精品解析：江西省2026届高中毕业班二月诊断性考试数学试题（B卷）

江西省2026届高中毕业班二月诊断性考试 数学试题 命题､审题：贺樽 校稿：何祖文 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式求得集合，利用交集的意义可求得 . 【详解】由，可得，解得 ， 所以， 由，得 ，所以，所以. 故选：C. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，代入已知，整理化简后根据复数相等可得答案. 【详解】设，则， 整理得， 所以，解得， 则 . 故选：D. 3. 若的展开式中存在含的项，则可能等于（ ） A. 5 B. 9 C. 15 D. 19 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项式定理的通项公式得，令，代入检验即可求解. 【详解】由二项式定理得，的展开式通项为， ，令， 当 时，，故A错误；当时，，故B错误； 当时，，故C正确；当时，，故D错误. 故选：C. 4. 双曲线的两条渐近线夹角的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求渐近线的斜率，再代入两直线的夹角公式，即可求解. 【详解】双曲线的渐近线方程为，所以两条渐近线的斜率， 记所求角为，则. 故选：B 5. 已知圆锥底面与圆台下底面半径相等，高相等.若圆台体积为圆锥体积的倍，则圆台上，下底面积的比值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件的几何关系，代入圆锥和圆台的体积公式，即可求解. 【详解】设圆台的上､下底面圆的半径分别为，高为,则由圆台体积为圆锥体积的倍， 得到，解得. 故选：A 6. 若将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转可以得到另一个函数的图象，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】原命题等价于，直线与曲线最多有一个交点，即函数必为单调函数，结合，故只能，即，求出临界值，即可求出答案. 【详解】原命题等价于，直线与曲线最多有一个交点， 所以直线 与曲线最多有一个交点， 所以函数必为单调函数，否则必存在直线 与其有多个交点. 求导得到， 又因为，所以只能，即， 设曲线与直线相切时切点的横坐标为， 则，解得， 所以， 则的取值范围为. 故选：A. 7. 在平面直角坐标系中，，设，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的平行四边形法则及定点到圆上的距离求解即可. 【详解】取线段的中点（如图所示）. 因为，所以为等边三角形，， 所以点在以为圆心，以3为半径的圆上运动，则，即. 所以. 故选：B. 8. 已知等差数列的公差为.若，则（ ） A. B. 16 C. D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列性质以及三角恒等变换可得，再将所求和式化简为，接着推导，利用数列的周期性求得，即可求得结果. 【详解】因为等差数列的公差为，所以； 所以 ， 即， 故 , 由上可得 ，则 故 故 . 所以. 故选：B 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列满足，设，则（ ） A. B. C. 数列的前项和为 D. 数列的前37项和为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据递推公式赋值计算即可判断A，B，推导出，利用等比数列即可判断C，利用分组求和即可判断D. 【详解】因， 对于A，B，， ，可见，不满足，故B错误，A正确； 对于C，当时，， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以， 其前项和为，故C正确； 对于D，记，同选项C分析方法可得，其前项和为， 所以，故D错误. 故选：AC. 10. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 的面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据所给条件长度判断A，由余弦定理判断B，过点作，解三角判断C，利用求三角形面积判断D. 【详解】如图所示，过点作， 则，又因为， 并且在中， 所以 ，所以是等腰三角形，所以， 由，可知为中点， 所以是的中位线，所以为线段的中点，所以，则A项错误. ，在中：，则B项正确. 过点作，， ，所以，的面积为，则C､D项正确. 故选：BCD 11. 已知函数有两个极值点.设，点 为曲线上一点，则（ ） A. B. 若直线的倾斜角为，则 C. 有最值 D. 若存在 使得，则 【答案】BD 【解析】 【分析】A将问题转化为有两个零点求解；B求出，再根据斜率公式计算；C结合B选项求出，结合函数的单调性即可；D求出线段的垂直平分线的方程，将问题转化为在区间有零点，利用导数求出最大值即可. 【详解】由题意知，有两个零点，则，则，故A错误； 由得或；得， 则在，上单调递增，在上单调递减， 则，， 则 ， 因为直线的倾斜角为，所以，得，则B正确； 由B选项可知，直线的斜率为， 则， 易知函数在单调递减， 当时，；当时，， 故的值域为，无最值，因此也无最值，则C错误； 因为 ，所以，， 则线段的中点为， 因为直线的斜率为，所以线段的垂直平分线的斜率为， 故线段的垂直平分线的方程为， 若存在 使得，则与有交点， 因为，所以的定义域为， 则在区间有零点， 得， 当时，单调递增； 当时，单调递减， 所以，即， 因为，所以解得，则D正确. 故选：BD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设分别为椭圆的上，下焦点.点 为上一点（点 位于第一象限），且，直线与轴交于点 .若的内切圆半径为，则的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得的内切圆与三角形的三边相切于点，结合椭圆的定义和切线定理可得，在中使用余弦定理并结合椭圆的参数关系即可求得椭圆的离心率. 【详解】设该内切圆的圆心为点，且与三角形的三边相切于点. 则， 又由切线定理得， 所以，则，， ，即， 联立，得，即，. 13. 已知函数.若方程在上恰有85个解，则 的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求得的周期为 ，则区间内包含42（余 ）个完整周期，在完整周期内有84个解，则在余下区间内有1个解，设，结合题意与任意角，可得在区间内有1个解，解得或， ，分情况讨论仅有的1个解是或是即可求得 的取值范围. 【详解】函数的周期，每个周期内有2个解， 在区间内包含（余 ）个完整周期， 在完整周期内有个解，故余下区间内有1个解， 设，则， 即在区间内有1个解， 由任意角可得在区间内有1个解， 解得或， ， 因为，易得，则有： ①区间包含但不包含， 即，且，解得， ②区间包含但不包含， 即，且，解得， 综上， 的取值范围为. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 14. 在某次数学测试中. （1）甲､乙两位同学回答同一道单项选择题，记他们的最终得分分别为.已知随机变量的分布列如下图.若，求； （2）若甲同学在此次测试中取得班级第五名，且甲同学的分数处于第90百分位数（该班每位同学的分数不同），求该班人数的取值集合. 0 5 0 5 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用对立事件的概率公式求得，进而求得，利用条件概率公式可求得； （2）记，分为整数和不为整数讨论可得，求解即可. 【小问1详解】 ， ， ； 【小问2详解】 记，将该班学生的成绩从小到大排列，若为整数， 则应取第个与第个数据的平均值作为第90百分位数， 而题干中说明该班每位同学的分数不同，所以上述平均值不在原始成绩中， 这与第90百分位数为第五名的成绩不符.故不为整数， 所以应选取第个数据作为第90百分位数 因此，即， 解得 15. 如图几何体中，四边形和均为平行四边形，，平面 ，点到平面的距离为（点位于平面上方），直线与间的距离为2. （1）求； （2）求四边形的面积. 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】（1）解法一：在平面内过点作，垂足为点 ，利用几何法求出的长，利用即可得到答案；解法二：以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，，求出平面的法向量，利用点到平面距离的向量表示求出，即可得到答案； （2）解法一：在平面内过点作，垂足为点 ，求出，从而得到，利用面积公式即可求出答案；解法二：由题意知，到的距离为，利用空间点到直线距离的向量表示求出，利用面积公式即可求出答案. 【小问1详解】 解法一：因为平面 ，平面 ， 所以， 又因为即平面， 所以平面， 在平面内过点作，垂足为点 （如图所示）， 则， 又因为平面，且， 所以平面， 所以， 因为平面 ，平面 ，所以， 在平行四边形中：， 即， 结合解得， 在 中，因为， 所以. 解法二： 因为平面 ，平面 ，平面 ， 所以，， 又因为即， 故两两垂直，以为坐标原点，直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系： 设，则， 故， 所以， 设，则，， 设平面的法向量为， 则，令 ，则，， 则， 所以， 解得或， 即，或，（舍去）， 在 中，因为， 所以. 【小问2详解】 解法一： 在平面内过点作，垂足为点 ，则 ， 由（1）知平面，平面， 则， 又因为，平面，且， 所以平面， 所以， 又 ，， 所以， 所以， 又因为 ，所以平行四边形是矩形， 所以四边形的面积. 解法二：， 由题意知，到的距离为， 则， 解得（负值舍去）， 又因为 ，所以平行四边形是矩形， 所以四边形的面积. 16. 已知为抛物线上一点. （1）求的准线方程； （2）若点与关于轴对称，过点且斜率为2的直线交于另一点，设. （i）求数列的前项和； （ii）求的面积. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）8 【解析】 【分析】（1）代入点的坐标，得出抛物线方程，即可求出准线方程； （2）（i）利用斜率可得，再由等差数列的定义判断数列为等差数列，即可求出前项和； （ii）法一：利用弦长公式、点到直线的距离求三角形面积，法二：利用向量外积求三角形面积即可. 【小问1详解】 由题意知，则， 所以的准线方程为. 【小问2详解】 由（1）知的方程为 ， （i）， 所以， 所以， 所以数列是以为首项，以4为公差的等差数列， 所以，所以. （ii）将代入 得， 则， 法一： 直线的方程为， 点到直线的距离， ， 的面积. 法二： . 17. 已知函数，记等差数列的前项和为，记. （1）证明：曲线是中心对称图形； （2）证明：“”是“ ”的充要条件； （3） 时，判断函数在区间上的零点个数. 【答案】（1）函数的定义域为， ， 所以曲线 是中心对称图形，且对称中心为 ； （2）（i）先证明充分性：若，则， 所以， 所以 . 所以 ，充分性得证； （ii）再证明必要性：若 ， ①假设，则，即， ，所以函数在上单调递增， ， 同理 ， 所以 ，矛盾，假设不成立. ②假设，同①理得 ， 矛盾，假设同样不成立. ③假设， 同充分性证明方法可以推得 ，假设成立. 综上，必要性得证， 所以“”是“ ”的充要条件； （3） 【解析】 【分析】（1）由 可得答案； （2）由已知得，再由（1）可得充分性；①假设，即，利用导数判断出函数在上单调递增，得出矛盾.②假设，同①理得 ，矛盾.③假设，同充分性证明方法可以推得 ，假设成立.必要性得证； （3） 的周期 ，故先研究在上的零点个数，分 、 、 讨论，结合导数、零点存在定理可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，因为 ， 所以是周期函数，且周期 ， 故先研究在上的零点个数， ① 时， （等号不可同时取得）， 所以此时 ，函数无零点. ② 时， ， 所以此时 ，函数无零点， ③ 时， ， 令 ， 则由复合函数的性质可得函数在区间 上单调递增， 时， ， 由零点存在定理： ，使得 ， 所以 时， 单调递减， 时， 单调递增， 又因为 ，所以 ， 又因为在 上单调递减， 由零点存在定理： ，使得 . 综上所述，在上有2个零点，分别为 ， 由是周期函数，且周期 得：在 上有2个零点， 在 上有2个零点，在 上有2个零点， 在 上有1个零点. 所以函数在区间 上的零点个数为 . 18. 在行列的数表中填个数字，每一格有且只有一个数字.定义变换：将第行与第 列的所有格子中的数字同时加上1或减去1，其余格子中的数字不变. （1）时，直接写出该数表先后经过，变换后数表中所有数字之和； （2）该数表能否经过次变换得到每格均为数字1的数表.若能，请求出的最小值；若不能，请说明理由. （3） 时，该数表能否经过次变换得到如图数表.若能，请求出的最小值；若不能，请说明理由. 【答案】（1）18或-18或0 （2）不能.理由如下： 记数表中所有数字之和为 ，则变换前 .假设该数表能经过次 变换得到每格均为数字1的数表，则变换后 注意到每经过1次 变换， 增加（ ）或减去（ ） 设次 变换中，“加上1”与“减去1”的次数之差为 则 即 因为且，所以 为完全平方数，又因为连续整数互质，即 与 互质，所以 与 均为完全平方数 令，其中 ①时， ，又因为 时取得等号）， 时取得等号），所以 ，则此情况不存在 ② 时， ，又因为 时取得等号）， 时取得等号），所以 ，则此情况不存在 ③ 时，此区间内不存在整数 ，故不考虑此情况 综上所述， 与 不可能均为完全平方数，则假设不成立 即该数表不能经过次 变换得到每格均为数字1的数表； （3）能，的最小值为5200. 【解析】 【分析】（1）根据变换的定义即可求解； （2）假设该数表能经过次 变换得到每格均为数字1的数表，则变换后，注意到每经过1次 变换， 增加（ ）或减去（ ），设次 变换中，“加上1”与“减去1”的次数之差为 ，则 ，即 对 分类讨论即可. （3）将表格分区域求和即可求解. 【小问1详解】 注意到时每经过1次 变换，数表中所有数字之和增加9或减去9 因此该数表先后经过 变换后数表中所有数字之和为18或-18或0 【小问2详解】 略 【小问3详解】 能，且的最小值为5200. 将第 行，第 列记作区域； 将第 行，第11列记作区域； 将第11行，第 列记作区域； 将第11行，第11列记作区域； 接下来研究 取值发生变化时，每经过1次 变换，各个区域所有数字之和 变化情况 情况（i）： 且 时，每经过1次 变换，各个区域所有数字之和变化情况如下表： +19 +1 +1 0 -19 -1 -1 0 情况（ii）： 且 时，每经过1次 变换，各个区域所有数字之和变化情况如下表： +10 +10 0 +1 -10 -10 0 -1 情况（iii）： 且 时，每经过1次 变换，各个区域所有数字之和变化情况如下表： +10 0 +10 +1 -10 0 -10 -1 情况（iv）： 且 时，每经过1次 变换，各个区域所有数字之和变化情况如下表： 0 +10 +10 +1 0 -10 -10 -1 设情况（i）的 变换中，“加上1”与“减去1”的次数之差为， 设情况（ii）（iii）的 变换中，“加上1”与“减去1”的次数之差为， 设情况（iv）的 变换中，“加上1”与“减去1”的次数之差为， 其中 则有 解得 则 所以 时，该数表能经过次 变换得到如图数表且的最小值为5200. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省2026届高中毕业班二月诊断性考试 数学试题 命题､审题：贺樽 校稿：何祖文 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 若的展开式中存在含的项，则可能等于（ ） A. 5 B. 9 C. 15 D. 19 4. 双曲线的两条渐近线夹角的正切值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆锥底面与圆台下底面半径相等，高相等.若圆台体积为圆锥体积的倍，则圆台上，下底面积的比值为（ ） A. B. C. D. 6. 若将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转可以得到另一个函数的图象，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，，设，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知等差数列的公差为.若，则（ ） A. B. 16 C. D. 8 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列满足，设，则（ ） A. B. C. 数列的前项和为 D. 数列的前37项和为 10. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 的面积为 11. 已知函数有两个极值点.设，点 为曲线上一点，则（ ） A. B. 若直线的倾斜角为，则 C. 有最值 D. 若存在 使得，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设分别为椭圆的上，下焦点.点 为上一点（点 位于第一象限），且，直线与轴交于点 .若的内切圆半径为，则的离心率为__________. 13. 已知函数.若方程在上恰有85个解，则 的取值范围为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 14. 在某次数学测试中. （1）甲､乙两位同学回答同一道单项选择题，记他们的最终得分分别为.已知随机变量的分布列如下图.若，求； （2）若甲同学在此次测试中取得班级第五名，且甲同学的分数处于第90百分位数（该班每位同学的分数不同），求该班人数的取值集合. 0 5 0 5 15. 如图几何体中，四边形和均为平行四边形，，平面 ，点到平面的距离为（点位于平面上方），直线与间的距离为2. （1）求； （2）求四边形的面积. 16. 已知为抛物线上一点. （1）求的准线方程； （2）若点与关于轴对称，过点且斜率为2的直线交于另一点，设. （i）求数列的前项和； （ii）求的面积. 17. 已知函数，记等差数列的前项和为，记. （1）证明：曲线是中心对称图形； （2）证明：“”是“ ”的充要条件； （3） 时，判断函数在区间上的零点个数. 18. 在行列的数表中填个数字，每一格有且只有一个数字.定义变换：将第行与第 列的所有格子中的数字同时加上1或减去1，其余格子中的数字不变. （1）时，直接写出该数表先后经过，变换后数表中所有数字之和； （2）该数表能否经过次变换得到每格均为数字1的数表.若能，请求出的最小值；若不能，请说明理由. （3） 时，该数表能否经过次变换得到如图数表.若能，请求出的最小值；若不能，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $