三角函数专项突破版寒假作业04与零点有关的ω的范围与最值问题-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

人教A版高一数学必修一寒假作业——三角函数专项突破版04 ——与零点有关的ω的范围与最值问题 一、利用三角函数的零点求ω的解题策略 若已知三角函数的零点，则利用三角函数的零点与对称中心或周期的关系，可以列出关于ω的不等式(组)，进而求出ω的值或取值范围.区间内零点个数与周期关系密切。设区间长度为L，周期为 T，则零点个数K 满足，结合，解出ω范围。 二、典例讲解 例1、若函数满足，且在有唯一零点，则的最大值为（   ） A． B．3 C．2 D． 例2、函数（且在上单调，且，若在上恰有2个零点，则的取值最准确的范围是（   ） A． B． C． D． 例3、已知函数（），若在区间上有且仅有个零点和个最大值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例4、已知函数．若在区间内没有零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例5、已知函数（）在上单调递增，且在上有且仅有1个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 小结：由零点个数求ω的基本步骤： 令，将x的区间转化为t的区间；根据交点个数确定t区间内包含的周期数； 结合周期公式列不等式，求解ω的范围。 示例：若（ω>0）在(0,π)上恰有3个零点，则t∈(φ,ωπ+φ)，需满足（结合φ∈[0,π)），解得. 【跟踪练习04】 一、单选题 1、若对任意实数，函数在上至少有五个不同的零点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2、已知函数，当时，若方程有4个实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3、已知函数在区间上恰好有3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数为偶函数，在区间上单调递减，且在该区间内没有零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．函数在上恰有两个零点，实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 6．已知函数在上存在零点，且在上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．已知函数在区间上恰有2个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知函数在上有且只有5个零点，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 9．已知函数在区间上是增函数，若函数在上的图象与直线有且仅有一个交点，则的范围为（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，若方程在区间上恰有3个实根，则ω的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11．若函数恰有个零点，则正数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．已知函数的图象是由的图象向右平移个单位得到的．若在上仅有一个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 13．已知函数在区间上单调递增，且在区间内至少有一个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．已知函数．若在区间内没有零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 15．已知函数，若函数在上有且仅有4个零点，则的范围是 ． 16．已知函数在区间上恰好有3个零点，则的取值范围是 ． 17．已知函数，若在上恰有5个零点，则的范围为 ． 18．已知定义域为R的函数的解析式为，若在区间上至多出现2025个最小值，且对任意实数s，在上至少出现2025个零点，则实数的取值范围为 ． 19．已知函数在区间上有且仅有2个不同的零点，则的范围为 . 20．函数，已知在区间恰有三个零点，则的范围为 . 21．已知函数（其中），把函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象.若函数在区间上恰有2个零点，则的取值范围是 . 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版高一数学必修一寒假作业——三角函数专项突破版04 ——与零点有关的ω的范围与最值问题 一、利用三角函数的零点求ω的解题策略 若已知三角函数的零点，则利用三角函数的零点与对称中心或周期的关系，可以列出关于ω的不等式(组)，进而求出ω的值或取值范围.区间内零点个数与周期关系密切。设区间长度为L，周期为 T，则零点个数K 满足，结合，解出ω范围。 二、典例讲解 例1、若函数满足，且在有唯一零点，则的最大值为（   ） A． B．3 C．2 D． 【答案】A 【分析】利用辅助角公式化简函数，再利用指定区间上有唯一零点及周期情况列式求解. 【详解】函数，由得是函数的一条对称轴，则，，解得，；当时，， 由函数在有唯一零点，得，解得，所以当时，取得最大值． 故选：A. 例2、函数（且在上单调，且，若在上恰有2个零点，则的取值最准确的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由结合函数单调性，即可确定的一个对称中心为，即可求得；利用函数的对称中心和单调区间，结合周期可得，求出，再结合函数零点个数，列出不等式求得，综合，即可求得的取值范围. 【详解】因为函数在区间上单调，且满足， 而，,即的一个对称中心为，故；而， 故在区间上单调，设函数的最小正周期为T，则； 函数在区间上恰有2个零点，则恰好为第一个零点，相邻两个零点之间相距半个周期，故，即，解得，结合，可得的取值范围为， 故选：B. 例3、已知函数（），若在区间上有且仅有个零点和个最大值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，将问题转化为在区间上有且仅有4个零点和1个最大值点，结合函数的图象可得答案. 【详解】由，设；在区间上有且仅有4个零点和1个最大值点，即在区间上有且仅有4个零点和1个最大值点.作出的图象如图. 由在区间上有且仅有个零点，得①；又在区间上有且仅有个最大值点，得②；依题意需同时满足①②式，于是得， 即，解得，故的取值范围是. 故选：A 例4、已知函数．若在区间内没有零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简函数解析式，接着由题设结合正弦函数零点性质先求出和，再求出符合代入即可分析求解. 【详解】由题函数 ，当，则，因为在区间内没有零点，所以即， 且，解得， 令得或0，则当时，有；当时，有；综上，满足题意的实数的取值范围是. 故选：D 例5、已知函数（）在上单调递增，且在上有且仅有1个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，利用正弦函数的零点和单调性求出的取值范围 【详解】当，，函数（）在上单调递增，所以，所以当，，且，在上有且仅有1个零点，所以或，所以或，综上的取值范围为， 故选：C 小结：由零点个数求ω的基本步骤： 令，将x的区间转化为t的区间；根据交点个数确定t区间内包含的周期数； 结合周期公式列不等式，求解ω的范围。 示例：若（ω>0）在(0,π)上恰有3个零点，则t∈(φ,ωπ+φ)，需满足（结合φ∈[0,π)），解得. 【跟踪练习04】 一、单选题 1、若对任意实数，函数在上至少有五个不同的零点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的最小正周期为，由于函数在上至少有五个不同的零点，故需满足，即，即的最小值为，故选：B 2、已知函数，当时，若方程有4个实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得，，又，则，如图，要使恰有4个实数根，结合图象需满足，解得．故选：D. 3、已知函数在区间上恰好有3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，，由题意函数在区间上恰好有3个零点，则根据余弦函数的图象与性质知，结合解得， 即的取值范围是.故选：C 4．已知函数为偶函数，在区间上单调递减，且在该区间内没有零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数为偶函数，得到，再根据函数在单调递减，且在该区间上没有零点，由求解. 【详解】因为函数为偶函数，所以，由，得，因为函数在单调递减，且在该区间上没有零点，所以，解得，所以的取值范围为，故选：B 5．函数在上恰有两个零点，实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据的取值范围求出的取值范围，再结合正弦函数的零点性质，确定的取值范围，进而求出结果. 【详解】因为，所以.因为函数在上恰有两个零点，而的零点为.所以在这个区间内，的取值范围应该满足.解得，所以实数的取值范围为. 故选：C. 6．已知函数在上存在零点，且在上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数零点所在区间以及单调递增区间得出相应不等式，即可求得的取值范围. 【详解】因为，当时，由函数在上存在零点，所以，解得；因为在上单调递增，故，， 解得，；显然，所以；当时，无解；当时，可得满足题意，即的取值范围为. 故选：B 7．已知函数在区间上恰有2个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的零点情况，结合正弦函数的图象与性质求解即可. 【详解】令，则，所以，，即，.当时，当时，；当时，；当时，；要使，恰有2个零点，则要求，，所以，解得.当时，当时，；当时，；当时，；要使，恰有2个零点， 所以，解得.综上，的取值范围是． 故选：D. 8．已知函数在上有且只有5个零点，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题知在上有且只有5个零点，进而得，再结合正弦函数的图像可知，解不等式即可得答案. 【详解】因为，令，即，所以，在上有且只有5个零点，因为，所以，所以，如图，由正弦函数图像，要使在上有且只有5个零点，则，即，所以实数的范围是.    故选：C 9．已知函数在区间上是增函数，若函数在上的图象与直线有且仅有一个交点，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合函数的对称性，及在区间上的单调性，可知，又函数与直线交点的横坐标为，从而得，进而可求出的取值范围. 【详解】因为函数的图象关于原点对称，并且在区间上是增函数，所以，所以，又，得，令，得，所以在上的图象与直线的第一个交点的横坐标为，第二个交点的横坐标为，所以，解得，综上所述，. 故选：. 10．已知函数，若方程在区间上恰有3个实根，则ω的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，从而得或，再根据，求出的可能取值，由有3个实根，列出不等式组求解即可. 【详解】若方程，则，即或， 当时， ，则大于的取值为，因为原方程在区间上恰有3个实根，所以，解得．所以的取值范围. 故选：D. 11．若函数恰有个零点，则正数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用零点存在性定理求出函数的零点个数，再由正弦函数的图象性质及零点个数求出范围. 【详解】函数在上单调递增，则函数在上单调递增， 而，则，使得，函数在上有个零点， 由函数有个零点，得函数有个零点，由，得，需使，解得，所以正数的取值范围是. 故选：A. 12．已知函数的图象是由的图象向右平移个单位得到的．若在上仅有一个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题化为函数在上仅有一个零点，求出零点，然后讨论由第一个正零点在区间上，第二个正零点大于列不等式组求解可得. 【详解】由题知，函数在上仅有一个零点，所以，所以，令，得，即.若第一个正零点，则（矛盾）， 因为函数在上仅有一个零点，所以，解得. 故选：A 13．已知函数在区间上单调递增，且在区间内至少有一个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦函数的性质列式计算即可求解. 【详解】当时，，且时，，由函数在区间上单调递增，故，解得，即. 当时，，由函数在区间内至少有一个零点， 则，解得.综上所述，，则的取值范围是. 故选：B. 14．已知函数．若在区间内没有零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简函数解析式，接着由题设结合正弦函数零点性质先求出和，再求出符合代入即可分析求解. 【详解】由题函数 ，当，则， 因为在区间内没有零点，所以即， 且，解得， 令得或0，则当时，有； 当时，有；综上，满足题意的实数的取值范围是. 故选：D 15．已知函数，若函数在上有且仅有4个零点，则的范围是 ． 【答案】 【详解】因为，由，得 ，又函数在上有且仅有4个零点，则，解得 。 16．已知函数在区间上恰好有3个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用余弦函数的图像性质列出关于的不等式，进而求得的取值范围． 【详解】当时，，由题意函数在区间上恰好有3个零点，则根据余弦函数的图象与性质知，结合解得， 即的取值范围是， 17．已知函数，若在上恰有5个零点，则的范围为 ． 【答案】 【详解】因为， 当时，，令，则， 因为在上恰有5个零点，所以，解得. 18．已知定义域为R的函数的解析式为，若在区间上至多出现2025个最小值，且对任意实数s，在上至少出现2025个零点，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题意可得，再由可得，列出不等式代入计算，即可得到的取值范围. 【详解】由得，即，由题意可得，得， 由得，所以相邻零点之间相距或， 由题意知，所以实数的取值范围为． 19．已知函数在区间上有且仅有2个不同的零点，则的范围为 . 【答案】 【分析】确定，根据零点个数得到，解得答案. 【详解】，则，函数有且仅有2个不同的零点，则，解得. 20．函数，已知在区间恰有三个零点，则的范围为 . 【答案】 【分析】根据题意，由三角恒等变换公式将函数化简，然后由函数的零点列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得， 令，即恰有三个实根，三根为：① ，k，∵，∴，∴无解； 或，当时，解得的范围为。 21．已知函数（其中），把函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象.若函数在区间上恰有2个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先根据三角函数变换求出，然后令其为0，求出零点，并根据零点的范围列出不等式，得到.最后分析讨论求出结果即可. 【详解】把函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象， 则.令，则，所以，因为函数在区间上恰有2个零点，所以，化简得，因为，所以.设区间内包含的整数为和需满足. 同时，和不在此区间内.当时，和需满足，解得；当时，和需满足，解得； 当时，和需满足，解得； 学科网（北京）股份有限公司 $