第21章 大招专题3 正方形中的三种常考模型-【初中必刷题】2025-2026学年八年级下册数学同步课件(冀教版·新教材)

该初中数学课件聚焦八年级下册四边形章节，核心讲解正方形中的“十字架”“对角互补”“半角”三种常考模型。通过母题引入（如“十字架”模型证明△ABN≌△DAM），结合子题变式训练，构建从基础模型到综合应用的学习支架。 其亮点在于以模型教学为核心，通过“母题学大招+子题练变式”模式，培养学生的抽象能力（数学眼光）、推理意识（数学思维）和模型意识（数学语言）。例如“十字架”模型中总结“垂直即相等；相等即垂直”，帮助学生建立几何直观，提升解题能力，也为教师提供系统的分层教学资源，提高课堂效率。

数 学 八年级下册 JJ 1 2 3 第二十一章 四边形 4 大招专 题3 正方形中的三种常考模型 5 刷难关 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 难关 母题学大招7 “十字架”模型 1.【2025辽宁抚顺期末，中】如图，正方形中，点，分别在， 上， 且，与相交于点 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 （1）求证： ； 【证明】 四边形是正方形， ， ，，即 . 在和中， . （2）求 的大小. 【解】由（1）知， ， ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 8 大招解读 “十字架”模型 在正方形的对边分别取点并相连，所得两条线段，若垂直，则相等；若相等，则 垂直. 简记：垂直即相等；相等即垂直. ①线段过顶点时，如图（1）.易证， . 图（1） 图（2） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 9 ②线段不过顶点时，如图（2），作, .易证 ，， 易得 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 10 子题练变式 2.【2025吉林长春期末，中】如图，在正方形中，点，，， 分别在线 段，，，上，且.试猜想 的值，并证明你的猜想. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 11 【解】.证明：如图，过点作交于点 ，作 交的延长线于点， 易得， 四 边形是正方形， ， ， , ，.在和 中， ， ，即 ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 12 思路分析 过点作交于点，作交的延长线于点 ，利用正方形的性 质得， ，结合已知条件证出 即可求解. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 13 3.【2025浙江宁波期末，中】 图（1） （1）如图（1），在正方形中，,相交于点,且 , 则和 的数量关系为_________. 【解析】 四边形为正方形，, , , , ， ，.在和 中， ， .故答案为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 14 （2）如图（2），在正方形中，,,分别是边,, 上的点， ，垂足为.求证： . 图（2） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 15 图（1） 【证明】如图（1），过点作于点，则四边形 为 矩形，.在正方形中，， . ， ， ， . 在和中， ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 16 （3）如图（3），在正方形中，,,分别是边,, 上的点， ，，，将正方形沿折叠，点的对应点恰好与 边上的 点重合，求 的长度. 图（3） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 17 图（2） 【解】如图（2），连接，关于对称， . 过点作于点，过点作于点 ，则易知 .同（2）可得 ， ， ， .又 ， . 关键点拨 由正方形的性质得到三角形全等是解题关键. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 18 母题学大招8 对角互补模型 4.【2025广东珠海期中,中】如图，正方形和正方形 全等，边长均为 3，与交于点，正方形绕点旋转，交于点，交于 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 19 （1）在上述旋转过程中，判断与 有怎样的数量关系，并证明； 【解】.证明： 四边形是正方形，, ， , ， ,.在和 中， ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 20 （2）四边形 的面积为_ _. 【解析】， ， ，即 ， .故答 案为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 关键点拨 （2）由（1）得与全等，将四边形的面积转化为 的面积 是本题解题关键. 大招解读 对角互补模型 如图，在正方形中，点是对角线，的交点，过点作射线， ， 分别交，于点，，且 ，，交于点 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 22 结论：；； 是等 腰直角三角形；④四边形的面积为正方形面积的 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 23 子题练变式 5.【2025陕西咸阳期中，中】如图，在正方形中，点是对角线 上的一 点，连接，过点作，交于点，以， 为邻边作矩形 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 24 （1）求证：矩形 是正方形. 【证明】如图，过点作于点，于点 四边 形 是正方形， ,， ， ， 四边形 是正方形， ， . 在和中， 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 25 ，.又 四边形是矩形， 四边形 是正方形. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 （2）若点为的中点，且，求正方形 的面积. 【解】连接 在正方形中，点为的中点，且 ， ， 在 中， . 四边形是正方形， 易知正方形 的面积为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 27 母题学大招9 半角模型 图（1） 6.【2025广东韶关期中，中】【阅读理解】半角模型是指有公 共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相 等.通过旋转或截长补短，将角的倍分关系转化为角的相等关 系，并进一步构成全等三角形，用以解决线段关系、角度、面 积等问题. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 28 【初步探究】如图（1），在正方形中，点,分别在边, 上，连接 ,,.若 ，将绕点顺时针旋转 ，得到 .易 证： . （1）根据以上信息填空： ①____ ； ②线段，， 之间满足的数量关系为______________. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 29 【解析】 四边形是正方形， .由旋转得 ，，，，，， 共线. ， . 在和中， ， . ， . 故答案为， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 30 【迁移探究】 （2）如图（2），在正方形中，若点在的延长线上，点在 的延长线 上， ，猜想线段，， 之间的数量关系，并证明. 图（2） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 31 图（1） 【解】.证明如下：如图（1），在 上截取 ，连接.在和 中， ，, ， ，即 . ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 32 在和中， ， . ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 【拓展探索】 （3）如图（3），已知正方形的边长为,,分别在, 上， ，连接分别交，于点，，若点恰好为线段 的三等分 点，且，求线段 的长. 图（3） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 34 图（2） 【解】如图（2），将绕点顺时针旋转 得到 ， 连接 四边形是正方形， , ， ， ， , . 由旋转可得， ，,, ， , ， . 又，， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 35 设，则 . 在中，，，解得 ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 大招解读 半角模型 如图（1），在正方形中，,分别在,上，分别交,于， ， 若 ,则有以下结论：；； 平分 ,平分； ； 图（1） 图（2） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 37 如图（2），在正方形中，,分别在的延长线、 的延长线上，若 ,则有以下结论：平分； . 思路分析 （1）②根据旋转及正方形的性质得 ,可得 , ,共线.再证明,得出,进而可得出,, 之间的 数量关系. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 38 $