精品解析：广东省深圳龙华区中小学2025-2026学年高一第一学期期末试卷数学试题

龙华区中小学2025-2026学年第一学期期末试卷 高一数学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号、班级填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. “”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充要条件的判断方法易得. 【详解】当时，必有成立； 而由可得或，即不一定能推得， 故“”是“”成立的充分不必要条件. 故选：A. 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据负数不能开偶次方根以及对数的真数要大于零求解. 【详解】由题可知，，解得， 即函数的定义域为. 故选：C. 3. 若，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用特值和不等式的性质可得答案. 【详解】当时，，A不正确； 因为，所以，即，B正确； 当时，满足，但是，C不正确； 当时，满足，但是，D不正确； 故选：B 4. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数性质计算即可求解. 【详解】因为函数是定义域为的奇函数， 所以. 故选：D 5. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用零点存在定理进行判断即可. 【详解】，因为均为增函数，所以为增函数， 又，，所以的零点所在区间为. 故选：C 6. 某公司所产A型芯片，在成本保持不变的前提下，可容纳的晶体管数量呈指数增长规律且每18个月翻一番（数量变为原来的2倍），已知该芯片在2026年初能容纳晶体管数量200亿个，那么其可容纳的晶体管数量达到1000亿个大约需要多少个月？（精确到1月，参考数据：）（ ） A. 38 B. 42 C. 46 D. 50 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意建立函数模型，代入数值求解即可. 【详解】设经过 t 个月后的数量为 ，每 18 个月翻一番，则 令，可得，即， 因为，所以，代入上式可得. 故选：B 7. 已知某扇形面积为，当其周长最小时，圆心角的弧度数为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用面积公式得到，结合基本不等式可求周长最小值，从而可得答案. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，因为扇形面积为，所以，即； 周长为，因为，当且仅当时，取到最小值， 所以当其周长最小时，圆心角的弧度数为. 故选：D 8. 已知，则，，的大小关系不可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，作出图象，结合图象可得大小关系. 【详解】设，则， 分别作出它们的图象，如图， 由图可知，当时，，当时，，当时，，当时，， 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】BC 【解析】 【分析】根据集合的运算，结合选项逐个验证可得答案. 【详解】因为，，所以之间没有子集关系，A不正确； 因为，所以，B正确； 因为，，所以，C正确； 因为，所以或，D不正确. 故选：BC 10. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 与的最小正周期相同 B. 与在上单调性相同 C. 与的零点相同 D. 与图象的对称中心相同 【答案】AD 【解析】 【分析】分别求出，的零点，最小正周期，对称中心，对称轴方程逐一对照每个选项即可. 【详解】函数的最小正周期为，函数的最小正周期为，故A正确； 当时，，所以函数在区间上单调递减， 当时，，所以函数在区间上单调递增，故B错误； 令，得到， 令，得到，两个函数零点不同，故C错误； 函数图象的对称中心满足， 即图象对称中心为， 函数图象的对称中心满足， 即图象对称中心为， 令，即图象对称中心为，与图象对称中心相同，故D正确. 故选：AD. 11. 若函数的定义域是，对于，定义集合.（ ） A. 若，则 B. 若，且，则 C. 若，且，则 D 若，当时，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据定义，结合指数函数的单调性可判断A,B,C，根据集合包含关系可判断的单调性，从而可求. 【详解】对于A, ，由可得，所以A正确； 对于B,因为为增函数，，所以， ，所以，B正确； 对于C,因为是偶函数，且在上单调递减，在上单调递增， 等价于，，，所以，C不正确； 对于D,因为是偶函数，且在的单调性由决定， ，， 因为，所以当时，的解集包含的解集， 所以在单调递减，即，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用齐次化方法可求答案. 【详解】. 故答案为： 13. 已知，若，则________. 【答案】1 【解析】 【分析】分段代入解析式可求答案. 【详解】当时，，解得（舍）； 当时，，解得. 故答案为：1 14. 如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心的单位圆与、轴正半轴分别交于点、.角的始边与轴正半轴重合，终边交圆于点，过作轴的垂线，垂足为.当时，设的面积为，四边形的面积为，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意分别用的三角函数式表示与，可得，通过换元成，，利用函数的单调性即可求得其取值范围. 【详解】由图知，为直角三角形，，， 则， 又，则， 于是， 设，则， 因，则， 故， 因函数在上单调递增，则，故的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）先根据已知条件求出，然后根据和差角的余弦公式求出结果即可. （2）先利用半角公式、二倍角公式和诱导公式对所求表达式进行化简，进而计算结果即可. 【小问1详解】 因为，，所以. 所以. 【小问2详解】 . 16. 已知函数. （1）判断的奇偶性并说明理由； （2）求的值. 【答案】（1）偶函数；理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）判断函数奇偶性，需要先确定函数定义域是否关于原点对称，再判断与的关系即可. （2）先根据对数的运算法则对进行化简，再结合对数的运算性质计算的值即可. 【小问1详解】 因为指数函数，所以恒成立， 所以函数 的定义域为，关于原点对称， 因为， 所以函数偶函数. 【小问2详解】 已知，则， 又，则， 因为， 所以， 因此值为. 17. 已知函数. （1）若的解集为，求实数，的值； （2）若对一切实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据不等式的解集与方程根的关系可求两个未知数； （2）根据恒成立可从开口方向和判别式得出限制条件，从而可求答案. 【小问1详解】 因为的解集为， 所以， 解得，经检验知符合题意. 【小问2详解】 当时，显然不合题意； 当时，因为对一切实数恒成立， 所以， 解得. 18. 若函数在一个周期内的图象如图所示. （1）求的解析式； （2）将图象上的所有点先向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标缩短到原来的，得到函数的图象： （i）求的解析式； （ii）已知，若在上的最大值为，最小值为，求的最大值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）1 【解析】 【分析】（1）根据图象可求最值，周期，特殊点可求解析式； （2）（i）根据图象变换可得；（ii）根据所给区间可求的表达式，结合三角函数知识可求最大值. 【小问1详解】 由图可知，,周期为，所以， 因为图象经过点，所以，， 即，，因为，所以， 所以. 【小问2详解】 （i）将图象上的所有点先向右平移个单位长度得到解析式为， 再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标缩短到原来的，得到的解析式为 （ii）因为在单调递增，当时，； 所以， ， 因为，所以，所以， 即的最大值为1. 19. 已知函数. （1）根据定义证明在上单调递增，并写出的单调区间及每一单调区间上的单调性； （2）求函数的值域； （3）若方程在有且仅有两个不相等的实数根，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析，单调区间见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用定义，设变量，作差，变形，定号，证明即可； （2）根据单调性可求最值，从而可得值域； （3）换元，转化为二次型方程根分布问题，分情况讨论可求答案. 【小问1详解】 证明：任取且， ， 因为，所以 ，，故， 因此，即 在上单调递增. 同理可得在上单调递减，因为，所以为奇函数， 所以在在上单调递减，上单调递增. 【小问2详解】 由（1）知，当时，；当时，； 所以函数的值域为. 【小问3详解】 令，因为 ，所以， 当时，仅有唯一解； 当时，有两个不相等的正实数根， 又 ， 代入方程得：， 题中要求原方程有且仅有两个不相等的实数根， 则关于的方程有且仅有一个根在区间上， 设， 当时，，不合题意； 当时，为二次方程，则必有； 当时，，得或； 时，，符合题意；时，，不合题意； 当时，得或， 若，此时开口向上，且，只有一个大于2的根， 只需，，可得. 若，此时开口向下，且，， 方程没有大于2的根，不合题意. 若，此时开口向上，，对称轴， ，方程没有大于2的根，不合题意. 综上可得，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙华区中小学2025-2026学年第一学期期末试卷 高一数学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号、班级填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. “”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 3. 若，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A B. C. D. 4. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的零点所在区间为（ ） A B. C. D. 6. 某公司所产A型芯片，在成本保持不变的前提下，可容纳的晶体管数量呈指数增长规律且每18个月翻一番（数量变为原来的2倍），已知该芯片在2026年初能容纳晶体管数量200亿个，那么其可容纳的晶体管数量达到1000亿个大约需要多少个月？（精确到1月，参考数据：）（ ） A. 38 B. 42 C. 46 D. 50 7. 已知某扇形面积为，当其周长最小时，圆心角的弧度数为（ ） A. B. 1 C. D. 2 8. 已知，则，，的大小关系不可能为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 或 10. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 与的最小正周期相同 B. 与在上单调性相同 C. 与的零点相同 D. 与图象的对称中心相同 11. 若函数的定义域是，对于，定义集合.（ ） A. 若，则 B. 若，且，则 C. 若，且，则 D. 若，当时，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则________. 13. 已知，若，则________. 14. 如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心的单位圆与、轴正半轴分别交于点、.角的始边与轴正半轴重合，终边交圆于点，过作轴的垂线，垂足为.当时，设的面积为，四边形的面积为，则的取值范围为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，. （1）求的值； （2）求的值. 16. 已知函数. （1）判断的奇偶性并说明理由； （2）求的值. 17. 已知函数. （1）若的解集为，求实数，的值； （2）若对一切实数恒成立，求实数的取值范围. 18. 若函数在一个周期内的图象如图所示. （1）求解析式； （2）将图象上的所有点先向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标缩短到原来的，得到函数的图象： （i）求的解析式； （ii）已知，若在上的最大值为，最小值为，求的最大值. 19. 已知函数. （1）根据定义证明在上单调递增，并写出的单调区间及每一单调区间上的单调性； （2）求函数的值域； （3）若方程在有且仅有两个不相等实数根，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $