第二十章 勾股定理单元测试卷 2025—2026学年人教版八年级数学下册

答案与解析 1.【答案】  【解析】解：、， 以，，为边的三角形不是直角三角形，故本选项符合题意； B、， 以，，为边的三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； C、， 以，，为边的三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； D、， 以，，为边的三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：． 分别求出两小边的平方和和最长边的平方，看看是否相等即可． 本题考查了勾股定理的逆定理，能够熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键． 2.【答案】  【解析】解：：、不是正整数，不是勾股数，不符合题意；  ：，，不是正整数，不是勾股数，不符合题意；  ：，，均为正整数，但，，，不是勾股数，不符合题意；  ：，，均为正整数，且，，，是勾股数，符合题意；故选：． 勾股数需同时满足两个条件：三个数均为正整数，且满足勾股定理其中最大，按照勾股数定义逐项判断即可得到答案． 本题考查勾股数定义，熟记勾股数定义是解决问题的关键． 3.【答案】  【解析】解：由题意得：， 点表示的数为． 故选：． 利用勾股定理求的长，再根据实数与数轴的关系确定点表示的数． 本题考查了勾股定理，实数与数轴的关系，熟练掌握相关性质是解题的关键． 4.【答案】  【解析】解：由图可得， ， 设边上的高为， ， 解答：， 故选：． 根据勾股定理先求出的长，再根据等面积法即可求得边上的高． 本题主要考查了勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用等面积的方法求出边上的高． 5.【答案】  【解析】本题考查了以弦图为背景的计算，准确理解题意是解题的关键．根据每个直角三角形的面积为大正方形面积小正方形面积，代入求解即可． 【详解】解：此图是由个全等的直角三角形和个小正方形组成， 每个直角三角形的面积为大正方形面积小正方形面积， ，， ， 故选：． 6.【答案】  【解析】解：， ， ， 又， ， ， 正方形的边长为． 故选A． 7.【答案】  【解析】解：如图：分情况讨论： 为斜边时，符合条件的点有个； 为直角边时，符合条件的点有个． 故选：． 根据题意，结合图形，分两种情况讨论：为斜边；为直角边． 本题考查了等腰直角三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想． 8.【答案】  【解析】解：设为，则， 由题意可知，，， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 即段的长度为， 故选：． 设为，则，在中，由勾股定理列出方程，解方程即可． 本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键． 9.【答案】  【解析】【分析】 本题考查平面展开最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．此类题目只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从点到点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案． 【解答】 解：将台阶展开，如下图， 因为，， 所以， 所以， 所以蚂蚁爬行的最短线路为． 故选D． 10.【答案】  【解析】解：如图，延长交于点，延长交于点， 所以，四边形是正方形， ，，， ， ， ，， 因此，矩形的面积为， 故选：． 延长交于点，延长交于点，可得四边形是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解． 本题考查了勾股定理的证明，作出辅助线构造出正方形是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：，是的平分线， ，， 由勾股定理得，， 故答案为：． 根据等腰三角形的性质得到，，根据勾股定理计算，得到答案． 本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么． 12.【答案】  【解析】解：，，， ， 设，则， ，， ， ， ， 解得， 即， 故答案为：． 先根据勾股定理求得的长，再根据，，，即可求得的长． 本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的知识解答． 13.【答案】  【解析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个即风车的外围周长． 【详解】解：依题意，可得“数学风车”中的四个大直角三角形的两条直角边长分别为和， “数学风车”中的四个大直角三角形的斜边长为：， 这个风车的外围周长是， 故答案为：． 14.【答案】  【解析】本题考查了勾股定理及其逆定理的运用，掌握勾股定理及其逆定理的计算是关键． 根据勾股定理得到，则是直角三角形，，由图形面积的计算即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ， ， ， 是直角三角形，， ， 故答案为：． 15.【答案】  【解析】本题考查勾股定理的应用．先利用勾股定理求出，，可得，然后由，得出答案． 【详解】解：由题意知， ， 根据勾股定理得，，， ， 根据勾股定理得，，， ， 故答案为：． 16.【答案】  【解析】解：延长交格点于，连接， ，，， ， ， ， 是的外角， ， 故答案为：． 17.【答案】【小题】 解：是直角三角形理由如下： ， ， ， ． 是直角三角形． 【小题】 由得，，， 的周长为，面积为．   18.【答案】解：， ， 在中，，， ， 的长为； 证明：，， ， 在中，， ，， ， 是直角三角形， ， ．  19.【答案】这架无人机向下飞行的距离的长为米．  【解析】解：，，  ，  是直角三角形，；  设米，若点恰好在边的垂直平分线上，则米，米，  在中，，  ，  解得  答：这架无人机向下飞行的距离的长为米． 20.【答案】【小题】 解：如图所示： 【小题】 解：如图所示：   21.【答案】解：正确．证明如下：因为表示大于的整数，  所以，，均是正整数．  又因为，  所以，，是勾股数．  当时，，，  ，得到勾股数为，，；  当时，，，  ，得到勾股数为，，；  当时，可得到勾股数，，；  当时，可得到勾股数，，；  当时，可得到勾股数，，  答案不唯一．  22.【答案】解：，米，米， 米，米． 答：风筝离地面的垂直高度是米． 如图，风筝上升到了点的位置， 由题意知，米． ，米，米， 米． 答：此时风筝上升了米．   23.【答案】【小题】 解：由题意可知。 在中， ， 所以， 所以 。 在中， ， 所以， 所以供水点到喷泉需要铺设的管道长为。 【小题】 因为，，， 所以。 所以。   24.【答案】【小题】     【小题】 证明：， ． ， ． ． ， ， ． ， ． 解： 方法一： ． 方法二： ． ． ． 【小题】 解：如图，设延长至点． 依题意，得， ． 设， 则， ． 在中， 由勾股定理，得， ， 解得． ． 这个“数学风车”的面积为 ．   25.【答案】【小题】 勾股定理 【小题】 【小题】 是等腰直角三角形，理由如下： ，，， ， ， ， ，且， 是等腰直角三角形．   第7页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $第二十章句股定理单元测试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1.下列各组数不能作为直角三角形的三边长的是() A.2,3,4 B.3,4,5 C.5,12,13 D.1,V3,2 2.我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《倜髀算经》中，试下列各 组数中，是“勾股数”的是() A.1,V2,V3 B.0.3,0.40.5C.2,3,4 D.7,24,25 3.如图，点A表示的数为() A.1.414 B.1-V2 C.V2-1 D.V2 B :A -1 0 4.如图，△ABC的顶点都在以边长为1的小正方形组成的网格格点上，则BC边上的高等于() A B.√2 C.2 2 D.2√2 B 5.我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4 个全等的直角三角形和1个小正方形组成.如图，直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c.若b一 a=4,c=16,则每个直角三角形的面积为() 弦(c) 勾(a) 股(b) A.64 B.60 C.120 D.128 第1页，共8页 6.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为12cm, 正方形A的边长为8cm、B的边长为6cm、C的边长为6cm,则正方形D的边长为() A.2√2cm B.4cm C.V6cm D.3cm 7.我们称网格线的交点为格点如图，在4行×6列的正方形网格中有两个格点A、B,连接AB,在网格中再 找一个格点C,使△ABC是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是() A.2 B.4 C.5 D.6 .A... 8.如图，洛阳地铁公安监控区域的警示图标中，摄像头的支架是由水平、竖直方向的AB、BC两段构成， 若BC段长度为8cm,点A,C之间的距离比AB段长2cm,则AB段的长度为() Q警方提醒您已进入 24小时监控区域 请注意您的言行举止 A.10cm B.12cm C.15cm D.17cm 9.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A和B 是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物， 则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是() A.6 B.8 C.9 D.15 第2页，共8页 10.勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的 记载.如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理.图2是由图 1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3,BC=5,点D,E,F,G,H,I都在矩形KLMJ的边上，则 矩形KLMJ的面积为() D 、A 图1 图2 A.121 B.110 C.100 D.90 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11.如图，△ABC中，AB=AC,AB=5,BC=8,AD是LBAC的平分线，则AD的长为一 12.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=12,BC=5,在AC上截取CD=CB,在AB上截取AP=AD, 则AP=一 C D A P B 13.如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若AC=6,BC= 5,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车 的外围周长是 图1 图2 第3页，共8页 14.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=AB=5,BC=7,CD=1,四边形ABCD的面积 为 B 5 15.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD,对角线AC,BD 交于点0.若AD=4,BC=2,则AB2+CD2= D 16.在如图所示的正方形网格中，∠PAB+∠PBA=· B 三、解答题：本题共9小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题10分) 如图，在边长为1的正方形网格上有一个△ABC,它的各个顶点都在格点上. B (1)△ABC是直角三角形吗？为什么？ (2)求△ABC的周长与面积. 第4页，共8页 18.(本小题10分) 如图，在△ABC中，CD1AB,AB=5,BC=V5,CD=2. (1)求DB的长： (2)求证：AC1BC. D B 19.(本小题10分) 如图，一架无人机旋停在空中点A处，点A与地面上点B之间的距离AB=20米，点A与地面上点C(点B,C 处于同一水平面上)的距离AC=25米，且BC=15米. (1)求LABC的度数； (2)现这架无人机沿AB所在直线向下飞行至点D处，若点D恰好在边AC的垂直平分线上，连接CD,求这架 无人机向下飞行的距离(AD的长)： o B 20.(本小题10分) 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点按下列 要求画图： (1)在图1中画一条线段MN,使MN=√17. (2)在图2中画一个三边长均为无理数，且各边都不相等的直角三角形DEF. 图1 图2 第5页，共8页 21.(本小题10分) 古希腊哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a=2m,b=m2一1，c=m2+1,那么a,b,c 为勾股数.你认为这种说法正确吗？如果正确，请给出证明，并利用这个结论写出一些勾股数 22.(本小题8分) 周末，数学兴趣小组来到广场做活动课题，并制作如下实践报告： 活动课题 风筝离地面垂直高度的探究 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟 问题背景 以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源兴趣小组在放风筝 时想测量风筝离地面的垂直高度。 假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直（线段AB).小组成员测量了相关数据，并 画出如图示意图，测得水平距离BC的长为80米，且线圈里的100米风筝线已全 部放出，牵线放风筝的手到地面的距离为1.5米. 测量数据抽 象模型 B 经过讨论，兴趣小组提出以下问题： (1)根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度； 问题产生 (2)若通过操控手中风筝线使风筝距离放风筝人的水平距离缩短20米，且手中 仍无余线，此时风筝上升了多少米？ 问题解决 …… 请你根据报告单内容完成问题解决，并写出完整的解答过程. 第6页，共8页 23.(本小题10分) 如图所示，某小区的两个喷泉A,B位于小路AC的同侧，两个喷泉之间的距离AB的长为250m。现要为喷 泉铺设供水管道AM,BM,供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN的长为120m,BM的长为 150m。 4 (1)求供水点M到喷泉A需要铺设的管道长； (2)试说明∠BMA=90°。 B 24.(本小题13分) (1)【探究发现】我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示的图形，其中四边 形ABED和四边形CFGH都是正方形.他巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a,b,c之间的一个重要结 论：a2+b2=c2 请你将数学家赵爽的证明过程补充完整： 己知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a, AC=b,AB=c. 求证：a2+b2=c2 G 证明：由图1可知SE方形ABED=4 SAABC十 B S正方CFGH 图1 图2 图3 ~SE方MBED=c2,S△ABC=一， 正方形CFGH的边长为一， c2=4×3ab+(a-b)2=2ab+a2-2ab+b2, 即a2+b2=c2 (2)【深入思考】如图2，在△ABC中，∠C=90°，BC=a,AC=b,AB=C,以AB为直角边在AB的右侧 作等腰Rt△ABD,其中AB=BD,∠ABD=90°，过点D作DE⊥CB,垂足为E. (2)求证：DE=a,BE=b; (3)请你用两种不同的方法表示梯形ACED的面积，并证明a2+b2=c2. 第7页，共8页 (3)【实际应用】(4)将图1的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到如图3所示的 “数学风车”.若a=12,b=9,“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个“数学风 车”的面积 25.(本小题13分) 阅读与思考。 下面是博学小组的一篇拓展性学习报告，请仔细阅读并完成相应的任务。 求任意两点之间的距离 在平面直角坐标系中，A,B两点在x轴上，己知点A的坐标为(x1,0),点B的坐标为(x2,0),则A,B 两点之间的距离记作AB=1x1-x2,同样，C,D两点在y轴上，点C的坐标为(O,y1),点D的坐标为 (0,y2),则C,D两点之间的距离记作CD=y1-y2l如果A(x1,y1),B(x2,y2)是平面直角坐标系内任 意两点，如何求A,B两点之间的距离？我们可以通过构造直角三角形来求A,B两点之间的距离，如 图，过点A,B分别作y轴、x轴的垂线，两垂线的交点为C,则点C的坐标为(x2,y1), .AC=x1-x21,BC ly-y2l, AB2=AC2+BC2(依据)， 即AB=VAC2+BCZ=√(x1-x2)2+y1-y2)2, 我们将此公式AB=√(x1-x2)2+y1-y2)2叫作平面直角坐标系内任意两点A(x1,y1),B(2,y2)之 间的距离公式， B(xy2 A(xy) 任务： (1)材料中的“依据”是指 (2)在平面直角坐标系中，己知M(2,8),N(-3,-4),则M,N两点之间的距离MN=; (3)在平面直角坐标系中，己知A(1,5),B(2,-2),C(-2,1),试判断△ABC的形状，并说明理由. 第8页，共8页 第二十章 勾股定理单元测试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列各组数不能作为直角三角形的三边长的是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2.我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作周髀算经中，试下列各组数中，是“勾股数”的是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3.如图，点表示的数为(    ) A. B. C. D. 4.如图，的顶点都在以边长为的小正方形组成的网格格点上，则边上的高等于(    ) A. B. C. D. 5.我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由个全等的直角三角形和个小正方形组成．如图，直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为若，，则每个直角三角形的面积为(    ) A. B. C. D. 6.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，正方形的边长为、的边长为、的边长为，则正方形的边长为(    ) A. B. C. D. 7.我们称网格线的交点为格点如图，在行列的正方形网格中有两个格点、，连接，在网格中再找一个格点，使是等腰直角三角形，则满足条件的格点的个数是(    ) A. B. C. D. 8.如图，洛阳地铁公安监控区域的警示图标中，摄像头的支架是由水平、竖直方向的、两段构成，若段长度为，点，之间的距离比段长，则段的长度为(    ) A. B. C. D. 9.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为、和，和是这个台阶两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是(    ) A. B. C. D. 10.勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书周髀算经中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图是由图放入矩形内得到的，，，，点，，，，，都在矩形的边上，则矩形的面积为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11.如图，中，，，，是的平分线，则的长为______． 12.如图，在中，，，，在上截取，在上截取，则        ． 13.如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的若，，将四个直角三角形中边长为的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是          ． 14.如图，在四边形中，，，，，四边形的面积为          ． 15.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点若，，则           ． 16.在如图所示的正方形网格中，      ． 三、解答题：本题共9小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 如图，在边长为的正方形网格上有一个，它的各个顶点都在格点上． 是直角三角形吗为什么 求的周长与面积． 18.本小题分 如图，在中，，，，． 求的长； 求证：． 19.本小题分 如图，一架无人机旋停在空中点处，点与地面上点之间的距离米，点与地面上点点，处于同一水平面上的距离米，且米  求的度数；  现这架无人机沿所在直线向下飞行至点处，若点恰好在边的垂直平分线上，连接，求这架无人机向下飞行的距离的长． 20.本小题分 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画图： 在图中画一条线段，使． 在图中画一个三边长均为无理数，且各边都不相等的直角三角形． 21.本小题分 古希腊哲学家柏拉图曾指出，如果表示大于的整数，，，，那么，，为勾股数．你认为这种说法正确吗？如果正确，请给出证明，并利用这个结论写出一些勾股数． 22.本小题分 周末，数学兴趣小组来到广场做活动课题，并制作如下实践报告： 活动课题 风筝离地面垂直高度的探究 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度． 测量数据抽象模型 假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直线段小组成员测量了相关数据，并画出如图示意图，测得水平距离的长为米，且线圈里的米风筝线已全部放出，牵线放风筝的手到地面的距离为米． 问题产生 经过讨论，兴趣小组提出以下问题： 根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度； 若通过操控手中风筝线使风筝距离放风筝人的水平距离缩短米，且手中仍无余线，此时风筝上升了多少米？ 问题解决 请你根据报告单内容完成问题解决，并写出完整的解答过程． 23.本小题分 如图所示，某小区的两个喷泉，位于小路的同侧，两个喷泉之间的距离的长为。现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离的长为，的长为。 求供水点到喷泉需要铺设的管道长 试说明。 24.本小题分 【探究发现】我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图所示的图形，其中四边形和四边形都是正方形他巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长，，之间的一个重要结论：． 请你将数学家赵爽的证明过程补充完整： 已知：在中，，， ，． 求证：． 证明：由图可知 ． ，          ， 正方形的边长为          ， ， 即． 【深入思考】如图，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰，其中，，过点作，垂足为． 求证：， 请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明． 【实际应用】将图的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到如图所示的“数学风车”若，，“数学风车”外围轮廓图中实线部分的总长度为，求这个“数学风车”的面积． 25.本小题分 阅读与思考． 下面是博学小组的一篇拓展性学习报告，请仔细阅读并完成相应的任务． 求任意两点之间的距离 在平面直角坐标系中，，两点在轴上，已知点的坐标为，点的坐标为，则，两点之间的距离记作，同样，，两点在轴上，点的坐标为，点的坐标为，则，两点之间的距离记作如果，是平面直角坐标系内任意两点，如何求，两点之间的距离我们可以通过构造直角三角形来求，两点之间的距离，如图，过点，分别作轴、轴的垂线，两垂线的交点为，则点的坐标为， ，， 依据， 即， 我们将此公式叫作平面直角坐标系内任意两点，之间的距离公式． 任务： 材料中的“依据”是指           在平面直角坐标系中，已知，，则，两点之间的距离           在平面直角坐标系中，已知，，，试判断的形状，并说明理由． 第8页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $