精品解析：山西省晋城市阳城县2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

2024-2025学年第一学期学业质量监测 八年级数学试题（卷） （考试时间：120分钟 满分120分） 注意事项： 1．本试卷共三大题，23小题． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. “数轴上的点并不都表示有理数，如图所示，数轴上的点P所表示的数是”，这种说明问题的方式体现的数学思想是（　） A. 方程思想 B. 建模思想 C. 数形结合思想 D. 分类讨论思想 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是数学思想方法，做这类题，可用逐个排除法，显然A、B、D所说方法不对． 【详解】解：∵数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点P所表示的数是， 这种利用图形直观说明问题的方式A、B、D的说法显然不正确， ∴本题是把数与数轴上的点相联系，是数形结合的思想方法． 故选：C． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，熟知整式的运算公式是解题的关键；根据同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方以及单项式除以单项式进行计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项正确，符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 3. 已知数据：，，，π，－2．其中无理数出现的频率为(　　) A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8 【答案】C 【解析】 【分析】根据无理数的定义，频率等于次数除以总数即可求解． 【详解】共有5个数，其中无理数有，，π，共3个， 所以无理数出现的频率为3÷5=0.6． 故选C． 【点睛】本题考查了无理数，求频率，频率：如果一组数据共有 个，而其中某一组数据是个，那么就是该组数据在这组数据中出现的频率，即每一组数据频数与数据总数的比叫做这一组数据的频率 无理数的定义：“无限不循环的小数是无理数”，熟记定义是解题的关键． ． 4. 如图是阳城县2024年12月1日至12月7日的天气情况，为了表示这7天的每日最高温度变化情况，则最适合使用的统计图为（ ） A. 条形统计图 B. 折线统计图 C. 扇形统计图 D. 以上都不是 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了统计图的选择．根据统计图的特点进行分析可得：扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目．根据扇形统计图、折线统计图、条形统计图各自的特点来判断即可． 【详解】解：根据统计图的特点，为了表示这7天的每日最高温度变化情况，最适合使用的统计图是折线统计图． 故选：B． 5. 下列命题是假命题的是（ ） A. 内错角相等，两直线平行 B. 三角形的内角和等于 C. 四边形的外角和等于 D. 平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理．根据平行线的判定定理以及三角形的内角和以及四边形的外角和，逐项分析判断，即可求解． 【详解】A. 内错角相等，两直线平行，是真命题，不合题意； B. 三角形的内角和等于，是真命题，不合题意； C. 四边形的外角和等于，原命题是假命题，符合题意； D. 平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题，不合题意． 故选：C． 6. 如图5， 在中，，于点，则下列结论不一定成立的是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质进行判断即可． 【详解】解：∵，于点， ∴（等边对等角），，（三线合一） 只有是直角三角形时，． 综上，只有选项A，不一定成立； 故选A． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，是解题的关键． 7. 我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是x尺．根据题意，可列方程为（ ） A. （x﹣1）2+52＝x2 B. x2+102＝（x+1）2 C. （x﹣1）2+102＝x2 D. x2+52＝（x+1）2 【答案】A 【解析】 【分析】首先设芦苇长为x尺，则水深（x-1）尺，根据勾股定理可得方程． 【详解】解：设芦苇长为x尺，则水深（x-1）尺， 由题意得：（x-1）2+52=x2， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型． 8. 已知，，为的三边长，在下列条件中不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、勾股定理的逆定理．根据三角形内角和定理可得A、D选项；根据勾股定理逆定理可判断出B、C选项． 【详解】解：A. ，且，，故为直角三角形，故该选项不符合题意； B. ，故为直角三角形，故该选项不符合题意； C. ，故为直角三角形，故该选项不符合题意； D. ，，故不能判定是直角三角形，故该选项符合题意； 故选：D． 9. 从边长为的大正方形纸板挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解题的关键．根据题意，分别表示出图甲和图乙中阴影部分的面积，二者相等，从而可得答案． 【详解】解：图甲中阴影部分的面积为：，图乙中阴影部分的面积为：， 甲乙两图中阴影部分面积相等， ， 可以验证成立的公式为， 故选：D． 10. 数学活动课上，四位同学围绕作图问题“已知直线和直线外一点，用无刻度的直尺和圆规过点作直线的平行线”，分别作出了下列图形，其中作法不正确的（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判断，角平分线的作图，等腰三角形的性质与判定，垂直平分线的性质与判定，解题的关键是熟练掌握基本作图．根据平行线的判断方法，结合作图逐项进行判断即可． 【详解】解：A．根据作图可知，， ∴，故A作法正确，不符合题意； B．根据作图无法判断所作直线与l平行，故B作法错误，符合题意； C．根据作图可知，，， ∵， ∴垂直平分， ∵ ∴ ∴ ∴，故C作法正确，不符合题意； D．根据作图可知，平分，， 则，， ∴， ∴，故D作法正确，不符合题意． 故选：B． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每题3分，共15分） 11. 4的平方根是_______． 【答案】±2 【解析】 【详解】解：∵， ∴4的平方根是±2． 故答案为±2． 12. 计算的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查整式的除法，解题的关键是熟知其运算法则．根据整式的除法运算即可求解． 【详解】 故答案为：． 13. 如图， 平分，在上取一点P，作，已知，，点E是射线上一动点，则长度的最小值为 _____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，勾股定理；先根据勾股定理得出，过P点作于H，根据角平分线的性质得到，然后根据“垂线段最短”求解．熟练掌握角平分线的性质和“垂线段最短”是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ， 如图，过P点作于点H， 平分，，， ， ∵点E是射线上一动点， ∴当时，的值最小， 的最小值为5． 故答案为：5． 14. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，正方形，，的面积之和为，则正方形的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查勾股定理；由勾股定理可知正方形A、B、C、D面积之和为下面最大的正方形面积，即可求解． 【详解】解：如图所示， 根据勾股定理可知，，，， ∴ 又正方形，，的面积之和为， ∴正方形的面积为. 故答案为：． 15. 如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP=PF=QC，根据等腰三角形性质求出EF=AE，证△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DE=AC即可． 【详解】过P作PF∥BC交AC于F． ∵PF∥BC，△ABC是等边三角形， ∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形， ∴AP=PF=AF， ∵PE⊥AC， ∴AE=EF， ∵AP=PF，AP=CQ， ∴PF=CQ． ∵在△PFD和△QCD中， ， ∴△PFD≌△QCD（AAS）， ∴FD=CD， ∵AE=EF， ∴EF+FD=AE+CD， ∴AE+CD=DE=AC， ∵AC=1， ∴DE= 故答案为：． 【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算： （2）分解因式： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，因式分解． （1）根据有理数的乘方，算术平方根以及立方根进行计算即可求解； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像． （1）求绿化的面积是多少平方米？（用代数式表示） （2）求出当，时的绿化面积． 【答案】（1） （2）63平方米 【解析】 【分析】本题考查列代数式，整式混合运算的实际应用，代数式求值的应用．理解绿化的面积=长方形面积-中间小正方形面积是解题关键． （1）用长方形面积减去中间小正方形面积，结合整式的混合运算法则计算即可； （2）将，代入（1）所求式子，求值即可． 【小问1详解】 解： ， 答：绿化的面积是平方米； 【小问2详解】 解：当，时，原式， 答：绿化的面积是63平方米． 18. 如图，在中，， （1）作线段的垂直平分线交于点，连接；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了三角形内角和定理，尺规作垂直平分线以及性质，等边对等角等知识， （1）根据线段中垂线的作法作出图形； （2）首先根据三角形内角和定理得到，然后根据垂直平分线的性质得到，求出，进而求解即可． 【小问1详解】 如图所示， 【小问2详解】 ∵， ∴ ∵垂直平分 ∴ ∴ ∴． 19. 数学课上，探讨角平分线的作法时，李老师用直尺和圆规作角平分线，方法如下： 作法： ①在和上分别截取，使． ②分别以D、E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点C． ③作射线．则就是的平分线． 小聪只带了直角三角板，他发现利用三角板也可以作角平分线，方法如下： 步骤： ①利用三角板上的刻度，在和上分别截取，使． ②分别过M、N做的垂线，交于点P． ③作射线．则为的平分线． 根据以上情境，解决下列问题： （1）老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是　　． （2）小聪作法正确吗？请说明理由． 【答案】（1） （2）正确．理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了用刻度尺作角平分线的方法，全等三角形的判定与性质，难度不大． （1）根据全等三角形的判定即可求解； （2）根据可证，再根据全等三角形的性质即可作出判断． 【小问1详解】 解：李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法． 故答案为：； 【小问2详解】 解：小聪的作法正确． 理由：∵， ∴， 在和中 ∵， ∴， ∴， ∴平分． 20. 新质生产力，是2023年9月习近平总书记在黑龙江考察调研期间首次提到的新词汇，强调发展战略性新兴产业，加快形成新质生产力．我国新能源汽车发展迅猛，如图是我国某区域2024年各季度新能源汽车销售量的情况统计图． 某区域2024年各季度新能源汽车销售量的情况统计图 （1）这个区域2024年度共销售新能源汽车多少万辆？ （2）将上面的条形统计图和扇形统计图补充完整； （3）根据以上信息，求从第三季度到第四季度该区域新能源汽车销售量的增长率； 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查扇形统计图和条形统计图的信息关联，理解题意是解题的关键． （1）从扇形统计图中可知，第二季度销售新能源汽车辆数所在扇形的圆心角为，从条形统计图中可知，第二季度销售了20万辆车，从而可以求出这个区域2024年度共销售新能源汽车的辆数； （2）从（1）中可知第一季度销售了万辆，将条形统计图补充完整．根据条形统计图中每个季度销售的新能源汽车辆数，求出所占的百分比，再补全扇形统计图即可； （3）根据解析（2）中结果求出第三季度到第四季度该区域新能源汽车销售量的增长率即可． 【小问1详解】 解：（万辆）， ∴这个区域2024年度共销售新能源汽车80万辆； 【小问2详解】 解：万辆， 第一季度销售新能源汽车辆数占总数量的百分比为：， 第三季度销售新能源汽车辆数占总数量的百分比为：， 第四季度销售新能源汽车辆数占总数量的百分比为：， 补全条形统计图和扇形统计图，如图所示： 【小问3详解】 解：根据以上信息，第三季度到第四季度该区域新能源汽车销售量的增长率为． 21. 阅读与思考 配方法 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（两数和的平方公式或两数差的平方公式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如： ①用配方法因式分解： 原式 ②求的最小值． 解： 先求出的最小值 ； 由于是非负数，所以，可得到，即的最小值为2． 进而的最小值为4． 请根据上述材料解决下列问题： （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； （2）用配方法因式分解：； （3）求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，因式分解的应用，明确如何配方及偶次方的非负性是解题的关键． （1）根据常数项等于一次项系数一半的平方进行配方即可； （2）将化为，前三项配成完全平方式，再利用平方差公式进行因式分解； （2）将转化为，再利用完全平方式最小值为0，即可求解． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ， ∵， ∴， ∴的最小值为． 22. 如图所示，在中，，，，在顶点处有一点，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动，在顶点处有一点，以每秒3个单位长度的速度从点出发沿的路线匀速运动，两点同时出发，当点停止运动时，点也随之停止运动． （1）判断的形状，并说明理由； （2）若两点运动4秒时，求此时的长； （3）设两点运动时间为秒，当是一个等腰直角三角形时，求的值． 【答案】（1）直角三角形，理由见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理和等腰三角形的性质，解题的关键是掌握勾股定理和等腰直角三角形的性质． （1）根据勾股定理的逆定理，解答即可得； （2）当两点运动秒时，求得和的长度，再根据勾股定理解答即可得； （3）当是一个等腰直角三角形时，，设两点运动时间为秒时，求得的长度，当点从点向点运动时，，根据等腰直角三角形的性质进行解答即可得；当点从点向点运动时，，根据等腰直角三角形的性质进行解答即可得． 【小问1详解】 解：直角三角形，理由如下： 在中，，， ∴ ∴ ∴是直角三角形， 【小问2详解】 当两点运动4秒时，，， ∴， 在中，根据勾股定理， ， 【小问3详解】 当是一个等腰直角三角形时，， 设两点运动时间为t秒时，，则， 当点Q从点C向点B运动时，， ∴， 解得， 当点Q从点B向点C运动时，， ∴ 解得， 即当是一个等腰直角三角形时，t的值是或． 23. 综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，用纸片制作了两个三角形和，其中，，，请证明． 数学思考：（1）请你解答老师提出的问题． 深入探究：（2）老师将两个三角形的点和点重合在一起，将绕点进行旋转，使点落在内部，并让同学们提出新的问题． ①“智慧小组”提出问题：如图2，当时，与相交于点，试猜想的形状，并加以证明； ②“奇想小组”提出问题：如图3，当时，过点作交的延长线于点，与交于点．试猜想线段和的数量关系，并加以证明． 独立思考：（3）请你参照以上操作，利用图1中的两个三角形纸片，拼出新的图形，在图4中画出这个图形，标明字母，说明构图方法，写出你发现的结论，不必证明． 【答案】（1）见解析；（2）①是等腰三角形，见解析；②，证明见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定；等腰三角形的性质与判定； （1）根据SAS直接证明即可； （2）①由旋转的性质可得，，进而得出，，即可得出，根据已知等量代换可得，根据等角对等边，即可得出结论； ②证明，得到．由旋转的性质可得，得到,即可得到结论； （3）将绕点进行旋转，使点落在外部，当时，是等腰直角三角形． 【详解】（1）证明：在和中， ∴ （2）①由旋转的性质可得，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴． ∴是等腰三角形 ②，证明如下： ∵， ∴． ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 由旋转的性质可得，， ∴， ∴． （3）如图所示，将绕点进行旋转，使点落在外部，当时，是等腰直角三角形， 由旋转的性质可得，， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第一学期学业质量监测 八年级数学试题（卷） （考试时间：120分钟 满分120分） 注意事项： 1．本试卷共三大题，23小题． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. “数轴上的点并不都表示有理数，如图所示，数轴上的点P所表示的数是”，这种说明问题的方式体现的数学思想是（　） A. 方程思想 B. 建模思想 C. 数形结合思想 D. 分类讨论思想 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知数据：，，，π，－2．其中无理数出现的频率为(　　) A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8 4. 如图是阳城县2024年12月1日至12月7日的天气情况，为了表示这7天的每日最高温度变化情况，则最适合使用的统计图为（ ） A. 条形统计图 B. 折线统计图 C. 扇形统计图 D. 以上都不是 5. 下列命题是假命题的是（ ） A. 内错角相等，两直线平行 B. 三角形的内角和等于 C. 四边形外角和等于 D. 平行于同一条直线的两条直线平行 6. 如图5， 在中，，于点，则下列结论不一定成立的是 A. B. C. D. 7. 我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是x尺．根据题意，可列方程为（ ） A. （x﹣1）2+52＝x2 B. x2+102＝（x+1）2 C. （x﹣1）2+102＝x2 D. x2+52＝（x+1）2 8. 已知，，为的三边长，在下列条件中不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. D. 9. 从边长为的大正方形纸板挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（　　） A. B. C D. 10. 数学活动课上，四位同学围绕作图问题“已知直线和直线外一点，用无刻度的直尺和圆规过点作直线的平行线”，分别作出了下列图形，其中作法不正确的（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每题3分，共15分） 11. 4的平方根是_______． 12. 计算的结果是______． 13. 如图， 平分，在上取一点P，作，已知，，点E是射线上一动点，则长度的最小值为 _____． 14. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，正方形，，的面积之和为，则正方形的面积是______． 15. 如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为_______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算： （2）分解因式： 17. 如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像． （1）求绿化的面积是多少平方米？（用代数式表示） （2）求出当，时的绿化面积． 18. 如图，在中，， （1）作线段的垂直平分线交于点，连接；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）若，求的度数． 19. 数学课上，探讨角平分线的作法时，李老师用直尺和圆规作角平分线，方法如下： 作法： ①和上分别截取，使． ②分别以D、E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点C． ③作射线．则就是的平分线． 小聪只带了直角三角板，他发现利用三角板也可以作角平分线，方法如下： 步骤： ①利用三角板上的刻度，在和上分别截取，使． ②分别过M、N做的垂线，交于点P． ③作射线．则为的平分线． 根据以上情境，解决下列问题： （1）老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是　　． （2）小聪的作法正确吗？请说明理由． 20. 新质生产力，是2023年9月习近平总书记在黑龙江考察调研期间首次提到的新词汇，强调发展战略性新兴产业，加快形成新质生产力．我国新能源汽车发展迅猛，如图是我国某区域2024年各季度新能源汽车销售量的情况统计图． 某区域2024年各季度新能源汽车销售量的情况统计图 （1）这个区域2024年度共销售新能源汽车多少万辆？ （2）将上面的条形统计图和扇形统计图补充完整； （3）根据以上信息，求从第三季度到第四季度该区域新能源汽车销售量的增长率； 21. 阅读与思考 配方法 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（两数和的平方公式或两数差的平方公式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如： ①用配方法因式分解： 原式 ②求最小值． 解： 先求出的最小值 ； 由于是非负数，所以，可得到，即最小值为2． 进而的最小值为4． 请根据上述材料解决下列问题： （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； （2）用配方法因式分解：； （3）求的最小值． 22. 如图所示，在中，，，，在顶点处有一点，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动，在顶点处有一点，以每秒3个单位长度的速度从点出发沿的路线匀速运动，两点同时出发，当点停止运动时，点也随之停止运动． （1）判断的形状，并说明理由； （2）若两点运动4秒时，求此时的长； （3）设两点运动时间为秒，当是一个等腰直角三角形时，求的值． 23. 综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，用纸片制作了两个三角形和，其中，，，请证明． 数学思考：（1）请你解答老师提出的问题． 深入探究：（2）老师将两个三角形的点和点重合在一起，将绕点进行旋转，使点落在内部，并让同学们提出新的问题． ①“智慧小组”提出问题：如图2，当时，与相交于点，试猜想的形状，并加以证明； ②“奇想小组”提出问题：如图3，当时，过点作交的延长线于点，与交于点．试猜想线段和的数量关系，并加以证明． 独立思考：（3）请你参照以上操作，利用图1中的两个三角形纸片，拼出新的图形，在图4中画出这个图形，标明字母，说明构图方法，写出你发现的结论，不必证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$