精品解析：福建莆田市城厢区2025-2026学年上学期期末九年级数学试卷

城厢区2025－2026学年度上学期期末试卷九年级数学 （满分：150分；考试时间：120分钟） 友情提示：本试卷分为“试题”和“答题卡”两部分，答题时，请按答题卡中的“注意事项”认真作答，答案写在答题卡上的相应位置． 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2025年9月，中国新能源汽车累计销售量已突破400万辆，产销量连续10年位居全球第一．下列新能源汽车图标中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 根据中心对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、该汽车图标是中心对称图形，符合题意； B、该汽车图标不是中心对称图形，不符合题意； C、该汽车图标不是中心对称图形，不符合题意； D、该汽车图标不是中心对称图形，不符合题意； 故选：A． 2. 下列方程中无实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程．通过直接开平方求解每个方程，判断是否有实数根，平方数为负时无实数根，即可解题． 【详解】解：对于A： ∵， ∴，有实数根，不符合题意； 对于B： ∵， ∴， 解得，是实数，有实数根，不符合题意； 对于C： ∵， ∴，，是实数，有实数根，不符合题意； 对于D： ∵， ∴，平方数不能为负， ∴无实数根，符合题意； 故选：D． 3. 如图，赵爽弦图是中国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时提出的勾股定理证明方法，它绕着中心点旋转一定的角度后会与本身重合，则旋转角的大小可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，旋转的性质，正确掌握旋转角的定义是解题的关键． 根据正方形的性质，可得，再根据旋转角的定义和与自身重合，即可求解． 【详解】解：如图，连接，， 正方形， ，即， 当它绕着中心点旋转后与自身重合，即点旋转至点、、、 旋转角为，，，，即为的整数倍时，会与本身重合， 故选项D符合题意． 故选：D． 4. 如图，以点为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的面积是3，则四边形的面积是（ ） A. 9 B. 18 C. 24 D. 27 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了位似变换：位似图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或共线．也考查了相似多边形的性质．先利用位似的性质得到，则四边形与四边形相似比为3，然后根据相似多边形面积的比等于相似比的平方求解． 【详解】解：∵四边形是四边形关于O点为位似中心的位似图形， ∴， ∴四边形与四边形相似比为3， ∴四边形的面积四边形的面积． 故选：D． 5. 2025年12月10－11日，中央经济工作会议正式定调：2026年国补“优化不退出”．某型号的笔记本电脑发售时每台售价12888元，经补贴政策活动优惠后，这台笔记本电脑的售价下降了两次，且每次降价的百分率相同，现在每台售价为8888元，设每次降价的百分率为，则可以列出相关的方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．本题考查百分率的实际应用，需根据两次降价的百分率相同，利用降价后的价格公式列出方程． 【详解】解：∵每次降价的百分率为 ∴第一次降价后的售价为元 ∴第二次降价是在第一次降价后的价格基础上再降，售价为元 又∵现在每台售价为元 ∴可列方程为 故选：B． 6. 如图，已知中，，，将绕点A逆时针旋转50°得到，以下结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得，，再根据旋转角的度数为，通过推理证明对四个结论进行判断即可． 【详解】解：∵绕A点逆时针旋转得到， ∴，，，故B结论正确，不符合题意； ∵， ∴． ∴． ∴．故C结论正确，不符合题意； 中，， ∴． ∴． ∴与不垂直．故A结论错误，符合题意； 在中，， ∴． ∴．故D结论正确，不符合题意． 故选：A． 【点睛】此题考查了旋转性质的应用，图形的旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，还考查了等腰三角形的性质、平行线的判定等知识．熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 7. 如图是二次函数的部分图像，由图像可知不等式的解集是（ ） A B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】由图像可得，二次函数的对称轴为，与轴的一个交点为，根据对称性求得另一点的坐标，即可求解． 【详解】解：由图像可得，二次函数的开口向下，对称轴为，与轴的一个交点为 由对称性可得，与轴的另一个交点为， 则不等式的解集为， 故选：C 【点睛】此题考查了二次函数的图像与性质，根据二次函数的图像求解不等式，解题的关键是掌握二次函数的性质，利用数形结合的思想求解问题． 8. 如图，在四边形中，，，以为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为，若，求半径的长是（ ） A. 2 B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查切线的判定与性质、切线长定理、等腰三角形的判定、勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质和切线长定理是解题的关键． 连接、，根据切线的判定可证是的切线，再根据切线长定理可得，，由切线的性质可得，再由平行线的性质与等腰三角形的判定可得，可得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接、， ∵，是的半径， ∴是的切线， ∵是的切线， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故选：C． 9. 如图，从一张圆形纸片上剪出一个小圆形和一个扇形分别作为圆锥的底面和侧面，其中小圆的直径是大圆的半径．下列剪法恰好能配成一个圆锥的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了弧长和圆锥侧面展开图的认识，根据圆锥的底面圆的周长等于扇形弧长，可求得结果，解题的关键是计算出侧面展开图的圆心角． 【详解】解：设大圆的半径为，则小圆半径为， ∴圆锥的底面圆周长为， 圆锥侧面展开图扇形弧长为， ∴， ∴扇形圆心角等于， 只有选项D符合题意， 故选：D． 10. 如图，点A在双曲线上，连接AO并延长，交双曲线于点B，点C为x轴上一点，且，连接，若面积是6，则k的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 过点A作轴，过点B作轴，根据相似三角形的判定和性质得出，确定，然后结合图形及面积求解即可． 【详解】解：过点A作轴，过点B作轴，如图所示： ∴， ∴， ∵点A在双曲线上，点B在， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，轴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴， 故选：C． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 方程为一元二次方程，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为且二次项系数不为，由此确定的值 【详解】解：方程为一元二次方程，则未知数的最高次数必须为，且二次项的系数，满足条件， 故． 故答案为 12. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点都在横线上．若线段，则线段的长是______． 【答案】2 【解析】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例，根据题意得出是解题的关键． 【详解】解：∵各条平行线间距离相等， ∴， ∵， ∴，解得：， 故答案为：2． 13. 如图，点在上，点是劣弧的中点，，则的大小为_____． 【答案】##40度 【解析】 【分析】此题考查圆周角定理，由点是劣弧的中点，得到，根据圆周角定理即可得到结论． 【详解】解：∵点C是劣弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，以点为旋转中心，将点按顺时针方向旋转到点的位置，则的长为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式，图形与坐标，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 过点作交x轴于点，根据点可求出的度数，代入弧长公式即可求解． 【详解】解：如图，过点作交x轴于点． ， ，， ， ∴， ， 的长度为：． 故填：． 15. 如图，小颖为学校联欢会设计了两个可以自由转动的转盘，．用这两个转盘做“配紫色”游戏（同时转动两个转盘各一次，其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色），配成紫色的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键.将转盘，的红色部分和黄色部分分别等分成两部分，分别记为红₁，红₂，黄₁，黄₂，并画出树状图，得到所有等可能性的结果数，再找到可配成紫色的结果数，最后依据概率计算公式求解即可. 【详解】解：将转盘，的红色部分和黄色部分分别等分成两部分，分别记为红₁，红₂，黄₁，黄₂， 画树状图如下： 由树状图可知一共有种等可能性的结果，其中可配成紫色的结果数有种， 所以配成紫色的概率是 ． 故答案为： ． 16. 已知抛物线上两点，若对于任意，都有，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．由抛物线开口向上及点坐标区间关系，确保函数值不等式恒成立，需满足区间包含关系及参数范围． 【详解】解：在抛物线中，，， ∴对称轴为， ∵， ∴抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大． 要使恒成立，则的上界须小于等于的下界， ∵， ∴的下界是， 因此，对于任意都必须满足，即， ∴且， 解得且． 同时，要使，成立，解得，． 综上，t的取值范围是． 故答案为：． 三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键． 利用公式法解方程即可． 【详解】解： ， ， ∴， 18. 如图，将绕点顺时针旋转得到，其中点与点是对应点，点与点是对应点，且点恰好落在的延长线上，点恰好落在的延长线上．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，相似三角形的性质与判定，根据旋转的性质可得，则，结合对顶角相等，，证明，进而可得，结合对顶角相等，即可证明，得出，进而可得，结合即可证明． 【详解】证明：∵将绕点顺时针旋转得到， ∴ ∴，， ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 由旋转的性质可知 ∴ 又∵ ∴ 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且，求的值． 【答案】（1）证明见解析； （2）或． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据根判别式证明恒成立即可； （2）由题意可得，，，进行变形后代入即可求解． 【小问1详解】 证明：， ∵无论取何值，，恒成立， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． 【小问2详解】 解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 解得：或． 20. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压和气体的体积存在一定的函数关系．下表是几组气体的气压与气体的体积的对应值． 气体的体积 气体的气压 （1）试确定气体的气压关于气体的体积的函数解析式； （2）当气体的体积为时，求气体的气压． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用； （1）先通过表格数据判断与的乘积为定值，确定二者是反比例函数关系，进而求出函数解析式， （2）代入指定的体积值计算对应的气压． 【小问1详解】 解：由表格中的对应数据计算 可得 所以 结合实际背景，气体体积不能为0， 因此自变量的取值范围是即气体的气压关于气体的体积的函数解析式为； 【小问2详解】 解：当时 答：气体的气压为． 21. 某商场“五一”期间为进行有奖销售活动，设立了一个可以自由转动的转盘．商场规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．如表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数 100 200 400 500 800 1000 落在“文创”区域的次数 60 122 240 295 604 落在“文创”区域的频率 0.6 0.61 0.6 0.59 0.604 （1）假如你转动该转盘一次，你获得“文创”的概率约是_____（结果精确到0.1） （2）在这次购物中，甲、乙两人随机从“微信”、“支付宝”、“银行卡”（依次用A、B、C表示）三种支付方式中各选一种方式进行支付．请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人恰好都选择同一种支付方式的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率和用树状图或列表法求概率． （1）从表中频率的变化，可得到估计当很大时，频率将会接近，然后根据利用频率估计概率得“文创”的概率约是； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：估计当很大时，频率将会接近，假如你去转动该转盘一次，你获得“文创”的概率约是； 故答案为：； 【小问2详解】 解：树状图如下： 共有9种等可能情况，其中甲、乙两人恰好都选择同一种支付方式的情况有3种， 故甲、乙两人恰好都选择同一种支付方式的概率为． 22. 用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触，石块会在空中近似地形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度与水平距离之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计） （1）小星抛出石块后，当飞行高度第一次达到1时，求石块距离小星的水平距离； （2）若，在水面上有一个截面宽，高的矩形的障碍物，点的坐标为，判断此时石块沿抛物线运动时是否能越过障碍物？请说明理由； 【答案】（1）石块距离小星的水平距离为 （2）石块沿抛物线运动时不能越过障碍物，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确地求出的函数解析式，是解题的关键． （1）把代入，求出，即可得答案； （2）根据解析式求出，根据得出，利用待定系数法可得出，根据点坐标得出，把代入解析式求出，根据即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴当时，， 解得：（是抛出点，舍去），， ∴当飞行高度第一次达到1时，石块距离小星的水平距离为． 【小问2详解】 解：∵， ∴当时，， 解得：（舍去），， ∴， ∵， ∴， ∵石块沿抛物线运动，点、在抛物线上，， ∴， 解得：， ∴， ∵点的坐标为，， ∴， 当时，， ∵，， ∴石块沿抛物线运动时不能越过障碍物． 23. 拿破仑是法国的一位皇帝，非常喜欢数学．据说他想出一种作图方法，可以只用一把圆规，将已知圆周四等分．具体作法：如图1，设的半径是． ①在圆周上任取一点． ②以为半径，从点开始，在圆周上连续截取，顺次得到点，，． ③分别以和为圆心，长为半径，画弧相交于点． ④以为圆心，长为半径，从点开始，在圆周上连续截取，顺次得到点，，则，，，四点即为的四等分点．（为便于后续解题，图1中已补充连接线段，，） （1）应用几何知识说明上述作图方法可以将圆周四等分的理由； （2）请用不同于上述作图方法，在图2中用尺规完成作图，将圆周四等分（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】（1）理由见解析 （2）作图见解析 【解析】 【分析】（1）如图，连接、、、、、、、、、、，证明，，为等边三角形，推出是的直径，求得，，进一步推出，，得到，，最后得到，即可得出结论； （2）如图，作的直径，作直径的垂直平分线交于点、即可． 【小问1详解】 解：如图，连接、、、、、、、、、、， ∴，，， ∴，，为等边三角形， ∴， ∴， ∴是的直径， ∴，， ∴， ∵分别以和为圆心，长为半径，画弧相交于点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴、、、为的四等分点； 【小问2详解】 解：如图，作的直径，作直径的垂直平分线交于点、， ∴， ∴， ∴、、、为的四等分点． 【点睛】本题考查作图一应用与设计作图，考查了等边三角形的判定与性质，直径所对圆周角是直角，勾股定理及勾股定理的逆定理，垂直平分线的性质，弧、弦、圆心角的关系，基本作图等知识点，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． 24. 已知抛物线（a，b为常数，其中）． （1）求证：抛物线与轴必有交点． （2）点在抛物线上，点在抛物线上．当时，是一个与无关的定值． （i）求的值． （ii）若点是经由点向右平移个单位，向上平移个单位得到，且满足，求的最小值． 【答案】（1）见详解 （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，点的平移，二次函数与轴的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据二次函数的性质，得出，得，即可作答． （2）（i）理解题意，先得出，又因为，整理得，故，又因为是一个与无关的定值，得出，即可作答． （ii）因为点是由点向右平移个单位，向上平移个单位得到，得又因为，得，点在抛物线上，点在抛物线上．得出， 整理得，结合二次函数的性质，进行分析，即可作答． 【小问1详解】 解：∵抛物线， ∴， ∴抛物线与轴必有交点； 【小问2详解】 解：（i）∵点在抛物线上，点在抛物线上． ∴， ∵ ∴， ∴， 则， ∴， ∵， ∴（当无意义）， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵是一个与无关的定值． ∴， ∴， ∴． （ii）∵点是经由点向右平移个单位，向上平移个单位得到， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵点在抛物线上，点在抛物线上． ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的开口方向向上，在时，函数的最小值为． 25. 如图，等腰三角形中，以腰为直径的交底边于点，过点作的切线交于点，连接交于点，连接并延长交于点． （1）求证：； （2）求证：； （3）当时，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，设，由切线的性质可得，则．根据等腰三角形的性质可得，则，命题得证； （2）由圆周角定理可得，．由（1）可得，，从而可证明，则，命题得证； （3）连接、、，设，根据圆内接四边形的性质可得，由等量代换可得，结合，则，从而证明．根据相似三角形的性质可得，结合（2）的结论可得，从而证明，根据比例式构造方程并解出的值． 【小问1详解】 证明：如图，连接，设， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，连接、、，设， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 由（2）可得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 化简，得， 解得或（负值舍去）， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，公式法解一元二次方程，熟练掌握相似三角形的判定定理与性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 城厢区2025－2026学年度上学期期末试卷九年级数学 （满分：150分；考试时间：120分钟） 友情提示：本试卷分为“试题”和“答题卡”两部分，答题时，请按答题卡中的“注意事项”认真作答，答案写在答题卡上的相应位置． 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2025年9月，中国新能源汽车累计销售量已突破400万辆，产销量连续10年位居全球第一．下列新能源汽车图标中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中无实数根的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，赵爽弦图是中国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时提出的勾股定理证明方法，它绕着中心点旋转一定的角度后会与本身重合，则旋转角的大小可以为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，以点为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的面积是3，则四边形的面积是（ ） A. 9 B. 18 C. 24 D. 27 5. 2025年12月10－11日，中央经济工作会议正式定调：2026年国补“优化不退出”．某型号的笔记本电脑发售时每台售价12888元，经补贴政策活动优惠后，这台笔记本电脑的售价下降了两次，且每次降价的百分率相同，现在每台售价为8888元，设每次降价的百分率为，则可以列出相关的方程（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知中，，，将绕点A逆时针旋转50°得到，以下结论中错误的是（ ） A B. C. D. 7. 如图是二次函数的部分图像，由图像可知不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 或 8. 如图，在四边形中，，，以为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为，若，求半径的长是（ ） A. 2 B. C. D. 5 9. 如图，从一张圆形纸片上剪出一个小圆形和一个扇形分别作为圆锥的底面和侧面，其中小圆的直径是大圆的半径．下列剪法恰好能配成一个圆锥的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点A在双曲线上，连接AO并延长，交双曲线于点B，点C为x轴上一点，且，连接，若的面积是6，则k的值为（ ） A 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 方程为一元二次方程，则的值为_____． 12. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点都在横线上．若线段，则线段的长是______． 13. 如图，点在上，点是劣弧的中点，，则的大小为_____． 14. 如图，在平面直角坐标系中，以点为旋转中心，将点按顺时针方向旋转到点的位置，则的长为_____． 15. 如图，小颖为学校联欢会设计了两个可以自由转动的转盘，．用这两个转盘做“配紫色”游戏（同时转动两个转盘各一次，其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色），配成紫色的概率为___________． 16. 已知抛物线上两点，若对于任意，都有，则的取值范围是_____． 三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程：． 18. 如图，将绕点顺时针旋转得到，其中点与点是对应点，点与点是对应点，且点恰好落在的延长线上，点恰好落在的延长线上．求证：． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且，求的值． 20. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压和气体的体积存在一定的函数关系．下表是几组气体的气压与气体的体积的对应值． 气体的体积 气体的气压 （1）试确定气体的气压关于气体的体积的函数解析式； （2）当气体的体积为时，求气体的气压． 21. 某商场“五一”期间为进行有奖销售活动，设立了一个可以自由转动的转盘．商场规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．如表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘次数 100 200 400 500 800 1000 落在“文创”区域的次数 60 122 240 295 604 落在“文创”区域的频率 0.6 061 0.6 0.59 0.604 （1）假如你转动该转盘一次，你获得“文创”的概率约是_____（结果精确到0.1） （2）在这次购物中，甲、乙两人随机从“微信”、“支付宝”、“银行卡”（依次用A、B、C表示）三种支付方式中各选一种方式进行支付．请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人恰好都选择同一种支付方式的概率． 22. 用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触，石块会在空中近似地形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度与水平距离之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计） （1）小星抛出石块后，当飞行高度第一次达到1时，求石块距离小星的水平距离； （2）若，在水面上有一个截面宽，高的矩形的障碍物，点的坐标为，判断此时石块沿抛物线运动时是否能越过障碍物？请说明理由； 23. 拿破仑是法国的一位皇帝，非常喜欢数学．据说他想出一种作图方法，可以只用一把圆规，将已知圆周四等分．具体作法：如图1，设的半径是． ①在圆周上任取一点． ②以为半径，从点开始，在圆周上连续截取，顺次得到点，，． ③分别以和为圆心，长为半径，画弧相交于点． ④以为圆心，长为半径，从点开始，在圆周上连续截取，顺次得到点，，则，，，四点即为的四等分点．（为便于后续解题，图1中已补充连接线段，，） （1）应用几何知识说明上述作图方法可以将圆周四等分的理由； （2）请用不同于上述作图方法，在图2中用尺规完成作图，将圆周四等分（不写作法，保留作图痕迹）． 24. 已知抛物线（a，b为常数，其中）． （1）求证：抛物线与轴必有交点． （2）点在抛物线上，点在抛物线上．当时，是一个与无关的定值． （i）求的值． （ii）若点是经由点向右平移个单位，向上平移个单位得到，且满足，求的最小值． 25. 如图，等腰三角形中，以腰为直径的交底边于点，过点作的切线交于点，连接交于点，连接并延长交于点． （1）求证：； （2）求证：； （3）当时，求值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $