专题2：一次函数综合压轴题专题突破(解答题)2025--2026学年沪教版（五四制）八年级数学下册

本讲义聚焦一次函数综合压轴题，系统梳理实际应用（经济、行程等）、几何图形结合（平行四边形、矩形等）及动点问题，构建“知识梳理-真题精讲-课后巩固”学习支架，助力学生掌握解题方法与易错点。 资料以28道真题为载体，通过实际情境问题培养模型意识，几何综合题发展几何直观，动点问题提升推理能力。课中辅助教师高效授课，课后帮助学生强化练习，查漏补缺，落实数学眼光与思维的培养。

专题2：一次函数解答综合压轴题专题突破 (实际应用+几何图形+动点问题) 本节课主要针对第25章一次函数进行专题讲解。在本节课中，我们梳理了一次函数应用压轴题典型例题、解题中常考的方法以及易错知识点。并结合课内常考例题进行深度讲解，课后搭配练习进行巩固。帮助同学们更好的掌握本小节知识点。 知识点一 一次函数实际应用问题 1.一次函数在现实生活中运用广泛，既可以解决一些简单的实际问题，也可以帮助我们去分析和概括一些复杂的问题． 2.在实际问题中，我们通常要寻找两组自变量和对应的函数值，从而确定这个函数解析式． 3.学会利用一次函数作出预测，主要是根据函数解析式或者图象求出对应时间点的函数值． 常考题型：经济问题、工程问题、面积计算、方案问题、行程问题 知识点二 一次函数在几何中的应用（综合题） 1.函数方法 函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法．函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题． 2.数形结合法 数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用． 常考题型：平行四边形、菱形、矩形、梯形和一次函数结合. 一次函数与实际应用问题： 1．甲、乙两人同时从相距90千米的A地前往B地，甲乘汽车，乙骑电动车，甲到达B地停留半个小时后返回A地，如图是他们离A地的距离y（千米）与经过时间x（小时）之间的函数关系图象． （1）甲从B地返回A地的过程中，直接写出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围； （2）若乙出发后108分钟和甲相遇，求乙从A地到B地用了多少分钟？ （3）在（2）的条件下，甲与乙同时出发后，直接写出经过多长时间他们相距20千米？ 【考点】一次函数的应用．版权所有 【分析】（1）首先设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，根据图象可得直线经过（1.5，90），（3，0），利用待定系数法把此两点坐标代入y＝kx+b，即可求出一次函数关系式； （2）利用甲从B地返回A地的过程中，y与x之间的函数关系式算出y的值，即可得到108分钟时骑电动车所行驶的路程，再根据路程与时间算出电动车的速度，再用总路程90千米÷电动车的速度可得乙从A地到B地用了多长时间； （3）根据题意列出方程解答即可． 【解答】解：（1）设甲从B地返回A地的过程中，y与x之间的函数关系式为y＝kx+b， 根据题意得：， 解得， 所以y＝﹣60x+180（1.5≤x≤3）； （2）∵当x时，y＝﹣60×1.8+180＝72， ∴骑电动车的速度为72÷1.8＝40（千米/时）， ∴乙从A地到B地用时为90÷40＝2.25（小时）＝135分钟． 答：乙从A地到B地用了135分钟． （3）根据题意得：90x﹣40x＝20或60（x﹣1.5）+40x＝90﹣20或60（x﹣1.5）+40x＝90+20， 解得x或x或x＝2， 答：经过时或时或2时，他们相距20千米． 2．为了减少二氧化碳的排放量，提倡绿色出行，越来越多市民选择租用共享单车出行，已知某共享单车公司为市民提供了手机支付（使用的前1小时免费）和会员卡支付两种支付方式，如图描述了两种方式应支付金额y（元）与骑行时间x（时）之间的函数关系，根据图象回答下列问题： （1）图中表示会员卡支付的收费方式是　②　 （填①或②）． （2）在图①中当x≥1时，求y与x的函数关系式． （3）陈老师经常骑行该公司的共享单车，请根据不同的骑行时间帮他确定选择哪种支付方式比较合算． 【考点】一次函数的应用；一元一次不等式的应用．版权所有 【分析】（1）根据题意结合图象解答即可； （2）当x≥1时，观察函数图象可得出点的坐标，利用待定系数法解答即可； （3）设会员卡支付对应的函数关系式为y＝ax，利用待定系数法可求出会员卡支付对应的函数关系式，令2x＝4x﹣4可求出两种支付费用相同时的时间，再结合函数图象可找出比较合算的付款方式． 【解答】解：（1）图中表示会员卡支付的收费方式是②． 故答案为：② （2）当x≥1时，设手机支付金额y（元）与骑行时间x（时）的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）， 将（1，0），（1.5，2）代入y＝kx+b，得：， 解得：， ∴当x≥1时，手机支付金额y（元）与骑行时间x（时）的函数关系式为y＝4x﹣4． （3）设会员卡支付对应的函数关系式为y＝ax， 将（1.5，3）代入y＝ax，得：3＝1.5a， 解得：a＝2， ∴会员卡支付对应的函数关系式为y＝2x． 令2x＝4x﹣4，解得：x＝2． 由图象可知，当0＜x＜2时，陈老师选择手机支付比较合算；当x＝2时，陈老师选择两种支付都一样；当x＞2时，陈老师选择会员卡支付比较合算． 3．为深入推进“健康沈阳”建设，倡导全民参与健身，我市举行“健康沈阳，重阳登高”活动，广大市民踊跃参加．甲乙两人同时登山，2分钟后乙开始提速，且提速后乙登高速度是甲登山速度的3倍，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题： （1）甲登山的速度是每分钟　10　 米，乙在A地提速时距地面的高度b为　30　 米，乙在距地面高度为300米时对应的时间t是　11　 分钟； （2）请分别求出线段AB、CD所对应的函数关系式（需写出自变量的取值范围）； （3）登山　3、10或13　 分时，甲、乙两人距地面的高度差为70米？ 【考点】一次函数的应用．版权所有 【分析】（1）根据函数图象中的数据和题意，可以求得甲的速度，b的值和t的值； （2）根据（1）中的结果和函数图象中的数据，可以分别求得线段AB、CD所对应的函数关系式并写出自变量的取值范围； （3）根据函数图象中的数据和题意，可以求得登上多长时间，甲、乙两人距地面的高度差为70米． 【解答】解：（1）由题意可得， 甲登山的速度是每分钟（300﹣100）÷20＝10（米）， 乙在A地提速时距地面的高度b＝（15÷1）×2＝30， 乙在距地面高度为300米时对应的时间t＝2+（300﹣30）÷（10×3）＝11， 故答案为：10，30，11； （2）由（1）可得，点A的坐标为（2，30），点B的坐标为（11，300）， 设线段AB对应的函数解析式为y＝kx+a， ， 解得， 即线段AB对应的函数解析式为y＝30x﹣30（2≤x≤11）； 设线段CD所对应的函数关系式是y＝mx+n， ∵点C的坐标为（0，100），点D的坐标为（20，300）， ∴， 解得， 即线段CD所对应的函数关系式是y＝10x+100（0≤x≤20）； （3）登山前2分钟，甲乙两人的最近距离是100+10×2﹣30＝90（米）， 当2≤x≤11时，|（30x﹣30）﹣（10x+100）|＝70， 解得x1＝3，x2＝10， 当11＜x≤20时，令10x+100＝300﹣70 解得x＝13， 由上可得， 登山3、10或13分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为70米， 故答案为：3、10或13． 4．从甲地到乙地，先是一段上坡路，然后是一段平路，小冲骑车从甲地出发，到达乙地后休息一段时间，然后原路返回甲地．假设小冲骑车在上坡、平路、下坡时分别保持匀速前进，已知小冲骑车上坡的速度比平路上的速度每小时少5km，下坡的速度比在平路上的速度每小时多5km，设小冲出发xh后，到达离乙地ykm的地方，图中的折线ABCDEF表示y与x之间的函数关系． （1）求小冲在平路上骑车的平均速度以及他在乙地的休息时间； （2）分别求线段AB、EF所对应的函数关系式； （3）从甲地到乙地经过丙地，如果小冲两次经过丙地的时间间隔为0.85h，求丙地与甲地之间的路程． 【考点】一次函数的应用．版权所有 【分析】（1）先计算出小明骑车上坡的速度，再根据骑车上坡的速度比平路上的速度每小时少5km求出小明平路上的速度；求出小明下坡的速度，平路上所用的时间，下坡所用的时间，那么小明在乙地休息的时间＝1h﹣小明上坡所用的时间0.2h﹣平路上所用的时间﹣下坡所用的时间； （2）根据上坡的速度为10km/h，下坡的速度为20km/h，所以线段AB所对应的函数关系式为：yAB＝6.5﹣10x，线段EF所对应的函数关系式为yEF＝4.5+20（x﹣0.9），即可解答； （3）设小明出发a小时第一次经过丙地，根据题意得到6.5﹣10a＝20（a+0.85）﹣13.5，求出a的值，即可解答． 【解答】解：（1）小冲骑车上坡的速度为：（6.5﹣4.5）÷0.2＝10（km/h）， 平路上的速度为：10+5＝15（km/h）； 下坡的速度为：15+5＝20（km/h）， 平路上所用的时间为：2×（4.5÷15）＝0.6h， 下坡所用的时间为：（6.5﹣4.5）÷20＝0.1h 所以小冲在乙地休息了：1﹣0.1﹣0.6﹣0.2＝0.1（h）； （2）由题意可知：上坡的速度为10km/h，下坡的速度为20km/h， 所以线段AB所对应的函数关系式为：y＝6.5﹣10x， 即yAB＝﹣10x+6.5（0≤x≤0.2）． 线段EF所对应的函数关系式为yEF＝4.5+20（x﹣0.9）． 即yEF＝20x﹣13.5（0.9≤x≤1）； （3）由题意可知：小冲第一次经过丙地在AB段，第二次经过丙地在EF段， 设小冲出发a小时第一次经过丙地，则小冲出发后（a+0.85）小时第二次经过丙地， 6.5﹣10a＝20（a+0.85）﹣13.5， 解得：a． 10＝1（千米）． 答：丙地与甲地之间的距离为1千米． 5．一辆慢车和一辆快车沿相同的路线由甲地到乙地匀速前进，甲、乙两地之间的路程为200km，他们离甲地的路程y（km）与慢车出发后的时间x（h）的函数图象如图所示． （1）慢车的平均速度是　40　 km/h； （2）分别求出表示快车、慢车所行驶的路程y（km）与时间x（h）的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） （3）求慢车出发后多长时间两车第一次相遇？ （4）快车到达乙地后，慢车距乙地还有多远？ 【考点】一次函数的应用．版权所有 【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以计算出慢车的速度； （2）根据函数图象中的数据，可以分别计算出快车、慢车所行驶的路程y（km）与时间x（h）的函数关系式； （3）根据（2）中的函数解析式，令它们的函数值相等，即可得到慢车出发后多长时间两车第一次相遇； （4）将x＝4代入慢车对应的函数解析式中，求出相应的函数值，然后用200减去此时的函数值，即可解答本题． 【解答】解：（1）由图象可得， 慢车的速度为：200÷5＝40（km/h）， 故答案为：40； （2）设慢车所行驶的路程y（km）与时间x（h）的函数关系式是y＝kx， 5k＝200，得k＝40， 即慢车所行驶的路程y（km）与时间x（h）的函数关系式是y＝40x； 设快车所行驶的路程y（km）与时间x（h）的函数关系式是y＝ax+b， ，解得， 即快车所行驶的路程y（km）与时间x（h）的函数关系式是y＝100x﹣200； （3）令40x＝100x﹣200， 解得x， 即慢车出发后时两车第一次相遇； （4）将x＝4代入y＝40x，得y＝160， 200﹣160＝40（km）， 答：快车到达乙地后，慢车距乙地还有40km． 6．我市全民健身中心面向学生推出假期游泳优惠活动，活动方案如下． 方案一：购买一张学生卡，每次游泳费用按六折优惠； 方案二：不购买学生卡，每次游泳费用按八折优惠． 设某学生假期游泳x（次），按照方案一所需费用为y1（元），且y1＝k1x+b；按照方案二所需费用为y2（元），且y2＝k2x．其函数图象如图所示． （1）求y1关于x的函数关系式，并直接写出单独购买一张学生卡的费用和购买学生卡后每次游泳的费用； （2）求打折前的每次游泳费用和k2的值； （3）八年级学生小明计划假期前往全民健身中心游泳8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由． 【考点】一次函数的应用．版权所有 【分析】（1）把点（0，30），（10，180）代入y1＝k1x+b，得到关于k1和b的二元一次方程组，求解即可； （2）根据方案一每次健身费用按六折优惠，可得打折前的每次健身费用，再根据方案二每次健身费用按八折优惠，求出k2的值； （3）将x＝8分别代入y1、y2关于x的函数解析式，比较即可． 【解答】解：（1）∵函数y1＝k1x+b的图象过点（0，30），（10，180）， ∴，解得， k1＝15表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡后每次健身费用为15元， b＝30表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡的费用为30元； （2）由题意可得，打折前的每次健身费用为15÷0.6＝25（元）， 则k2＝25×0.8＝20； （3）选择方案一所需费用更少．理由如下： 由题意可知，y1＝15x+30，y2＝20x． 当健身8次时， 选择方案一所需费用：y1＝15×8+30＝150（元）， 选择方案二所需费用：y2＝20×8＝160（元）， ∵150＜160， ∴选择方案一所需费用更少． 7．一辆货车从A地去B地，一辆轿车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，轿车的速度大于货车的速度．两辆车之间的距离为y（km）与货车行驶的时间为x（h）之间的函数关系如图所示． （1）两车行驶多长时间后相遇？ （2）轿车和货车的速度分别为　100km/h ，　80km/h ； （3）谁先到达目的地，早到了多长时间？ （4）求两车相距160km时货车行驶的时间． 【考点】一次函数的应用．版权所有 【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以直接写出两车行驶多长时间后相遇； （2）根据函数图象中的数据，可以计算出轿车和货车的速度； （3）根据函数图象和题意，可以得到谁先到达目的地，早到了多长时间； （4）根据函数图象中的数据和（2）中的结果，可以计算出两车相距160km时货车行驶的时间． 【解答】解：（1）由图象可得， 两车行驶1小时后相遇； （2）由图象可得， 轿车的速度为：180÷1.8＝100（km/h）， 货车的速度为：180÷1﹣100＝80（km/h）， 故答案为：100km/h，80km/h； （3）由题意可得， 轿车先到达目的地， 180÷80﹣1.8＝2.25﹣1.8＝0.45（小时）， 即轿车先到达目的地，早到了0.45小时； （4）设两车相距160km时货车行驶的时间为a小时， 相遇前：180﹣160＝（100+80）a， 解得a， 相遇后，80a＝160， 解得a＝2， 由上可得，两车相距160km时货车行驶的时间是小时或2小时． 8．甲乙两人沿相同的路线同时登山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分钟）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题： （1）甲距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为：y甲＝　10x+100　 ． （2）若乙提速后，乙的速度是甲登山速度的3倍，登山多长时间时，乙追上了甲？此时乙距A地的高度为多少米？ 【考点】一次函数的应用．版权所有 【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据，可以求得甲距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式； （2）根据题意和函数图象中的数据，可以计算出乙提速后，乙的速度是甲登山速度的3倍，登山多长时间时，乙追上了甲，此时乙距A地的高度为多少米． 【解答】解：（1）设甲距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为y甲＝kx+b， ∵点（0，100），（20，300）在函数y甲＝kx+b的图象上， ∴， 解得， 即甲距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为y甲＝10x+100， 故答案为：10x+100； （2）由图象可得， 甲的速度为：（300﹣100）÷20＝10（米/分）， ∵乙提速后，乙的速度是甲登山速度的3倍， ∴乙提速后的速度为30米/分， 设乙登山a分钟时追上甲， 则15÷1×2+30×（a﹣2）＝10a+100， 解得a＝6.5， 当a＝6.5时，乙距A地的高度为：30×（6.5﹣2）＝135（米）， 即乙提速后，乙的速度是甲登山速度的3倍，登山6.5分钟时，乙追上了甲，此时乙距A地的高度为135米． 9．某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备和一个个体车主或一个出租车公司其中的一家签定月租车合同，设汽车每月行驶x千米，应付给个体车主的月费用是y1元，应付给出租车公司的月租费用是y2元，y1、y2分别与x之间的函数关系图象如图，观察图象回答下列问题： （1）分别求y1、y2与x之间的函数关系式； （2）每月行驶的路程等于多少时，租两家的费用相同？ （3）如果这个单位估计每月行驶的路程为2400千米，那么这个单位租哪一家的车合算，并说明理由？ 【考点】一次函数的应用．版权所有 【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以求得y1、y2与x之间的函数关系式； （2）方法一：根据（1）中的函数解析式，可以得到每月行驶的路程等于多少时，租两家的费用相同； 方法二：根据函数图象中的数据，可以直接写出每月行驶的路程等于多少时，租两家的费用相同； （3）将x＝2400代入（1）中的函数解析式，求出相应的费用，然后比较大小，即可解答本题． 【解答】解：（1）设y1与x之间的函数关系式是y1＝kx， ∵点（1500，2000）在函数y1＝kx的图象上， ∴1500k＝2000， 解得k， 即y1与x之间的函数关系式是y1x； 设y2与x之间的函数关系式是y2＝ax+b， ∵点（0，1000），（1500，2000）在函数y2＝ax+b的图象上， ∴，解得， 即y2与x之间的函数关系式是y2x+1000； （2）方法一：令xx+1000， 解得x＝1500， 即每月行驶的路程等于1500km时，租两家的费用相同； 方法二：由图象可得， 每月行驶的路程等于1500km时，租两家的费用相同； （3）这个单位估计每月行驶的路程为2400千米，那么这个单位租出租车公司的车合算， 理由：当x＝2400时，y12400＝3200，y22400+1000＝2600， ∵3200＞2600， ∴这个单位估计每月行驶的路程为2400千米，那么这个单位租出租车公司的车合算． 10．甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段OA表示货车离甲地的距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系；折线BCD表示轿车离甲地的距离y（千米）与时间x（时）之间的函数关系，请根据图象解答下列问题： （1）轿车到达乙地时，求货车与甲地的距离； （2）求线段CD对应的函数表达式； （3）在轿车行进过程，轿车行驶多少时间，两车相距15千米． 【考点】一次函数的应用．版权所有 【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以得到货车的速度和轿车到达乙地的时间，然后即可计算出轿车到达乙地时，货车与甲地的距离； （2）根据函数图象中的数据，可以得到线段CD对应的函数表达式； （3）根据题意和函数图象中的数据，可以计算出在轿车行进过程，轿车行驶多少时间，两车相距15千米． 【解答】解：（1）由图象可得， 货车的速度为300÷5＝60（千米/小时）， 则轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是60×4.5＝270（千米）， 即轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是270千米； （2）设线段CD对应的函数表达式是y＝kx+b， ∵点C（2.5，80），点D（4.5，300）， ∴， 解得， 即线段CD对应的函数表达式是y＝110x﹣195（2.5≤x≤4.5）； （3）当x＝2.5时，两车之间的距离为：60×2.5﹣80＝70， ∵70＞15， ∴在轿车行进过程，两车相距15千米时间是在2.5～4.5之间， 由图象可得，线段OA对应的函数解析式为y＝60x， 则|60x﹣（110x﹣195）|＝15， 解得x1＝3.6，x2＝4.2， ∵轿车比货车晚出发1.5小时，3.6﹣1.5＝2.1（小时），4.2﹣1.5＝2.7（小时）， ∴在轿车行进过程，轿车行驶2.1小时或2.7小时，两车相距15千米， 答：在轿车行进过程，轿车行驶2.1小时或2.7小时，两车相距15千米． 11．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（km）与甲车行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示，根据图象提供的信息，解决下列问题： （1）A，B两城相距　300　 千米； （2）求乙车出发后几小时追上甲车； （3）求甲车出发几小时的时候，甲、乙两车相距50千米？ 【考点】一次函数的应用．版权所有 【分析】（1）根据函数图象可以解答本题； （2）根据图象中的信息分别求出甲乙两车对应的函数解析式，然后令它们相等即可解答本题； （3）根据（2）中的函数解析式，可知它们相遇前和相遇后两种情况相距50千米，从而可以解答本题． 【解答】解：（1）由图可知， A、B两城相距300千米； 故答案为：300； （2）设甲对应的函数解析式为：y＝kx， 300＝5k 解得，k＝60， 即甲对应的函数解析式为：y＝60x， 设乙对应的函数解析式为y＝mx+n， ， 解得， 即乙对应的函数解析式为y＝100x﹣100， 令60x＝100x﹣100，解得x＝2.5， 2.5﹣1＝1.5（小时）， 即乙车出发后1.5小时追上甲车； （3）由题意可得， 当乙出发前甲、乙两车相距50千米，则50＝60x，得x， 当乙出发后到乙到达终点的过程中，则60x﹣（100x﹣100）＝±50， 解得，x＝1.25或x＝3.75， 当乙到达终点后甲、乙两车相距50千米，则300﹣50＝60x，得x， 即小时、1.25小时、3.75小时、小时时，甲、乙两车相距50千米． 12．某小区美化工程中，在一段柏油路两侧铺设彩色方砖，施工队分成甲，乙两组分别在道路两侧施工，乙组比甲组晚施工一段时间．如图是甲，乙两组各自铺设的长度y（米）与甲组施工时间x（小时）之间的函数图象．根据图中信息，解答下列问题： （1）点C的坐标为　（1，0）　 ； （2）求线段AB的解析式，并写出自变量x的取值范围， （3）当乙组铺设完成时，甲组还剩下多少米未铺完． 【考点】一次函数的应用．版权所有 【分析】（1）根据题目中的数据，可以求得乙的速度，然后即可得到乙施工200米需要的时间，从而可以得到点C的坐标； （2）根据（1）中的结果，可以得到点A的坐标，然后即可求得线段AB的解析式，并写出自变量x的取值范围， （3）根据（2）中的结果，将x＝5代入函数解析式，求出相应的y的值，然后再用200减去求出的y的值，即可解答本题． 【解答】解：（1）由图象可得， 乙组的速度为：（200﹣50）÷（5﹣2）＝50（米/小时）， 则乙组施工200米用的时间为：200÷50＝4（小时）， ∴点C的横坐标为：5﹣4＝1， ∴点C的坐标为（1，0）， 故答案为：（1，0）； （2）∵点C的坐标为（1，0）， ∴点A的坐标为（1，50）， 设线段AB的解析式为y＝kx+b， ∵线段AB过点A（1，50），点B（5.5，200）， ∴， 解得，， 即线段AB的解析式为yx（1≤x≤5.5）； （3）当x＝5时，y5， 200（米）， 即当乙组铺设完成时，甲组还剩下米未铺完． 13．暑假期间，甲、乙两队举行了一场跑步比赛，两队在比赛时的路程S（米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图所示（如图中横轴上的数字对应为0、2.2、3.8、4）．请你根据图象，回答下列问题： （1）这次比赛的全程是　1000　 米，　乙　 队先到达终点； （2）求乙与甲相遇时乙的速度； （3）求出在乙队与甲相遇之前，他们何时相距100米？ 【考点】一次函数的应用．版权所有 【分析】（1）根据函数图象，可以得到这次比赛的全程和哪个队先到达终点； （2）根据函数图象中的数据，可以计算出乙与甲相遇时乙的速度； （3）根据函数图象中的数据，可以计算出在乙队与甲相遇之前，他们何时相距100米． 【解答】解：（1）由图象可得， 这次比赛的全程是1000米，乙队先到达终点， 故答案为：1000，乙； （2）由图可知， 乙与甲相遇时乙的速度为：（1000﹣400）÷（3.8﹣2.2）＝600÷1.6＝375（米/分钟）， 即乙与甲相遇时乙的速度是375米/分钟； （3）在乙队与甲相遇之前，设他们a时相距100米， 当0＜t≤2.2时，乙的速度为：400÷2.2（米/分钟），甲的速度为：1000÷4＝250（米/分钟）， （250）a＝100， 解得，a， 当2.2＜t＜x时，乙的速度为：375米/分钟，甲的速度为250米/分钟， 250a﹣400﹣375（a﹣2.2）＝100， 解得，a， 由上可得，在乙队与甲相遇之前，他们时或时相距100米． 14．随着新冠肺炎疫情在全球范围内的爆发，人们对口罩的需求呈爆发式增长，某医药公司每月固定生产甲、乙两种型号的医用口罩共20万只，且所有产品当月全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成（公司实行计件工资制，即工人每生产一只口罩获得一定金额的提成）如表： 型号 价格（元/只） 种类 甲 乙 原料成本 12 8 销售单价 18 12 生产提成 1 0.8 （1）若该公司四月份的销售收入为300万元，求甲、乙两种型号的口罩分别是多少万只？ （2）根据之前的销售情况，公司五月份投入总成本（投入总成本＝原料总成本+生产提成总额）不超过239万元，设生产甲型号的口罩x万只，销售这两种口罩的总利润（利润＝销售收入﹣投入总成本）为y万元，求出y与x之间的函数关系式，并求五月份该公司最多获得总利润多少万元． 【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．版权所有 【分析】（1）根据题意，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得甲、乙两种型号的口罩分别是多少万只； （2）根据题意和表格中的数据，可以写出y与x之间的函数关系式，再根据公司五月份投入总成本（投入总成本＝原料总成本+生产提成总额）不超过239万元，可以得到x的取值范围，最后根据一次函数的性质，即可得到五月份该公司最多获得总利润多少万元． 【解答】解：（1）设甲、乙两种型号的口罩分别是a万只，b万只， ， 解得，， 答：甲、乙两种型号的口罩分别是10万只，10万只； （2）设生产甲型号的口罩x万只，则生产乙型号的口罩（20﹣x）万只， 则y＝（18﹣12﹣1）x+（12﹣8﹣0.8）（20﹣x）＝1.8x+64， ∵公司五月份投入总成本（投入总成本＝原料总成本+生产提成总额）不超过239万元， ∴（12+1）x+（8+0.8）（20﹣x）≤239， 解得，x≤15， ∵y＝1.8x+64，k＝1.8， ∴y随x的增大而增大， ∴当x＝15时，y取得最大值，此时y＝91， 答：y与x之间的函数关系式是y＝1.8x+64，五月份该公司最多获得总利润91万元． 15．2020年4月20日，国家主席习近平在陕西柞水县考查，点赞当地特产﹣柞水木耳，称赞到“小木耳、大产业”，要将其发展成“帮助群众脱贫致富、推动乡村振兴”的特色产业．王师傅在政府的扶持下种植了A、B两个品种的木耳共3亩，两种木耳的成本（包括种植成本和设备成本）和售价如表： 品种 种植成本（万元/亩） 售价（万元/亩） 设备成本（万元/亩） A 1.5 3.5 0.2 B 2 4.3 0.3 设种植A品种木耳x亩，若3亩地全部种植两种木耳共获得利润y万元．（利润＝售价﹣种植成本﹣设备成本） （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若A品种木耳的种植亩数不少于B品种木耳种植亩数的1.5倍，则种植A品种木耳种植多少亩时利润最大？并求最大利润． 【考点】一次函数的应用；一元一次不等式的应用．版权所有 【分析】（1）根据题意，可以写出y与x的函数关系式； （2）根据A品种木耳的种植亩数不少于B品种木耳种植亩数的1.5倍，可以求得x的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到种植A品种木耳种植多少亩时利润最大，并求出此时的最大利润． 【解答】解：（1）由题意可得， y＝（3.5﹣1.5﹣0.2）x+（4.3﹣2﹣0.3）×（3﹣x）＝﹣0.2x+6， 即y与x的函数关系式为y＝﹣0.2x+6； （2）∵A品种木耳的种植亩数不少于B品种木耳种植亩数的1.5倍， ∴x≥1.5（3﹣x）， 解得，x≥1.8， ∵y＝﹣0.2x+6，k＝﹣0.2， ∴y随x的增大而减小， ∴当x＝1.8时，y取得最大值，此时y＝5.64， 答：种植A品种木耳种植1.8亩时利润最大，最大利润是5.64万元． 16．A城有化肥200吨，B城有化肥300吨，现要把化肥运往牛家、红旗两农村，如果从A城运往牛家村、红旗村运费分别是20元/吨与30元/吨，从B城运往牛家村、红旗村运费分别是15元/吨与22元/吨，现已知牛家村需要220吨化肥，红旗村需要280吨化肥． （1）如果设从A城运往牛家村x吨化肥，求此时所需的总运费y（元）与x（吨）之间的函数关系式（直接写出自变量x的取值范围）． （2）如果你承包了这项运输任务，算一算怎样调运花钱最少，并求出最少运费． 【考点】一次函数的应用．版权所有 【分析】（1）设从A城运往牛家村x吨化肥，用含x的代数式分别表示出从A运往运往红旗村的肥料吨数，从B城运往牛家村化肥吨数，及从B城运往红旗村化肥吨数，然后根据：运费＝运输吨数×运输费用，即可得到所需的总运费y（元）与x（吨）之间的函数关系式； （2）根据（1）中的函数关系式和一次函数的性质，可以得到怎样调运花钱最少，然后再求出最少运费即可． 【解答】解：（1）∵从A城运往牛家村 x 吨化肥， ∴从A城运往红旗村（200﹣x）吨化肥， 从B城运往牛家村化肥（220﹣x）吨，则从B城运往红旗村280﹣（200﹣x）＝（80+x）吨， ∴y＝20x+30（200﹣x）+15（220﹣x）+22（80+x）＝﹣3x+11060（0≤x≤200）； （2）由于y＝﹣3x+11060是一次函数，k＝﹣3＜0， ∴y随x的增大而减小． ∵x≤200， ∴当x＝200时，运费最少，最少运费是10460元， ∴当从A城运往牛家村200吨，从B城运往牛家村肥料20吨，从B城运往红旗村280吨时总运费最少，最少运费是10460元， 答：从A城运往牛家村200吨，从B城运往牛家村肥料20吨，从B城运往红旗村280吨时总运费最少，最少运费是10460元． 17．为了响应国家”精准扶贫”政策，甲城有化肥200吨，乙城有化肥300吨，现要把化肥运往C和D两乡进行扶贫，从甲城运往C和D两乡的运费分别是20元/吨与25元/吨；从乙城运往C和D两乡的运费分别为15元/吨和24元/吨，现已知C乡需要240吨，D乡需要260吨，如果某个个体户承包了这项运输任务，请你帮他算一算，怎样调运运费最少？ （1）若甲城运往C乡化肥x吨，请写出将化肥运往C、D两乡的总运费y（元）与x（吨）的函数关系式． （2）求自变量x的取值范围． （3）当甲、乙两城各运往C、D两乡多少吨化肥时，总运费最省，最省的总运费是多少？ 【考点】一次函数的应用．版权所有 【分析】（1）根据题意用x表示出甲城运往D乡、乙城运往C、D乡化肥的数量，根据题意列出关系式； （2）根据实际意义求出自变量x的取值范围； （3）根据一次函数的性质解答即可． 【解答】解：（1）由题意得，甲城运往C乡化肥x吨，则甲城运往D乡化肥（200﹣x）吨，乙城运往C乡化肥（240﹣x）吨，乙城运往D乡化肥（60+x）吨， ∴y＝20x+25（200﹣x）+15（240﹣x）+24（60+x） ＝4x+10040， 则总运费y（元）与x（吨）的函数关系式为y＝4x+10040； （2）， 解得，0≤x≤200； （3）对于y＝4x+10040，y随x的增大而增大， ∴当x＝0时，y最小， 此时，甲城运往C乡化肥0吨，则甲城运往D乡化肥200吨，乙城运往C乡化肥240吨，乙城运往D乡化肥60吨． 18．已知A、B两地之间有一条270千米的公路，甲、乙两车同时出发，甲车以60千米/时的速度沿此公路从A地匀速开往B地，乙车从B地沿此公路匀速开往A地，两车分别到达目的地后停止．甲、乙两车之间的距离y（千米）与甲车的行驶时间x（时）之间的函数关系如图所示． （1）乙车的速度为　75　 千米/时； （2）求甲、乙两车相遇后y与x之间的函数关系式； （3）当甲车到达距B地90千米处时，求甲、乙两车之间的路程． 【考点】一次函数的应用．版权所有 【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据，可以求得乙车的速度； （2）根据图象中的数据，可以计算出a、b的值和当x＝a对应的y的值，然后即可求得甲、乙两车相遇后y与x之间的函数关系式； （3）根据题意和（2）中的函数解析式，可以得到当甲车到达距B地90千米处时，甲、乙两车之间的路程． 【解答】解：（1）由图可得， 乙车的速度为：270÷2﹣60＝75（千米/时）， 故答案为：75； （2）a＝270÷75＝3.6， 故当a＝3.6时，两车之间的距离为：60×3.6＝216（千米）， b＝270÷60＝4.5， 当2＜x≤3.6时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b， ， 解得，， 即当2＜x≤3.6时，y与x之间的函数关系式为y＝135x﹣270； 当3.6＜x≤4.5时，设y与x之间的函数关系式为y＝mx+n， ， 解得，， 即当3.6＜x≤4.5时，y与x之间的函数关系式为y＝60x； 由上可得，甲、乙两车相遇后，y与x之间的函数关系式为y； （3）∵甲车到达距B地90千米处时，x3， ∴将x＝3代入y＝135x﹣270，得 y＝135×3﹣270＝135， 即当甲车到达距B地90千米处时，甲、乙两车之间的路程是135千米． 一次函数动点问题： 19．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx过点A（6，m），过点A作x轴的垂线，垂足为点B，过点A作y轴的垂线，垂足为点C．∠AOB＝60°，CD⊥OA于点D．动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，动点Q从点A出发．以每秒个单位长度的速度向点B运动．点P，Q同时开始运动，当点P到达点A时，点P，Q同时停止运动，设运动时间为t（s），且t＞0． （1）求m与k的值； （2）当点P运动到点D时，求t的值； （3）连接DQ，点E为DQ的中点，连接PE，当PE⊥DQ时，请直接写出点P的坐标． 【考点】一次函数综合题．版权所有 【分析】（1）根据直角三角形含30°角的性质可得AB的长，即m＝6，从而知点A的坐标，代入y＝kx中可得k的值； （2）根据直角三角形含30°角的性质可得OD的长，即OP＝9，根据点P的运动速度可得t的值； （3）存在两种情况：如图2和图3，连接PQ，过点P作PF⊥AB于F，分别表示PQ，PF，FQ的长，根据勾股定理列方程可得结论． 【解答】解：（1）∵AB⊥OB， ∴∠ABO＝90°， ∵∠AOB＝60°， ∴∠BAO＝30°， ∵A（6，m）， ∴OB＝6，AB＝m， ∴OA＝2OB＝12，AB＝6， ∴m＝6，即A（6，6）， ∵直线y＝kx过点A（6，6）， ∴6k＝6， ∴k； （2）如图1，∵AB∥y轴， ∴∠COD＝∠BAO＝30°， ∵CD⊥OA， ∴∠CDO＝90°， ∵OC＝AB＝6， ∴CDOC＝3，ODCD＝9， 当点P运动到点D时，OP＝OD＝9， ∴t； （3）如图2，连接PQ，过点P作PF⊥AB于F， 由题意得：OP＝2t，AQt， Rt△ACD中，∠ACD＝30°，AC＝6， ∴AD＝3， ∴PD＝OA﹣AD﹣OP＝12﹣2t﹣3＝9﹣2t， ∵E是DQ的中点，PE⊥DQ， ∴PQ＝PD＝9﹣2t， Rt△APF中，∠BAO＝30°， ∴PFAP6﹣t， ∵AQt，BFt， ∴FQ＝AB﹣AQ﹣BF＝6tt＝62t， Rt△PQF中，由勾股定理得：PQ2＝FQ2+PF2， ∴（9﹣2t）2＝（62t）2+（6﹣t）2， 解得：t1＝3（如图3，此时F与Q重合），t2， 如图4，过点P作PM⊥x轴于点M， Rt△OPM中，∠POM＝30°， ∴OMOP＝t，PMt； ∴P（3，3）或（，）． 一次函数翻折问题： 20．长方形OABC是一张放在平面直角坐标系中的纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA＝10，OC＝6． （1）如图，在AB上取一点M，使得△CBM沿CM翻折后，点B落在x轴上，记作B′点，求B′点的坐标． （2）求折痕CM所在直线的解析式． （3）在x轴上是否能找到一点P，使△B′CP的面积为13？若存在，直接写出点P的坐标？若不存在，请说明理由． 【考点】一次函数综合题．版权所有 【分析】（1）折叠的性质得到CB′＝CB＝10，B′M＝BM，在Rt△OCB′中，利用勾股定理易得OB′＝8，即可得到B′点的坐标； （2）设AM＝t，则BM＝B′M＝6﹣t，而AB′＝OA﹣OB′＝2，在Rt△AB′M中，利用勾股定理求出t的值，确定M点的坐标，然后利用待定系数法求直线CM的解析式即可； （3）由△B′CP的面积PB′×OC|x﹣8|×6＝13，即可求解． 【解答】解：（1）∵四边形ABCO为矩形， ∴CB＝OA＝10，AB＝OC＝6， ∵△CBM沿CM翻折后，点B落在x轴上，记作B′点， ∴CB′＝CB＝10，B′M＝BM， 在Rt△OCB′中，OC＝6，CB′＝10， ∴OB′＝8， ∴B′点的坐标为（8，0）； （2）设AM＝t，则BM＝B′M＝6﹣t， 而AB′＝OA﹣OB′＝2， 在Rt△AB′M中，B′M2＝B′A2+AM2， 即（6﹣t）2＝22+t2， 解得t， ∴M点的坐标为（10，）， 设直线CM的解析式为y＝kx+b， 把C（0，6）和M（10，）代入得，，解得， ∴直线CM的解析式为yx+6； （3）存在，理由： 设点P的坐标为（x，0）， 则△B′CP的面积PB′×OC|x﹣8|×6＝13， 解得x或， 故点P的坐标为（，0）或（，0）． 一次函数与矩形： 21．如图①，在矩形OACB中，点A、B分别在x轴、y轴正半轴上，点C在第一象限，OA＝8，OB＝6． （1）请直接写出点C的坐标； （2）如图②，点F在BC上，连接AF，把△ACF沿着AF折叠，点C刚好与线段AB上一点C'重合，求线段CF的长度； （3）如图③，动点P（x，y）在第一象限，且y＝2x﹣6，点D在线段AC上，是否存在直角顶点为P的等腰直角△BDP，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点】一次函数综合题．版权所有 【分析】（1）由矩形的性质可得BC＝OA＝8，AC＝OB＝6，AC∥OB，BC∥OA，即可求解； （2）由折叠的性质的可得AC＝AC'＝6，CF＝C'F，∠C＝∠AC'F＝90°，由勾股定理可求CF的长； （3）分两种情况讨论，利用全等三角形的性质可求PF＝BE，EP＝DF，即可求解． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴BC＝OA＝8，AC＝OB＝6，AC∥OB，BC∥OA， ∴点C的坐标（8，6）； （2）∵BC＝8，AC＝6， ∴AB10， ∵把△ACF沿着AF折叠，点C刚好与线段AB上一点C'重合， ∴AC＝AC'＝6，CF＝C'F，∠C＝∠AC'F＝90°， ∴BC'＝AB﹣AC'＝4， ∵BF2＝C'F2+C'B2， ∴（8﹣CF）2＝CF2+16， ∴CF＝3； （3）设点P（a，2a﹣6）， 当点P在BC下方时，如图③，过点P作EF∥BC，交y轴于E，交AC于F， ∵△BPD是等腰直角三角形， ∴BP＝PD，∠BPD＝90°， ∴EF∥BC， ∴∠BEP＝∠BOA＝90°，∠PFD＝∠CAO＝90°， ∴∠BPE+∠DPF＝∠DPF+∠PDF， ∴∠BPE＝∠PDF， ∴△BPE≌△PDF（AAS）， ∴PF＝BE＝6﹣（2a﹣6）＝12﹣2a，EP＝DF， ∵EF＝EP+PF＝a+12﹣2a＝8， ∴a＝4， ∴点P（4，2）； 当点P在BC的上方时，如图④，过点P作EF∥BC，交y轴于E，交AC的延长线于F， 同理可证△BPE≌△PDF， ∴BE＝PF＝2a﹣6﹣6＝2a﹣12， ∵EF＝EP+PF＝a+2a﹣12＝8， ∴a， ∴点P（，）， 综上所述：点P坐标为（4，2）或（，）． 一次函数与三角形： 22．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C（2，m）为直线y＝x+2上一点，直线yx+b过点C． （1）求m和b的值； （2）直线yx+b与x轴交于点D，动点P在线段DA上从点D开始以每秒1个单位的速度向A点运动．设点P的运动时间为t秒． ①当CP＝5，求t的值； ②是否存在t的值，使△ACP为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【考点】一次函数综合题．版权所有 【分析】（1）把点C（2，m）代入直线y＝x+2中得：m＝2+2＝4，则点C（2，4），直线yx+b过点C，可求b＝5； （2）①过点C作CH⊥AD于H，由勾股定理可求HP＝3，即可求解； ②分AC＝PC、AP＝CP、AC＝AP三种情况，分别求解即可． 【解答】解：（1）把点C（2，m）代入直线y＝x+2中得：m＝2+2＝4， ∴点C（2，4）， ∵直线yx+b过点C， ∴42+b， 解得：b＝5； （2）①如图，过点C作CH⊥AD于H， ∴CH＝4， ∵CP＝5， ∴HP3， ∵点H（2，0）， ∴点P（5，0）或（﹣1，0）， ∵直线yx+5与x轴交于点D， ∴点D（10，0）， ∴PD＝5或11， ∴t＝5或11； ②设点P（10﹣t，0），点A、C的坐标为：（﹣2，0）、（2，4）， 当AC＝PC时，则点C在AP的中垂线上，即2+2＝10﹣t﹣2， 解得：t＝4； 当AP＝CP时，则点P在点C的正下方，故2＝10﹣t， 解得：t＝8； 当AC＝AP时， 同理可得：t＝12﹣4， 综上所述：当t＝4秒或（12﹣4）秒或8秒时，△ACP为等腰三角形． 23．如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴、y轴分别交于点A，B（0，6），与直线y＝﹣x+3交于点C（﹣1，4），直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点D、E，连接AE．在直线l上有一动点P． （1）求直线l的解析式； （2）若S△PCES△ACE，求满足条件的点P坐标； （3）在直线y＝﹣x+3上是否存在点Q，使△BEQ为等腰三角形，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点】一次函数综合题．版权所有 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）当点P在直线CD的上方时，过点A作直线k∥CD交y轴于点H，作直线m∥CD交y轴于点M，S△PCES△ACE，则直线m与直线CD之间的距离和直线k与直线CD之间的距离为3：2，则MEEH，即可求解；当点P在直线CD的下方时，同理可解； （3）分BQ＝BE、BQ＝EQ、BE＝QE三种情况，分别求解即可． 【解答】解：（1）直线l过点B，则设直线l的表达式为y＝kx+6， 将点C的坐标代入上式得：4＝﹣k+6，解得k＝2， 故直线l的表达式为y＝2x+6①； （2）对于y＝2x+6，令y＝2x+6＝0，解得x＝﹣3，故点A（﹣3，0）， 对于y＝﹣x+3，令x＝0，则y＝3，故点E（0，3）， ①当点P在直线CD的上方时， 过点A作直线k∥CD交y轴于点H，作直线m∥CD交y轴于点M， ∵S△PCES△ACE，则直线m与直线CD之间的距离和直线k与直线CD之间的距离为3：2， 则MEEH， ∵直线k∥CD，设直线k的表达式为y＝﹣x+b，将点A的坐标代入上式得：0＝3+b，解得b＝﹣3， 故点H（0，﹣3）， ∵MEEH（3+3）＝9， 故点M的坐标为（0，12）， 同理可得，直线m的表达式为y＝﹣x+12②， 联立①②并解得， 故点P（2，10）； ②当点P在直线CD的下方时， 同理可得，点P（﹣4，﹣2）； 综上，点P的坐标为（2，10）或（﹣4，﹣2）； （3）存在，理由： 设点Q（m，3﹣m）， 由点B、E、Q的坐标得：BQ2＝m2+（3﹣m﹣6）2，BE2＝9，QE2＝2m2， 当BQ＝BE时，即m2+（3﹣m﹣6）2＝9，解得m＝0（舍去）﹣3； 当BQ＝EQ时，同理可得：m； 当BE＝QE时，同理可得：m＝±； 综上，点Q的坐标为（，3）或（，3）或（，）或（﹣3，6）． 24．如图，直线yx+3与坐标轴分别交于点A，B，与直线y＝x交于点C，线段OA上的点Q以每秒1个长度单位的速度从点O出发向点A做匀速运动，运动时间为t秒，连接CQ． （1）点C的坐标为 　（2，2）　 ； （2）若CQ将△AOC分成1：2两部分时，t的值为 　2或4　 ； （3）若S△ACQ：S四边形CQOB＝1：2时，求直线CQ对应的函数关系式． 【考点】一次函数综合题．版权所有 【分析】（1）由题意得：，解得，即可求解； （2）CQ将△AOC分成1：2两部分时，则OQOA或OA，即OQ＝2或4，即可求解； （3）若S△ACQ：S四边形CQOB＝1：2时，则若S△ACQ：S△OAB＝1：3，即（AQ×yC）：（OA•OB）＝1：3，进而求解． 【解答】解：（1）由题意得：，解得， 故点C的坐标为（2，2）， 故答案为（2，2）； （2）对于yx+3，令yx+3＝0，解得x＝6，令x＝0，则y＝3， 故点A（6，0），点B（0，3），则OA＝6，OB＝3， ∵CQ将△AOC分成1：2两部分时， 则OQOA或OA，即OQ＝2或4， 即t＝2或4， 故答案为2或4； （3）若S△ACQ：S四边形CQOB＝1：2时，则若S△ACQ：S△OAB＝1：3， 即（AQ×yC）：（OA•OB）＝1：3， 则（AQ×2）：（6×3）＝1：3，解得：AQ＝3， 故点Q（3，0）， 设直线CQ的表达式为y＝kx+b，则，解得， 故直线CQ的表达式为y＝﹣2x+6． 一次函数与正方形： 25．如图，正方形ABCD的顶点A、B落在x轴正半轴上，点C落在正比例函数y＝kx（k＞0）上，点D落在直线y＝2x上，且点D的横坐标为a． （1）直接写出A、B、C、D各点的坐标（用含a的代数式表示）； （2）求出k的值； （3）将直线OC绕点O旋转，旋转后的直线将正方形ABCD的面积分成1：3两个部分，求旋转后得到的新直线解析式． 【考点】一次函数综合题．版权所有 【分析】（1）点D的横坐标为a，则点D（a，2a），则AB＝AD＝2a，进而求解； （2）将点C的坐标代入y＝kx得，2a＝3ak，即可求解； （3）设AF＝m，则点F（a，m），则直线AF的表达式为yx，当y＝2a时，yx＝2a，解得x，故点E（，2a），由题意得：S△DEFS正方形ABCD（2a）2＝a2，求出m＝3a±a，第二种情况，旋转后直线OC和线段BC相交，同理可得yxx．即可求解． 【解答】解：（1）点D的横坐标为a，则点D（a，2a）， 则AB＝AD＝2a，则点A、B、C的坐标分别为（a，0）、（3a，0）、（3a，2a）， 故点A、B、C、D的坐标分别为（a，0）、（3a，0）、（3a，2a）、（a，2a）； （2）将点C的坐标代入y＝kx得，2a＝3ak， 解得k； （3）设AF＝m，则点F（a，m），设直线OC旋转后交AD于点F，交CD于点E， 则直线OF的表达式为yx， 当y＝2a时，yx＝2a，解得x，故点E（，2a）， 由题意得：S△DEFS正方形ABCD（2a）2＝a2， 即DE•EF（2a﹣m）×（a）＝a2， 解得m1＝3aa，m2＝3aa， 则y＝（3±）x 第二种情况，旋转后直线OC和线段BC相交，同理可得k． 则函数的表达式为y＝（3）x或yx． 一次函数动点问题： 26．如图，已知直线l的函数表达式为yx+8，且l与x轴，y轴分别交于A，B两点，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，同时动点P从A点开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，设点P、Q移动的时间为t秒． （1）A点坐标为　（6，0）　 ，B点坐标为　（0，8）　 ． （2）当t为　或　 时，△APQ是直角三角形．当t为　　 时，△APQ是以AP为底的等腰三角形． （3）当t为何值时，△APQ的面积是△ABO面积的？ 【考点】一次函数综合题．版权所有 【分析】（1）对于yx+8，令yx+8＝0，解得x＝6，令x＝0，则y＝8，即可求解； （2）利用△BQN∽△QMA∽△BOA，求出Q，P的坐标分别是（t，），（6﹣t，0）；①当PAQ为直角三角形时，分∠QPA为直角、∠PQA为直角了两种情况分别求解即可；②当△APQ是以AP为底的等腰三角形，则点Q在AP的中垂线上，进而求解； （3）△APQ的面积，△AOB的面积，则，即可求解． 【解答】解：（1）对于yx+8，令yx+8＝0，解得x＝6，令x＝0，则y＝8， 故点A、B的坐标分别为：（6，0）、（0，8）， 故答案为：（6，0）、（0，8）； （2）过Q点分别向x轴，y轴引垂线，垂足分别是M，N， ∴NQ∥OA，QM∥OB， ∴△BNQ∽△QMA∽△BOA， 设Q（x，y） ∴BQ＝2t，AP＝t 而△BQN∽△QMA∽△BOA， ∴，， ∴，， 即x，y（10﹣2t）， Q，P的坐标分别是（t，），（6﹣t，0）； ①当PAQ为直角三角形时， 当∠QPA为直角时，则xP＝xQ，即t＝6﹣t，解得t； 当∠PQA为直角时，在Rt△APQ中，cos∠QAP，解得t， 故答案为或； ②当△APQ是以AP为底的等腰三角形，则点Q在AP的中垂线上， 即xQ（xP+xA），则（6﹣t+6），解得t， 故答案为； （3）∵△APQ的面积，△AOB的面积， ∴，解得t1＝2，t2＝3， 当t1＝2秒或t2＝3秒时，△APQ的面积是△ABO面积的． 一次函数与矩形： 27．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A、C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为（4，2）．E为AB的中点，过点D（6，0）和点E的直线分别与BC、y轴交于点F、G． （1）求直线DE的函数关系式； （2）函数y＝mx﹣1的图象经过点F且与x轴交于点H，求出点F的坐标和m值； （3）在（2）的条件下，求出四边形OHFG的面积． 【考点】一次函数综合题．版权所有 【分析】（1）由顶点B的坐标为（4，2），E为AB的中点，可求得点E的坐标，又由过点D（6，0），利用待定系数法即可求得直线DE的函数关系式； （2）由（1）可求得点F的坐标，又由函数y＝mx﹣1的图象经过点F，利用待定系数法即可求得m值； （3）四边形OHFG的面积＝S△GKF﹣S△OHK4×21． 【解答】解：（1）设直线DE的解析式为：y＝kx+b， ∵顶点B的坐标为（4，2），E为AB的中点， ∴点E的坐标为：（4，1）， ∵D（6，0）， 则，解得， ∴直线DE的函数关系式为：yx+3； （2）∵点F的纵坐标为2，且点F在直线DE上， ∴x+3＝2， 解得：x＝2， ∴点F的坐标为（2，2）； ∵函数y＝mx﹣1的图象经过点F， ∴2m﹣1＝2， 解得：m； （3）如图：设直线FH交y轴于点K， 对于yx﹣1， 当y＝0时，x﹣1＝0，解得x，即H（，0）， 令x＝0，则y＝﹣1，则点K（0，﹣1）； 同理可得，点G（0，3），则KG＝4， 四边形OHFG的面积＝S△GKF﹣S△OHK4×21． 综合题： 28．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的另一条直线交x轴正半轴于点C，且OC＝3． （1）求直线BC的解析式； （2）如图1，若M为线段BC上一点，且满足S△AMB＝S△AOB，请求出点M的坐标； （3）如图2，设点F为线段AB中点，点G为y轴上一动点，连接FG，以FG为边向FG右侧作正方形FGQP，在G点的运动过程中，当顶点Q落在直线BC上时，求点G的坐标． 【考点】一次函数综合题．版权所有 【分析】（1）利用三角形的面积公式求出点C坐标，再利用待定系数法即可解决问题； （2）利用三角形的面积公式即可求解； （3）分两种情形：当n＞2时，点Q落在BC上时，过G作直线平行于x轴，过点F，Q作该直线的垂线，垂足分别为M，N．求出Q（n﹣2，n﹣1）；当n＜2时，同法可得Q（2﹣n，n+1），利用待定系数法即可解决问题． 【解答】解：（1）∵直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴A（﹣2，0），B（0，4）， ∴OA＝2，OB＝4， ∵OC＝3，则C（3，0）， 设直线BC的解析式为y＝kx+b，则有，解得， ∴直线BC的解析式为yx+4； （2）设M（m，m+4）， ∵S△AMB＝S△AOB， ∴S△ABC﹣S△AMC＝S△AOB， ∴5×45×（m+4）2×4， ∴m， ∴M（，）； （3）∵FA＝FB，A（﹣2，0），B（0，4）， ∴F（﹣1，2），设G（0，n）， ①当n＞2时，如图1，点Q落在BC上时，过G作直线平行于x轴，过点F，Q作该直线的垂线，垂足分别为M，N． ∵四边形FGQP是正方形， ∴∠MGF+∠NGQ＝90°，∠NGQ+∠NQG＝90°， ∴∠MGF＝∠NQG， ∵∠FMG＝∠GNQ＝90°，GF＝GQ， ∴△FMG≌△GNQ（AAS）， ∴MG＝NQ＝1，FM＝GN＝n﹣2， ∴Q（n﹣2，n﹣1）， ∵点Q在直线yx+4上， ∴n﹣1（n﹣2）+4， ∴n， ∴G（0，）； ②当n＜2时，如图2﹣2中，同法可得Q（2﹣n，n+1）， ∵点Q在直线yx+4上， ∴n+1（2﹣n）+4， ∴n＝﹣1， ∴G（0，﹣1）． 综上所述，满足条件的点G坐标为（0，）或（0，﹣1）． 一次函数与菱形： 29．如图1所示，已知点A的坐标为（﹣3，4）．以OA为边构造菱形OABC，使点C恰好落在x轴上，一次函数y＝kx+b的图象经过点A和点C，AB交y轴于点H，AC交y轴于点M． （1）求AO的长． （2）求一次函数y＝kx+b的表达式和点M的坐标． （3）如图2，点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿折线A﹣B﹣C运动，到达点C时停止．设点P的运动时间为ts，△PMB的面积为S．求S与t的函数关系式． 【考点】一次函数综合题．版权所有 【分析】（1）根据A的坐标求出AH、OH，根据勾股定理求出即可； （2）根据菱形性质求出B、C的坐标，设直线AC的解析式是y＝kx+b，把A（﹣3，4），C（5，0）代入得到方程组，求出即可； （3）过M作MN⊥BC于N，根据角平分线性质求出MN，P在AB上，根据三角形面积公式求出即可；P在BC上，根据三角形面积公式求出即可． 【解答】解：（1）∵A（﹣3，4）， ∴AH＝3，OH＝4， 由勾股定理得：AO5， 答：OA的长是5； （2）∵菱形OABC， ∴OA＝OC＝BC＝AB＝5， ∴5﹣3＝2， ∴B（2，4），C（5，0）， 设直线AC的解析式是y＝kx+b， 把A（﹣3，4），C（5，0）代入得：，解得， ∴直线AC的解析式为yx， 当x＝0时，y＝2.5， ∴M（0，2.5）， 答：直线AC的解析式是yx，点M的坐标是（0，2.5）； （3）过M作MN⊥BC于N， ∵菱形OABC， ∴∠BCA＝∠OCA， ∵MO⊥CO，MN⊥BC， ∴OM＝MN， 当0≤t＜2.5时，P在AB上，MH＝4﹣2.5， ∴SBP×MH（5﹣2t）t， 当t＝2.5时，P与B重合，△PMB不存在； 当2.5＜t≤5时，P在BC上，SPB×MN（2t﹣5）t， ∴St， 答：S与t的函数关系式是S． 30．如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（3，4），点C在x轴的负半轴上，直线AC与y轴交于点E，AB与y轴交于点D． （1）求直线AC的解析式； （2）动点P从点A出发，沿折线ABC方向以1个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设△PEB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式． （3）动点Q在直线AC上运动，是否存在S△BEQ＝8．若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【考点】一次函数综合题．版权所有 【分析】（1）点A的坐标为（3，4），则AD＝3，DO＝4，在Rt△AOD中，AO＝5，求出点C（﹣5，0），进而求解； （2）分点P在AB上运动、点P在BC上运动两种情况，利用三角形的面积公式，即可求解； （3）分点Q在点A上方、点Q在点A下方两种情况，利用三角形的面积公式，即可求解． 【解答】解：（1）∵点A的坐标为（3，4）， ∴AD＝3，DO＝4， ∴Rt△AOD中，AO＝5， ∵菱形ABCO， ∴OA＝OC＝5， ∴C（﹣5，0）， 设直线AC的解析式为y＝kx+b， 把A（3，4），C（﹣5，0）代入得，，解得， ∴yx； （2）对于yx，令x＝0，则y， ∴E（0，）， ∴OE，DE＝4， 依题意得AP＝t，BP＝5﹣t， 当点P在AB上运动时，即 当0≤t＜5时，S△PEBBP×DE（5﹣t）t； 当点P在BC上运动时，即 当5＜t≤10时，BP＝t﹣5，设点E到BC的距离为h， ∵S△ABC＝S△AEB+S△BCE， ∴5×455×h， 解得h， ∴S△PEB（t﹣5）t； 综上所述，S； （3）①当点Q在点A上方时， 由（1）知，AB＝5，点A（3，4），故点B（﹣2，4）， 连接BQ交y轴于点K， ∵点Q在直线AC上，故设点Q（m，m）， 由点B、Q的坐标得，直线BQ的表达式为yx+（4）， 令x＝0，则y4，即点K（0，4）， 故EK4， S△BEQ＝S△KEQ+S△KEBKE×（xQ﹣xB）（m+2）＝8， 解得m， 故点Q的坐标为（，）； ②当点Q在点A下方时， 同理可得：m， 故点Q的坐标为（，）； 综上，点Q的坐标为（，）或（，）． 一次函数与矩形： 31．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC的顶点A（12，0）、C（0，9）． （1）求线段OB的长度； （2）若将矩形OABC的一个角沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，折痕与x轴交于点D，求线段AD的长度； （3）在（2）的条件下，求直线BD所对应的函数表达式． 【考点】一次函数综合题．版权所有 【分析】（1）根据矩形的性质以及勾股定理即可解决问题； （2）设AD＝x，根据折叠的性质以及勾股定理列方程解答即可； （3）由线段AD的长度可得线段OD的长度，从而得出点D的坐标，再利用待定系数法解答即可． 【解答】解：（1）∵A（12，0）、C（0，9）． ∴OA＝12，OC＝9， ∵四边形OABC为矩形， ∴AB＝OC＝9，∠OAB＝90°， 在Rt△OAB中，； （2）设AD＝x，则OD＝OA﹣AD＝12﹣x， 根据折叠知DE＝x，BE＝AB＝9， 又OB＝15， ∴OE＝OB﹣BE＝15﹣9＝6， 在Rt△OED中，OE2+DE2＝OD2， 即62+x2＝（12﹣x）2，解得x， ∴AD； （3）由（2）得AD， ∴OD＝12， ∴点D的坐标为（，0）． 由题意知点B的坐标为（12，9）， 设直线BD所对应的函数表达式为y＝kx+b（k≠0）， 把（，0），（12，9）分别代入y＝kx+b， 得，解得， 所以直线BD所对应的函数表达式为y＝2x﹣15． 动点与三角形： 32．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线yx+b相交于点C（2，m）． （1）求点A、B的坐标； （2）求m和b的值； （3）若直线yx+b与x轴相交于点D，动点P从点D开始，以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒． ①若点P在线段DA上，且△ACP的面积为10，求t的值； ②是否存在t的值，使△ACP为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【考点】一次函数综合题．版权所有 【分析】（1）在y＝x+2中，当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝﹣2；即可得出答案； （2）求出点C（2，4），代入直线yx+b即可得出答案； （3）求出D（10，0），则OD＝10，AD＝OA+OD＝12；①设PD＝t，则AP＝12﹣t，过C作CE⊥AP于E，由三角形面积得出方程，解方程即可； ②过C作CE⊥AP于E，则CE＝4，AE＝4，由勾股定理求出AC＝4；分三种情况：当AC＝PC时；当AP＝AC时；当PC＝PA时；分别求出t的值即可． 【解答】解：（1）在y＝x+2中，当x＝0时，y＝2； 当y＝0时，x＝﹣2； ∴A（﹣2，0），B（0，2）； （2）∵点C在直线y＝x+2上， ∴m＝2+2＝4， 又∵点C（2，4）也在直线yx+b上， ∴2+b＝4， 解得：b＝5； （3）在yx+5中，当y＝0时，x＝10， ∴D（10，0）， ∴OD＝10， ∵A（﹣2，0）， ∴OA＝2， ∴AD＝OA+OD＝12； ①设PD＝t，则AP＝12﹣t，过C作CE⊥AP于E，如图1所示： 则CE＝4， ∵△ACP的面积为10， ∴（12﹣t）×4＝10， 解得：t＝7； ②存在，理由如下： 过C作CE⊥AP于E，如图1所示： 则CE＝4，OE＝2， ∴AE＝OA+OE＝4， ∴AC4； a、当AC＝PC时，AP＝2AE＝8， ∴PD＝AD﹣AP＝4， ∴t＝4； b、当AP＝AC时，如图2所示： 则AP1＝AP2＝AC＝4， ∴DP1＝12﹣4，DP2＝12+4， ∴t＝12﹣4，或t＝12+4； c、当PC＝PA时，如图3所示： 设EP＝m，则CP，AP＝m+4， ∴m+4， 解得：m＝0， ∴P与E重合，AP＝4， ∴PD＝8， ∴t＝8； 综上所述，存在t的值，使△ACP为等腰三角形，t的值为4或12﹣4或12+4或8． 33．如图，直线yx+4与x轴交于点A，与直线yx相交于点P． （1）求点P的坐标； （2）动点F从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上向点A做匀速运动，连接PF，设运动时间为t秒，△PFA的面积为S，求S关于t的函数关系式； （3）若点M是y轴上的点，点N是坐标平面内的点．若以O、M、N、P为顶点的四边形是菱形，请直接写出点N的坐标． 【考点】一次函数综合题．版权所有 【分析】（1）联立方程组可求点P坐标； （2）先求点A坐标，由三角形的面积公式可求解； （3）分三种情况讨论，由菱形的性质和两点距离公式可求解． 【解答】解：（1）由题意联立方程组可得：， 解得：， ∴点P的坐标为（，2）； （2）∵直线yx+4与x轴交于点A， ∴点A（，0）， ∴AF＝OA﹣OFt， ∴S（t）×2＝﹣t（0≤t）； （3）∵点O（0，0），点P（，2）， ∴OP， 如图， 若OP与OM为边时， ∵以O、M、N、P为顶点的四边形是菱形， ∴OP＝OM＝PN，PN∥OM， ∴点N1（，2）或N2（，2）， 若OP与MP为边时， ∵以O、M、N、P为顶点的四边形是菱形， ∴PO＝MP，NP与OM互相垂直平分， ∴点N3（，2）， 若OP为对角线，即ON与PN为边， ∵以O、M、N、P为顶点的四边形是菱形， ∴PN∥OM，ON＝PN， 设点N（，a）， ∴（）2+a2＝（2﹣a）2， ∴a， ∴点N4（，）， 综上所述：点N的坐标为（，2）或（，2）或（，2）或（，）． 1．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣6，0），B（0，8），点C为OB的中点，点D在第二象限，四边形AOCD为矩形，直线AB交DC于点E． （1）求直线AB的解析式及点E的坐标； （2）动点P从点C出发，沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动；同时，动点N从点A出发沿线段AO以每秒2个单位长度的速度向终点O运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．连接NP，设点P的运动时间为t秒． ①当t为何值时，四边形ANPE为平行四边形？ ②当t为何值时，四边形ANPD为矩形？ 【考点】一次函数综合题．版权所有 【分析】（1）由待定系数法求出直线AB的解析式为yx+8，由矩形的性质得点E的纵坐标为4，将y＝4代入yx+8得x＝﹣3，则E（﹣3，4）； （2）①由军训的性质得EP∥AN，当EP＝AN时，四边形ANPE为平行四边形，即3﹣t＝2t，得出t＝1； ②由矩形的性质得EP∥AN，∠D＝90°，当DP＝AN时，四边形ANPD为矩形，即6﹣t＝2t，得出t＝2． 【解答】解：（1）设直线AB的解析式为：y＝kx+b， 将点A（﹣6，0），点B（0，8）代入y＝kx+b得：， 解得：， ∴直线AB的解析式为：yx+8， ∵点C为OB的中点， ∴C（0，4）， ∵四边形AOCD为矩形， ∴CD∥OA， ∴点E的纵坐标为4， 将y＝4代入yx+8得：x＝﹣3， ∴E（﹣3，4）； （2）①∵四边形AOCD为矩形， ∴EP∥AN， ∴当EP＝AN时，四边形ANPE为平行四边形， 即3﹣t＝2t， ∴t＝1， ∴当t＝1s时，四边形ANPE为平行四边形； ②∵四边形AOCD为矩形， ∴EP∥AN，∠D＝90°， ∴当DP＝AN时，四边形ANPD为矩形， 即6﹣t＝2t， ∴t＝2， ∴当t＝2s时，四边形ANPD为矩形． 2．问题情境：如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（a，b），且a和b满足a3；点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H，连接BM． （1）求点A的坐标和菱形ABCO的边长； （2）求直线AC的解析式； 问题探究： （3）动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位长度/秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒． ①求S与t之间的函数关系式； ②在点P运动过程中，当S＝3时，请求出t的值． 【考点】一次函数综合题．版权所有 【分析】（1）根据非负数的性质求得a、b的值，在Rt△AOH中利用勾股定理即可求得菱形的边长； （2）根据（1）即可求的OC的长，则C的坐标即可求得，利用待定系数法即可求得直线AC的解析式； （3）①根据S△ABC＝S△AMB+SBMC求得M到直线BC的距离为h，然后分成P在AB上和在BC上两种情况讨论，利用三角形的面积公式求解． ②将S＝3代入①中的函数解析式求得相应的t的值． 【解答】解：（1）由题意知：． 解得b＝4． ∴a＝﹣3． ∴点A的坐标是（﹣3，4）． 在Rt△AOH中， AO5，所以菱形边长为5； （2）∵四边形ABCO是菱形， ∴OC＝OA＝AB＝5，即C（5，0）． 设直线AC的解析式y＝kx+b，函数图象过点A、C，得 ， 解得， ∴直线AC的解析式yx； （3）①设M到直线BC的距离为h， 当x＝0时，y，即M（0，），HM＝HO﹣OM＝4， 由S△ABC＝S△AMB+SBMCAB•OHAB•HMBC•h， 5×455h，解得h， （i）当0≤t时，BP＝BA﹣AP＝5﹣2t，HM＝OH﹣OM， SBP•HM（5﹣2t）t， （ii）当2.5＜t≤5时，BP＝2t﹣5，h． SBP•h（2t﹣5）t． 综上所述，S． ②当S＝3时，代入St中，得t3，解得t； 代入St．中，得t3．解得t． 综上所述，t或． 3．如图，把长方形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x，y轴的正半轴上，连接AC，且AC＝4，AO＝2CO． （1）求点A，C的坐标； （2）将纸片OABC折叠，使点A与点C重合（折痕为EF），求折叠后纸片重叠部分△CEF的面积； （3）求EF所在直线的函数表达式，并求出对角线AC与折痕EF交点D的坐标． 【考点】一次函数综合题．版权所有 【分析】（1）AC＝4，AO＝2CO，而AC2＝OC2+OA2，即可求解； （2）AC的解析式为yx+4；设AC与EF交于点D，由折叠知EF垂直平分AC，所以D是矩形ABOC的中心，求出CF，即可求解； （3）直线EF表达式中的k值为2，A（8，0），C（0，4），且D为AC中点，即可求解． 【解答】解：（1）∵AC＝4，AO＝2CO， ∵AC2＝OC2+OA2， ∴80＝OC2+4OC2， ∴OC＝4，OA＝8， ∴A（8，0），C（0，4）； （2）设AC的解析式为y＝kx+b， 则， 解得：， ∴AC的解析式为yx+4； 设AC与EF交于点D，由折叠知EF垂直平分AC，所以D是矩形ABOC的中心， ∴FD＝DE， ∴EF、AC互相垂直平分， ∴重合部分AECF是菱形， 设CF＝x，则AF＝x，BF＝8﹣x， ∵AB＝4，∠B＝90°， ∴x2＝42+（8﹣x）2， ∴x＝5，即CF＝5， ∴重合部分的△CEF面积5×4＝10； （3）∵AC⊥EF，直线AC表达式中的k值为：， ∴直线EF表达式中的k值为2， ∵A（8，0），C（0，4），且D为AC中点， ∴D（4，2）， 设直线EF的表达式为：y＝2x+b，将点D的坐标代入上式并解得：b＝﹣6 则直线EF解析式为：y＝2x﹣6． 4．如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点O为坐标原点，顶点A，C分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，顶点B的坐标为（12，8），直线y＝kx+8﹣6k（k＜0）交边AB于点P，交边BC于点Q． （1）当k＝﹣1时，求点P，Q的坐标； （2）若直线PQ∥AC，BH是Rt△BPQ斜边PQ上的高，求BH的长； （3）若PQ平分∠OPB，求k的值． 【考点】一次函数综合题．版权所有 【分析】（1）先确定出点P的横坐标和点Q的纵坐标，即可得出结论； （2）先利用待定系数法求出直线AC的解析式，进而求出k，进而求出BQ，BP，PQ，最后用面积即可得出结论； （3）先求出BP＝8﹣（6k+8）＝﹣6k，再构造出△BPQ≌△MPQ（AAS），得出QM＝QB＝6，MP＝BP＝﹣6k，再根据勾股定理得，OQ＝10，OM＝8，进而得出OP＝OM+MP＝8﹣6k，最后用勾股定理建立方程求解即可得出结论． 【解答】解：（1）当k＝﹣1时，该直线表达式为y＝﹣x+14， ∵四边形OABC是长方形，点P，Q分别在边AB，BC上，点B （12，8）， ∴点P的横坐标为12，点Q的纵坐标为8， 当x＝12时，y＝﹣1×12+14＝2， 当y＝8时，﹣x+14＝8，解得x＝6， ∴点P，Q的坐标分别是P（12，2），Q（6，8）； （2）如图1，过点B作BH⊥PQ于H， ∵长方形OABC的顶点B的坐标是（12，8）， ∴点A的坐标为（12，0），点C的坐标为（0，8）． 设直线AC表达式为y＝ax+b，则 解得，， ∴直线AC的解析式为yx+8， ∵PQ∥AC， ∴k． ∴直线PQ表达式为yx+12， ∵当x＝12时，y＝4； 当y＝8时，8x+12， ∴x＝6， ∴BP＝4，BQ＝6． 在Rt△BPQ中，根据勾股定理得，PQ2， ∵S△PBQBQ•BPPQ•BH， ∴4×6BH， ∴BH； （3）∵当x＝12时，y＝6k+8； 当y＝8时，x＝6． ∴点P的坐标为（12，6k+8），点Q的坐标为（6，8）． ∴AP＝6k+8，AO＝12，BQ＝CQ＝6，AB＝OC＝8． ∴BP＝8﹣（6k+8）＝﹣6k， 过点Q作QM⊥OP于点M，连接OQ，如图2， ∵PQ平分∠OPB， ∴∠QPB＝∠QPM， 又∵∠PMQ＝∠B＝90°，PQ＝PQ， ∴△BPQ≌△MPQ（AAS）， ∴QM＝QB＝6，MP＝BP＝﹣6k， 在Rt△OCQ中，根据勾股定理得，OQ＝10， 在Rt△OQM中，根据勾股定理得OM＝8， ∴OP＝OM+MP＝8﹣6k， ∵在Rt△OAP中，OA2+AP2＝OP2， 即122+（6k+8）2＝（8﹣6k）2． 解得，k． 5．已知：如图1，在平面直角坐标系中，一次函数yx+3交x轴于点A，交y轴于点B，点C是点A关于y轴对称的点，过点C作y轴平行的射线CD，交直线AB与点D，点P是射线CD上的一个动点． （1）求点A，B的坐标． （2）如图2，将△ACP沿着AP翻折，当点C的对应点C′落在直线AB上时，求点P的坐标． （3）若直线OP与直线AD有交点，不妨设交点为Q（不与点D重合），连接CQ，是否存在点P，使得S△CPQ＝2S△DPQ，若存在，请求出对应的点Q坐标；若不存在，请说明理由． 【考点】一次函数综合题．版权所有 【分析】（1）利用坐标轴上点的特点建立方程即可得出结论； （2）先求出C（4，0），D（4，6），进而求出AC＝8，CD＝6，AD＝10，由折叠知，AC'＝8，C'D＝2，再用勾股定理即可得出结论； （3）利用三角形面积关系求出点P坐标，再联立直线AB解析式求出交点坐标即可得出结论． 【解答】解：（1）令x＝0，则y＝3， ∴B（0，3）， 令y＝0，则x+3＝0， ∴x＝﹣4， ∴A（﹣4，0）； （2）∵点C是点A关于y轴对称的点， ∴C（4，0）， ∵CD⊥x轴， ∴x＝4时，y＝6，∴D（4，6）， ∴AC＝8，CD＝6，AD＝10， 由折叠知，AC'＝AC＝8， ∴C'D＝AD﹣AC'＝2， 设PC＝a， ∴PC'＝a，DP＝6﹣a， 在Rt△DC'P中，a2+4＝（6﹣a）2， ∴a， ∴P（4，）； （3）设P（4，m）， ∴CP＝m，DP＝|m﹣6|， ∵S△CPQ＝2S△DPQ， ∴CP＝2PD， ∴2|m﹣6|＝m， ∴m＝4或m＝12， ∴P（4，4）或P（4，12）， ∵直线AB的解析式为yx+3①， 当P（4，4）时，直线OP的解析式为y＝x②， 联立①②解得，x＝12，y＝12， ∴Q（12，12）， 当P（4，12）时，直线OP解析式为y＝3x③， 联立①③解得，x，y＝4， ∴Q（，4）， 即：满足条件的点Q（12，12）或（，4）． 6．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B的坐标为（3，4），一次函数yx+b的图象与边OC、AB分别交于点D、E，并且满足OD＝BE，点M是线段DE上的一个动点． （1）求b的值； （2）连接OM，若△ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1：3，求点M的坐标； （3）设点N是x轴上方平面内的一点，当四边形OMDN为菱形时，求点N的坐标． 【考点】一次函数综合题．版权所有 【分析】（1）利用矩形的性质，用b表示点E的坐标，再利用待定系数法即可解决问题； （2）首先求出四边形OAED的面积，再根据条件求出△ODM的面积，即可解决问题； （3）首先确定点M的坐标，因为四边形OMDN是菱形，可知M、N关于OC对称，即可推出点N的坐标； 【解答】解：（1）yx+b中，令x＝0，解得y＝b，则点D的坐标是（0，b），OD＝b， ∵OD＝BE， ∴BE＝b， 则点E的坐标为（3，4﹣b）， 把E点坐标代入yx+b得4﹣b＝﹣2+b， 解得b＝3． （2）∵S四边形OAED（OD+AE）•OA（3+1）×3＝6， ∵△ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1：3， ∴S△ODM＝1.5， 设点M的横坐标是a，则•3a＝1.5，解得a＝1， 把x＝a＝1代入yx+3得y3， ∴点M的坐标是（1，）． （3）当四边形OMDN是菱形时，如图点M的纵坐标是． 把y代入直线yx+3，得x+3，解得x， 则点M的坐标是（，）， ∵四边形OMDN是菱形， ∴M、N关于OC对称， ∴点N的坐标是（，）． 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2：一次函数解答综合压轴题专题突破 (实际应用+几何图形+动点问题) 本节课主要针对第25章一次函数进行专题讲解。在本节课中，我们梳理了一次函数应用压轴题典型例题、解题中常考的方法以及易错知识点。并结合课内常考例题进行深度讲解，课后搭配练习进行巩固。帮助同学们更好的掌握本小节知识点。 知识点一 一次函数实际应用问题 1.一次函数在现实生活中运用广泛，既可以解决一些简单的实际问题，也可以帮助我们去分析和概括一些复杂的问题． 2.在实际问题中，我们通常要寻找两组自变量和对应的函数值，从而确定这个函数解析式． 3.学会利用一次函数作出预测，主要是根据函数解析式或者图象求出对应时间点的函数值． 常考题型：经济问题、工程问题、面积计算、方案问题、行程问题 知识点二 一次函数在几何中的应用（综合题） 1.函数方法 函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法．函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题． 2.数形结合法 数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用． 常考题型：平行四边形、菱形、矩形、梯形和一次函数结合. 一次函数与实际应用问题： 1．甲、乙两人同时从相距90千米的A地前往B地，甲乘汽车，乙骑电动车，甲到达B地停留半个小时后返回A地，如图是他们离A地的距离y（千米）与经过时间x（小时）之间的函数关系图象． （1）甲从B地返回A地的过程中，直接写出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围； （2）若乙出发后108分钟和甲相遇，求乙从A地到B地用了多少分钟？ （3）在（2）的条件下，甲与乙同时出发后，直接写出经过多长时间他们相距20千米？ 2．为了减少二氧化碳的排放量，提倡绿色出行，越来越多市民选择租用共享单车出行，已知某共享单车公司为市民提供了手机支付（使用的前1小时免费）和会员卡支付两种支付方式，如图描述了两种方式应支付金额y（元）与骑行时间x（时）之间的函数关系，根据图象回答下列问题： （1）图中表示会员卡支付的收费方式是　 　 （填①或②）． （2）在图①中当x≥1时，求y与x的函数关系式． （3）陈老师经常骑行该公司的共享单车，请根据不同的骑行时间帮他确定选择哪种支付方式比较合算． 3．为深入推进“健康沈阳”建设，倡导全民参与健身，我市举行“健康沈阳，重阳登高”活动，广大市民踊跃参加．甲乙两人同时登山，2分钟后乙开始提速，且提速后乙登高速度是甲登山速度的3倍，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题： （1）甲登山的速度是每分钟　 　 米，乙在A地提速时距地面的高度b为　 　 米，乙在距地面高度为300米时对应的时间t是　 　 分钟； （2）请分别求出线段AB、CD所对应的函数关系式（需写出自变量的取值范围）； （3）登山　 　 分时，甲、乙两人距地面的高度差为70米？ 4．从甲地到乙地，先是一段上坡路，然后是一段平路，小冲骑车从甲地出发，到达乙地后休息一段时间，然后原路返回甲地．假设小冲骑车在上坡、平路、下坡时分别保持匀速前进，已知小冲骑车上坡的速度比平路上的速度每小时少5km，下坡的速度比在平路上的速度每小时多5km，设小冲出发xh后，到达离乙地ykm的地方，图中的折线ABCDEF表示y与x之间的函数关系． （1）求小冲在平路上骑车的平均速度以及他在乙地的休息时间； （2）分别求线段AB、EF所对应的函数关系式； （3）从甲地到乙地经过丙地，如果小冲两次经过丙地的时间间隔为0.85h，求丙地与甲地之间的路程． 5．一辆慢车和一辆快车沿相同的路线由甲地到乙地匀速前进，甲、乙两地之间的路程为200km，他们离甲地的路程y（km）与慢车出发后的时间x（h）的函数图象如图所示． （1）慢车的平均速度是　 　 km/h； （2）分别求出表示快车、慢车所行驶的路程y（km）与时间x（h）的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） （3）求慢车出发后多长时间两车第一次相遇？ （4）快车到达乙地后，慢车距乙地还有多远？ 6．我市全民健身中心面向学生推出假期游泳优惠活动，活动方案如下． 方案一：购买一张学生卡，每次游泳费用按六折优惠； 方案二：不购买学生卡，每次游泳费用按八折优惠． 设某学生假期游泳x（次），按照方案一所需费用为y1（元），且y1＝k1x+b；按照方案二所需费用为y2（元），且y2＝k2x．其函数图象如图所示． （1）求y1关于x的函数关系式，并直接写出单独购买一张学生卡的费用和购买学生卡后每次游泳的费用； （2）求打折前的每次游泳费用和k2的值； （3）八年级学生小明计划假期前往全民健身中心游泳8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由． 7．一辆货车从A地去B地，一辆轿车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，轿车的速度大于货车的速度．两辆车之间的距离为y（km）与货车行驶的时间为x（h）之间的函数关系如图所示． （1）两车行驶多长时间后相遇？ （2）轿车和货车的速度分别为　 　 ，　 　 ； （3）谁先到达目的地，早到了多长时间？ （4）求两车相距160km时货车行驶的时间． 8．甲乙两人沿相同的路线同时登山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分钟）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题： （1）甲距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为：y甲＝　 　 ． （2）若乙提速后，乙的速度是甲登山速度的3倍，登山多长时间时，乙追上了甲？此时乙距A地的高度为多少米？ 9．某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备和一个个体车主或一个出租车公司其中的一家签定月租车合同，设汽车每月行驶x千米，应付给个体车主的月费用是y1元，应付给出租车公司的月租费用是y2元，y1、y2分别与x之间的函数关系图象如图，观察图象回答下列问题： （1）分别求y1、y2与x之间的函数关系式； （2）每月行驶的路程等于多少时，租两家的费用相同？ （3）如果这个单位估计每月行驶的路程为2400千米，那么这个单位租哪一家的车合算，并说明理由？ 10．甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段OA表示货车离甲地的距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系；折线BCD表示轿车离甲地的距离y（千米）与时间x（时）之间的函数关系，请根据图象解答下列问题： （1）轿车到达乙地时，求货车与甲地的距离； （2）求线段CD对应的函数表达式； （3）在轿车行进过程，轿车行驶多少时间，两车相距15千米． 11．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（km）与甲车行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示，根据图象提供的信息，解决下列问题： （1）A，B两城相距　 　 千米； （2）求乙车出发后几小时追上甲车； （3）求甲车出发几小时的时候，甲、乙两车相距50千米？ 12．某小区美化工程中，在一段柏油路两侧铺设彩色方砖，施工队分成甲，乙两组分别在道路两侧施工，乙组比甲组晚施工一段时间．如图是甲，乙两组各自铺设的长度y（米）与甲组施工时间x（小时）之间的函数图象．根据图中信息，解答下列问题： （1）点C的坐标为　 　 ； （2）求线段AB的解析式，并写出自变量x的取值范围， （3）当乙组铺设完成时，甲组还剩下多少米未铺完． 13．暑假期间，甲、乙两队举行了一场跑步比赛，两队在比赛时的路程S（米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图所示（如图中横轴上的数字对应为0、2.2、3.8、4）．请你根据图象，回答下列问题： （1）这次比赛的全程是　 　 米，　 　 队先到达终点； （2）求乙与甲相遇时乙的速度； （3）求出在乙队与甲相遇之前，他们何时相距100米？ 14．随着新冠肺炎疫情在全球范围内的爆发，人们对口罩的需求呈爆发式增长，某医药公司每月固定生产甲、乙两种型号的医用口罩共20万只，且所有产品当月全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成（公司实行计件工资制，即工人每生产一只口罩获得一定金额的提成）如表： 型号 价格（元/只） 种类 甲 乙 原料成本 12 8 销售单价 18 12 生产提成 1 0.8 （1）若该公司四月份的销售收入为300万元，求甲、乙两种型号的口罩分别是多少万只？ （2）根据之前的销售情况，公司五月份投入总成本（投入总成本＝原料总成本+生产提成总额）不超过239万元，设生产甲型号的口罩x万只，销售这两种口罩的总利润（利润＝销售收入﹣投入总成本）为y万元，求出y与x之间的函数关系式，并求五月份该公司最多获得总利润多少万元． 15．2020年4月20日，国家主席习近平在陕西柞水县考查，点赞当地特产﹣柞水木耳，称赞到“小木耳、大产业”，要将其发展成“帮助群众脱贫致富、推动乡村振兴”的特色产业．王师傅在政府的扶持下种植了A、B两个品种的木耳共3亩，两种木耳的成本（包括种植成本和设备成本）和售价如表： 品种 种植成本（万元/亩） 售价（万元/亩） 设备成本（万元/亩） A 1.5 3.5 0.2 B 2 4.3 0.3 设种植A品种木耳x亩，若3亩地全部种植两种木耳共获得利润y万元．（利润＝售价﹣种植成本﹣设备成本） （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若A品种木耳的种植亩数不少于B品种木耳种植亩数的1.5倍，则种植A品种木耳种植多少亩时利润最大？并求最大利润． 16．A城有化肥200吨，B城有化肥300吨，现要把化肥运往牛家、红旗两农村，如果从A城运往牛家村、红旗村运费分别是20元/吨与30元/吨，从B城运往牛家村、红旗村运费分别是15元/吨与22元/吨，现已知牛家村需要220吨化肥，红旗村需要280吨化肥． （1）如果设从A城运往牛家村x吨化肥，求此时所需的总运费y（元）与x（吨）之间的函数关系式（直接写出自变量x的取值范围）． （2）如果你承包了这项运输任务，算一算怎样调运花钱最少，并求出最少运费． 17．为了响应国家”精准扶贫”政策，甲城有化肥200吨，乙城有化肥300吨，现要把化肥运往C和D两乡进行扶贫，从甲城运往C和D两乡的运费分别是20元/吨与25元/吨；从乙城运往C和D两乡的运费分别为15元/吨和24元/吨，现已知C乡需要240吨，D乡需要260吨，如果某个个体户承包了这项运输任务，请你帮他算一算，怎样调运运费最少？ （1）若甲城运往C乡化肥x吨，请写出将化肥运往C、D两乡的总运费y（元）与x（吨）的函数关系式． （2）求自变量x的取值范围． （3）当甲、乙两城各运往C、D两乡多少吨化肥时，总运费最省，最省的总运费是多少？ 18．已知A、B两地之间有一条270千米的公路，甲、乙两车同时出发，甲车以60千米/时的速度沿此公路从A地匀速开往B地，乙车从B地沿此公路匀速开往A地，两车分别到达目的地后停止．甲、乙两车之间的距离y（千米）与甲车的行驶时间x（时）之间的函数关系如图所示． （1）乙车的速度为　 　 千米/时； （2）求甲、乙两车相遇后y与x之间的函数关系式； （3）当甲车到达距B地90千米处时，求甲、乙两车之间的路程． 一次函数动点问题： 19．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx过点A（6，m），过点A作x轴的垂线，垂足为点B，过点A作y轴的垂线，垂足为点C．∠AOB＝60°，CD⊥OA于点D．动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，动点Q从点A出发．以每秒个单位长度的速度向点B运动．点P，Q同时开始运动，当点P到达点A时，点P，Q同时停止运动，设运动时间为t（s），且t＞0． （1）求m与k的值； （2）当点P运动到点D时，求t的值； （3）连接DQ，点E为DQ的中点，连接PE，当PE⊥DQ时，请直接写出点P的坐标． 一次函数翻折问题： 20．长方形OABC是一张放在平面直角坐标系中的纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA＝10，OC＝6． （1）如图，在AB上取一点M，使得△CBM沿CM翻折后，点B落在x轴上，记作B′点，求B′点的坐标． （2）求折痕CM所在直线的解析式． （3）在x轴上是否能找到一点P，使△B′CP的面积为13？若存在，直接写出点P的坐标？若不存在，请说明理由． 一次函数与矩形： 21．如图①，在矩形OACB中，点A、B分别在x轴、y轴正半轴上，点C在第一象限，OA＝8，OB＝6． （1）请直接写出点C的坐标； （2）如图②，点F在BC上，连接AF，把△ACF沿着AF折叠，点C刚好与线段AB上一点C'重合，求线段CF的长度； （3）如图③，动点P（x，y）在第一象限，且y＝2x﹣6，点D在线段AC上，是否存在直角顶点为P的等腰直角△BDP，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 一次函数与三角形： 22．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C（2，m）为直线y＝x+2上一点，直线yx+b过点C． （1）求m和b的值； （2）直线yx+b与x轴交于点D，动点P在线段DA上从点D开始以每秒1个单位的速度向A点运动．设点P的运动时间为t秒． ①当CP＝5，求t的值； ②是否存在t的值，使△ACP为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 23．如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴、y轴分别交于点A，B（0，6），与直线y＝﹣x+3交于点C（﹣1，4），直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点D、E，连接AE．在直线l上有一动点P． （1）求直线l的解析式； （2）若S△PCES△ACE，求满足条件的点P坐标； （3）在直线y＝﹣x+3上是否存在点Q，使△BEQ为等腰三角形，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 24．如图，直线yx+3与坐标轴分别交于点A，B，与直线y＝x交于点C，线段OA上的点Q以每秒1个长度单位的速度从点O出发向点A做匀速运动，运动时间为t秒，连接CQ． （1）点C的坐标为 　 　 ； （2）若CQ将△AOC分成1：2两部分时，t的值为 　 　 ； （3）若S△ACQ：S四边形CQOB＝1：2时，求直线CQ对应的函数关系式． 一次函数与正方形： 25．如图，正方形ABCD的顶点A、B落在x轴正半轴上，点C落在正比例函数y＝kx（k＞0）上，点D落在直线y＝2x上，且点D的横坐标为a． （1）直接写出A、B、C、D各点的坐标（用含a的代数式表示）； （2）求出k的值； （3）将直线OC绕点O旋转，旋转后的直线将正方形ABCD的面积分成1：3两个部分，求旋转后得到的新直线解析式． 一次函数动点问题： 26．如图，已知直线l的函数表达式为yx+8，且l与x轴，y轴分别交于A，B两点，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，同时动点P从A点开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，设点P、Q移动的时间为t秒． （1）A点坐标为　 　 ，B点坐标为　 　 ． （2）当t为　 　 时，△APQ是直角三角形．当t为　 　 时，△APQ是以AP为底的等腰三角形． （3）当t为何值时，△APQ的面积是△ABO面积的？ 一次函数与矩形： 27．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A、C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为（4，2）．E为AB的中点，过点D（6，0）和点E的直线分别与BC、y轴交于点F、G． （1）求直线DE的函数关系式； （2）函数y＝mx﹣1的图象经过点F且与x轴交于点H，求出点F的坐标和m值； （3）在（2）的条件下，求出四边形OHFG的面积． 综合题： 28．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的另一条直线交x轴正半轴于点C，且OC＝3． （1）求直线BC的解析式； （2）如图1，若M为线段BC上一点，且满足S△AMB＝S△AOB，请求出点M的坐标； （3）如图2，设点F为线段AB中点，点G为y轴上一动点，连接FG，以FG为边向FG右侧作正方形FGQP，在G点的运动过程中，当顶点Q落在直线BC上时，求点G的坐标． 一次函数与菱形： 29．如图1所示，已知点A的坐标为（﹣3，4）．以OA为边构造菱形OABC，使点C恰好落在x轴上，一次函数y＝kx+b的图象经过点A和点C，AB交y轴于点H，AC交y轴于点M． （1）求AO的长． （2）求一次函数y＝kx+b的表达式和点M的坐标． （3）如图2，点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿折线A﹣B﹣C运动，到达点C时停止．设点P的运动时间为ts，△PMB的面积为S．求S与t的函数关系式． 30．如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（3，4），点C在x轴的负半轴上，直线AC与y轴交于点E，AB与y轴交于点D． （1）求直线AC的解析式； （2）动点P从点A出发，沿折线ABC方向以1个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设△PEB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式． （3）动点Q在直线AC上运动，是否存在S△BEQ＝8．若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 一次函数与矩形： 31．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC的顶点A（12，0）、C（0，9）． （1）求线段OB的长度； （2）若将矩形OABC的一个角沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，折痕与x轴交于点D，求线段AD的长度； （3）在（2）的条件下，求直线BD所对应的函数表达式． 动点与三角形： 32．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线yx+b相交于点C（2，m）． （1）求点A、B的坐标； （2）求m和b的值； （3）若直线yx+b与x轴相交于点D，动点P从点D开始，以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒． ①若点P在线段DA上，且△ACP的面积为10，求t的值； ②是否存在t的值，使△ACP为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 33．如图，直线yx+4与x轴交于点A，与直线yx相交于点P． （1）求点P的坐标； （2）动点F从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上向点A做匀速运动，连接PF，设运动时间为t秒，△PFA的面积为S，求S关于t的函数关系式； （3）若点M是y轴上的点，点N是坐标平面内的点．若以O、M、N、P为顶点的四边形是菱形，请直接写出点N的坐标． 1．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣6，0），B（0，8），点C为OB的中点，点D在第二象限，四边形AOCD为矩形，直线AB交DC于点E． （1）求直线AB的解析式及点E的坐标； （2）动点P从点C出发，沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动；同时，动点N从点A出发沿线段AO以每秒2个单位长度的速度向终点O运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．连接NP，设点P的运动时间为t秒． ①当t为何值时，四边形ANPE为平行四边形？ ②当t为何值时，四边形ANPD为矩形？ 2．问题情境：如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（a，b），且a和b满足a3；点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H，连接BM． （1）求点A的坐标和菱形ABCO的边长； （2）求直线AC的解析式； 问题探究： （3）动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位长度/秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒． ①求S与t之间的函数关系式； ②在点P运动过程中，当S＝3时，请求出t的值． 3．如图，把长方形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x，y轴的正半轴上，连接AC，且AC＝4，AO＝2CO． （1）求点A，C的坐标； （2）将纸片OABC折叠，使点A与点C重合（折痕为EF），求折叠后纸片重叠部分△CEF的面积； （3）求EF所在直线的函数表达式，并求出对角线AC与折痕EF交点D的坐标． 4．如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点O为坐标原点，顶点A，C分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，顶点B的坐标为（12，8），直线y＝kx+8﹣6k（k＜0）交边AB于点P，交边BC于点Q． （1）当k＝﹣1时，求点P，Q的坐标； （2）若直线PQ∥AC，BH是Rt△BPQ斜边PQ上的高，求BH的长； （3）若PQ平分∠OPB，求k的值． 5．已知：如图1，在平面直角坐标系中，一次函数yx+3交x轴于点A，交y轴于点B，点C是点A关于y轴对称的点，过点C作y轴平行的射线CD，交直线AB与点D，点P是射线CD上的一个动点． （1）求点A，B的坐标． （2）如图2，将△ACP沿着AP翻折，当点C的对应点C′落在直线AB上时，求点P的坐标． （3）若直线OP与直线AD有交点，不妨设交点为Q（不与点D重合），连接CQ，是否存在点P，使得S△CPQ＝2S△DPQ，若存在，请求出对应的点Q坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B的坐标为（3，4），一次函数yx+b的图象与边OC、AB分别交于点D、E，并且满足OD＝BE，点M是线段DE上的一个动点． （1）求b的值； （2）连接OM，若△ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1：3，求点M的坐标； （3）设点N是x轴上方平面内的一点，当四边形OMDN为菱形时，求点N的坐标． 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $