2026届湖南省长沙市望城区第二中学考前预测数学试题

**基本信息** 2026届高三三模数学卷以《周易》卦象概率、堆球数列等文化与实际情境为载体，覆盖导数、立体几何等高考高频考点，通过基础题到曲率圆创新题的梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理与模型构建能力，适配高考冲刺综合训练。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|统计（中位数）、向量共线、导数几何意义|第8题结合《周易》卦象考概率，体现文化传承| |多选题|3/18|复数、立体几何（正方体）、圆的轨迹|第10题正方体中点线面关系，考查空间观念| |填空题|3/15|椭圆方程、函数恒成立、数列公共项|第13题函数恒成立，考查抽象能力| |解答题|5/77|立体几何二面角、解三角形、概率统计（抽奖）、椭圆综合、曲率圆|第19题曲率圆创新题，结合二阶导数考查逻辑推理；第17题国庆抽奖情境，体现应用意识|

2026届高三年级第三次模拟测试 数学试题（参考答案） 1.答案：B 解析：先从小到大排序：2,3,5,7,9，数据个数为奇数，取中间第3个数，中位数是5。 2.【答案】C 【解析】对A,因为AB=C+2E,BC=-3E+2E,不存在实数1使得AB=2BC,故A、B、C三点不共线，故A 错误； 对B,因为AB=C+2E,DA=3E-6E,不存在实数1使得AB=元DA,故A、B、D三点不共线，故B错误： 对C,因为4C=AB+BC=-2+46,DA=3记-6，则4C=-2DA,故A、C、D三点共线，故c正确： 3 对D,因为BC=-3E+2E,，BD=-DA-AB=DA=-3花+6配，--2元=-4+4纪2，不存在实数1使得BC=2BD, 故B、C、D三点不共线，故D错误. 故选：C 3.【答案】D 【解析】因为与-20°角终边相同的角是-20°+k.360°，k∈Z, 所以当k=1时，与-20°角终边相同的角是340°，D选项符合，其他选项不满足k∈Z. 故选：D 4.【答案】C 【解析】y=fx=e,∴.f'(x=e, f'(0=1, ·曲线y=e在点(O,1处的切线方程为： y=x+1,即x-y+1=0, 故选：C. 5.【答案】A 【解析】由于M为双曲线C:女-y=1的左支上一点，F,E分别为C的左，右焦点， 45 所以Mf-M=2a,故MF+FF-MF2=2c-2a, 由于a=2,b=V5,c=Va2+b2=3, 所以MF+FF,-MF2=2c-2a=6-4=2, 故选：A 6.【答案】D 【解析】由图及题设，当0<x<2时，∫'(x)<0; 当x>2,f'(x>0; 当-2<x<0时，f'x<0: 当x<-2时，'(x>0; 即函数fx)在(-0，-2)和2，+o）上单调递增，在(-2,2)上单调递减， 因此函数∫(x)在x=2时取得极小值，在x=-2时取得极大值； 故A,B,C错，D正确. 故选：D. 7.【答案】D 【解析】在第nn≥2)堆中，从第2层起，第n层的球的个数比第n-1层的球的个数多n, 记第n层球的个数为a,则an-a-1=n(n≥2)， 1 得a,=a+(a-a)+(a-a)++(a.-0)=1+2+3++m=2nm+, 其中a=1也适合上式，则a,=aa+川=a2+小， 在第n堆中，S.=a+a+a,++a,=[+2+32++n)+1+2+3+…+m] +2+3+++a+, 当m=20时、=+210-1540，解=2870 故选：D. 8.【答案】B 【解析】在一次所谓“算卦”中得到六爻， 基本事件的总数为n=26=64, 这六爻恰好有三个阳爻包含的基本事件数为m=C=20, 所以这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率是P=m-20-三】 n6416 故选：B. 9.【答案】BC 【解析】设复数z,z2,23在复平面内对应的点分别为Z,Z2,Z3,0为坐标原点， 则复数，，2在复平面内对应的向量为0Z,0Z,0Z,且0Z=0Z=0Z=2, 0Z+0Z=0z,0z=5,, 所以四边形02Z,2为菱形，且∠202，= 又∠Z,0Z,=号，0Z,与x轴正半轴所成的角为 所以02，与x轴正半轴所成的角为爱所以乙与乙关于x轴对称，. 所以1=V3-i,则2=2i,所以2z,+z,=2√3eR,故B正确； 因为名-2=W5-i-2i=5-3i,所以-=+(-3)=25，故A错误； 22=2i5-i=2+2V3i,故c正确； 五=5-i_（5-.-15,故D错误 222i2i222 故选：BC y -2 10.【答案】B 【解析】A选项：ABCD-A,B,C,D,为正方体，所以DD,∥CC,直线AF与直线CC,不垂直，所以直线AF与直线 DD不垂直，故A错误； 如图建立空间直角坐标系，则A2,0,0),E1,2,0),F(0,2,1),G(2,2,1,4(2,0,2), AEi=-x+2y=0 对于B,设平面AEF的法向量为n=(x,y,z),则 Fn=-2x+2y+2=0'令1=1，则n=(2,12, 因为AG=(0,2,-1),所以AG五=0×2+2×1-1×2=0，所以A,G1n, 因为A,G在平面AEF外，所以直线A,G与平面AEF平行，所以B正确， 对于CSmE,B1x写子所以三核锥F-BE的体积为md号好分名所以c错关， 2 34224' BC.n 对于D,B(1,l,0),C(0,l,0),BC=(-1,0,0),直线BC与平面AEF所成的角为0，sin0= -2 2 BC1×V22+12+223 ,所以D错误， 故选：B. ZA D C B D 11.【答案】ABD 【解析】对于A,圆C:(x-1)+y2=2的圆心为(1,0)，半径为V2, 圆C:c-a)2+0y-V2}2=8的圆心为a,V2),半径为2√2， 当圆G和圆C,存在公共点时，22-V2≤CC,≤2V2+√2， 所以√2≤(a-1)2+√2≤3√2，解得-3≤a≤5，所以实数a的取值范围为-3,5]，正确： 对于B,4BC的面积为S-方X5x5xn∠4CB=如∠4CB≤1， 当∠AC8=时，。48C,的面积有最大值为1，正确： 对于C,当弦AB垂直x轴时，A(0,-1,B(0,1,所以OA·OB=0+1×-1)=-1, 当弦AB不垂直x轴时，设弦AB所在直线为y=, 与圆C,:(x-1)2+y2=2联立得，(1+k2)x2-2x-1=0, 设A(x,y),B(x2,y2), 则，0丽，0丽=+=+=+-+7安=-1 -1 综上OAOB=-1,恒为定值，错误； 对于D设P(xoy。)0P中点告分)， 该点也是AB中点，且AB=OP=√x+y, 又-修 + 化简得(x-1+y后=3，所以点P的轨迹为以(1,0)为圆心，半径为5的圆， 其周长为长度为23π，正确. 故选：ABD 12.【答案】上+￡-1 43 【解析】根据题意，如图： 8-3,山转圆的对称性可得：卡B, 又F6上2，由勾股定理可得：4G=F5+14F=2+-, 所以2a=AE|+|AF2=4,a=2, 又c=1,则b=√a2-c2=5, 椭圆标准方程为上+ =1. 43 故答案为： +-1 43 B F2 13.【答案】 2π（答案不唯一)1（答案不唯一) 【解析】若f(x+a)=f(x),则sin[2(x+a]=bsin2x, 当a=2π时，sin2x=bsin2x,.b=1, 故可取a=2π，b=1. 故答案为：2π，1.（答案不唯一） 14.【答案】d,=32利 【解析】由S.=a,-川aeN,可得a=8=a-小， 解得a1=3, 当22时.a=8-5%-川-o-小， 即an=3an-1, 可得数列{a,}是首项和公比均为3的等比数列， 所以an=3”, 设a=3是{bn}的第m项，则4m+3=3*(k,meN), 因为a1=31=3×3=3×(4m+3)=43m+2)+1, 所以ak+不是{bn}中的项， 因为ak2=3*+2=9×3=9×4m+3)=49m+6)+3, 所以ak+2是{bn}中的项， 所以d1=a3,d2=a5,d3=a7,…,dn=a2n+l 所以dn=32m(neN） 故答案为：dn=32m(neN): 15.【解析】(1) A 连结BC1,DC, :底面ABCD是边长为2的菱形，·AB=AD. .∠AAB=∠AAD,AA=AA, △AAB≌△AAD,∴.BA=DA. :点O为线段BD中点，.AO⊥BD :ABCD为菱形，.AC⊥BD,AC∩A,O=O,AC,A,Oc平面AAC,BD⊥平面AAC 又BDC平面ABCD,:平面A,AC⊥平面ABCD, ∴.AA在平面ABCD上的射影为AC, ∴∠AAO为直线A4与平面ABCD所成的角，即∠AA0=45°. 在△AA0中，AA=6,A0=号AC=V5,∠AA0=45°， cos∠440=2-44+04-A0 22×44x0A,40=5. 则AA2=OA+A0,∴.AO⊥OA. 又OA∩BD=O,OAc平面ABCD,BDC平面ABCD, .A,O⊥平面ABCD. (2)由(1)知AC⊥BD,AO⊥平面ABCD,建立如图所示的空间直角坐标系 D A B D A 则B0,1,0),D0,-1,0,4(V3,0,0,C(-V3,0,0,A(0,0,V5), 则CC=A4=(-V3,0,V3),CB=(-V3,-1,0),CD=(-V31,0) 设平面CBC的法向量为m=x,y,),平面CDD的法向量为=（x2y2,22), 则 CCm=0, 即 CB.m=0, -5x+5=0取x-1,则m=,-5.), -V3x-y=0, CCi=0即 3+B,=0取=l则万=，5,0. CDn=0,-V3x2+y2=0, 设二面角B-CC,-D大小为0， 11 则cos0= m.n m州5x55 sino=v1-cos216 :二面角B-CC,-D的正弦值为26 5 16.【解折】(1)fx到=5 sinc+eos-5n+cos+m告++ 44 4222 22 (262 由1可有：动别片 wm答-w（传*-传+-2m佳+引11 (2)由余弦定理得：a.。+b-c2+1 -+。c=b,整理可得：a2+b2-c2+bc=2b2, 2ab .b2+c2-a2=bc,∴cosA b2+c2-a21 2bc =2 又Ae0,π)，A= 3’B+C=2 08智则后9+后受层引到 f8=m[号+》引.博儿的限值箱目为引 17.【解析】(1)设第1位顾客中“特等奖"为事件A,第2位顾客中“参与奖”为事件B, P4B刷=号x40 品-号8 故P(AB)= (AB-10-5, PB=33=1' 50 所以在第2位顾客中“参与奖"的条件下，第1位顾客中“特等奖"的概率为 11 (2)由题意得n≠0，n个顾客参与后后来的顾客不再有机会中“特等奖”表示最后一位顾客中“特等奖”，前n-1位 顾客中有一位中“特等奖” * 人 -89 改数列的通项公式为R-子（号得） (3)设第k个顾客参与时拿下最后一个“特等奖”的概率最大， 则颜*P--门引-(、 要变P及大，耳发1-（传）目 最大 - 所以 - -( 即 -2 化简得 4-、1 且keN, 5 又到（) 在(0，+∞)上单调递减， k≥4 所以 lks4' 综上所述，k=4. 18.【解析】(1)由已知条件可知b=1,c=√3， 所以a2=b2+c2=4, 所以椭圆Γ的标准方程为子+y广=1： 4 (2)因为直线PA为的法向量为元=(1，-2)， 所以直线PA的斜率为了方程为y方+1， 1 y=-x+1 联立 2 ,得x2+2x=0,解得x4=-2(x4=0舍去)， 4+2=1 从而A-2,0), 因为直线PA,PB的斜率之积为1，所以直线PB的方程为y=2x+1, 同理可得B点的坐标为 1615 1717》 50 所以直线1的斜率k。= 5 6+2 6 17 所以直线1的方程为y=-x+2列，即5x+6y+10=0: 6 (3)假设存在满足条件的直线1， 设直线PA的方程为y=mx+1(m≠0)， y=mx+1 联立x2 4+y2=1，得4m2+1x2+8mx=0,解得x4=一4m2+1（xA=0舍去)， 1 因为直线PA,PB的斜率之积为1，所以直线PB的方程为y=二x+1, m 8x 同理可得x:= m 8m 2 1 m2+4, +1 m me,+l-x,+1） 1 故直线1的斜率k=4一2= m mx-m XA-XB XA-XB XA-XB 8m）1(8m） 8m2 8 4m2+1厂mm2+4= 4m2+1m2+4 8m 8m 8m.8m 4m2+1m2+4 4m2+1m2+4 4m2+1-m2(m2+4 m4-1 m+1-m+ m[(4m2+1-(m2+4]3m(m2-1)3m3 m 当△PAB为直角三角形时，只有∠PAB=90°或LPBA=90°， 于是k=-1或k=-m, m 若大=加，由日写m+,可得m=士反，从而k=于 11,1 m 2 1(,1 若k=-m,由-m=一 m+一 3m) 可得m=t ，从而k=子5 2 2 所以存在，直线的斜率为士2 2 19.【解析】(1) 记f(x)=x2,设抛物线y=x2在原点的曲率圆的方程为x2+(y-b)2=b2,其中b为曲率半径. y 则f'(x=2x,f"(x=2, 故2=f10)==1 002- 所以腿物线，=原点的庙幸国的方我为r+个- (2)设曲线y=f(x在(x,yo)的曲率半径为r.则 0 f'(x)=--a %-b 法一： r2 f八b- -r[r17 所以，+， f"(x川 故曲线y=在点(x,)处的曲率半径， 2 2 所以2= 43 1 ≥V2,当且仅当后= ,即矿=1时取等号， 故，之√，曲线y=在点1，)处的曲率半径r=2. 1 x%-b 法二： la+bi-2xal=r, 2 r2 V+1 x8(b-%) 2 %-b=-七r3 ·而=6-aj+以- 1 2 r3 所以 +2 六 2323x x0-a=- 1 23x0 所以+》 、翰军程可三之名+3、 ≥2，当且假当=这，博1时取等号。 故r之√反，曲线y=在点(1，)处的曲率半径r=√2. （3)法一：函数y=心的图象在(xe)处的曲率半径，-e+ 故，=e+e, 0 由题意知：+e子e+e子令=e,=, 则有+=+， t 所以矿-5=，即4-44+-，放46+6=1. 因为x≠x,所以≠2， 所以1=2(6+52)>4,2V4,=2(42)2=2e+, 所以x,+x2<-ln2. 法二：函数=c的图象在(x心)处的曲幸半径，-(e+ 有，g+.+3+3e 令1=，6=c,则有+3+3+}=5+3弘，+3+1 _t 1, 则-65+5+3-=0，4++3-1-0， 2 因为x≠x2,所以≠2， 所以有0=4+5+3->24，+3- tt 令1=6，则2+3-<0，即0>2+护-1=+2-， 故1<分所以e=不=1<分即无+名<-h2 法三：函数y=c的图象在(xe)处的曲率半径，-(e+. e 故，=e+ 3 所当e2时eia小0，当n2oj时e1e>0, 所以8在(。2上单调莲减，在n2+上单调港0 故有x<-n2< 所以，h2-en2 要证x,+x2<-ln2,即证x<-ln2-x2, 即证gx)=g(x)>g(-n2-x)将x+x2<-ln2, 下证：当x(2+时，有g到>8到-h2-. 设函数G(y=g(x-g(-h2-刘（其中x>-n2), 则o=g1+g1-2-0-2-e3->0, 故G(到单调递蜡，G>G号h2=0, 故gx2)>g-ln2-x2,所以x+x2<-ln2. 法四：函数=e的图象在(ke)处的曲半竿径，-e+, 有，2=e2+1 =e4r+3e2x+3+e2r, h(x)=esx +3e2*+3+e2x. 则有h(x)=4e+6e2-2e2=2e2(e2+1(2e2-1, 所以当x(,n2]时到<0，当(h2)时1小>0， 故到在（分h2小上单调莲减，在（兮如2+小上华调觉格。 故有x<-n2<2, 所以，h2-名o,2, 要证x+x2<-lhn2,即证x<-ln2-x2, 即证hx)=h(x)>h(-lh2-x).将x+x2<-ln2, 下证：当xe2+切)时，有（到>-n2-, 设函数H(=h--h2-)(其中x>-2血2)， 则H=+-n2-=2e-++>0. 数H单调遥城，放✉>（分h2-0· 故hx2)>h(-ln2-x2,所以x+x2<-ln2. 2026届高三年级第三次模拟测试 数学试题 （试卷满分：150分 考试用时150分钟） 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.一组数据：2，5，3，9，7，这组数据的中位数是（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 2.已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（    ） A．、、三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 3.与角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 4.曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 5.已知点为双曲线的左支上一点，分别为的左，右焦点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 6.已知函数的定义域为且导函数为，如图是函数的图像，则下列说法正确的是（    ） A．函数的增区间是 B．函数的减区间是 C．是函数的极小值点 D．是函数的极小值点 7.如图，用相同的球堆成若干堆“正三棱锥”形的装饰品，其中第1堆只有1层，且只有1个球；第2堆有2层4个球，其中第1层有1个球，第2层有3个球；…；第n堆有n层共个球，第1层有1个球，第2层有3个球，第3层有6个球，…．已知，则（    ） A．2290 B．2540 C．2650 D．2870 8.在《周易》中，长横“”表示阳爻，两个短横“”表示阴爻.有放回地取阳爻和阴爻三次合成一卦，共有种组合方法，这便是《系辞传》所说“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”.有放回地取阳爻和阴爻一次有2种不同的情况，有放回地取阳爻和阴爻两次有四种情况，有放回地取阳爻和阴爻三次，八种情况.所谓的“算卦”，就是两个八卦的叠合，即共有放回地取阳爻和阴爻六次，得到六爻，然后对应不同的解析.在一次所谓“算卦”中得到六爻，这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知复数满足：，，若在复平面内对应的点在第四象限，则以下结论正确的为（    ） A． B． C． D． 10.如图所示，正方体的棱长为1，点分别为的中点，则下列说法正确的是（    ） A．直线与直线垂直 B．直线与平面平行 C．三棱锥的体积为 D．直线BC与平面所成的角为 11.在平面直角坐标系中，已知圆的动弦，圆，则下列选项正确的是（   ） A．当圆和圆存在公共点时，则实数的取值范围为 B．的面积最大值为1 C．若原点始终在动弦上，则不是定值 D．若动点满足四边形为矩形，则点的轨迹长度为 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知，是椭圆C的两个焦点，过且垂直于y轴的直线交C于A，B两点，且，则椭圆C的标准方程为 ． 13.已知函数，若存在非零实数a，b，使恒成立，则满足条件的一组值可以是 ， . 14.设为数列的前n项和，且，数列的通项公式为，将数列与的公共项按它们在原来数列中的先后顺序排成一个新数列数列的通项公式为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。 15.如图，平行六面体中，底面是边长为2的菱形，且，与平面所成的角为与交于． (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值． 16.已知函数. （1）若，求的值. （2）在中，角的对边分别是，且满足，求的取值范围. 17.为庆祝祖国周年华诞，某商场决定在国庆期间举行抽奖活动．盒中装有个除颜色外均相同的小球，其中个是红球，个是黄球．每位顾客均有一次抽奖机会，抽奖时从盒中随机取出球，若取出的是红球，则可领取“特等奖”，该小球不再放回；若取出的是黄球，则可领取“参与奖”，并将该球放回盒中． (1)在第2位顾客中“参与奖”的条件下，第1位顾客中“特等奖”的概率； (2)记为第个顾客参与后后来参与的顾客不再有机会中“特等奖”的概率，求数列的通项公式； (3)设事件为第个顾客参与时获得最后一个“特等奖”，要使发生概率最大，求的值． 18.已知椭圆的焦距为，点在椭圆上，动直线与椭圆相交于不同的两点，且直线的斜率之积为1. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线为的法向量为，求直线的方程； (3)是否存在直线，使得为直角三角形？若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由. 19.如图，对于曲线，存在圆满足如下条件： ①圆与曲线有公共点，且圆心在曲线凹的一侧； ②圆与曲线在点处有相同的切线； ③曲线的导函数在点处的导数（即曲线的二阶导数）等于圆在点处的二阶导数（已知圆在点处的二阶导数等于）； 则称圆为曲线在点处的曲率圆，其半径称为曲率半径． (1)求抛物线在原点的曲率圆的方程； (2)求曲线的曲率半径的最小值； (3)若曲线在和处有相同的曲率半径，求证：． 高三数学试题 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $