05有关指数幂的比较大小问题寒假作业-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学人教A版必修一寒假作业——指数与指数函数专项突破版 05测试范围：有关指数幂比较大小的问题 一、题型梳理 1、底同指不同：即底数相同指数不同 2、指同底不同：即指数相同底数不同 3、底指都不同：即底数指数都不相同 4、幂对混合型：即指数式与对数式混合型 二、典例讲解 1、底同指不同：即底数相同指数不同 底数相同指数不同：看作一个指数函数的两个函数值，利用指数函数的单调性比较大小。 例1．（多选）下列大小关系正确的是（ ）大小： A. B. C. D. 例2．下列比较大小正确的是（    ） A． B． C． D． 例3．已知，则，，三者从大到小的顺序为 ． 例4．比较下列各题中两个数的大小： (1)，； (2)，． 例5．比较下列各组数的大小： (1)与； (2)与1； (3)与 例6．不使用计算器，比较下列各题中两数的大小： (1)与；(2)与（其中且）． 例7．比较大小： （1）若，则 ； （2）若，则 ； （3）若，则 1． 2、 底不同指同：即底数不同指数相同 底数不同指数相同：（1）利用指数函数的图象，指数函数的图象在y轴右侧，“底大图高”，在y轴左侧，“底大图低”；（2）看作一个幂函数的两个函数值，利用幂函数的单调性进行比较。 例8．比较大小：（1） ；（2） ；（3） . 例9．比较大小：①，；②，；③1.70.3，1.50.3； 例10．比较下列各组数中两个数的大小． (1)与； (2)与； (3)与； (4)与. 例11．比较与的大小，其中. 3、底指都不同：即底数指数都不相同 底数指数都不相同：通过中间量进行比较，中间量常选取的有0,1，求解时，需根据具体情况而定。 例12．已知两个数， 则大小比较正确的是（    ） A． B． C． D．不能比较 例13．比较两个值的大小： （请用“>”，“=”“<”填空） 例14．比较大小： ． 例15．比较两数大小： （在横线处填“＞”或“＝”或“＜”） 例16．比较与的大小. 例17．比较下列各值的大小：. 例18．比较下列各题中两个值的大小: ① 1.70.3，0.83.1；; ②1.5-7，; ③2.3-0.28，0.67-3.1. 例19．比较大小： （1），，，；（2），，，，，. 4、幂对混合型：即指数式与对数式混合型 例20．比较下列几个数的大小：，，，则有（    ） A． B． C． D． 例21．设，则比较大小顺序是（     ） A． B． C． D． 例22．三个数的大小顺序是 A． B． C． D． 例23．以下四组数中大小比较正确的是（    ） A． B． C． D． 例24．已知，，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 例25．若，，，定义在上的奇函数满足:对任意的且都有，则的大小顺序为 A． B． C． D． 05 有关指数幂比较大小的问题的寒假作业 一、选择题 1．已知，，则下列正确的是（   ） A． B． C． D．与大小无法确定 2．已知，则a，b，c的大小关系式（    ） A． B． C． D． 3．三个数，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 4．设，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 5．设，，，则，，的大小是（      ） A． B． C． D． 6．下列各式比较大小正确的是（   ） A． B． C． D． 7．已知，，，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 8．已知定义在上的函数满足：，当时，，，，，则，，的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 9．（多选）设，则大小关系判断正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（多选）下列比较大小正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（多选）下列各式比较大小，正确的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 12．指数函数图象经过点，比较大小 . 13．比较下列各值大小：（）1.2 （）2.1;0.91.1 1.10.9 14．判断大小：5.25－1 5.26－2.(填“>”或“<”) 三、解答题 15．比较下列各题中两个数的大小： （1）与； （2）a0.5与a0.6(a>0且a≠1). 16．（1）已知，比较，的大小； （2）比较与的大小． 17．比较下列各组中两个数的大小： （1），；（2），；（3），；（4），. 18．比较下列几组值的大小： （1）与； （2）与； （3）与； （4）与. 19.比较大小：（1），，； （2）、、、； (3)与（且）； (4)，； 20．比较下列各题中两个数的大小： （1）与； （2）与； （3）与； （4）与； （5）与. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学人教A版必修一寒假作业——指数与指数函数专项突破版 05测试范围：有关指数幂比较大小的问题 一、题型梳理 1、底同指不同：即底数相同指数不同 2、指同底不同：即指数相同底数不同 3、底指都不同：即底数指数都不相同 4、幂对混合型：即指数式与对数式混合型 二、典例讲解 1、底同指不同：即底数相同指数不同 底数相同指数不同：看作一个指数函数的两个函数值，利用指数函数的单调性比较大小。 例1．（多选）下列大小关系正确的是（ ）大小： A. B. C. D. 【答案】 【分析】利用指数函数的单调性即可得解. 【详解】因为函数是上的减函数，而，A对；.因为函数是上的减函数，而，B错；因为，，所以，C对； ，函数在定义域R上单调递减，又，.D对。 例2．下列比较大小正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数的单调性可得出、、这三个数的大小. 【详解】因为指数函数为减函数，则.故选：A. 例3．已知，则，，三者从大到小的顺序为 ． 【答案】 【分析】构造指数函数，利用其单调性求解. 【详解】因为，所以，又因为，所以指数函数在R上递减，所以. 例4．比较下列各题中两个数的大小： (1)，； (2)，． 【答案】(1)；(2) 【分析】根据指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】（1）因为函数为增函数，且，所以； （2）因为函数为增函数，且，所以. 例5．比较下列各组数的大小： (1)与； (2)与1； (3)与 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】利用指数函数的单调性对（1）（2）（3）进行判断即可. 【详解】（1）指数函数是实数集上的减函数，因为，所以； （2）指数函数是实数集上的减函数，因为，所以； （3）指数函数是实数集上的增函数，因为，， 所以. 例6．不使用计算器，比较下列各题中两数的大小： (1)与；(2)与（其中且）． 【答案】(1)；(2)时，，时， 【分析】（1）化为同底数后，由指数函数的单调性得结论； （2）根据指数函数的单调性分类讨论． 【详解】（1）∵，又指数函数在上是严格增函数，且，∴． （2）当时，指数函数在上是严格增函数，且，∴； 当时，指数函数在上是严格减函数，且，∴． 例7．比较大小： （1）若，则 ； （2）若，则 ； （3）若，则 1． 【答案】 > > < 【分析】根据题意，结合指数函数的单调性，即可求解. 【详解】（1）由，因为函数在上为单调递减函数，所以； （2）由，因为函数在上为单调递增函数，所以，即； （3）由，因为，所以函数在上为单调递减函数，所以. 2、 底不同指同：即底数不同指数相同 底数不同指数相同：（1）利用指数函数的图象，指数函数的图象在y轴右侧，“底大图高”，在y轴左侧，“底大图低”；（2）看作一个幂函数的两个函数值，利用幂函数的单调性进行比较。 例8．比较大小：（1） ；（2） ；（3） . 【答案】＜ ＞ ＜ 【分析】（1）由幂函数的单调性即可判断两数的大小． （2）把分数指数幂转化为根式即可比较大小． （3）利用中间值“”再有指数函数的性质“低大图高”即可判断出大小． 【详解】(1)    设，函数在为增函数，又因为，所以 故为：“＜”。 （2），，又因为， 所以 ，所以，故为：“＞”。 （3）因为为减函数，所以 又因为指数函数的性质：“底数越大，越靠近轴”，所以故为：“＜” 【点睛】本题考查比较两数大小，可借助函数的单调性；当两数不能直接比较大小时，可借助与中间值． 例9．比较大小：①，；②，；③1.70.3，1.50.3； 【答案】①；②；③ 【分析】根据相同的指数构造相应的幂函数，如：、，再根据函数在相应区间的单调性判断函数值的大小，即可知指数幂的大小关系；根据幂函数在上为增函数可得结果。 【详解】①在上是递增函数，； ②在上是递减函数，； ③因为幂函数在上为增函数，且，所以。 例10．比较下列各组数中两个数的大小． (1)与； (2)与； (3)与； (4)与. 【答案】(1)>；(2)；(3)<；(4) 【分析】（1）借助于函数y＝在(0，)上单调递增，即可比较大小； （2）借助于在(0，)上为减函数，即可比较大小； （3）借助于函数y＝在(0，)上单调递减，即可判断. （4）借助于中间变量易知，. 【详解】（1）函数y＝在(0，＋)上单调递增，又，>. （2）y＝在(0，＋)上为减函数，又，∴ （3）函数y＝在(0，＋)上为减函数，又，∴<. （4）函数取中间值，函数在(0，＋)上为减函数，所以；又函数在(0，＋)为增函数，所以.∴. 例11．比较与的大小，其中. 【答案】答案不唯一，具体见解析. 【分析】考察函数与，画出函数图像，根据图像得到答案. 【详解】，考察函数与. ∴在同一平面直角坐标系中画出它们的示意图，如图所示： 当时，，故； 当时，，故； 当时，，故.    【点睛】本题考查了利用函数图像比较函数值的大小，意在考查学生对于函数图像的应用能力. 3、底指都不同：即底数指数都不相同 底数指数都不相同：通过中间量进行比较，中间量常选取的有0,1，求解时，需根据具体情况而定。 例12．已知两个数， 则大小比较正确的是（    ） A． B． C． D．不能比较 【答案】B 【解析】利用指数函数和幂函数的单调性求解. 【详解】由幂函数的单调性知：，由指数函数的单调性知： ，所以，故选：B 【点睛】本题主要考查指数幂的大小比较，属于基础题. 例13．比较两个值的大小： （请用“>”，“=”“<”填空） 【答案】> 【分析】利用指数函数的性质比较大小. 【详解】因为，即，又因为，即，所以， 例14．比较大小： ． 【答案】 【分析】利用对应指数、幂函数的单调性判断大小即可. 【详解】由函数的单调性可知：，由函数的单调性可知：， ∴．故答案为： 例15．比较两数大小： （在横线处填“＞”或“＝”或“＜”） 【答案】＞ 【分析】依题意，，又，将放缩为，由此可比较和的大小. 【详解】，又，则. 故答案为：＞. 【点睛】本题考查指数函数和幂函数的单调性应用，比较指数式的大小一般化成相同的底数，再利用单调性比较大小，比较幂函数值的大小，则一般化成指数相同的形式，再利用单调性比较大小，属中档题. 例16．比较与的大小. 【答案】. 【分析】因为，，利用函数为增函数，即可判断结果. 【详解】∵，，而为增函数，∴，即. 【点睛】本题主要考查了利用指数函数的单调性判断指数幂的大小，属于基础题. 例17．比较下列各值的大小：. 【答案】 【分析】不同底数，不同指数的幂，先与中间值0，1比较，其中和都大于1，它们可以与比较后可得大小关系． 【详解】先根据幂的特征，将这4个数分类：（1）负数：；（2）大于1的数：；（3）大于0且小于1的数：. （2）中，（也可在同一平面直角坐标系中，分别作出的图象，再分别取，比较对应函数值的大小，如图，故有.    【点睛】本题考查比较幂的大小，掌握指数函数的单调性是解题关键． 例18．比较下列各题中两个值的大小: ① 1.70.3，0.83.1；; ②1.5-7，; ③2.3-0.28，0.67-3.1. 【答案】① ；.②1.5-7>；③ 2.3-0.28<0.67-3.1. 【分析】①找中间量1进行比较可得结果. ②将指数化为同底的指数，构造函数y=，根据其单调性即可比较大小； ③将两个数据与比较大小，即可判断大小关系. 【详解】①因为，，所以. ②1.5-7=，构造函数y=.∵0<<1，∴y=在R上是减函数. 又7<12，∴，即1.5-7>. ③由指数函数的性质，知2.3-0.28<2.30=1，0.67-3.1>0.670=1，则2.3-0.28<0.67-3.1. 例19．比较大小： （1），，，；（2），，，，，. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）先判断，，，，再比较得到答案. （2）首先与0比较，找出负数，再与1相比较，找出大于1的数，再比较大于0且小于1的数，得到答案. 【详解】（1），，，，又，. （2）首先与0比较，找出负数为，.，，即.再与1相比较，找出大于1的数为，.，，，，.再比较大于0且小于1的数，，找出一个中间数.在R上是减函数，.又在上底大图像高，..故. 【点睛】本题考查了利用函数单调性比较函数值大小，意在考查学生对于函数单调性的灵活运用. 4、幂对混合型：即指数式与对数式混合型 例20．比较下列几个数的大小：，，，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先让和0或1比较大小，然后再判断的大小. 【详解】 ， ， .故选D 【点睛】本题考查指对数比较大小，意在考查转化与计算，属于简单题型. 例21．设，则比较大小顺序是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对数函数的性质推导出，利用指数函数的性质推导出，由此能求出结果． 【详解】，，， ．故选：A． 【点睛】本题考查三个数的大小的比较，解题时要认真审题，注意对数函数、指数函数的性质的合理运用，是基础题． 例22．三个数的大小顺序是 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试题分析：由指数函数与对数函数的图形与性质可知，所以，故选D. 例23．以下四组数中大小比较正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合指数函数、对数函数、幂函数性质即可求解 【详解】对A，，故，错误；对B，在第一象限为增函数，故，错误；对C，为增函数，故，正确；对D，，，故，错误；故选：C 例24．已知，，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数和对数函数的图像及单调性解题即可. 【详解】根据指数函数的图像及性质可知：，，所以函数单调递增且， 故，又根据指数函数的图像及性质可知：，，所以函数单调递减且， 故，又根据对数函数的图像及性质可知：函数单调递增， 则当时，，故，综上：，故选：B. 【点睛】对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．当底数与指数都不相同时，选取适当的“媒介”数（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小． 例25．若，，，定义在上的奇函数满足:对任意的且都有，则的大小顺序为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，在上单调递减，又，所以， 所以，故选B． 05 有关指数幂比较大小的问题的寒假作业 一、选择题 1．已知，，则下列正确的是（   ） A． B． C． D．与大小无法确定 【答案】B 【分析】根据指数函数单调性计算求解. 【详解】因为单调递减，所以，所以.故选：B. 2．已知，则a，b，c的大小关系式（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数函数的单调性比较大小即可 【详解】因函数在上为减函数，且所以， ，∴的大小关系为．故选：C． 3．三个数，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数性质判断函数值与1的大小关系即可得到答案． 【详解】， 因为在上为增函数，且，所以 所以 故选：B 4．设，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数单调性及中间值比较大小. 【详解】因为单调递增，所以，因为单调递减，所以，，即，因为，所以，即， 综上：.故选：A 5．设，，，则，，的大小是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性判断. 【详解】因为，，，所以，，的大小是， 故选：C 6．下列各式比较大小正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据与1比较大小可判断A，根据指数函数的单调性判断BCD即可． 【详解】由于，，故A错误；对于指数函数，当时，函数为增函数，故B错误；当时，函数为减函数，故C正确，由于，对于指数函数，当时，函数为增函数，故D错误，故选：C 7．已知，，，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件及指数运算性质，结合指数函数和幂函数的单调性即可求解. 【详解】由题意可知，， 因为在上是单调递增，且， 所以，即，由题意可知，， 因为在上是单调递增，且， 所以，即，所以.故选: B. 8．已知定义在上的函数满足：，当时，，，，，则，，的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据，得到是上的偶函数，再根据，，得到在上是增函数．再根据，，，利用单调性求解. 【详解】由知，是上的偶函数，又，， 得在上是增函数，在上是减函数．因为， 所以，因为，，所以，即.故选：B． 9．（多选）设，则大小关系判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据指数函数的单调性，即可比较大小. 【详解】根据指数函数的单调性可知：，根据指数函数的单调性可知：，∴ 故选：CD 10．（多选）下列比较大小正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据指数函数与幂函数的图象与性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A，由指数函数为单调递增函数，可得成立，所以A正确； 对于B，由幂函数在上单调递增，可得成立，所以B不正确； 对于C，由指数函数为单调递减函数，可得成立，所以C正确； 对于D，由，所以，所以D不正确. 故选：AC. 11．（多选）下列各式比较大小，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用指数函数的单调性逐个分析判断即可. 【详解】对于A，因为在上单调递增，且，所以，所以A错误，对于B，，因为在上单调递减，且，所以，即，所以B正确，对于C，，因为在上单调递增，且，所以，即，所以C正确，对于D，因为在上单调递增，且，所以，因为在上单调递减，且，所以，所以，所以D正确. 故选：BCD 二、填空题 12．指数函数图象经过点，比较大小 . 【答案】 【分析】把点的坐标代入函数的解析式，求出的值，然后判断函数的单调性，最后根据函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为指数函数图象经过点，所以有，因此函数是实数集上的单调递减函数，因此有成立. 13．比较下列各值大小：（）1.2 （）2.1;0.91.1 1.10.9 【答案】 【分析】根据指数函数的单调性即可比较大小. 【详解】因为单调递减，且，所以，因为，，所以. 14．判断大小：5.25－1 5.26－2.(填“>”或“<”) 【答案】 【分析】利用函数y＝x－1与y＝5.26x的单调性即可比较大小 【详解】∵y＝x－1在(0，＋∞)上是减函数，5.25<5.26，∴5.25－1>5.26－1；∵y＝5.26x是增函数，－1>－2， ∴5.26－1>5.26－2.综上5.25－1>5.26－1>5.26－2. 三、解答题 15．比较下列各题中两个数的大小： （1）与； （2）a0.5与a0.6(a>0且a≠1). 【答案】（1）；（2）答案见解析. 【分析】（1）与可看成指数函数y=的两个函数值.根据指数函数的单调性可得答案； （2）a0.5与a0.6可看成指数函数y=ax的两个函数值.分当0<a<1时，和当a>1时，由指数函数的单调性可得答案. 【详解】（1）与可看成指数函数y=的两个函数值. ∵0<<1，∴函数y=在R上是减函数.∵-，∴. （2）a0.5与a0.6可看成指数函数y=ax的两个函数值. 当0<a<1时，函数y=ax在R上是减函数.∵0.5<0.6，∴a0.5>a0.6. 当a>1时，函数y=ax在R上是增函数.∵0.5<0.6，∴a0.5<a0.6. 综上所述，当0<a<1时，a0.5>a0.6；当a>1时，a0.5<a0.6. 【点睛】本题考查指数函数的单调性，根据指数函数的单调性比较两数的大小，属于基础题. 16．（1）已知，比较，的大小； （2）比较与的大小． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先确定函数的单调性，由，利用函数的单调性，即可得到，的大小关系； （2）先利用函数的单调性，得到与1的大小关系，再利用函数的单调性，得到与1的大小关系，即可得解. 【详解】（1），函数在上是减函数，又，； （2），函数在上是减函数．又，； 又，函数在上是增函数．又，． 综上可知，． 17．比较下列各组中两个数的大小： （1），；（2），；（3），；（4），. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）. 【解析】根据指数函数及幂函数的单调性比较大小. 【详解】（1）∵函数在上单调递增，又，. （2） ，，∵函数在上为减函数， 又，，. （3）函数在区间上为增函数，所以， 指数函数为减函数，所以，. （4），. 【点睛】本题考查幂函数及指数函数的单调性的应用，属于基础题. 18．比较下列几组值的大小： （1）与； （2）与； （3）与； （4）与. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）. 【解析】（1）函数为增函数，根据函数的单调性得到答案. （2）函数为减函数，根据函数的单调性得到答案. （3）根据函数单调性得到，得到答案. （4）函数为增函数，根据函数单调性得到答案. 【详解】（1）由于，，函数为增函数，又，因而. （2）由于，函数为减函数，又，因而. （3）由于函数与函数分别为R上的减函数与增函数，而， 因而，即. （4）由于，函数为增函数，因而，即. 【点睛】本题考查了利用函数单调性比较函数值大小，意在考查学生对于函数性质的灵活运用. 19、比较大小：（1），，； （2）、、、； (3)与（且）； (4)，； 【答案】（1）； （2）； (3)当时，；当时，； （4）。 【分析】（1）将三个数据与0或者1进行对比，从而区分大小.（2）利用指数函数、幂函数的单调性结合中间值法可得出各数的大小关系.（4）在同一平面直角坐标系中作出指数函数与的图象，取点比较大小； 【详解】（1）， ，， （2）因为指数函数在上为增函数，幂函数在上为增函数， 所以，.故. （3）当时，在上是增函数，，故． 当时，在上是减函数，，故． （4）在同一平面直角坐标系中作出指数函数与的图象，如图所示， 当时，观察图象易得. 20．比较下列各题中两个数的大小： （1）与； （2）与； （3）与； （4）与； （5）与. 【答案】（1）；（2）当时，；当时，；（3）；（4）；（5）. 【解析】（1）根据函数在R上是减函数，得到函数值的大小关系. （2）讨论和两种情况，根据函数的单调性得到答案. （3）计算得到得到大小关系. （4）计算得到，，得到答案. （5）计算得到，，得到答案. 【详解】（1）与可看成指数函数的两个函数值. ，∴函数在R上是减函数.，. （2）与可看成指数函数的两个函数值. 当时，函数在R上是减函数.，. 当时，函数在R上是增函数.，. 综上所述：当时，；当时，. （3），，，. 又，，. （4）令，，，即. （5）由指数函数的性质知，，所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $