性质求解即可． 【详解】任务一：这种作图方法的名称是尺规作图；使用的作图工具有无刻度直尺和圆规． 故答案为：尺规作图；无刻度直尺；圆规． 任务二：如图所示 任务三：证明：将沿直线对折， ∵平分， ∴， ∵，且公用边， ∴与重合，重合， ∵D点是与的公共端点， ∴与重合， ∴与重合 ∴， ∴的平分线垂直平分． 21. 如图，在中，，是内一点，且．求证：平分． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形三线合一，解题的关键是掌握线段垂直平分线性质定理的逆定理． 到一条线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，由此即可证明直线是线段的垂直平分线，即直线，再根据等腰三角形三线合一即可得到结论． 【详解】证明：， 点在线段的垂直平分线上． ， 点在线段垂直平分线上． 两点确定一条直线， 直线是线段的垂直平分线，即直线， 平分． 22. 【问题背景】综合实践课上，王老师给出了这样一道题：在等边右侧作射线，（），点A关于射线的对称点为点D，连接．求的大小（用含的代数式表示）． 小明读完题后很快给出了解法：如图，连接．点A关于射线的对称点为点D， 为的垂直平分线 ， 根据等腰三角形的三线合一性质可得． 是等边三角形，，，，． ． 【变式拓展】为了帮助学生更好地掌握几何推理计算和证明方法，感悟数学思想，王老师对上述问题进行了变式和拓展，请你解答下面问题：已知等边，过顶点C作射线，（），点B关于射线的对称点为点D，交于点E，射线交于点G，连接． （1）如图1，若射线在边右侧， ①求的大小（用含的代数式表示）； ②求证：． （2）如图2，若射线在边左侧，且，，请直接写出的长为 ． 【答案】（1）①；②见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）①利用等边三角形的性质求得，，利用轴对称的性质求得，，再利用等边对等角结合三角形内角和定理求解即可； ②利用①的结论结合等边对等角求得，，在射线上取点，使，连接，在射线上取点，使，连接，证明是等边三角形，利用证明，求得，据此即可证明结论成立； （2）同（1）求得，，利用直角三角形的性质求得，作于点，利用等腰三角形的性质结合直角三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：①∵等边， ∴，， ∵点B关于射线的对称点为点D，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴； ②∵，， ∴， 在射线上取点，使，连接， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在射线上取点，使，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， 和中，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵等边， ∴，， ∵点B关于射线的对称点为点D，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， 作于点， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 23. 观察下列等式： ， ， ， …… （1）特例感知：根据上述的运算规律按照上述形式填空： ； （2）规律表示：设两位数的十位上的数字为m，个位上数字为5，m为整数，且，用含m的等式表示上述运算的一般规律为 ； （3）类比探究：小聪同学计算下列两位数的乘积：，，，，…．他发现结果也存在类似的运算规律．若设其中一个两位数十位上的数字为a，个位上的数字为b（其中a，b为小于10的正整数），请你用含字母a，b的等式表示小聪发现的运算规律，并用所学知识说明你的结论的正确性． 【答案】（1） （2） （3）运算规律为：，说明见解析 【解析】 【分析】本题考查列代数式、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点． （1）根据题目给出的等式，结合发现的规律列出式子计算即可得解； （2）根据题目给出的等式，结合（2）的题目信息列出式子即可发现规律； （3）根据题目给出的等式，即可发现规律，运用整式的乘法运算即可证得结论． 【小问1详解】 解：， ， ，…… ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题目知：设两位数的十位上的数字为m，个位上数字为5，m为整数，且， ， 故答案为：； 【小问3详解】 解：，，，，… 且由题目知：设其中一个两位数十位上的数字为a，个位上的数字为b（其中a，b为小于10的正整数）， 可得运算规律为：， 说明如下： ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $