精品解析：江苏泰州市姜堰区2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

九年级数学试卷 （考试时间：120分钟 总分：150分） 请注意： 1.所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上无效． 2.作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗． 第一部分选择题（共18分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 一元二次方程的解为（ ） A. B. C. D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，可利用直接开平方法解方程，即可作答． 【详解】解：∵， ∴，， 故选：D． 2. 下列函数中，y随x的增大而增大的函数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一次函数和二次函数的性质，根据一次函数和二次函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：A．是二次函数，开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随增大而减小，当时，随增大而减大，不符合题意； B．是一次函数，， ∴随增大而减小，不符合题意； C．是一次函数，， ∴随增大而增大，符合题意； D．是二次函数，开口向上，顶点在，当时随增大而减小，不符合题意． 故选：C． 3. 以下四个三角函数值中，最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了锐角三角函数值的大小比较．利用互余角的三角函数关系将余弦值转化为正弦值，再根据锐角正弦函数的增减性比较大小即可． 【详解】解：如图， 在中，，则， ∴， ∴， ∴，， ∵在范围内，正弦函数值随角度增大而增大，且， ∴， 即． 故选：B． 4. 已知一组数据a，2，4，8，6的中位数是6，那么a可以是（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查中位数的定义．需根据中位数概念，结合数据排序后中位数为6的条件确定a的取值范围，再匹配选项即可． 【详解】解：∵中位数的定义是将一组数据从小到大（或从大到小）排列后，若数据个数为奇数，则中位数为中间位置的数；若为偶数，则为中间两个数的平均数． ∵这组数据共5个（奇数个），中位数为排序后的第3个数，且题目规定中位数为6． 将已知数据从小到大排列：2，4，6，8． 要使排序后第3个数为6，则． 观察选项，只有D选项的6满足的条件． 故选：D 5. 如图，中，，，D为边上的黄金分割点，，E为边上一点，，连接，记、的面积为，，则（） A. B. C. D. 无法比较 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查黄金比例的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积，掌握知识点是解题的关键． 先推导出是等腰直角三角形，，是等腰直角三角形，，得到，， 根据黄金分割点的性质，有，推导出，得到，则，即可解答． 【详解】解：∵在中，， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∴， ∵中， ， ∴是等腰直角三角形，， ∴，， ∵D为边上的黄金分割点，且， ∴根据黄金分割点的性质，有， 又∵， ∴， 将代入的表达式， 得， ∵， ∴． 故选：C． 6. 如图，四边形内接于，为直径，平分，要想求出四边形的面积，只要知道（ ） A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的值 【答案】C 【解析】 【分析】先结合为直径，得出，根据平分，得，，，然后证明，故，再证明四边形是矩形，又因为，则四边形是正方形，得出四边形的面积，即可作答． 【详解】解：∵为直径， ∴， 过点分别作的延长线，，连接， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴ ， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵的延长线，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴四边形的面积， 即， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，正方形的判定，角平分线的性质，圆内接四边形对角互补，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第二部分非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 已知，则______． 【答案】##0.2 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质．根据题意可设，，然后代入化简计算即可． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴． 故答案为：． 8. 若一元二次方程的两根为，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系．根据一元二次方程根与系数的关系，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为 ∴， 故答案为：6． 9. 已知一个山坡的坡度为，则山坡的坡角为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坡度和坡角的知识，解答本题的关键是掌握坡度和坡角的概念．根据坡度等于坡角的正切即可求解． 【详解】解：设坡角为， 由题意得，， ． 故答案为：． 10. 若事件A发生的概率是，大量重复做这种试验，事件A平均每200次发生______次． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了利用概率计算随机事件发生的平均次数．根据概率的意义，事件A平均每200次发生的次数等于试验次数乘以概率，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵事件A发生的概率是， ∴大量重复试验中，平均每200次发生的次数为， 故答案为：10． 11. 若二次函数的图象经过点，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的特征．将点代入二次函数解析式，得到，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴， ∴． 故答案为：2． 12. 正多边形的一个内角是，这个正多边形是正______边形． 【答案】六 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角和外角，先根据内角度数求出外角度数，再用外角和除以这个度数即可求解，掌握正多边形的内角和外角的关系是解题的关键． 【详解】解：∵正多边形的一个内角是， ∴正多边形的一个外角是， ∴这个正多边形的边数为， 即正多边形是正六边形， 故答案为：六． 13. 若二次函数的图象的顶点在坐标轴上，则抛物线的开口向______． 【答案】上 【解析】 【分析】本题考查二次函数的顶点坐标．由二次函数顶点在坐标轴上，分顶点在x轴或y轴两种情况讨论，得出a的值，再根据二次项系数符号判断开口方向． 【详解】解：二次函数为 ，其中， 顶点横坐标为，纵坐标为 ， 若顶点在y轴上，则横坐标为0，即， 解得，即； 若顶点在x轴上，则纵坐标为0，即， 解得 ，即； 综上，，此时二次项系数，故抛物线开口向上， 故答案为：上． 14. 如图，是上的点，和是位似图形，位似中心为点，点对应点是点，与相切，若的半径为，，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查位似图形的性质、垂径定理以及相似三角形的判定与性质．先根据垂径定理求出的长度，再利用勾股定理求出的长度，然后根据位似图形的性质得到与相似，最后根据相似三角形的性质求出的长度． 【详解】解：过点作于点，过点作于点， ∵的半径为， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵和是位似图形，位似中心为点O， ∴， ∵与交相切， ∴， ∴， 即：， 解得：． 故答案为：． 15. 如图，中，，，，I为的内心，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了正切的定义、三角形内心的概念、勾股定理以及正方形的判定与性质，解题关键是掌握相关概念，构造直角三角形，利用三角形面积关系求解． 分别过I点作于D，于E，先求出，再利用三角形的面积关系求出和后即可求解． 【详解】解：如图，分别过I点作于D，于E， ∵中，， ∴四边形是矩形， ∵I为的内心， ∴， ∴四边形是正方形 ∴， ∵，， ∴， ∴的周长为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 16. 将二次函数的图像一直向左平移，在平移过程中，图像与y轴的交点P到一次函数图像的距离的最小值为，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设二次函数的图像向左平移个单位长度，根据二次函数的平移求出；设一次函数图像与轴、轴分别交于点、，作于点，则，，则，，，利用勾股定理求出，通过证明，得到，进而求出的表达式，再利用二次函数的性质列出关于k的方程，即可求解． 【详解】解：设二次函数的图像向左平移个单位长度， 则平移后的函数解析式为， 令，则， ∴， 设一次函数图像与轴、轴分别交于点、，作于点， 则， 对于， 当，则； 当，则，解得； ∴，， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当时，有最小值，最小值为， 由题意得，的最小值为， ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的图像与性质、二次函数的平移、勾股定理、相似三角形的性质与判定，运用数形结合思想是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）解方程：； （2）计算：． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，特殊角的三角函数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用因式分解法解方程，即可作答． （2）先化简特殊角的三角函数值，再运算乘方和乘法，即可作答． 【详解】解：（1）∵， ∴， 解得，； （2） 18. 九（1）班组织“青春有为，强国有我”的主题活动，决定从甲、乙、丙、丁4名同学中任选若干名同学担任主持人． （1）若任选1人担任主持人，则甲同学被选中的概率是________； （2）若任选2人担任主持人，请用画树状图法或列表法，求甲同学被选中的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是根据概率公式求概率，熟练掌握求概率的方法是解题的关键． （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图求概率即可求解． 【小问1详解】 解：共有4名同学，甲同学被选中的概率是； 故答案为：． 【小问2详解】 解：画树状图如图， 共有种等可能结果，其中甲同学被选中的结果有6种， ∴甲同学被选中的概率为． 19. 为了弘扬和传承中华优秀传统文化，东北育才学校举办了一场名为“经典文化传承大赛”的初赛，比赛设定满分为10分，参赛学生的得分均为整数．以下是甲、乙两组（每组10人）学生在初赛中的成绩记录（单位：分）： 甲组：6，7，9，10，6，5，6，6，9，6． 乙组：10，7，6，9，6，7，7，6，7，5． 根据甲、乙两组学生的成绩，得到以下的统计表： 组别 平均数 中位数 众数 方差 甲组 7 6 2.6 乙组 7 2 （1）在以上成绩统计表中，=_______，=______，=______． （2）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属于中游略偏上的水平．”根据上面的统计表，判断小明是哪个组的学生，并解释原因． （3）从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个小组参加决赛，应选哪个组？并说明理由． 【答案】（1）6，7，7 （2）小明可能是甲组的学生，解释原因见解析 （3）选乙组参加决赛，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了平均数，中位数，众数及方差的意义，关键是熟练应用特征数做决策． （1）根据方差、中位数和众数定义分别进行解答即可得出答案； （2）根据中位数的意义即可得出答案； （3）根据平均数与方差的意义即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵甲组数据重新排列为：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10． ∴中间两个数的平均数是，则中位数； ∵乙组数据重新排列为：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10． ∴， ∵乙组学生成绩中，数据7出现了四次，次数最多， ∴众数． 故答案为：6，7，7 【小问2详解】 小明可能是甲组的学生，理由如下： ∵甲组的中位数是6分，而小明得了7分， ∴小明在小组中属中游略偏上． 【小问3详解】 选乙组参加决赛．理由如下： ∵甲、乙两组学生平均数相同， 而， ∴乙组的成绩比较稳定， 故选乙组参加决赛． 20. 已知二次函数的图象经过点． （1）求该二次函数的解析式． （2）若，在该二次函数的图象上，试判断，的大小关系，并说明理由． 【答案】（1） （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象性质，比较函数值的大小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，直接把点代入计算，即可作答． （2）先理解题意，整理，开口方向向上，当时，函数有最小值，且为；，开口方向向上，当时，函数有最小值，且为4，然后把化为顶点式，再运用二次函数的性质进行分析，即可作答． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： 依题意，， ∵ ∴开口方向向上，当时，函数有最小值，且为， 依题意，， ∴开口方向向上，当时，函数有最小值，且为4， 由（1）得， ∵， ∴开口方向向下，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越大， ∴对称轴为直线， ∵，在该二次函数的图象上，且， ∴． 21. 如图，小亮一家自驾到风景区C游玩．当到达A地后，小亮发现风景区C在A地的北偏东方向，但导航显示车辆应沿北偏西方向行驶千米至B地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达风景区C． （1）______°； （2）求A，C两地的距离．（参考数据：，结果精确到） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，角所对的直角边等于斜边的一半，等腰直角三角形的判定等，作出合适的辅助线构建直角三角形是解题的关键． （1）由题意得，，，即可求出的度数； （2）过点B作于D，根据题意分别求出，，然后利用角所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理，求得和，即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，，， ， 故答案为：； 【小问2详解】 如图，过点B作于D， 在中，千米，， 则千米，千米， 在中，， ∴千米， ∴， 则A，C两地的距离约为千米． 22. 根据表中的素材，探索完成任务． 素材 生产某款零部件的一间工厂因为引入一体化加工，生产效率提升，月份生产个，同年月份则生产个． 素材 该零部件成本为元/个，某批发商销售一段时间后发现，当零件售价为元时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元，则月销售量将减少个． 问题解决 解决下列问题 任务 求该工厂月份到月份生产数量的平均增长率． 任务 求该零部件月销售利润的最大值． 【答案】；该零部件月销售利润的最大值为元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用——增长率问题、二次函数的性质以及二次函数的应用——销售问题． （1）设该工厂月份到月份生产数量的平均增长率为，根据月份和月份的生产数量列出方程求解即可； （2）根据售价和销售量的关系列出利润的函数表达式，再利用二次函数的性质求出最大值即可解答． 【详解】解：（1）设该工厂月份到月份生产数量的平均增长率为， 则， 解得，（舍去）， 答：该工厂月份到月份生产数量的平均增长率为； （2）设该零件的实际售价元/个，月销售利润为元， 则单个零件销售利润为元，月销售量为个， 则， ， 当时，月利润最大，最大值为， 答：当售价定为元时，该零部件月销售利润最大，利润最大值为元． 23. 如图，在中，，． （1）在图1中，用圆规和没有刻度的直尺在边上求作点D，使（保留作图痕迹，不要求写作法）． （2）在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的相关性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，作，因为，证明，则得，即可作答． （2）由（1）得，又因为，，得出，再把数值代入进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，点D如图所示： 【小问2详解】 解：由（1）得， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， 由（1）得， ∴， 解得． 24. 如图，中，经过A，C两点的与边分别交于E，F，D是上一动点，连接． （1）若______，______，求证：______；（请将信息“①；②；③”分别填入三条横线上，将题目补充完整，并完成证明） （2）在（1）的条件下：若，求阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）任选其中两个作为已知条件，剩下的一个作为结论，再利用圆周角定理等知识进行证明即可． （2）先证明是直径，即经过点O，求出圆的半径，再证明是等边三角形，得出，进一步得到，利用三角形面积公式与扇形面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：若①②，求证③； 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 若①③，求证②； 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 若②③，求证①； 证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵， ∴是直径，即经过点O， 连接， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 过O点作于G， ∴， ∴， ∴， ∴阴影面积为． 【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论、等边三角形的判定与性质、扇形面积的计算等知识，解题关键是正确作出辅助线构造直角三角形与等边三角形． 25. 如图，四边形中，，，，． （1）若，求的值； （2）记四边形的面积为， ①求关于的函数关系式； ②求的最大值； （3）点为边上一动点，，，垂足分别为，，若在点从运动到点的过程中，有且只有一个位置使四边形的长是宽的两倍，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② （3） 【解析】 【分析】（1）过点作于，设，得出四边形是矩形，可得，，，根据可得关于的分式方程，解方程求出的值，检验即可得答案； （2）①设，则，根据可得，根据得出，，，根据即可得答案； ②把①中所得关系式化为二次函数顶点式，根据二次函数的性质即可得答案； （3）当时，设，则，得出，，结合（2）中结论得出，可得，根据，得出，求出，当时，同理求出，根据有且只有一个位置使四边形的长是宽的两倍可得，求出，综上，即可得答案． 【小问1详解】 解：如图，过点作于，设， ∵，， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴，，， ∵， ∴，即， 解得：， 经检验：是分式方程的解， ∴． 【小问2详解】 解：①如（1）中图，设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∵四边形的面积为， ∴ ； ②∵， ∴当时，有最大值，最大值为． 小问3详解】 解：如图，当时，设，则， 由（2）可知，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵为边上一动点，， ∴， ∴， 解得：， 如图，当时，设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在点从运动到点的过程中，有且只有一个位置使四边形的长是宽的两倍， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质、二次函数的最值求法、三角函数的定义及解一元一次不等式，熟练掌握相关判定定理及性质是解题关键． 26. 如图1，点A，B（A在B的左边）为二次函数的图像上两点，A，B的横坐标分别为m，n． （1）若，轴，求n的值； （2）若． ①试说明：直线一定经过定点； ②若二次函数的图像与x轴交于两点，则左边的交点到直线的距离d的最大值为______； （3）若二次函数的图像也经过A，B两点（如图2），点P为线段上异于A，B的动点，过点P作直线轴，交，图像于M，N．问：随着P点的运动，的值是否发生改变？若不改变，求出的值；若改变，说明理由． 【答案】（1） （2）①见解析；② （3）不改变， 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，一次函数的性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． （1）先求出二次函数的对称轴为，推导出点A，B关于二次函数的对称轴对称，得到，求出n的值即可； （2）①依题意可知：，，分类讨论：第一种情况：当轴时，第二种情况：当与x轴不平行时，逐项分析求解即可； ②先求出点，得到，推导出所有满足条件的直线都绕着定点旋转，点到直线的距离d是过C向直线作垂线的垂线段长度，得到在直角三角形中，直角边的长度小于或等于斜边的长度，即，即可解答． （3）分类讨论：第一种情况：当轴时，第二种情况：当与x轴不平行时，逐项分析求解即可． 【小问1详解】 解：二次函数的对称轴为， ∵轴， ∴点A，B关于二次函数的对称轴对称， ∴， 即， 解得． 【小问2详解】 解：①依题意可知：，， 第一种情况：当轴时，则，则， ∵， ∴， ∴， ∴直线一定经过定点． 第二种情况：当与x轴不平行时，则设直线的表达式为； ∵， ∴，， ∴， ∴直线一定经过定点． 综上所述：直线一定经过定点． ②∵与x轴相交， ∴令，即． 即． ∴解得， ∵A在B左边， ∴左边的交点为． ∵由（2）①可知，直线恒过定点， ∴所有满足条件的直线都绕着定点旋转， ∵点到直线的距离d是过C向直线作垂线的垂线段长度， 过点C作于点H，如图 ∴在直角三角形中，，为斜边， ∵，， ∴由勾股定理得． ∵在直角三角形中，直角边的长度小于或等于斜边的长度， ∴，即， ∵当直线时，， ∴距离d的最大值为． 最终答案：； 【小问3详解】 解：不改变，理由如下： ∵，， ∴；， 第一种情况：当轴时，可知， ∴；． 设， ∴，． ∴， ， ∴， 第二种情况：当与x轴不平行时，：． 设， ∴，． ∴，． ∵，， ∴；， ∴． ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试卷 （考试时间：120分钟 总分：150分） 请注意： 1.所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上无效． 2.作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗． 第一部分选择题（共18分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 一元二次方程的解为（ ） A. B. C. D. ， 2. 下列函数中，y随x的增大而增大的函数是（ ）． A. B. C. D. 3. 以下四个三角函数值中，最大的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知一组数据a，2，4，8，6的中位数是6，那么a可以是（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 5. 如图，中，，，D为边上的黄金分割点，，E为边上一点，，连接，记、的面积为，，则（） A. B. C. D. 无法比较 6. 如图，四边形内接于，为直径，平分，要想求出四边形的面积，只要知道（ ） A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的值 第二部分非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 已知，则______． 8. 若一元二次方程两根为，则______． 9. 已知一个山坡的坡度为，则山坡的坡角为_____． 10. 若事件A发生的概率是，大量重复做这种试验，事件A平均每200次发生______次． 11. 若二次函数的图象经过点，则______． 12. 正多边形的一个内角是，这个正多边形是正______边形． 13. 若二次函数的图象的顶点在坐标轴上，则抛物线的开口向______． 14. 如图，是上的点，和是位似图形，位似中心为点，点对应点是点，与相切，若的半径为，，则的长为______． 15. 如图，中，，，，I为的内心，则______． 16. 将二次函数的图像一直向左平移，在平移过程中，图像与y轴的交点P到一次函数图像的距离的最小值为，则k的值为______． 三、解答题（本大题共10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）解方程：； （2）计算：． 18. 九（1）班组织“青春有为，强国有我”主题活动，决定从甲、乙、丙、丁4名同学中任选若干名同学担任主持人． （1）若任选1人担任主持人，则甲同学被选中的概率是________； （2）若任选2人担任主持人，请用画树状图法或列表法，求甲同学被选中概率． 19. 为了弘扬和传承中华优秀传统文化，东北育才学校举办了一场名为“经典文化传承大赛”的初赛，比赛设定满分为10分，参赛学生的得分均为整数．以下是甲、乙两组（每组10人）学生在初赛中的成绩记录（单位：分）： 甲组：6，7，9，10，6，5，6，6，9，6． 乙组：10，7，6，9，6，7，7，6，7，5． 根据甲、乙两组学生的成绩，得到以下的统计表： 组别 平均数 中位数 众数 方差 甲组 7 6 2.6 乙组 7 2 （1）在以上成绩统计表中，=_______，=______，=______． （2）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属于中游略偏上的水平．”根据上面的统计表，判断小明是哪个组的学生，并解释原因． （3）从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个小组参加决赛，应选哪个组？并说明理由． 20. 已知二次函数的图象经过点． （1）求该二次函数的解析式． （2）若，在该二次函数的图象上，试判断，的大小关系，并说明理由． 21. 如图，小亮一家自驾到风景区C游玩．当到达A地后，小亮发现风景区C在A地的北偏东方向，但导航显示车辆应沿北偏西方向行驶千米至B地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达风景区C． （1）______°； （2）求A，C两地的距离．（参考数据：，结果精确到） 22. 根据表中素材，探索完成任务． 素材 生产某款零部件的一间工厂因为引入一体化加工，生产效率提升，月份生产个，同年月份则生产个． 素材 该零部件成本为元/个，某批发商销售一段时间后发现，当零件售价为元时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元，则月销售量将减少个． 问题解决 解决下列问题 任务 求该工厂月份到月份生产数量的平均增长率． 任务 求该零部件月销售利润的最大值． 23. 如图，在中，，． （1）在图1中，用圆规和没有刻度的直尺在边上求作点D，使（保留作图痕迹，不要求写作法）． （2）在（1）的条件下，若，，求的长． 24. 如图，中，经过A，C两点与边分别交于E，F，D是上一动点，连接． （1）若______，______，求证：______；（请将信息“①；②；③”分别填入三条横线上，将题目补充完整，并完成证明） （2）在（1）的条件下：若，求阴影部分的面积． 25. 如图，四边形中，，，，． （1）若，求的值； （2）记四边形的面积为， ①求关于的函数关系式； ②求的最大值； （3）点为边上一动点，，，垂足分别为，，若在点从运动到点的过程中，有且只有一个位置使四边形的长是宽的两倍，直接写出的取值范围． 26. 如图1，点A，B（A在B的左边）为二次函数的图像上两点，A，B的横坐标分别为m，n． （1）若，轴，求n的值； （2）若． ①试说明：直线一定经过定点； ②若二次函数的图像与x轴交于两点，则左边的交点到直线的距离d的最大值为______； （3）若二次函数的图像也经过A，B两点（如图2），点P为线段上异于A，B的动点，过点P作直线轴，交，图像于M，N．问：随着P点的运动，的值是否发生改变？若不改变，求出的值；若改变，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $