2026年中考数学一轮复习03一次方程（组）与一元一次不等式（组）易错点梳理及题型突破

中考一轮复习03一次方程（组）与一元一次不等式（组）易错点梳理及题型突破2025-2026学年人教版九年级下册（四题型）易错点梳理 易错点01 在一元一次方程中忽略一次项系数不为0 一元一次方程的标准形式是：，不能漏掉一次项系数不等于0这一条件。 易错点02 移项忘记变号 移项时必须改变符号。 易错点03 解含有分母的一元一次方程时易混淆等式的性质与分式的性质 去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的基本性质，两者不能混淆。 易错点04 漏乘有关项 去分母时漏乘不含分母的项，去括号时漏乘首项后面的项。 易错点05 列方程解应用题时忘记检验 列方程解应用题时，不仅要注意解方程的过程是否正确，还要检验方程的解是否符合问题的实际意义。 易错点06 识别二元一次方程时错误 判断一个方程是否是二元一次方程，必须将方程化为一般形式再按照三要素进行判断。 易错点07 解二元一次方程组时出错 当两个方程相减时，减负项易按加负项计算；方程的两边同乘以一个不为0的常数时，易漏乘常数项。 易错点08 列二元一次方程组解应用题时出错 列二元一次方程组解应用题时应注意：（1）单位要统一；（2）找等量关系必须准确；（3）列方程组时要避免出现0=0的情况。 易错点09 应用不等式的基本性质错误 应用不等式的基本性质对不等式进行变形时，要注意不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向要改变。 易错点10 解一元一次不等式去分母时错误 解含有分母的不等式时，应根据不等式的基本性质去分母，不能直接把分母去掉，也不要漏乘不含分母的项。 题型突破 题型一 等式与不等式的性质 1．已知2a＝3b，则（　　） A．2a+2＝3b+3 B．a＝b C． D．2a2＝3b2 2．实数、、且，，，则下列等式成立的是（ ） A． B． C． D． 3．已知，且，则（ ） A． B． C． D． 4．若a＝b+2，则下面式子一定成立的是（　　） A．a﹣b+2＝0 B．3﹣a＝b﹣1 C．2a＝2b+2 D． 5．已知等式，则下列等式中不一定成立的是（ ） A． B． C． D． 6．已知，则下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 7．若a＞b，则下列不等式不一定成立的是（　　） A．﹣2a＜﹣2b B．am＜bm C．a﹣3＞b﹣3 D． 8．若，则（ ） A． B． C． D． 9．下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．若，则下列各式中一定正确的是（ ） A． B． C． D． 题型二 一元一次方程、二元一次方程（组）、一元一次不等式（组）的相关概念 1．关于x的方程3x﹣a+5＝0的解是x＝4，则a的值（　　） A．15 B．17 C．﹣5 D．0 2．已知x＝3是关于x的方程的解，则的值是（　　） A．2 B．-2 C．1 D．﹣1 3．下列方程中，解是的方程是（ ） A． B． C． D． 4．下列方程中是一元一次方程的是（　　） A．3x+4=1﹣2x B．x2+x﹣2=0 C．2x﹣3y=5 D． 5．已知，都是关于，的方程的一个解，则下列对于：，的关系判断正确的是（ ） A． B． C． D． 6．已知是二元一次方程组的解，则的值为（ ） A． B． C．2 D．4 7．下列方程组中是二元一次方程组的是（ ） A． B． C． D． 8．同时满足二元一次方程和的，的值为（ ） A． B． C． D． 9．下列不等式中，是一元一次不等式的有（ ） ①；②；③；④；⑤． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 10．下列不等式组：①，②，③，④，⑤．其中一元一次不等组的个数是( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型三 一元一次方程、二元一次方程（组）、一元一次不等式（组）的解法 1．已知x＝﹣1是关于x的一元一次方程5x﹣3＝2m﹣8x的解，则m＝___． 2．已知方程，则______． 3．若关于x的方程的解是，则a的值为__________． 4．若x，y满足，则的值为_______． 5．方程组的解是_______． 6．若方程组的解满足，则k的取值范围是__________． 7．二元一次方程组的解为___． 8．不等式5（x﹣1）＜3x+1正整数解是__________． 9．不等式 的解集为_____． 10．不等式组的整数解为______________． 题型四 一元一次方程、二元一次方程（组）、一元一次不等式（组）的应用 1．一家商店将某种服装按成本价提高后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的成本为__________元． 2．若三角形三边之比为3：6：7，与它相似的三角形的最长边为14cm，则此三角形周长为____． 3.《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：“今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？”则该题中合伙人数为____________． 4．已知两个连续奇数的积是15，则这两个数是___________________． 5．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹每人六竿多十四，每人八竿恰齐足”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知与多少人和竹竿每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完”若设有牧童x人，根据题意，可列方程为__________． 6．为实现营养的合理搭配，某电商推出适合不同人群的甲、乙两种袋装混合粗粮．其中，甲种粗粮每袋装有2千克A粗粮，3千克B粗粮，3千克C粗粮；乙种粗粮每袋装有4千克A粗粮，2千克B粗粮，2千克C粗粮．甲、乙两种袋装粗粮每袋成本价分别为袋中A、B、C三种粗粮的成本价之和．已知每袋甲种粗粮的成本比每袋乙种粗粮的成本高10%，每袋甲种粗粮的利润比每袋乙种粗粮的利润高50%．当电商销售甲、乙两种袋装粗粮的数量之比为2：1时，销售利润率为25%；当电商销售这两款袋装粗粮的销售利润率为24%时，该电商销售甲、乙两种袋装粗粮的数量之比是______． 7．甲、乙、丙三人在A、B两块地植树，其中甲在A地植树，丙在B地植树，乙先在A地植树，然后转到B地．已知甲、乙、丙每小时分别能植树10棵，8棵，12棵．若乙在A地植树12小时后立即转到B地，则两块地同时开始同时结束；若要两块地同时开始，但A地比B地早6小时完成，则乙应在A地植树______小时后立即转到B地． 8．中秋佳节即将到来，某糕点店推出了甲、乙、丙三种月饼套盒，各套盒均含有云腿、五仁、玫瑰三种口味的月饼，月饼套盒的售价即为单个月饼的售价之和．甲套盒中含有云腿月饼9枚，五仁月饼2枚，玫瑰月饼5枚，乙套盒中含有云腿月饼3枚，五仁月饼2枚，玫瑰月饼6枚，丙套盒中所包含的月饼枚数比甲套盒少1枚．已知每枚五仁月饼的售价是玫瑰月饼的2倍，甲、乙套盒售价相等，丙套盒的售价不低于甲套盒售价的66％，不高于乙套盒售价的70％，则丙套盒中含有的云腿月饼枚数为________枚． 9．某工厂计划m天生产2160个零件，若安排15名工人每人每天加工a个零件（a为整数）恰好完成．实际开工x天后，其中3人外出培训，剩下的工人每人每天多加工2个零件，不能按期完成这次任务，则a的值至少为__． 10．经历了漫长艰难的体训，初三学子即将迎来中考体考，初三某班的家长为孩子们准备了脉动饮料、士力架和葡萄糖口服液．已知脉动饮料、士力架和葡萄糖口服液的单价之和为22元，计划购买脉动饮料、士力架和葡萄糖口服液的数量总共不超过200，其中葡萄糖口服液的单价为10元，计划购买50支．脉动饮料的数量不多于士力架数量的一半，但至少购买30瓶．在做预算时，将脉动饮料和士力架的单价弄反了，结果在实际购买时，总费用比预算多了160元．若脉动饮料、士力架和葡萄糖口服液的单价均为整数，则实际购买脉动饮料、士力架和葡萄糖口服液的总费用最多需要花费________元． 11． 4月30日，某水果店购进了100千克水蜜桃和50千克苹果，苹果的进价是水蜜桃进价的1.2倍，水蜜桃以每千克16元的价格出售，苹果以每千克20元的价格出售，当天两种水果均全部售出，水果店获利1800元． （1）求水蜜桃的进价是每千克多少元？ （2）5月1日，该水果店又以相同的进价购进了300千克水蜜桃，第一天仍以每千克16元的价格出售，售出了8a千克，且售出量已超过进货量的一半．由于水蜜桃不易保存，第二天，水果店将水蜜桃的价格降低了a%，到了晚上关店时，还剩20千克没有售出，店主便将剩余水蜜桃分发给了水果店员工们，结果这批水蜜桃的利润为2660元，求a的值． 12．为了美化环境，建设生态桂林，某社区需要进行绿化改造，现有甲、乙两个绿化工程队可供选择，已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多200平方米，甲队与乙队合作一天能完成800平方米的绿化改造面积． （1）甲、乙两工程队每天各能完成多少平方米的绿化改造面积？ （2）该社区需要进行绿化改造的区域共有12000平方米，甲队每天的施工费用为600元，乙队每天的施工费用为400元，比较以下三种方案：①甲队单独完成；②乙队单独完成；③甲、乙两队全程合作完成．哪一种方案的施工费用最少？ 13．某校为了丰富师生的课余生活，组织了一次工会活动，准备一次性购买若干钢笔和笔记本（每支钢笔的价格相同，每本笔记本的价格相同），若购买2支钢笔和3本笔记本共需62元，购买5支钢笔和1本笔记本共需90元． （1）购买一支钢笔和一本笔记本各需多少元？ （2）工会准备购买钢笔和笔记本共80件作奖品，根据规定购买的总费用不超过1100元，则工会最多可以购买多少支钢笔？ 14．为落实“保民生促经济”政策，某销售公司今年4月份调整了职工的月工资分配方案，调整后月工资由基本保障工资和计件奖励工资两部分组成（计件奖励工资＝销售每件产品的奖励金额×销售的件数）．下表是甲、乙两位职工今年5月份的工资情况信息： 职工 甲 乙 月销售件数（件） 150 200 月工资（元） 4400 5200 （1）求工资分配方案调整后职工的月基本保障工资和销售每件产品的奖励金额各多少元？ （2）若职工丙今年6月份的工资不低于5350元，那么丙该月至少应销售多少件产品？ 【答案】 中考一轮复习03一次方程（组）与一元一次不等式（组）易错点梳理及题型突破2025-2026学年人教版九年级下册（四题型）易错点梳理 易错点01 在一元一次方程中忽略一次项系数不为0 一元一次方程的标准形式是：，不能漏掉一次项系数不等于0这一条件。 易错点02 移项忘记变号 移项时必须改变符号。 易错点03 解含有分母的一元一次方程时易混淆等式的性质与分式的性质 去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的基本性质，两者不能混淆。 易错点04 漏乘有关项 去分母时漏乘不含分母的项，去括号时漏乘首项后面的项。 易错点05 列方程解应用题时忘记检验 列方程解应用题时，不仅要注意解方程的过程是否正确，还要检验方程的解是否符合问题的实际意义。 易错点06 识别二元一次方程时错误 判断一个方程是否是二元一次方程，必须将方程化为一般形式再按照三要素进行判断。 易错点07 解二元一次方程组时出错 当两个方程相减时，减负项易按加负项计算；方程的两边同乘以一个不为0的常数时，易漏乘常数项。 易错点08 列二元一次方程组解应用题时出错 列二元一次方程组解应用题时应注意：（1）单位要统一；（2）找等量关系必须准确；（3）列方程组时要避免出现0=0的情况。 易错点09 应用不等式的基本性质错误 应用不等式的基本性质对不等式进行变形时，要注意不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向要改变。 易错点10 解一元一次不等式去分母时错误 解含有分母的不等式时，应根据不等式的基本性质去分母，不能直接把分母去掉，也不要漏乘不含分母的项。 题型突破 题型一 等式与不等式的性质 1．已知2a＝3b，则（　　） A．2a+2＝3b+3 B．a＝b C． D．2a2＝3b2 【答案】C 2．实数、、且，，，则下列等式成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 3．已知，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 4．若a＝b+2，则下面式子一定成立的是（　　） A．a﹣b+2＝0 B．3﹣a＝b﹣1 C．2a＝2b+2 D． 【答案】D 5．已知等式，则下列等式中不一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 6．已知，则下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 7．若a＞b，则下列不等式不一定成立的是（　　） A．﹣2a＜﹣2b B．am＜bm C．a﹣3＞b﹣3 D． 【答案】B 8．若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 9．下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 10．若，则下列各式中一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 题型二 一元一次方程、二元一次方程（组）、一元一次不等式（组）的相关概念 1．关于x的方程3x﹣a+5＝0的解是x＝4，则a的值（　　） A．15 B．17 C．﹣5 D．0 【答案】B 2．已知x＝3是关于x的方程的解，则的值是（　　） A．2 B．-2 C．1 D．﹣1 【答案】A 3．下列方程中，解是的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 4．下列方程中是一元一次方程的是（　　） A．3x+4=1﹣2x B．x2+x﹣2=0 C．2x﹣3y=5 D． 【答案】A 5．已知，都是关于，的方程的一个解，则下列对于：，的关系判断正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 6．已知是二元一次方程组的解，则的值为（ ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 7．下列方程组中是二元一次方程组的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 8．同时满足二元一次方程和的，的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 9．下列不等式中，是一元一次不等式的有（ ） ①；②；③；④；⑤． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 10．下列不等式组：①，②，③，④，⑤．其中一元一次不等组的个数是( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 题型三 一元一次方程、二元一次方程（组）、一元一次不等式（组）的解法 1．已知x＝﹣1是关于x的一元一次方程5x﹣3＝2m﹣8x的解，则m＝___． 【答案】-8 2．已知方程，则______． 【答案】 3．若关于x的方程的解是，则a的值为__________． 【答案】1 4．若x，y满足，则的值为_______． 【答案】3 5．方程组的解是_______． 【答案】 6．若方程组的解满足，则k的取值范围是__________． 【答案】k＜ 7．二元一次方程组的解为___． 【答案】 8．不等式5（x﹣1）＜3x+1正整数解是__________． 【答案】1，2 9．不等式 的解集为_____． 【答案】 10．不等式组的整数解为______________． 【答案】x=3 题型四 一元一次方程、二元一次方程（组）、一元一次不等式（组）的应用 1．一家商店将某种服装按成本价提高后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的成本为__________元． 【答案】125 2．若三角形三边之比为3：6：7，与它相似的三角形的最长边为14cm，则此三角形周长为____． 【答案】32cm 3.《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：“今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？”则该题中合伙人数为____________． 【答案】21 4．已知两个连续奇数的积是15，则这两个数是___________________． 【答案】3和5或-3和-5． 5．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹每人六竿多十四，每人八竿恰齐足”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知与多少人和竹竿每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完”若设有牧童x人，根据题意，可列方程为__________． 【答案】6x+14=8x 6．为实现营养的合理搭配，某电商推出适合不同人群的甲、乙两种袋装混合粗粮．其中，甲种粗粮每袋装有2千克A粗粮，3千克B粗粮，3千克C粗粮；乙种粗粮每袋装有4千克A粗粮，2千克B粗粮，2千克C粗粮．甲、乙两种袋装粗粮每袋成本价分别为袋中A、B、C三种粗粮的成本价之和．已知每袋甲种粗粮的成本比每袋乙种粗粮的成本高10%，每袋甲种粗粮的利润比每袋乙种粗粮的利润高50%．当电商销售甲、乙两种袋装粗粮的数量之比为2：1时，销售利润率为25%；当电商销售这两款袋装粗粮的销售利润率为24%时，该电商销售甲、乙两种袋装粗粮的数量之比是______． 【答案】10:9 7．甲、乙、丙三人在A、B两块地植树，其中甲在A地植树，丙在B地植树，乙先在A地植树，然后转到B地．已知甲、乙、丙每小时分别能植树10棵，8棵，12棵．若乙在A地植树12小时后立即转到B地，则两块地同时开始同时结束；若要两块地同时开始，但A地比B地早6小时完成，则乙应在A地植树______小时后立即转到B地． 【答案】17 8．中秋佳节即将到来，某糕点店推出了甲、乙、丙三种月饼套盒，各套盒均含有云腿、五仁、玫瑰三种口味的月饼，月饼套盒的售价即为单个月饼的售价之和．甲套盒中含有云腿月饼9枚，五仁月饼2枚，玫瑰月饼5枚，乙套盒中含有云腿月饼3枚，五仁月饼2枚，玫瑰月饼6枚，丙套盒中所包含的月饼枚数比甲套盒少1枚．已知每枚五仁月饼的售价是玫瑰月饼的2倍，甲、乙套盒售价相等，丙套盒的售价不低于甲套盒售价的66％，不高于乙套盒售价的70％，则丙套盒中含有的云腿月饼枚数为________枚． 【答案】14或13或12 9．某工厂计划m天生产2160个零件，若安排15名工人每人每天加工a个零件（a为整数）恰好完成．实际开工x天后，其中3人外出培训，剩下的工人每人每天多加工2个零件，不能按期完成这次任务，则a的值至少为__． 【答案】9． 10．经历了漫长艰难的体训，初三学子即将迎来中考体考，初三某班的家长为孩子们准备了脉动饮料、士力架和葡萄糖口服液．已知脉动饮料、士力架和葡萄糖口服液的单价之和为22元，计划购买脉动饮料、士力架和葡萄糖口服液的数量总共不超过200，其中葡萄糖口服液的单价为10元，计划购买50支．脉动饮料的数量不多于士力架数量的一半，但至少购买30瓶．在做预算时，将脉动饮料和士力架的单价弄反了，结果在实际购买时，总费用比预算多了160元．若脉动饮料、士力架和葡萄糖口服液的单价均为整数，则实际购买脉动饮料、士力架和葡萄糖口服液的总费用最多需要花费________元． 【答案】1320 11． 4月30日，某水果店购进了100千克水蜜桃和50千克苹果，苹果的进价是水蜜桃进价的1.2倍，水蜜桃以每千克16元的价格出售，苹果以每千克20元的价格出售，当天两种水果均全部售出，水果店获利1800元． （1）求水蜜桃的进价是每千克多少元？ （2）5月1日，该水果店又以相同的进价购进了300千克水蜜桃，第一天仍以每千克16元的价格出售，售出了8a千克，且售出量已超过进货量的一半．由于水蜜桃不易保存，第二天，水果店将水蜜桃的价格降低了a%，到了晚上关店时，还剩20千克没有售出，店主便将剩余水蜜桃分发给了水果店员工们，结果这批水蜜桃的利润为2660元，求a的值． 【答案】（1）5元；（2）25 【解析】解：（1）设水蜜桃的进价是每千克x元，则苹果的进价是每千克1.2x元， （16﹣x）×100＋（20﹣1.2x）×50＝1800， 解得x＝5， 答：水蜜桃的进价是每千克5元； （2）由题意可得， 16×8a＋（300﹣8a﹣20）×16×（1﹣a%）﹣300×5＝2660且8a＞×300， 解得a＝25， 答：a的值是25. 12．为了美化环境，建设生态桂林，某社区需要进行绿化改造，现有甲、乙两个绿化工程队可供选择，已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多200平方米，甲队与乙队合作一天能完成800平方米的绿化改造面积． （1）甲、乙两工程队每天各能完成多少平方米的绿化改造面积？ （2）该社区需要进行绿化改造的区域共有12000平方米，甲队每天的施工费用为600元，乙队每天的施工费用为400元，比较以下三种方案：①甲队单独完成；②乙队单独完成；③甲、乙两队全程合作完成．哪一种方案的施工费用最少？ 【答案】（1）甲队每天能完成绿化的面积是500平方米，乙队每天能完成绿化的面积是300平方米；（2）选择方案①完成施工费用最少 【解析】解：（1）设乙队每天能完成绿化的面积是x平方米，则甲队每天能完成绿化的面积是（x+200）米， 依题意得：x+x+200=800 解得：x=300， x+200=500 ∴甲队每天能完成绿化的面积是500平方米，乙队每天能完成绿化的面积是300平方米． （2）选择方案①甲队单独完成所需费用=（元）； 选择方案②乙队单独完成所需费用=（元）； 选择方案③甲、乙两队全程合作完成所需费用=（元）； ∴选择方案①完成施工费用最少． 13．某校为了丰富师生的课余生活，组织了一次工会活动，准备一次性购买若干钢笔和笔记本（每支钢笔的价格相同，每本笔记本的价格相同），若购买2支钢笔和3本笔记本共需62元，购买5支钢笔和1本笔记本共需90元． （1）购买一支钢笔和一本笔记本各需多少元？ （2）工会准备购买钢笔和笔记本共80件作奖品，根据规定购买的总费用不超过1100元，则工会最多可以购买多少支钢笔？ 【答案】（1）一支钢笔需16元，一本笔记本需10元；（2）工会最多可以购买50支钢笔 【解析】解：（1）设一支钢笔需x元，一本笔记本需y元， 解得： 答：一支钢笔需16元，一本笔记本需10元； （2）设购买钢笔的数量为x支，则笔记本的数量为（80−x）本， 由题意得 解得： 答：工会最多可以购买50支钢笔 14．为落实“保民生促经济”政策，某销售公司今年4月份调整了职工的月工资分配方案，调整后月工资由基本保障工资和计件奖励工资两部分组成（计件奖励工资＝销售每件产品的奖励金额×销售的件数）．下表是甲、乙两位职工今年5月份的工资情况信息： 职工 甲 乙 月销售件数（件） 150 200 月工资（元） 4400 5200 （1）求工资分配方案调整后职工的月基本保障工资和销售每件产品的奖励金额各多少元？ （2）若职工丙今年6月份的工资不低于5350元，那么丙该月至少应销售多少件产品？ 【答案】（1）工资分配方案调整后职工的月基本保障工资为2000元，销售每件产品的奖励金额为16元；（2）职工丙今年6月份至少销售210件产品． 【解析】解：（1）设工资分配方案调整后职工的月基本保障工资为x元，销售每件产品的奖励金额为y元， 依题意得：， 解得：， 答：工资分配方案调整后职工的月基本保障工资为2000元，销售每件产品的奖励金额为16元． （2）设职工丙今年6月份销售m件产品， 依题意得：2000＋16m≥5350， 解得：m≥209． 又∵m为正整数， ∴m的最小值为210． 答：职工丙今年6月份至少销售210件产品． 学科网（北京）股份有限公司 $