10.5用二元一次方程组解决问题寒假预习讲义-2025-2026学年苏科版七年级下学期数学（知识点归纳+题型精讲+综合测试）

10.5用二元一次方程组解决问题寒假预习讲义（苏科版） ✅ 课前预习★目标 1.回顾二元一次方程组的代入消元法和加减消元法，能熟练解简单方程组； 2.知道实际问题中有两个未知量时，可设两个未知数，用二元一次方程组解决； 3.学会从实际问题中找出两个等量关系，并据此列出方程组； 4.初步掌握用方程组解决实际问题的基本步骤：审、设、列、解、验、答； 5.体会方程组在解决多个未知量问题时的优势，为课堂学习打好基础。 ☘ 重点知识★梳理归纳 【知识点1和差倍分问题】 分析：抓住题目中的和、差、倍数、分数关系．基本等量关系式：较大量 － 较小量 ＝ 相差量，总量 ＝ 倍数 × 倍量． 解题方法：设两个未知数，根据题目中的数量关系列出两个方程，组成二元一次方程组求解． 【知识点2产品配套问题】 分析：两种部件数量满足固定配套比例，即加工总量成比例． 关键关系：生产总量之比=配套比例 解题方法：设生产不同部件的数量为未知数，根据配套关系列出方程，求解得到生产各部件的数量． 【知识点3速度问题】 分析：涉及路程、速度和时间的关系，基本关系式为路程＝速度×时间．包括相遇问题（两者行驶路程之和等于总路程）、追及问题（两者行驶路程之差等于初始距离或特定路程差）等． 解题方法：设两个物体的速度分别为未知数，根据题目中的路程和时间信息列出方程组求解． 【知识点4航速问题】 分析：要考虑顺流（风）和逆流（风）时的速度变化．顺流（风）时，航速 ＝ 静水（无风）时的速度 ＋ 水（风）速；逆流（风）时，航速＝静水（无风）时的速度 － 水（风）速． 解题方法：设船在静水中的速度和水流速度（或飞机在无风时的速度和风的速度）为未知数，根据顺流和逆流的路程、时间等条件列出方程组求解． 【知识点5工程问题】 分析：基本关系式是工作总量＝工作效率×工作时间，有时需把工作总量看作1． 解题方法：设甲、乙等不同工作主体的工作效率为未知数，根据工作总量、工作时间等信息列出方程组求解． 【知识点6盈亏问题】 分析：关键是从盈（过剩）、亏（不足）两个角度来把握事物的总量． 解题方法：设物品的数量和分配的对象数量为未知数，根据盈和亏的情况列出方程组求解． 【知识点7数字问题】 分析：首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示．对于两位数，可表示为十位数字 ×10 ＋ 个位数字；三位数可表示为百位数字 ×100 ＋ 十位数字 ×10 ＋ 个位数字等． 解题方法：设数字的各个数位上的数字为未知数，根据数字之间的关系列出方程组求解． 【知识点8几何问题】 分析：基本关系是有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式．如长方形的周长 ＝ 2×（长 ＋ 宽），面积 ＝ 长 × 宽；三角形的面积 ＝ 底 × 高 ÷2 等． 解题方法：设几何图形的相关边长、角度等为未知数，根据几何图形的性质和已知条件列出方程组求解． 💦 核心考点★精讲讲练 题型1根据实际问题列二元一次方程组 例1．学校食堂采购两种规格的饭盒盛汤，已知5个大饭盒加1个小饭盒共能盛汤3升，1个大饭盒加5个小饭盒共能盛汤2升．若设1个大饭盒能盛汤升，1个小饭盒能盛汤升，则列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，根据等量关系正确列出方程是关键． 根据题目中给出的两个盛汤总量的等量关系，分别列出关于x、y的方程，组成二元一次方程组即可判断选项． 【详解】解：设1个大饭盒能盛汤升，1个小饭盒能盛汤升， 又∵5个大饭盒加1个小饭盒共能盛汤3升， ∴， ∵1个大饭盒加5个小饭盒共能盛汤2升， ∴， ∴可列方程组为， 故选：D 变式1．某公司为奖励获奖员工，花了元购买了两种奖品共件，已知A奖品每件元，B奖品每件元．设A奖品有件，B奖品有件，则可列方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．根据题意，A和B奖品总件数为件，总花费为元，由此列出二元一次方程组 【详解】解：设A奖品有x件，B奖品有y件，故可列方程组为：． 故答案为：． 变式2．从甲地到乙地有一段上坡路与一段平路，如果保持上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地需，从乙地到甲地需，求上坡路和平路各有多长． 【答案】上坡路  和平路 【分析】分析题意，由已知设出未知数，找出题目中所含的等量关系列出二元一次方程组即可解决． 【详解】解：设从甲地到乙地的上坡路有，平路有， 根据题意，得解得 答：上坡路和平路分别为和． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，找出题目中的等量关系列出方程组是解决此题的关键． 题型2根据几何图形列二元一次方程组 例2．如图，用10块形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖的长和宽分别为和，则依题意可列方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是看懂图示，分别表示出长方形的长和宽．根据图示可得：长方形的左右的边可以表示为或25，故，长方形的上下边可以表示为，或，故，整理得，联立两个方程即可． 【详解】解：根据图示可得：，即 故选：B． 变式1．如图所示为两个形状、大小完全一样的小长方形拼接而成的图形．设小长方形的宽为，长为，则可列方程组为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查列二元一次方程组，解题关键是要读懂题干配图．根据题意和图，找出合适的等量关系，即可列出方程组． 【详解】解：由题意和图可得， ． 故答案为：． 变式2．小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1；小红看见了，说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图2那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是面积为的小正方形． (1)图2中间阴影小正方形的边长为_____； (2)设每一个小长方形的长为，宽为，则由图1可列二元一次方程为_____，由图2可列二元一次方程为_____； (3)求每个小长方形的面积． 【答案】(1)3 (2)，； (3) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及长方形的面积，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）根据正方形的面积公式结合平方根的定义求解即可； （2）根据设每个小长方形的长为，宽为，根据长方形对边相等列二元一次方程组求解即可． （3）求出、，即可得出每个小长方形的面积. 【详解】（1）解：设阴影小正方形的边长为，依题意得： ，解得：，（负值不合题意已经舍去） （2）设每个小长方形的长为，宽为， 则由图1可列二元一次方程为， 由图2可列二元一次方程为. （3）设每个小长方形的长为，宽为， 根据题意得：， 解得：， ． 答：每个小长方形面积为． 题型3方案问题（二元一次方程组的应用） 例3．为了弘扬雷锋精神，增强青少年的社会责任感和奉献精神，明远中学组织一批学生到老年公寓参加志愿活动，活动时间累计56个小时，每名男生工作6小时，每名女生工作4小时，则可以安排学生参加活动的方案有（    ）种． A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的非负整数解应用，解题的关键是通过方程化简分析未知数的取值特征，确定符合条件的方案数． 设男生、女生人数为、，列方程化简后，根据为非负整数确定的偶数特征，进而找出所有方案． 【详解】解：设安排男生名，女生名， 由题意得：， 化简为， 则． 为非负整数，为非负偶数，即为非负偶数． 设（为非负整数），代入得． 由得，故取0，1，2，3，4， 对应5种方案：；；；；． 故选：D． 变式1．“市长杯”校园足球联赛的比赛规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．十一中足球队在第一轮比赛中赛了9场，只负了2场，共得17分．则十一中足球队胜了 场， 【答案】5 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用．设胜了x场，平了y场，根据比赛总场次和总得分列二元一次方程组求解． 【详解】解： ∵负2场， ∴胜场和平场之和为场． 设胜了x场，平了y场，根据题意得∶ ， 解得：， 答：故胜了5场． 故答案为5 变式2．某蔬菜种植基地计划用中型和大型两种货车运送蔬菜，两种货车的载货情况如下表所示： 中型车（满载） 大型车（满载） 运货总量 4辆 3辆 54t 2辆 5辆 62t (1)求一辆中型车和一辆大型车分别满载时能运输蔬菜的吨数； (2)现计划一次性运送80吨蔬菜，且每辆车都必须满载． ①请你为该基地设计所有可行的租车方案； ②若中型车每辆租金为800元/次，大型车每辆租金为1200元/次，请你为该基地计算最少租车费用，并说明此时的租车方案． 【答案】(1)一辆中型车载货6吨，一辆大型车载货10吨 (2)①方案一：租用中型车0辆，大型车8辆；方案二：租用中型车5辆，大型车5辆；方案三：租用中型车10辆，大型车2辆；②最少费用9600元，方案为租中型车0辆，租用大型车8辆 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，有理数混合计算的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设一辆中型车载货吨，一辆大型车载货吨，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）①设租用中型车辆，大型车辆，，根据题意，列出方程，结合，为非负整数，即可求解；②求出①中三种方案的租车费用，即可求解． 【详解】（1）解：设一辆中型车载货吨，一辆大型车载货吨，根据题意得： ， 解得， 答：一辆中型车载货6吨，一辆大型车载货10吨． （2）解：①设租用中型车辆，大型车辆，根据题意得： ， 即， ∵，为非负整数， ∴，，中型车不租，大型车8辆； ，，租用中型车5辆，大型车5辆； ，，租用中型车10辆，大型车2辆； 综上所述，方案一：中型车0辆，租用大型车8辆；方案二：租用中型车5辆，大型车5辆；方案三：租用中型车10辆，大型车2辆； ②根据题意得：租车费用为元 方案一：（元）； 方案二：（元）； 方案三：（元）； ∵， ∴最少费用9600元，此时租车方案为租中型车0辆，租用大型车8辆． 题型4行程问题（二元一次方程组的应用） 例4．甲、乙两港口相距100 km，若一艘轮船往返两港口，顺流航行用4 h，逆流航行用5 h，则这艘轮船在静水中的速度是（    ） A．2.5  km/h B．22.5  km/h C．4.5  km/h D．20.5  km/h 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设轮船在静水中的速度为 km/h，水流速度为 km/h，根据顺流和逆流的速度与时间关系列方程组求解. 【详解】解：设轮船在静水中的速度为 km/h，水流速度为 km/h， 由题意得： 解得： 因此，轮船在静水中的速度为 ． 故选：B． 变式1．甲、乙二人分别从相距的A，B两地出发，相向而行，如果甲比乙早出发，那么乙出发后，他们相遇；如果他们同时出发，那么后，两人相距，则甲由A地到B地需要 【答案】或10 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，根据相遇问题中的路程关系列方程．当同时出发后相距时，需分两种情况讨论：相遇前相距和相遇后相距．分别与第一个条件联立解方程组，求出甲的速度，再计算甲由A地到B地所需时间． 【详解】解：设甲的速度为，乙的速度为． 根据第一个条件：甲比乙早出发，乙出发后相遇，得方程： （1） 根据第二个条件：同时出发后相距，分两种情况： 情况一：相遇前相距，得方程： ，即（2） 联立（1）和（2）： ， 解得：，， 甲由A地到B地需要时间：， 情况二：相遇后相距，得方程： ，即（3） 联立（1）和（3）： ， 解得：， 甲由A地到B地需要时间：． 故答案为：或10． 变式2．骑行是一种健康自然的运动方式，能充分享受过程之美，一辆单车、一个背包即可出行，简单又环保．已知A，B两地相距40km，甲、乙两人从A地出发骑自行车前往B地，乙比甲先出发15min，甲出发1h后两人相遇，又过了30min，乙剩余的路程比甲多2km（甲未到终点）． (1)甲、乙每小时各行多少千米？ (2)若甲出发后两人相距1km，求的值． 【答案】(1)甲每小时行20km   乙每小时行16km (2)或或 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，行程问题，掌握二元一次方程组的应用是解题的关键． （1）设甲每小时行，乙每小时行，则甲总共走了，乙总共走了，根据题意列方程组进行求解即可，注意单位换算； （2）分相遇前；相遇后，甲未到终点；相遇后，甲到终点后三种情况，列方程求出所用的时间即可解答． 【详解】（1）解：设甲每小时行，乙每小时行． 根据题意，得 解得 故甲每小时行，乙每小时行． （2）解：相遇前：，解得，，符合题意； 相遇后，甲未到终点：，解得，，符合题意； 相遇后，甲到终点后：，解得，，符合题意． 综上所述，的值为或或． 题型5工程问题(二元一次方程组的应用) 例5．抢修一段全长420m的供暖管线，甲、乙两个工程队同时施工，2.5天全部修完，修完时，甲工程队比乙工程队多修了70m．设甲、乙两个工程队的工作效率分别为x米/天和y米/天，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据“甲、乙两个工程队同时施工，天修完的供暖管线，且修完时，甲工程队比乙工程队多修了”，即可得出关于，的二元一次方程组． 【详解】解：∵甲、乙两个工程队同时施工，天修完的供暖管线， ∴； ∵修完时，甲工程队比乙工程队多修了， ∴． ∴根据题意可列方程组 故选：B． 变式1．某市在落实国家“精准扶贫”政策的过程中，为某村修建一条长为400米的公路，由甲、乙两个工程队负责施工．甲工程队独立施工2天后，乙工程队加入，两工程队联合施工3天后，还剩50米的工程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工2米，则甲工程队每天施工 米，乙工程队每天施工 米． 【答案】 44.5 42.5 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设甲工程队每天施工米，乙工程队每天施工米，根据题意，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设甲工程队每天施工米，乙工程队每天施工米，由题意，得： ，解得：， 答：甲工程队每天施工米，乙工程队每天施工米； 故答案为：，． 变式2．汨罗某再生资源工厂处理一批废铜，若每天处理150吨，可提前6天完成；若每天处理120吨，将延误3天完成．设原计划天完成，这批废铜共有吨． (1)根据题意列出方程组； (2)求解该方程组，得出原计划完成时间和废铜总数． 【答案】(1) (2)原计划42天完成，废铜总数为5400吨 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，审清题意、找到等量关系、 列出方程组是解题的关键． （1）根据等量关系“每天处理150吨，可提前6天完成”和“每天处理120吨，将延误3天完成”列出方程组即可； （2）直接利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：设原计划天完成，这批废铜共有吨， 由每天处理150吨，可提前6天完成，则；每天处理120吨，将延误3天完成，则； 所以． （2）解：， 可得：，解得：， 将代入①可得：吨． 答：原计划42天完成，废铜总数为5400吨． 题型6数字问题（二元一次方程组的应用） 例6．对有理数x、y定义新运算：，其中a，b都是常数．若，，则a，b的值分别是（    ） A．1，2 B．2，1 C．2，2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程组． 根据新定义得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求出a、b的值． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， 即， 解得：． 故选：C． 变式1．小明和小亮做加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为57；而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到和为75，原来两个加数分别是 ． 【答案】5和7/7或5 【分析】本题考查二元一次方程组的应用．设原来两个加数中的一个加数为x，另一个加数为y，再结合两个等量关系：一个加数＋另一个加数，一个加数另一个加数可列出方程组，然后求解所得的方程组即可． 【详解】解：设原来两个加数中的一个加数为x，另一个加数为y，根据题意得： ， 解得，． 故答案为：5和7． 变式2．有一个两位数，其个位和十位上的数字之和为7．将该数的十位数字与个位数字调换，所得到的新的两位数与原来的两位数的积为1300．求原来的两位数． 【答案】25或52 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意设出未知数，列出方程并求解． 设原来两位数十位上的数字为，则个位上的数字为，表示出原两位数和新两位数，根据它们的积为1300列方程求解． 【详解】解：设原来的两位数十位上的数字为，则个位上的数字为． 根据题意，得． 整理，得． 解得，． 当时，，原来的两位数为25； 当时，，原来的两位数为52． 答：原来的两位数为25或52． 题型7年龄问题（二元一次方程组的应用） 例7．一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是（   ） A．9岁，7岁 B．10岁，6岁 C．12岁，7岁 D．12岁，6岁 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组实际应用，年龄问题，熟练掌握年龄差不变是解题的关键； 根据题目中的数量关系列出方程，进而求解哥哥和妹妹的年龄． 【详解】解：设妹妹的年龄为x岁，哥哥的年龄为y岁 由①得： 把③代入②，得 把代入③ 故方程组的解为 即妹妹的年龄为岁，哥哥的年龄为岁； 故选：B ． 变式1．甲对乙说：“我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁数的一半；当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁．”则今年甲的年龄为 岁． 【答案】28 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设今年甲的年龄为x岁，乙的年龄为y岁，根据我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁数的一半可得方程，根据当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁可得方程，据此建立方程组求解即可． 【详解】解：设今年甲的年龄为x岁，乙的年龄为y岁， 由题意得，， 解得， ∴今年甲的年龄为28岁， 故答案为：28． 变式2．小明和小亮比年龄．小明说：“再过4年，我就和你现在一样大．”小亮说：“再过4年，我的年龄就是你现在年龄的2倍．”根据小明和小亮的对话，求他们现在的年龄． 【答案】小明现在8岁，小亮现在12岁 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，正确列出方程组是解答的关键． 设小明现在的年龄x岁，小亮现在的年龄y岁，根据题意列出方程组，然后解方程组即可解答． 【详解】解：设小明现在的年龄x岁，小亮现在的年龄y岁， 根据题意，得 解得 答：小明现在8岁，小亮现在12岁． 题型8分配问题（二元一次方程组的应用） 例8．某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，要使一个螺栓配套两个螺帽，应如何分配工人才能使每天生产的螺栓和螺帽刚好配套？设生产螺栓x人，生产螺帽人，列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，难点在于理解第二个等量关系：若要保证配套，则生产的螺帽的数量是生产的螺栓数量的2倍，所以列方程的时候，应是螺栓数量的2倍=螺帽数量． 等量关系为：生产螺栓的工人数+生产螺帽的工人数=90；螺栓总数×2=螺帽总数，把相关数值代入即可． 【详解】解：设生产螺栓x人，生产螺帽人， 根据总人数可得方程； 根据生产的零件个数可得方程， 可得方程组：． 故选A． 变式1．阳光学校的同学们为此次爱心助学活动组织了一场广场义演，售出单人票和双人票共1000张，筹得票款6950元．已知双人票每张8元，单人票每张5元，则单人票售出了 张． 【答案】350 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，审清题意、正确列出方程组是解题的关键． 设单人票售出x张，双人票售出y张，根据总票数和总票款列方程组，求解即可． 【详解】解：设单人票售出x张，双人票售出y张， 由题意可得：， 解得：． 所以，单人票售出350张． 故答案为：350． 变式2．某学校组织学生夏令营，需要安排宿舍．如果每间宿舍住3人，那么有12人无法住宿；如果每间宿舍住5人，那么就会空出2间宿舍．设宿舍有间，学生有人． (1)请根据题意，列出二元一次方程组； (2)宿舍有多少间？学生有多少人？ 【答案】(1) (2)宿舍有11间，学生有45人 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意得到等量关系是解题的关键． （1）设宿舍有间，学生有人．根据题意，列出二元一次方程组，即可； （2）利用代入消元法解答即可． 【详解】（1）解：设宿舍有间，学生有人． 根据题意，列出二元一次方程组：； （2）解：由（1）得 把②代入①，可得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴二元一次方程组的解为， 答：宿舍有11间，学生有45人． 题型9销售、利润问题（二元一次方程组的应用） 例9．学校文艺部组织部分成员看演出，共买了8张甲票、4张乙票，总共用了112元．已知每张甲票比乙票贵2元，则每张甲票、每张乙票的价格分别是（   ） A．10元和8元 B．8元和10元 C．12元和10元 D．10元和12元 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系，列出方程组是解决此题的关键． 设每张甲票、每张乙票的价格分别为元，元，根据等量关系列方程组解得即可． 【详解】解：设每张甲票、每张乙票的价格分别为元，元， 由题意，得： 解得：． ∴每张甲票、每张乙票的价格分别为10元，8元． 故选：A ． 变式1．一次考试之后数学老师来到一奶茶店购买奶茶用于奖励成绩进步较大的学生，注视着价格表： （1）老师发现：2杯百香双重奏、3杯芝士葡萄共需元；3杯百香双重奏、5杯芝士葡萄共需元，那么购买1杯百香双重奏和2杯芝士葡萄共需 元； （2）老师购买了杨枝甘露、清补凉椰椰、芝士杨梅三种奶茶共杯，共消费了元，若杨枝甘露元/杯，清补凉椰椰元/杯，芝士杨梅元/杯，则芝士杨梅买了 杯． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组、二元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程以及二元一次方程组是解此题的关键． （1）设每杯百香双重奏的价格为元，每杯芝士葡萄的价格为元．根据2杯百香双重奏、3杯芝士葡萄共需元；3杯百香双重奏、5杯芝士葡萄共需元列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案； （2）设老师购买芝士杨梅杯，杨枝甘露杯，则购买清补凉椰椰杯， 利用总价单价数量列出二元一次方程，根据、、均为正整数，解方程即可得出答案． 【详解】解：（1）设每杯百香双重奏的价格为元，每杯芝士葡萄的价格为元． 由题意，得， ，得, 故购买1杯百香双重奏和2杯芝士葡萄共需元． 故答案为：． （2）设老师购买芝士杨梅杯，杨枝甘露杯，则购买清补凉椰椰杯， 由题意，得， 化简，得， ∴， 又∵、、均为正整数， ∴，， ∴芝士杨梅买了杯， 故答案为：． 变式2．贴春联是中国人过年的重要习俗马年春节临近，沃尔玛超市用元购进，两种春联进行销售，春联的进价和售价如表所示，全部销售后可获得利润元． 种春联 种春联 进价（元副） 售价（元副） (1)沃尔玛超市购进、两种春联各多少副？ (2)由于两种春联的销量比较好，沃尔玛超市决定再用元购进这两种春联（元正好用完且两种春联均购买），因货品紧俏，批发市场春联涨价，种春联为元/副，种春联为元/副，请问沃尔玛超市可以有哪几种购买方案？ 【答案】(1)沃尔玛超市购进种春联副，种春联副 (2)沃尔玛超市可以有种购买方案： ①购买副种春联，副种春联； ②购买副种春联，副种春联； ③购买副种春联，副种春联；④购买副种春联，副种春联 【分析】本题主要考查了二元一次方程组、二元一次方程的应用等知识点，审清题意、正确列出二元一次方程和方程组是解题的关键． （1）设沃尔玛超市购进种春联副，种春联副， 再根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设购进种春联副，种春联副， 则， 整理得：， 然后根据m、n为正整数，确定m、n的可能取值即可解答． 【详解】（1）解：设沃尔玛超市购进种春联副，种春联副， 由题意得：， 解得：． 答：沃尔玛超市购进种春联副，种春联副； （2）解：设购进种春联副，种春联副， 由题意得：， 整理得：， 、均为正整数， 或或或， 沃尔玛超市可以有种购买方案： 购买副种春联，副种春联； 购买副种春联，副种春联； 购买副种春联，副种春联； 购买副种春联，副种春联． 题型10和差倍分问题（二元一次方程组的应用） 例10．一次社会实践小组活动中，男生戴白色帽子，女生戴红色帽子，每个人可以看到除自己以外的每位同学的帽子．每位男生看到的白色帽子比红色帽子多1顶，每位女生看到的红色帽子数量的2倍比白色帽子多3顶，则这个活动小组一共有（    ） A．17人 B．16人 C．15人 D．14人 【答案】B 【分析】设这个活动小组男生有人，女生有人，由题意：每位男生看到的白色帽子比红色帽子多1顶，每位女生看到的红色帽子数量的2倍比白色帽子多3顶，列出二元一次方程组，解方程组即可．此题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设这个活动小组男生有人，女生有人， 由题意得：， 解得：， ， 即这个活动小组一共有16人， 故选：B． 变式1．甲、乙两人共有图书本，若甲给乙本后，甲的图书数是乙的倍，则甲原有图书 本． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设甲原有图书本，乙原有图书本，根据题意列方程组即可求解． 【详解】解：设甲原有图书本，乙原有图书本， 根据题意得：， 解得：， 甲原有图书本， 故答案为：． 变式2．学校阅览室整理一批图书，如果一个人单独做，要用才能完成．现由两组同学共同参与此项工作，第一组整理了，第二组整理了，恰好完成工作．如果每个人的工作效率都相同，且第二组比第一组多5人，那么第一组、第二组各有多少人？ 【答案】第一组有9人，第二组有14人 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． 设第一组有x人，第二组有y人，根据“第一组整理了，第二组整理了，第二组比第一组多5人”列方程组求解即可． 【详解】解：设第一组有x人，第二组有y人， ∵第一组整理了，第二组整理了，第二组比第一组多5人， ∴， 解得：． 答：第一组有9人，第二组有14人． 题型11几何问题（二元一次方程组的应用） 例11．如图，在一个大长方形的内部平铺放入六个完全一样的小长方形，大长方形的边长如图所示，则大长方形内部空白部分的面积是（ ） A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】D 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是会根据图示找出数量关系，然后利用数量关系列出方程组解决问题．设小长方形的长为x，宽为y，根据图示可以列出方程组，然后解这个方程组即可求出小长方形的长和宽，接着就可以求出图中空白部分的面积． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为，依题意得：， 解得：． 故小长方形的长为，宽为， ∴． 故选：D． 变式1．如图，在长方形中，放入6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积是 ． 【答案】67 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，求阴影部分的面积；设小长方形的长为a，宽为b，根据图形列出方程组，求出a，b,再用面积公式计算即可． 【详解】解：设小长方形的长为a，宽为b， 由图可知， 解得， ∴阴影部分面积为， 故答案为67． 变式2．如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是40厘米的大长方形，求每个小长方形的周长和大长方形的面积． 【答案】每个小长方形的周长，大长方形的面积为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设小长方形纸片的长为厘米，宽为厘米，根据题意以及图形中长方形的长相等建立方程组，再解方程组即可． 【详解】解：设小长方形纸片的宽为厘米，长为厘米，根据题意得：， 则每个小长方形的周长厘米 根据大长方形的长相等则和组成方程组， 解得， 所以大长方形的面积为 题型12图表信息题（二元一次方程组的应用） 例12．幻方（）是一种将数字排放在正方形格子中，使其每行、每列和对角线上的数字和都相等的图表，在如下所示的三阶幻方中，的值为（    ） 3 4 x y a c b A． B．0 C．1 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据幻方的特点列出关于x、y的方程．根据“每行、每列和对角线上的数字和都相等”列出方程组并解答． 【详解】解：根据题意，得，即， 解得． 所以． 故选：C． 变式1．如下，在方格中做填数游戏，要求每行，每列及对角线上三个方格中的数之和都相等，则表格中的值是 ． 2 1 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，由题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解，理解题意，正确列出二元一次方程组是解此题的关键． 【详解】解：∵在方格中做填数游戏，要求每行，每列及对角线上三个方格中的数之和都相等， ∴， 解得：， 故表格中的值是， 故答案为：． 变式2．某校七（1）班40名同学为“山区希望工程”捐款，共捐款500元．捐款情况如表： 捐款（元） 5 10 15 20 人数 6 7 表格中捐款10元和15元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，本着负责的态度，班里小王同学利用学过的数学知识求出被墨水污染的数据，你知道他是怎么做的呢？请你写出解答过程． 【答案】捐款10元的有15人，捐款15元的有12人；过程见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设捐款10元的为人，捐款15元的为人，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出结果，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设捐款10元的为人，捐款15元的为人， 根据题意得：， 解得：， 答：捐款10元的有15人，捐款15元的有12人． 题型13古代问题(二元一次方程组的应用) 例13．古题今解：“今有绫七尺、罗九尺，共价适等；但绫三尺、罗五尺，共价二百八十文．问绫、罗尺价各几何？”设绫每尺价文，罗每尺价文，根据条件可列方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意找到等量关系，列出方程是解题的关键． 根据题目中的两个等量关系分别列出方程，组成方程组即可． 【详解】解：绫七尺、罗九尺，共价适等， ， 绫三尺、罗五尺共价二百八十文， ， 可列方程组为， 故选项C符合题意． 故选：C． 变式1．《九章算术》中记载了一个数学问题，其大意为：现有几人合伙买羊，若每人出5钱，则差45钱；若每人出7钱，则差3钱．问：合伙人数是 人，羊的价格是 钱． 【答案】 21 150 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意并正确列方程组是解题关键．设合伙人数为人，羊的价格为钱，根据两种出钱情况列出方程组，利用等量关系求解合伙人数和羊的价格即可． 【详解】解：设合伙人数为人，羊的价格为钱， 根据题意，得方程组：， 将两个方程联立，得：， 移项，得：， 合并，得， 解得：， 代入，得：， 即合伙人数为21人，羊的价格为150钱， 故答案为21；150． 变式2．列二元一次方程组解应用题： 《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳七尺；屈绳量之，不足一尺，木绳各几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子比木条长7尺；将绳子对折再量木条，（对折后的绳子）比木条短1尺，问木条和绳子各长多少尺？” 【答案】绳子长16尺，木条长9尺 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． 用一根绳子去量一根木条，绳子剩余7尺可知：绳子比木条长7尺，得：，绳子对折后比木条短1尺，得：．组成方程组求解即可． 【详解】解：设木条长x尺，绳子长y尺， 根据题意得：， 解得：． 答：绳子长16尺，木条长9尺． 题型14其他问题（二元一次方程组的应用） 例14．若20个盘子和30个杯子的总重量是4.8千克，40个盘子和50个杯子的总重量是8.4千克，则20个盘子和10个杯子的总重量为（    ） A．2.4千克 B．3.2千克 C．3.6千克 D．4千克 【答案】A 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确列出方程组． 每个盘子重x千克，每个杯子重y千克，根据题意列方程组求出，然后代入求解即可． 【详解】解：每个盘子重x千克，每个杯子重y千克， 根据题意得， 解得 ∴（千克）． ∴20个盘子和10个杯子的总重量为2.4千克． 故选：A． 变式1．小明去超市购买了若干个叠放在一起的纸杯．根据图中的信息，你认为图④中纸杯有 个． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，由题意列出方程组即可求解，找出等量关系，列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯（除去增高部分）的高度为， 由题意得：， 解得：， ∴设个纸杯叠放在一起的高度为， 则， 解得：， 故答案为：． 变式2．某校在体育商城三次购买某种型号足球与篮球若干，购买数量与价格如表所示，其中第三次购买时巧遇商城做促销活动，该种型号的足球与篮球都打n折销售． 购物次数 足球数量 篮球数量 购买总费用/元 第一次 8 6 1240 第二次 5 7 1100 第三次 10 12 1200 (1)分别求该种型号的足球与篮球的标价． (2)求n的值． (3)若该校第四次购买该种型号足球与篮球（足球，篮球都要有），且折扣与第三次购买时相同，共花去960元，则该校有哪几种购买方案？ 【答案】(1)该种型号的足球、篮球的标价分别为80元、100元 (2)n的值是6 (3)有三种购买方案，即购买足球5个，篮球12个或购买足球10个，篮球8个或购买足球15个，篮球4个 【分析】此题重点考查二元一次方程组、一元一次方程的应用，正确地用代数式表示购买足球所需要的钱数与购买篮球所需要的钱数是解题的关键． （1）设该种型号的足球、篮球的标价分别为x元、y元，根据题意列方程组求出x、y的值即可； （2）按打n折计算，根据题意列方程列方程，解方程求出n的值即可； （3）设第四次购买a个足球、b个篮球，根据题意得，由a、b都是正整数，求出方程的解即可得出购买足球和篮球的个数，确定出购买方案． 【详解】（1）解：设该种型号的足球、篮球的标价分别为x元、y元， 根据题意得， 解得， 答：该种型号的足球、篮球的标价分别为80元、100元； （2）解：根据题意得， 解得， 答：n的值是6； （3）解：设第四次购买a个足球、b个篮球， 根据题意得，即， 整理得， ∵a、b都是正整数， ∴或或， 答：有三种购买方案，即购买足球5个，篮球12个或购买足球10个，篮球8个或购买足球15个，篮球4个． ✏ 强化巩固★综合测试 一、单选题 1．某商场销售某种商品，当按定价销售时、每件可获利45元；当按定价的八折销售时、销售8件所获利润与将定价降低35元销售12件所获利润相同．若设该商品的进价为x元、定价为y元，则x，y满足的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据等量关系列出代数式，正确列出方程是解题的关键．根据利润关系建立方程：按定价销售时每件利润为；按八折销售8件利润与降价35元销售12件利润相等． 【详解】解：∵按定价销售，每件获利45元， ∴. ∵按定价八折销售，每件利润为，销售8件利润为. ∵定价降低35元销售，每件利润为，销售12件利润为. ∵两者利润相同， ∴. ∴方程组为， 故选：C. 2．如图，在大长方形中放置10个形状、大小都相同的小长方形，大长方形的周长为36，小长方形的长比宽多4．设小长方形的长为x，宽为y，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，关键是从图中提取大长方形的长和宽与小长方形长、宽的等量关系，结合周长公式和长、宽的差列出方程组．首先，由“小长方形的长比宽多4”可直接得到；其次，大长方形周长为，根据长方形周长公式可知长与宽的和为，从图中可分析出大长方形的长与宽之和为，从而得到，进而确定正确方程组． 【详解】解：根据题意，小长方形的长比宽多4，故有； 大长方形的周长为，可得长与宽的和为； 从图中可分析出大长方形的长与宽之和为，因此； 综上，可列方程组为． 故选：D． 3．勤俭节约是中华民族的传统美德，开学前夕，千惠同学用自己平时积攒的30元零花钱去乐福超市购买单价为3元的笔和单价为2元的本两种学习用品，则千惠同学的购买方案有（   ） A．3 种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】B 【分析】题目主要考查二元一次方程的应用，理解题意，列出方程求解是解题关键． 设购买笔的数量为x，本子的数量为y，根据题意列出方程，其中x和y均为正整数，然后求解即可． 【详解】解：设购买笔的数量为x，本子的数量为y， ∵ 总价30元，笔单价3元，本子单价2元， ∴ ，x、y为正整数， ∴为整数， ∴ 为偶数，故x为偶数， ∵购买单价为3元的笔和单价为2元的本两种学习用品， ∴ x的取值范围为且x为偶数， 当时，； 时，； 时，； 时，； ∴共有4种购买方案， 故选：B． 4．一艘轮船往返于、两港之间.顺水航行的速度是，逆水航行的速度是，则轮船在静水中的速度和水流速度分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查利用二元一次方程组解决流水行船问题，根据顺水速度、逆水速度与静水速度、水流速度的关系列出方程组，求解即可得出答案． 【详解】解：设轮船在静水中的速度为，水流速度为， ∵顺水速度静水速度水流速度，逆水速度静水速度水流速度 ∴根据题意列方程组得： 将两个方程相加得：， 解得。 把代入得：，解得。 ∴轮船在静水中的速度是，水流速度是。 故选：C 5．某水池有编号为①，②，③，④，⑤的5个水管，有的是进水管，有的是出水管．已知所开的水管号与水池灌满的时间如下表： 水管编号 ①② ②④ ③④ ③⑤ ⑤① 时间（小时） 3 12 6 4 10 则单独开一条水管，最快注满水池的水管编号为（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设进水效率为正，出水的效率为负，设水池容量为，水管①、②、③、④、⑤的效率分别为、、、、，根据题意列出方程组，求解即可得解，理解题意，正确列出方程组是解此题的关键． 【详解】解：设进水效率为正，出水的效率为负，设水池容量为，水管①、②、③、④、⑤的效率分别为、、、、， 由题意可得：， 解得：， 故水管①、②、③为进水管，水管④、⑤为出水管， ∵， ∴最快注满水池的水管编号为③， 故选：C． 6．宋代数学家杨辉称“幻方”为“纵横图”，传说最早出现的幻方是夏禹时代的“洛书”，杨辉的著作《续古摘奇算法》中总结了“洛书”的构造，在如图所示的三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则的值分别是（    ） 3 2 A．，0 B．1， C．，1 D．1，0 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意正确列方程组是解题的关键；根据每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等列方程组求解即可． 【详解】解：每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等， ， 整理得， 解得：， 的值分别是，1， 故选：． 7．爸爸今年34岁，子女两人的年龄和是16岁，两年后，妹妹年龄的3倍与哥哥的年龄相加恰好等于爸爸的年龄．哥哥和妹妹今年的年龄分别是（   ） A．9岁、7岁 B．10岁、6岁 C．12岁、4岁 D．12岁、6岁 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 设哥哥今年年龄为岁，妹妹为岁，根据年龄和与两年后的条件列方程组求解． 【详解】解：设哥哥今年年龄为岁，妹妹为岁 ∵ 今年子女年龄和， 两年后爸爸年龄为岁， 且， 化简得：， 联立方程： ， ② − ①得：， ， 代入①得：. 故原方程组的解为 ∴ 哥哥岁，妹妹岁； 故选：B. 8．某玩具厂准备用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成一批盲盒，一个盲盒搭配1个玩偶A和2个玩偶B，已知每米布料可做2个玩偶A或3个玩偶B，现计划用128米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据布料总长度和玩偶配套关系列出方程组． 根据布料总长度为128米，以及一个盲盒搭配1个玩偶和2个玩偶的配套关系，列出方程组． 【详解】解：已知用米布料做玩偶，用米布料做玩偶，布料总长度为128米，所以， 每米布料可做2个玩偶，则米布料可做个玩偶；每米布料可做3个玩偶，则米布料可做个玩偶， 因为一个盲盒搭配1个玩偶和2个玩偶，要恰好配套，则玩偶的数量是玩偶的数量的2倍，即，化简得， 所以可列方程组， 故选：A． 9．某班学生去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元．如果35名学生购票恰好用去750元，那么购买甲种票、乙种票的张数分别是（   ） A．17和18 B．20和15 C．18和17 D．15和20 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，准确审题，根据题目条件，找出合适的等量关系是解题的关键． 设甲、乙两种票各买张，张，根据“35名学生购票恰好用去了750元”，作为等量关系列方程组即可求解． 【详解】解：设甲种票买张，乙种票买张， 由题意，得：， 解得：． 所以设甲种票买20张，乙种票买15张． 故选：B ． 10．某年级学生共有246人，其中男生人数比女生人数的2倍少2人，则下面所列的方程组中符合题意的有（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，此题中的等量关系有：①某年级学生共有246人，则；②男生人数比女生人数的2倍少2人，则． 【详解】解：根据某年级学生共有246人，则； 男生人数比女生人数的2倍少2人，则． 可列方程组为． 故选：B． 11．如图，长方形中放置10个形状、大小都相同的小长方形，与的差为1，小长方形的周长为14，则图中阴影部分的面积为（   ） A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设小长方形的长为x，宽为y，根据“与的差为1，小长方形的周长为14”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的值，再利用图中阴影部分的面积大长方形的面积小长方形的面积，即可求出结论． 【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y， 根据题意得， 解得：，， ． 故选：A． 12．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，如图是另一个三阶幻方，则ab2的值为（　　） A． B．6 C． D．36 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键． 根据三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，得出关于、的方程，解方程即可． 【详解】解：根据题意得，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，且都等于三阶幻方中心数的三倍， 则 解得， ，即， 解得， 因此， 故选：D． 13．明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之为四两，九两分之为半斤．”其大意如下：有一群人分银子，若每人分七两，则剩余四两，若每人分九两，则还差半斤（注：明代1斤＝16两，故有成语“半斤八两”），设有银子x两，人数y人，则下列方程正确的是（    ） ；；③；④． A．①③ B．②④ C．②③ D．①④ 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．根据银子总数不变和人数不变的等量关系，推导对应方程并判断选项正确性． 【详解】解：明代1斤两， 半斤两． 人数为人，银子为两， 根据“每人分7两，剩余4两”，可得银子总数：，人数： 根据“每人分9两，还差8两”，可得银子总数：，人数： ，即正确，错误； ，即正确，错误． 故选D 14．买1根油条和3个大饼共7元，买3根油条和1个大饼共5元．下列说法中正确的是（   ） A．买1根油条和1个大饼共2.5元 B．2根油条比1个大饼便宜 C．买2根油条和4个大饼共9元 D．买5根油条和7个大饼共19元 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设1根油条x元，1个大饼y元，列二元一次方程组，求出油条和大饼的单价，再逐项判断即可． 【详解】解：设1根油条x元，1个大饼y元， 由题意得， 解得， 即1根油条1元，1个大饼2元， 买1根油条和1个大饼需要：元，故A选项错误； 2根油条和1个大饼都是2元，故B选项错误； 买2根油条和4个大饼需要：元，故C选项错误； 买5根油条和7个大饼需要：元，故D选项正确； 故选：D． 二、填空题 15．华联商场购进甲、乙两种商品后，甲商品加价50%，乙商品加价40%作为标价，甲商品打八折销售，乙商品打八五折销售．某顾客购买甲、乙商品各一件，共付款538元，已知商场共盈利88元，设甲商品的进价为x，乙商品的进价为y，则可列方程组 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设甲商品的进价为x元/件，乙商品的进价为y元/件，根据盈利=售价-成本即可得出关于x、y的二元一次方程组． 【详解】解：设甲商品的进价为x元，乙商品的进价为y元， 根据题意，甲商品的售价为元， 乙商品的售价为元， 因为某顾客购买甲、乙商品各一件，共付款538元， 所以， 又因为商场共盈利88元， 所以甲、乙两种商品的总进价为元，即， 因此，可列方程组为：， 故答案为：． 16．如图，将四边形中的一角折叠，折痕为，点落在点处，其中，比大．设和的度数分别为和，那么和满足的方程组是 ． 【答案】 【分析】本题考查了列二元一次方程组，折叠的性质． 根据折叠的性质得到，进而根据“，比大”列方程组即可． 【详解】解：∵将四边形中的一角折叠，折痕为， ∴， ∵， ∴， ∵比大， ∴， 即． 故答案为：． 17．小慧去花店购买鲜花，若买6支玫瑰和4支百合，则她所带的钱还剩下8元：若买4支玫瑰和6支百合，则她所带的钱还缺2元．若只买10支玫瑰，则她所带的钱还剩下 元． 【答案】 28 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是通过设未知数，根据“所带钱数不变”建立方程关系，再通过方程变形求出只买10支玫瑰时剩余的钱数． 设玫瑰和百合的单价分别为特定未知数，小慧所带钱数为固定值；根据两种购买方案列出关于总钱数的二元一次方程；通过方程变形消去百合单价的未知数，直接得出总钱数与10支玫瑰价格的差值，即为剩余钱数． 【详解】解：设每支玫瑰元，每支百合元，小慧所带的钱为元． 根据题意得：， 整理得： 得： 即， ． 移项得：，即只买10支玫瑰，所带的钱还剩下28元． 故答案为：28． 18．学校组织学生乘汽车去自然保护区野营，前路段为平路，其余路段为坡路．已知汽车在平路上行驶的速度为，在坡路上行驶的速度为．汽车从学校到自然保护区一共行驶了，则汽车在坡路上行驶了 h． 【答案】5.2 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设汽车在平路上行驶了，在坡路上行驶了，再利用汽车从学校到自然保护区一共行驶了，前路段为平路，建立方程组求解即可． 【详解】解：设汽车在平路上行驶了，在坡路上行驶了， 由题意，得， 解得 故汽车在坡路上行驶了． 故答案为：5.2． 19．两组工人按计划本月应共生产680个零件，实际第一组超额、第二组超额完成了本月任务，因此比原计划多生产118个零件，则本月原计划第一组生产 个零件、第二组生产 个零件． 【答案】 320 360 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，理解题意并正确列方程是解题关键．设原计划第一组生产个零件、第二组生产个零件，根据题意列二元一次方程求解即可． 【详解】解：设原计划第一组生产个零件、第二组生产个零件， 则， 解得：， 即原计划第一组生产个零件、第二组生产个零件， 故答案为：320；360． 20．小明和小亮做两个数的加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为242；而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的和为341，原来两个加数中较小的加数是 ． 【答案】21 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，掌握在加数后多写一个等价于该数乘以的数量关系，从而建立方程组是解题的关键． 设两个加数分别为和，根据题意列出方程组并求解，比较大小得出较小加数． 【详解】解：设原来两个加数分别为和． 根据题意，得方程组 解方程组，将第一式乘以，得， 减去第二式，得，解得． 代入第一式，得， 即，解得． ∴方程组的解为 故原来两个加数分别为和，较小的加数是． 故答案为：． 21．小明问他的数学老师今年多少岁了，老师说：“我像你这么大时，你才1岁，你到我这么大时，我就37岁了．”老师的年龄为 【答案】25 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据二者年龄间的关系，列出关于的二元一次方程组是解题的关键． 设老师今年岁，学生今年岁，根据二者年龄间的关系，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设老师今年岁，学生今年岁， 根据题意得：， 解得：． 则老师的年龄为25岁， 故答案为：25． 22．我校在举办“书香文化节”的活动中，将x本图书分给了y名学生，若每人分6本，则剩余40本；若每人分8本，则还缺50本，则 ． 【答案】310 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确列出方程组是解题的关键． 根据题意，列出关于图书总数x和学生数y的二元一次方程组，并通过求解方程组得到x的值． 【详解】由题意，得方程组： 解得， 故答案为：310． 23．在王伯伯经营的水果店里，李阿姨本来用29元正好能买3千克苹果和2千克柚子，结果王伯伯把两种水果的数量弄反了，从而多收了李阿姨3元钱．柚子每千克( )元． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组，掌握根据题意列出对应方程并正确计算是解题的关键． 设苹果和柚子的单价，根据题意列出方程组，通过消元法求解柚子的价格． 【详解】解：设苹果每千克元，柚子每千克元．根据题意，得： ， 由得， 解得． 故答案为：． 24．某中学七年级4班40名同学第一次为某灾区捐款，共捐款2000元，捐款情况如下表 为灾区捐款（元） 20 40 50 100 人数 10 □ □ 8 求捐款40元的有 名同学，捐款50元的有 名同学． 【答案】 10 12 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设捐款40元的人数为x，捐款50元的人数为y，根据总人数为40和总捐款为2000元，列出方程组并求解． 【详解】解：设捐款40元的人数为x，捐款50元的人数为y， 由题意，捐款20元的有10人，捐款100元的有8人，则捐款40元和50元的人数为人，即； 总捐款方程为，化简得， 解方程组得， ∴捐款40元的有10名同学，捐款50元的有12名同学， 故答案为：10，12． 25．如图，把一个黑色大正方形和四个完全相同的白色小正方形分别按图①②两种方式摆放，若，，则图②中未被白色小正方形覆盖的阴影部分面积为 ． 【答案】128 【分析】本题主要考查了列代数式，解二元一次方程组，解题的关键是表示出图形的面积． 利用二元一次方程组，求出的值，然后求出大正方形和小正方形的边长，最后求出面积即可． 【详解】解：由，得， ，， 解得， 由得，白色小正方形的边长为， ∴黑色大正方形的边长为， ∴未被白色小正方形覆盖的阴影部分面积为， 故答案为：128． 26．如图，是九宫格，在每个格子中填上一个数（圈中没有全部标出）使得每行、每列及对角线上三个数的和都相等，则 ． 1 6 2 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，找出数量关系列式求解是关键． 通过九宫格中每行、每列及对角线上三个数的和相等，列出方程组求解． 【详解】解：设每行、每列及对角线上三个数的和为， 设第一行第三列的数，则， ∴， 从左上到右下的对角线上数的关系：，即， ∴， 从左下到右上的对角线上数的关系：，即， ∴， 设第三行和第二列的数为，则， ∴， 联立方程组得，， 解得，， 故答案为：． 27．我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有共买物，人出七，盈二；人出六，不足三．问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出七钱，会多二钱；每人出六钱，又差三钱．问人数、货物总价各多少？设人数为人，货物总价为钱，可列方程组 ． 【答案】 【分析】本题考查了列二元一次方程组，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系． 设人数为人，货物总价为钱．每人出7钱时，总出资金额为，多出2钱，因此货物总价比少2钱，即．每人出6钱时，总出资金额为，差3钱，因此货物总价比多3钱，即．据此即可得到方程组． 【详解】解：设人数为人，货物总价为钱， 由题意可列方程组． 故答案为： 28．如图所示为哥哥与弟弟的聊天记录，则哥哥想买的平板电脑的原价为 元． 发送者 对话内容 弟弟 哥，你之前提到的平板电脑买了没？ 哥哥 还没，因为它的售价比我的预算还要多100元． 弟弟 这款平板电脑正在打9折促销哦！ 哥哥 这样的话，那就比我的预算便宜了100元． 【答案】2000 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设平板电脑原价为元，哥哥的预算为元．根据聊天记录，原价比预算多100元，即 ；打9折后比预算便宜100元，即．解方程组即可求出原价． 【详解】解：设平板电脑原价为元，哥哥的预算为元． 根据题意， 解得： 则平板电脑的原价为2000元， 故答案为2000． 三、解答题 29．一列火车匀速行驶，经过一条长为1000米的隧道需要50秒，整列火车完全在隧道里的时间是30秒，求火车的平均速度和长度． (1)小智认为可以设火车的平均速度为x米/秒，火车的长度为y米，请你按照小智的思路，列出方程组并求出火车的平均速度和长度； (2)小慧认为可以设火车的长度为m米，则从车头进入隧道到车尾离开隧道所走的路程为 米，所以这段时间内火车的平均速度为 米/秒；火车的平均速度还可以表示为 米/秒；由题意，可列方程 （不需化简和解方程）． 【答案】(1)，火车的平均速度是25米/秒，火车的长度是250米 (2)，，， 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用和二元一次方程组的应用，正确理解完全通过隧道和完全在隧道内的路程是解答本题的关键． （1）设火车的平均速度为x米/秒，火车的长度为y米，根据“火车经过隧道（从车头进入到车尾离开）的路程是隧道长度+火车长度”和“火车完全在隧道里的路程是隧道长度-火车长度”列方程组求解即可； （2）根据平均速度=总路程÷总时间可得火车的平均速度，根据平均速度相同可列方程． 【详解】（1）解：设火车的平均速度为x米/秒，火车的长度为y米，根据题意得： ， 解得， 答：火车的平均速度是25米/秒，火车的长度是250米 （2）设火车的长度为m米，则从车头进入隧道到车尾离开隧道所走的路程为米，这段时间内火车的平均速度为米/秒； 火车的平均速度还可以表示为米/秒; 由题意，可列方程：； 故答案为：，，，． 30．用5张大小、形状完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案（不重叠），已知点的坐标为，求一个长方形纸片的长与宽． 【答案】一个长方形纸片的长是3，宽是1 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是根据点的坐标及长方形边长关系列出方程组求解长和宽． 设长方形的长为、宽为，根据点B的坐标和图形中边长关系，列二元一次方程组求解． 【详解】解：设长方形纸片的长是，宽是， 根据题意，得解得 答：一个长方形纸片的长是3，宽是1． 31．按照计划某校八年级360名师生要参加一天的研学活动，客车公司有三种车型可以供选择： 车型 座位数（个） 租金（元） 甲种 30 360 乙种 40 400 丙种 50 480 请帮老师解决下列问题： (1)学校计划租用两种车型，那么从人均成本最低的角度考虑，你认为学校应该选择哪两种车型，请说明理由． (2)现租用（1）中选择的两种车型，且每辆车的座位要求坐满，问是否存在这样的租车方案？若存在，则写出符合条件的租车方案，若不存在，请说明理由 (3)计算研学活动租车的最低费用． 【答案】(1)乙丙 (2)存在，租车方案为租用乙种车4辆，丙种车4辆 (3)3520元 【分析】本题考查了二元一次方程的应用． （1）先计算三种车型的人均成本，人均成本越低，整体租车的人均花费越少，因此选择人均成本较低的两种车型即可； （2）设租用乙种车x辆，丙种车y辆，由题意得：，若方程有正整数解，则存在租车方案，否则不存在； （3）先比较各车型的单位座位成本，优先选择单位座位成本低的车型，列举所有可行的租车方案并计算费用，通过比较得出最低费用． 【详解】（1）解：租用乙丙两种车型； 租用甲种车型，人均需要（元），租用乙种车型，人均需要（元），租用丙种车型，人均需要（元）， 由于，则乙丙两种车型的人均成本最低， 答：从人均成本最低的角度考虑，学校应该选择乙丙两种车型． （2）解：存在； 设租用乙种车x辆，丙种车y辆， 由题意得：， 则， 由于x、y都为正整数， 则只能取4的倍数， 当时，，当时，为负数， 答：租车方案为租用乙种车4辆，丙种车4辆． （3）解：由（1）知，，丙种车的人均成本最低， 优先考虑人均成本低的车型，所租的车尽量坐满： 方案一：由（2）知租用乙种车4辆，丙种车4辆，租车费用为（元）； 方案二：租用9辆乙种车，总费用为（元）； 方案三：租用6辆丙种车，2辆甲种车，总费用为（元）； ∵， ∴租车的最低费用为3520元； 答：研学活动租车的最低费用为3520元． 32．聪聪家离学校，他上学的路上，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．他跑步去学校共用了，已知聪聪在上坡路上的平均速度是，在下坡路上的平均速度是．聪聪上坡、下坡各用了多长时间？ 【答案】聪聪上坡用了，下坡用了 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设聪聪上坡用了，下坡用了，根据他跑步去学校共用了，已知聪聪在上坡路上的平均速度是，在下坡路上的平均速度是．列出方程组求解即可． 【详解】解：， 设聪聪上坡用了，下坡用了． 根据题意，得 解得 答：聪聪上坡用了，下坡用了． 33．某工程队在一次高速公路修建过程中，不下雨时每天修建，下雨时每天修建，他们连续天共修建了，求这天中有几天不下雨？有几天下雨？（用二元一次方程组解答） 【答案】天中有天不下雨，有天下雨 【分析】本题考查了二元一次方程组解实际问题，关键是找到相等关系列方程组； 根据天共修建了可列方程组求解即可． 【详解】解：设这天中有天不下雨，有天下雨， 根据题意，得 解得， 答：这天中有天不下雨，有天下雨． 34．小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每过一段时间看到的里程碑上的数（单位：公里）如下： 时刻 里程碑上的数 是一个两位数，它的个位数字比十位数字的倍大 也是一个两位数，十位与个位数字与时所看到的正好互换了 是一个三位数，比时看到的两位数的数字中间多了个 如果设小明时看到的两位数的十位数字为，个位数字为．那么： (1)小明时看到的两位数为 ； (2)小明时看到的两位数为 ；时看到的三位数为 ； (3)请你列二元一次方程，求小明在时看到里程碑上的两位数． 【答案】(1)； (2)，； (3)，小明在时看到里程碑上的两位数为． 【分析】本题考查了列代数式，二元一次方程组的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意列代数式即可； （）根据题意列代数式即可； （）由题意得，然后解方程组即可． 【详解】（1）解：设小明时看到的两位数的十位数字为，个位数字为， ∴小明时看到的两位数为， 故答案为：； （2）解：由题意可得，小明时看到的两位数为，时看到的三位数为， 故答案为：，； （3）解：由题意得：， 解得：， ∴小明在时看到里程碑上的两位数为． 35．在我国传统文化中，“喜寿”、“米寿”、“白寿”分别是岁、岁、岁的雅称．小花在她年龄是她妈妈年龄的时，曾为奶奶贺喜寿，她在年龄为妈妈年龄的时，又为奶奶贺米寿，则小花在 岁时，将为奶奶贺白寿． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设小花为奶奶贺喜寿时年龄为岁，此时妈妈的年龄为岁，奶奶的年龄为岁，根据“喜寿”、“米寿”、“白寿”代表的年龄和小花与妈妈年龄的关系列出方程组． 【详解】解：设小花为奶奶贺喜寿时年龄为岁，此时妈妈的年龄为岁，奶奶的年龄为岁， 根据题意得： 解得： ∴当奶奶岁时，小花的年龄为， ∴小花岁时将为奶奶贺白寿， 故答案为：． 36．一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成，如果木料可以做方桌的桌面50个或做桌腿300条，现有木料，那么用多少立方米木料做桌面、多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿能恰好配成方桌? 【答案】用的木料做桌面，的木料做桌腿，恰好能配成方桌 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设用木料做桌面，用木料做桌腿，找出等量关系列出方程组，最终求解方程组即可得出结果． 【详解】解：设用木料做桌面，用木料做桌腿，做出的桌面和桌腿恰好能配成方桌， 根据题意得，解得， 即用的木料做桌面，的木料做桌腿，恰好能配成方桌． 37．第十五届全运会于2025年11月9日至21日在粤港澳三地成功举办，本届赛事在竞赛成绩、赛事组织和文创经济等方面呈现诸多亮点．某中学在组织开展全运会知识竞赛活动时，去饮品店购买A，B两款饮品作为奖品．若买10杯A款饮品，5杯B款饮品，共需160元；若买15杯A款饮品，10杯B款饮品，共需270元． (1)A款饮品和B款饮品的销售单价各是多少元？ (2)若购买A，B两款饮品（两种都要），刚好花220元，有几种购买方案？ 【答案】(1)A款饮品的销售单价是10元，B款饮品的销售单价是12元 (2)共有3种购买方案 【分析】本题考查了二元一次方程（组）的应用，找准等量关系，根据题意正确列出方程（组）是解题的关键． （1）设A款饮品的销售单价是x元，B款饮品的销售单价是y元，结合买10杯A款饮品，5杯B款饮品，共需160元；买15杯A款饮品，10杯B款饮品，共需270元．列出二元一次方程组，解方程组即可求解． （2）设购买m杯A款饮品，n杯B款饮品，根据购买A，B两款饮品（两种都要），刚好花220元，列出二元一次方程，进而根据整数解求解即可． 【详解】（1）解：设A款饮品的销售单价是x元，B款饮品的销售单价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：A款饮品的销售单价是10元，B款饮品的销售单价是12元； （2）解：设购买m杯A款饮品，n杯B款饮品， 根据题意得：， ∴， 又∵m，n均为正整数， ∴或或， ∴共有3种购买方案． 答：共有3种购买方案． 38．某品牌新能源汽车店计划购进A，B两种型号的新能源汽车．已知购进2辆A种型号的新能源汽车比购进1辆B种型号的新能源汽车多25万元；购进1辆A种型号和2辆B种型号的新能源汽车共50万元． (1)求A，B这两种型号的新能源汽车每辆的进价． (2)该品牌新能源汽车店购进A，B两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），费用恰好为200万元．请问该品牌新能源汽车店有几种购进方案？并写出所有可行的方案． 【答案】(1)A种型号的新能源汽车每辆的进价为20万元，B种型号的新能源汽车每辆的进价为15万元 (2)共有3种购进方案：方案1为购进A种型号7辆和B种型号4辆；方案2为购进A种型号4辆和B种型号8辆；方案3为购进A种型号1辆和B种型号12辆 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，方案问题（二元一次方程的整数解）． （1）设种型号的新能源汽车每辆的进价为万元，种型号的新能源汽车每辆的进价为万元，根据题意列方程组，求解即可； （2）设购进种型号的新能源汽车辆，购进种型号的新能源汽车辆，根据题意列方程，求正整数解，即可得可行方案． 【详解】（1）解：设种型号的新能源汽车每辆的进价为万元，种型号的新能源汽车每辆的进价为万元， 根据题意可得， 解得， 答：A种型号的新能源汽车每辆的进价为20万元，B种型号的新能源汽车每辆的进价为15万元． （2）解：设购进种型号的新能源汽车辆，购进种型号的新能源汽车辆， 根据题意可得，且、均为正整数， 由，得， ∵、均为正整数， ∴或或， ∴共有3种购进方案：方案1为购进A种型号7辆和B种型号4辆；方案2为购进A种型号4辆和B种型号8辆；方案3为购进A种型号1辆和B种型号12辆． 39．如图（单位：），8块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形． (1)若设小长方形的长为，宽为，则大长方形的宽可用含有与的式子表示为______________． (2)每块小长方形墙砖的长和宽分别是多少？ 【答案】(1) (2)长为，宽为 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用和列代数式，解题的关键是根据图找出小长方形长和宽的关系，以及大长方形的长和宽与小长方形长和宽的关系． （）直接列出代数式即可； （）由大长方形的长和宽与小长方形长和宽的关系，列出方程组，求出小长方形的长与宽即可． 【详解】（1）解：设小长方形的长为，宽为，由题意得， 大长方形的宽为：， 故答案为：； （2）解：设小长方形的长为，宽为，由题意得 ， 解得， 所以每块小长方形墙砖的长为，宽为． 40．灵宝苹果和孟津梨都是河南著名的农产品，某超市购进灵宝苹果和孟津梨进行销售． 信息一：该超市用2700元购进灵宝苹果和孟津梨共300千克． 信息二：这两种水果的进价、售价如下表所示： 水果 进价/（元/千克） 售价/（元/千克） 灵宝苹果 7 10 孟津梨 10 14 (1)该超市购进灵宝苹果和孟津梨各多少千克？ (2)若该超市销售完灵宝苹果时，孟津梨还剩下，将剩余孟津梨打折出售，全部售完后，共获利1044元，求剩余孟津梨打了几折． 【答案】(1)该超市购进灵宝苹果100千克，购进孟津梨200千克 (2)九五折 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用． （1）设该超市购进灵宝苹果千克，则购进孟津梨千克，根据表格信息建立方程求解即可． （2）设剩余孟津梨打折，根据获利1044元建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设该超市购进灵宝苹果千克，则购进孟津梨千克． 根据题意，列方程为． 解得． （千克）． 答：该超市购进灵宝苹果100千克，购进孟津梨200千克． （2）解： 设剩余孟津梨打折． 根据题意，列方程为 ． 解得． 答：剩余孟津梨打了九五折． 41．列方程组求解古算题： 《算法统宗》中有一道“折绳测井”问题，大意为：用绳子测量井的深度，先将绳子折成三等分入井中，一份绳长比井深多4尺；再将绳子折成四等分放入井中，一份绳长比井深多1尺．绳长、井深各是多少尺？ 【答案】绳长为36尺，井深为8尺 【分析】本题主要考查了列方程组解应用题，根据题意找等量关系是解题的关键．设绳长尺，井深尺，根据“先将绳子折成三等分放入井中，一份绳长比井深多4尺；再将绳子折成四等分放入井中，一份绳长比井深多1尺” 列方程组求解即可． 【详解】解：设绳长尺，井深尺，根据题意列方程组， 得， 解得， ∴绳长为36尺，井深为8尺． 42．甲、乙二人骑自行车同时从相距的两地相向而行，经过相遇． (1)甲、乙两人的速度各是多少？请至少写出满足条件的两组解； (2)请你适当增加题目中的条件，使问题（1）有唯一解，并解答你改编后的问题． 【答案】(1)甲的速度是，乙的速度是；甲的速度是，乙的速度是 (2)见解析 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，二元一次方程组的应用．本题是一道开放型题，需要补充一个条件再解二元一次方程组． (1)设甲的速度是，乙的速度是，可列二元一次方程，求出两组满足二元一次方程的条件的解； (2)补充条件已知乙的速度是甲的速度的倍，列二元一次方程组求解． 【详解】（1）解：设甲的速度是，乙的速度是， ， 根据题意可得：， 当时，解得：， 当时，解得：， 甲的速度是，乙的速度是； 甲的速度是，乙的速度是； （2）解：增加条件：已知乙的速度是甲的速度的倍， 根据题意可得：， 解得：， 答：甲的速度是，乙的速度是． 43．我市2025年高新区城中村改造项目创新采用“房票安置货币化安置”模式．已知3户选择房票安置和2户选择货币化安置的村民，共获得补偿款255万元；2户选择房票安置和3户选择货币化安置的村民，共获得补偿款240万元． (1)房票安置和货币化安置两种方式下，每户村民分别可获得多少万元补偿款？ (2)该项目某批次有4户村民选择房票安置、5户选择货币化安置，这批村民总计可获得多少万元补偿款？ 【答案】(1) 房票安置每户可获得57万元，货币化安置每户可获得42万元 (2) 这批村民总计可获得万元补偿款 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用及有理数四则运算的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设每户房票安置可获得万元补偿款，每户货币化安置可获得万元补偿款，根据3户选择房票安置和2户选择货币化安置的村民，共获得补偿款255万元；2户选择房票安置和3户选择货币化安置的村民，共获得补偿款240万元，建立二元一次方程组，求解即可； （2）根据（1）中结果计算即可． 【详解】（1）解：设每户房票安置可获得万元补偿款，每户货币化安置可获得万元补偿款， 根据题意，得， 解得， 答：房票安置每户可获得57万元，货币化安置每户可获得42万元； （2）解：（万元）， 答：这批村民总计可获得万元补偿款． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.5用二元一次方程组解决问题寒假预习讲义（苏科版） ✅ 课前预习★目标 1.回顾二元一次方程组的代入消元法和加减消元法，能熟练解简单方程组； 2.知道实际问题中有两个未知量时，可设两个未知数，用二元一次方程组解决； 3.学会从实际问题中找出两个等量关系，并据此列出方程组； 4.初步掌握用方程组解决实际问题的基本步骤：审、设、列、解、验、答； 5.体会方程组在解决多个未知量问题时的优势，为课堂学习打好基础。 ☘ 重点知识★梳理归纳 【知识点1和差倍分问题】 分析：抓住题目中的和、差、倍数、分数关系．基本等量关系式：较大量 － 较小量 ＝ 相差量，总量 ＝ 倍数 × 倍量． 解题方法：设两个未知数，根据题目中的数量关系列出两个方程，组成二元一次方程组求解． 【知识点2产品配套问题】 分析：两种部件数量满足固定配套比例，即加工总量成比例． 关键关系：生产总量之比=配套比例 解题方法：设生产不同部件的数量为未知数，根据配套关系列出方程，求解得到生产各部件的数量． 【知识点3速度问题】 分析：涉及路程、速度和时间的关系，基本关系式为路程＝速度×时间．包括相遇问题（两者行驶路程之和等于总路程）、追及问题（两者行驶路程之差等于初始距离或特定路程差）等． 解题方法：设两个物体的速度分别为未知数，根据题目中的路程和时间信息列出方程组求解． 【知识点4航速问题】 分析：要考虑顺流（风）和逆流（风）时的速度变化．顺流（风）时，航速 ＝ 静水（无风）时的速度 ＋ 水（风）速；逆流（风）时，航速＝静水（无风）时的速度 － 水（风）速． 解题方法：设船在静水中的速度和水流速度（或飞机在无风时的速度和风的速度）为未知数，根据顺流和逆流的路程、时间等条件列出方程组求解． 【知识点5工程问题】 分析：基本关系式是工作总量＝工作效率×工作时间，有时需把工作总量看作1． 解题方法：设甲、乙等不同工作主体的工作效率为未知数，根据工作总量、工作时间等信息列出方程组求解． 【知识点6盈亏问题】 分析：关键是从盈（过剩）、亏（不足）两个角度来把握事物的总量． 解题方法：设物品的数量和分配的对象数量为未知数，根据盈和亏的情况列出方程组求解． 【知识点7数字问题】 分析：首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示．对于两位数，可表示为十位数字 ×10 ＋ 个位数字；三位数可表示为百位数字 ×100 ＋ 十位数字 ×10 ＋ 个位数字等． 解题方法：设数字的各个数位上的数字为未知数，根据数字之间的关系列出方程组求解． 【知识点8几何问题】 分析：基本关系是有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式．如长方形的周长 ＝ 2×（长 ＋ 宽），面积 ＝ 长 × 宽；三角形的面积 ＝ 底 × 高 ÷2 等． 解题方法：设几何图形的相关边长、角度等为未知数，根据几何图形的性质和已知条件列出方程组求解． 💦 核心考点★精讲讲练 题型1根据实际问题列二元一次方程组 例1．学校食堂采购两种规格的饭盒盛汤，已知5个大饭盒加1个小饭盒共能盛汤3升，1个大饭盒加5个小饭盒共能盛汤2升．若设1个大饭盒能盛汤升，1个小饭盒能盛汤升，则列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 变式1．某公司为奖励获奖员工，花了元购买了两种奖品共件，已知A奖品每件元，B奖品每件元．设A奖品有件，B奖品有件，则可列方程组为 ． 变式2．从甲地到乙地有一段上坡路与一段平路，如果保持上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地需，从乙地到甲地需，求上坡路和平路各有多长． 题型2根据几何图形列二元一次方程组 例2．如图，用10块形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖的长和宽分别为和，则依题意可列方程组（    ） A． B． C． D． 变式1．如图所示为两个形状、大小完全一样的小长方形拼接而成的图形．设小长方形的宽为，长为，则可列方程组为 ． 变式2．小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1；小红看见了，说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图2那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是面积为的小正方形． (1)图2中间阴影小正方形的边长为_____； (2)设每一个小长方形的长为，宽为，则由图1可列二元一次方程为_____，由图2可列二元一次方程为_____； (3)求每个小长方形的面积． 题型3方案问题（二元一次方程组的应用） 例3．为了弘扬雷锋精神，增强青少年的社会责任感和奉献精神，明远中学组织一批学生到老年公寓参加志愿活动，活动时间累计56个小时，每名男生工作6小时，每名女生工作4小时，则可以安排学生参加活动的方案有（    ）种． A．8 B．7 C．6 D．5 变式1．“市长杯”校园足球联赛的比赛规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．十一中足球队在第一轮比赛中赛了9场，只负了2场，共得17分．则十一中足球队胜了 场， 变式2．某蔬菜种植基地计划用中型和大型两种货车运送蔬菜，两种货车的载货情况如下表所示： 中型车（满载） 大型车（满载） 运货总量 4辆 3辆 54t 2辆 5辆 62t (1)求一辆中型车和一辆大型车分别满载时能运输蔬菜的吨数； (2)现计划一次性运送80吨蔬菜，且每辆车都必须满载． ①请你为该基地设计所有可行的租车方案； ②若中型车每辆租金为800元/次，大型车每辆租金为1200元/次，请你为该基地计算最少租车费用，并说明此时的租车方案． 题型4行程问题（二元一次方程组的应用） 例4．甲、乙两港口相距100 km，若一艘轮船往返两港口，顺流航行用4 h，逆流航行用5 h，则这艘轮船在静水中的速度是（    ） A．2.5  km/h B．22.5  km/h C．4.5  km/h D．20.5  km/h 变式1．甲、乙二人分别从相距的A，B两地出发，相向而行，如果甲比乙早出发，那么乙出发后，他们相遇；如果他们同时出发，那么后，两人相距，则甲由A地到B地需要 变式2．骑行是一种健康自然的运动方式，能充分享受过程之美，一辆单车、一个背包即可出行，简单又环保．已知A，B两地相距40km，甲、乙两人从A地出发骑自行车前往B地，乙比甲先出发15min，甲出发1h后两人相遇，又过了30min，乙剩余的路程比甲多2km（甲未到终点）． (1)甲、乙每小时各行多少千米？ (2)若甲出发后两人相距1km，求的值． 题型5工程问题(二元一次方程组的应用) 例5．抢修一段全长420m的供暖管线，甲、乙两个工程队同时施工，2.5天全部修完，修完时，甲工程队比乙工程队多修了70m．设甲、乙两个工程队的工作效率分别为x米/天和y米/天，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 变式1．某市在落实国家“精准扶贫”政策的过程中，为某村修建一条长为400米的公路，由甲、乙两个工程队负责施工．甲工程队独立施工2天后，乙工程队加入，两工程队联合施工3天后，还剩50米的工程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工2米，则甲工程队每天施工 米，乙工程队每天施工 米． 变式2．汨罗某再生资源工厂处理一批废铜，若每天处理150吨，可提前6天完成；若每天处理120吨，将延误3天完成．设原计划天完成，这批废铜共有吨． (1)根据题意列出方程组； (2)求解该方程组，得出原计划完成时间和废铜总数． 题型6数字问题（二元一次方程组的应用） 例6．对有理数x、y定义新运算：，其中a，b都是常数．若，，则a，b的值分别是（    ） A．1，2 B．2，1 C．2，2 D． 变式1．小明和小亮做加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为57；而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到和为75，原来两个加数分别是 ． 变式2．有一个两位数，其个位和十位上的数字之和为7．将该数的十位数字与个位数字调换，所得到的新的两位数与原来的两位数的积为1300．求原来的两位数． 题型7年龄问题（二元一次方程组的应用） 例7．一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是（   ） A．9岁，7岁 B．10岁，6岁 C．12岁，7岁 D．12岁，6岁 变式1．甲对乙说：“我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁数的一半；当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁．”则今年甲的年龄为 岁． 变式2．小明和小亮比年龄．小明说：“再过4年，我就和你现在一样大．”小亮说：“再过4年，我的年龄就是你现在年龄的2倍．”根据小明和小亮的对话，求他们现在的年龄． 题型8分配问题（二元一次方程组的应用） 例8．某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，要使一个螺栓配套两个螺帽，应如何分配工人才能使每天生产的螺栓和螺帽刚好配套？设生产螺栓x人，生产螺帽人，列方程组为（    ） A． B． C． D． 变式1．阳光学校的同学们为此次爱心助学活动组织了一场广场义演，售出单人票和双人票共1000张，筹得票款6950元．已知双人票每张8元，单人票每张5元，则单人票售出了 张． 变式2．某学校组织学生夏令营，需要安排宿舍．如果每间宿舍住3人，那么有12人无法住宿；如果每间宿舍住5人，那么就会空出2间宿舍．设宿舍有间，学生有人． (1)请根据题意，列出二元一次方程组； (2)宿舍有多少间？学生有多少人？ 题型9销售、利润问题（二元一次方程组的应用） 例9．学校文艺部组织部分成员看演出，共买了8张甲票、4张乙票，总共用了112元．已知每张甲票比乙票贵2元，则每张甲票、每张乙票的价格分别是（   ） A．10元和8元 B．8元和10元 C．12元和10元 D．10元和12元 变式1．一次考试之后数学老师来到一奶茶店购买奶茶用于奖励成绩进步较大的学生，注视着价格表： （1）老师发现：2杯百香双重奏、3杯芝士葡萄共需元；3杯百香双重奏、5杯芝士葡萄共需元，那么购买1杯百香双重奏和2杯芝士葡萄共需 元； （2）老师购买了杨枝甘露、清补凉椰椰、芝士杨梅三种奶茶共杯，共消费了元，若杨枝甘露元/杯，清补凉椰椰元/杯，芝士杨梅元/杯，则芝士杨梅买了 杯． 变式2．贴春联是中国人过年的重要习俗马年春节临近，沃尔玛超市用元购进，两种春联进行销售，春联的进价和售价如表所示，全部销售后可获得利润元． 种春联 种春联 进价（元副） 售价（元副） (1)沃尔玛超市购进、两种春联各多少副？ (2)由于两种春联的销量比较好，沃尔玛超市决定再用元购进这两种春联（元正好用完且两种春联均购买），因货品紧俏，批发市场春联涨价，种春联为元/副，种春联为元/副，请问沃尔玛超市可以有哪几种购买方案？ 题型10和差倍分问题（二元一次方程组的应用） 例10．一次社会实践小组活动中，男生戴白色帽子，女生戴红色帽子，每个人可以看到除自己以外的每位同学的帽子．每位男生看到的白色帽子比红色帽子多1顶，每位女生看到的红色帽子数量的2倍比白色帽子多3顶，则这个活动小组一共有（    ） A．17人 B．16人 C．15人 D．14人 变式1．甲、乙两人共有图书本，若甲给乙本后，甲的图书数是乙的倍，则甲原有图书 本． 变式2．学校阅览室整理一批图书，如果一个人单独做，要用才能完成．现由两组同学共同参与此项工作，第一组整理了，第二组整理了，恰好完成工作．如果每个人的工作效率都相同，且第二组比第一组多5人，那么第一组、第二组各有多少人？ 题型11几何问题（二元一次方程组的应用） 例11．如图，在一个大长方形的内部平铺放入六个完全一样的小长方形，大长方形的边长如图所示，则大长方形内部空白部分的面积是（ ） A．12 B．24 C．36 D．48 变式1．如图，在长方形中，放入6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积是 ． 变式2．如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是40厘米的大长方形，求每个小长方形的周长和大长方形的面积． 题型12图表信息题（二元一次方程组的应用） 例12．幻方（）是一种将数字排放在正方形格子中，使其每行、每列和对角线上的数字和都相等的图表，在如下所示的三阶幻方中，的值为（    ） 3 4 x y a c b A． B．0 C．1 D．4 变式1．如下，在方格中做填数游戏，要求每行，每列及对角线上三个方格中的数之和都相等，则表格中的值是 ． 2 1 变式2．某校七（1）班40名同学为“山区希望工程”捐款，共捐款500元．捐款情况如表： 捐款（元） 5 10 15 20 人数 6 7 表格中捐款10元和15元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，本着负责的态度，班里小王同学利用学过的数学知识求出被墨水污染的数据，你知道他是怎么做的呢？请你写出解答过程． 题型13古代问题(二元一次方程组的应用) 例13．古题今解：“今有绫七尺、罗九尺，共价适等；但绫三尺、罗五尺，共价二百八十文．问绫、罗尺价各几何？”设绫每尺价文，罗每尺价文，根据条件可列方程组是（    ） A． B． C． D． 变式1．《九章算术》中记载了一个数学问题，其大意为：现有几人合伙买羊，若每人出5钱，则差45钱；若每人出7钱，则差3钱．问：合伙人数是 人，羊的价格是 钱． 变式2．列二元一次方程组解应用题： 《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳七尺；屈绳量之，不足一尺，木绳各几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子比木条长7尺；将绳子对折再量木条，（对折后的绳子）比木条短1尺，问木条和绳子各长多少尺？” 题型14其他问题（二元一次方程组的应用） 例14．若20个盘子和30个杯子的总重量是4.8千克，40个盘子和50个杯子的总重量是8.4千克，则20个盘子和10个杯子的总重量为（    ） A．2.4千克 B．3.2千克 C．3.6千克 D．4千克 变式1．小明去超市购买了若干个叠放在一起的纸杯．根据图中的信息，你认为图④中纸杯有 个． 变式2．某校在体育商城三次购买某种型号足球与篮球若干，购买数量与价格如表所示，其中第三次购买时巧遇商城做促销活动，该种型号的足球与篮球都打n折销售． 购物次数 足球数量 篮球数量 购买总费用/元 第一次 8 6 1240 第二次 5 7 1100 第三次 10 12 1200 (1)分别求该种型号的足球与篮球的标价． (2)求n的值． (3)若该校第四次购买该种型号足球与篮球（足球，篮球都要有），且折扣与第三次购买时相同，共花去960元，则该校有哪几种购买方案？ ✏ 强化巩固★综合测试 一、单选题 1．某商场销售某种商品，当按定价销售时、每件可获利45元；当按定价的八折销售时、销售8件所获利润与将定价降低35元销售12件所获利润相同．若设该商品的进价为x元、定价为y元，则x，y满足的方程是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在大长方形中放置10个形状、大小都相同的小长方形，大长方形的周长为36，小长方形的长比宽多4．设小长方形的长为x，宽为y，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 3．勤俭节约是中华民族的传统美德，开学前夕，千惠同学用自己平时积攒的30元零花钱去乐福超市购买单价为3元的笔和单价为2元的本两种学习用品，则千惠同学的购买方案有（   ） A．3 种 B．4种 C．5种 D．6种 4．一艘轮船往返于、两港之间.顺水航行的速度是，逆水航行的速度是，则轮船在静水中的速度和水流速度分别是（    ） A． B． C． D． 5．某水池有编号为①，②，③，④，⑤的5个水管，有的是进水管，有的是出水管．已知所开的水管号与水池灌满的时间如下表： 水管编号 ①② ②④ ③④ ③⑤ ⑤① 时间（小时） 3 12 6 4 10 则单独开一条水管，最快注满水池的水管编号为（    ） A．① B．② C．③ D．④ 6．宋代数学家杨辉称“幻方”为“纵横图”，传说最早出现的幻方是夏禹时代的“洛书”，杨辉的著作《续古摘奇算法》中总结了“洛书”的构造，在如图所示的三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则的值分别是（    ） 3 2 A．，0 B．1， C．，1 D．1，0 7．爸爸今年34岁，子女两人的年龄和是16岁，两年后，妹妹年龄的3倍与哥哥的年龄相加恰好等于爸爸的年龄．哥哥和妹妹今年的年龄分别是（   ） A．9岁、7岁 B．10岁、6岁 C．12岁、4岁 D．12岁、6岁 8．某玩具厂准备用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成一批盲盒，一个盲盒搭配1个玩偶A和2个玩偶B，已知每米布料可做2个玩偶A或3个玩偶B，现计划用128米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（    ）． A． B． C． D． 9．某班学生去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元．如果35名学生购票恰好用去750元，那么购买甲种票、乙种票的张数分别是（   ） A．17和18 B．20和15 C．18和17 D．15和20 10．某年级学生共有246人，其中男生人数比女生人数的2倍少2人，则下面所列的方程组中符合题意的有（   ） A． B． C． D． 11．如图，长方形中放置10个形状、大小都相同的小长方形，与的差为1，小长方形的周长为14，则图中阴影部分的面积为（   ） A．30 B．40 C．50 D．60 12．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，如图是另一个三阶幻方，则ab2的值为（　　） A． B．6 C． D．36 13．明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之为四两，九两分之为半斤．”其大意如下：有一群人分银子，若每人分七两，则剩余四两，若每人分九两，则还差半斤（注：明代1斤＝16两，故有成语“半斤八两”），设有银子x两，人数y人，则下列方程正确的是（    ） ；；③；④． A．①③ B．②④ C．②③ D．①④ 14．买1根油条和3个大饼共7元，买3根油条和1个大饼共5元．下列说法中正确的是（   ） A．买1根油条和1个大饼共2.5元 B．2根油条比1个大饼便宜 C．买2根油条和4个大饼共9元 D．买5根油条和7个大饼共19元 二、填空题 15．华联商场购进甲、乙两种商品后，甲商品加价50%，乙商品加价40%作为标价，甲商品打八折销售，乙商品打八五折销售．某顾客购买甲、乙商品各一件，共付款538元，已知商场共盈利88元，设甲商品的进价为x，乙商品的进价为y，则可列方程组 ． 16．如图，将四边形中的一角折叠，折痕为，点落在点处，其中，比大．设和的度数分别为和，那么和满足的方程组是 ． 17．小慧去花店购买鲜花，若买6支玫瑰和4支百合，则她所带的钱还剩下8元：若买4支玫瑰和6支百合，则她所带的钱还缺2元．若只买10支玫瑰，则她所带的钱还剩下 元． 18．学校组织学生乘汽车去自然保护区野营，前路段为平路，其余路段为坡路．已知汽车在平路上行驶的速度为，在坡路上行驶的速度为．汽车从学校到自然保护区一共行驶了，则汽车在坡路上行驶了 h． 19．两组工人按计划本月应共生产680个零件，实际第一组超额、第二组超额完成了本月任务，因此比原计划多生产118个零件，则本月原计划第一组生产 个零件、第二组生产 个零件． 20．小明和小亮做两个数的加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为242；而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的和为341，原来两个加数中较小的加数是 ． 21．小明问他的数学老师今年多少岁了，老师说：“我像你这么大时，你才1岁，你到我这么大时，我就37岁了．”老师的年龄为 22．我校在举办“书香文化节”的活动中，将x本图书分给了y名学生，若每人分6本，则剩余40本；若每人分8本，则还缺50本，则 ． 23．在王伯伯经营的水果店里，李阿姨本来用29元正好能买3千克苹果和2千克柚子，结果王伯伯把两种水果的数量弄反了，从而多收了李阿姨3元钱．柚子每千克( )元． 24．某中学七年级4班40名同学第一次为某灾区捐款，共捐款2000元，捐款情况如下表 为灾区捐款（元） 20 40 50 100 人数 10 □ □ 8 求捐款40元的有 名同学，捐款50元的有 名同学． 25．如图，把一个黑色大正方形和四个完全相同的白色小正方形分别按图①②两种方式摆放，若，，则图②中未被白色小正方形覆盖的阴影部分面积为 ． 26．如图，是九宫格，在每个格子中填上一个数（圈中没有全部标出）使得每行、每列及对角线上三个数的和都相等，则 ． 1 6 2 27．我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有共买物，人出七，盈二；人出六，不足三．问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出七钱，会多二钱；每人出六钱，又差三钱．问人数、货物总价各多少？设人数为人，货物总价为钱，可列方程组 ． 28．如图所示为哥哥与弟弟的聊天记录，则哥哥想买的平板电脑的原价为 元． 发送者 对话内容 弟弟 哥，你之前提到的平板电脑买了没？ 哥哥 还没，因为它的售价比我的预算还要多100元． 弟弟 这款平板电脑正在打9折促销哦！ 哥哥 这样的话，那就比我的预算便宜了100元． 三、解答题 29．一列火车匀速行驶，经过一条长为1000米的隧道需要50秒，整列火车完全在隧道里的时间是30秒，求火车的平均速度和长度． (1)小智认为可以设火车的平均速度为x米/秒，火车的长度为y米，请你按照小智的思路，列出方程组并求出火车的平均速度和长度； (2)小慧认为可以设火车的长度为m米，则从车头进入隧道到车尾离开隧道所走的路程为 米，所以这段时间内火车的平均速度为 米/秒；火车的平均速度还可以表示为 米/秒；由题意，可列方程 （不需化简和解方程）． 30．用5张大小、形状完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案（不重叠），已知点的坐标为，求一个长方形纸片的长与宽． 31．按照计划某校八年级360名师生要参加一天的研学活动，客车公司有三种车型可以供选择： 车型 座位数（个） 租金（元） 甲种 30 360 乙种 40 400 丙种 50 480 请帮老师解决下列问题： (1)学校计划租用两种车型，那么从人均成本最低的角度考虑，你认为学校应该选择哪两种车型，请说明理由． (2)现租用（1）中选择的两种车型，且每辆车的座位要求坐满，问是否存在这样的租车方案？若存在，则写出符合条件的租车方案，若不存在，请说明理由 (3)计算研学活动租车的最低费用． 32．聪聪家离学校，他上学的路上，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．他跑步去学校共用了，已知聪聪在上坡路上的平均速度是，在下坡路上的平均速度是．聪聪上坡、下坡各用了多长时间？ 33．某工程队在一次高速公路修建过程中，不下雨时每天修建，下雨时每天修建，他们连续天共修建了，求这天中有几天不下雨？有几天下雨？（用二元一次方程组解答） 34．小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每过一段时间看到的里程碑上的数（单位：公里）如下： 时刻 里程碑上的数 是一个两位数，它的个位数字比十位数字的倍大 也是一个两位数，十位与个位数字与时所看到的正好互换了 是一个三位数，比时看到的两位数的数字中间多了个 如果设小明时看到的两位数的十位数字为，个位数字为．那么： (1)小明时看到的两位数为 ； (2)小明时看到的两位数为 ；时看到的三位数为 ； (3)请你列二元一次方程，求小明在时看到里程碑上的两位数． 35．在我国传统文化中，“喜寿”、“米寿”、“白寿”分别是岁、岁、岁的雅称．小花在她年龄是她妈妈年龄的时，曾为奶奶贺喜寿，她在年龄为妈妈年龄的时，又为奶奶贺米寿，则小花在 岁时，将为奶奶贺白寿． 36．一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成，如果木料可以做方桌的桌面50个或做桌腿300条，现有木料，那么用多少立方米木料做桌面、多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿能恰好配成方桌? 37．第十五届全运会于2025年11月9日至21日在粤港澳三地成功举办，本届赛事在竞赛成绩、赛事组织和文创经济等方面呈现诸多亮点．某中学在组织开展全运会知识竞赛活动时，去饮品店购买A，B两款饮品作为奖品．若买10杯A款饮品，5杯B款饮品，共需160元；若买15杯A款饮品，10杯B款饮品，共需270元． (1)A款饮品和B款饮品的销售单价各是多少元？ (2)若购买A，B两款饮品（两种都要），刚好花220元，有几种购买方案？ 38．某品牌新能源汽车店计划购进A，B两种型号的新能源汽车．已知购进2辆A种型号的新能源汽车比购进1辆B种型号的新能源汽车多25万元；购进1辆A种型号和2辆B种型号的新能源汽车共50万元． (1)求A，B这两种型号的新能源汽车每辆的进价． (2)该品牌新能源汽车店购进A，B两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），费用恰好为200万元．请问该品牌新能源汽车店有几种购进方案？并写出所有可行的方案． 39．如图（单位：），8块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形． (1)若设小长方形的长为，宽为，则大长方形的宽可用含有与的式子表示为______________． (2)每块小长方形墙砖的长和宽分别是多少？ 40．灵宝苹果和孟津梨都是河南著名的农产品，某超市购进灵宝苹果和孟津梨进行销售． 信息一：该超市用2700元购进灵宝苹果和孟津梨共300千克． 信息二：这两种水果的进价、售价如下表所示： 水果 进价/（元/千克） 售价/（元/千克） 灵宝苹果 7 10 孟津梨 10 14 (1)该超市购进灵宝苹果和孟津梨各多少千克？ (2)若该超市销售完灵宝苹果时，孟津梨还剩下，将剩余孟津梨打折出售，全部售完后，共获利1044元，求剩余孟津梨打了几折． 41．列方程组求解古算题： 《算法统宗》中有一道“折绳测井”问题，大意为：用绳子测量井的深度，先将绳子折成三等分入井中，一份绳长比井深多4尺；再将绳子折成四等分放入井中，一份绳长比井深多1尺．绳长、井深各是多少尺？ 42．甲、乙二人骑自行车同时从相距的两地相向而行，经过相遇． (1)甲、乙两人的速度各是多少？请至少写出满足条件的两组解； (2)请你适当增加题目中的条件，使问题（1）有唯一解，并解答你改编后的问题． 43．我市2025年高新区城中村改造项目创新采用“房票安置货币化安置”模式．已知3户选择房票安置和2户选择货币化安置的村民，共获得补偿款255万元；2户选择房票安置和3户选择货币化安置的村民，共获得补偿款240万元． (1)房票安置和货币化安置两种方式下，每户村民分别可获得多少万元补偿款？ (2)该项目某批次有4户村民选择房票安置、5户选择货币化安置，这批村民总计可获得多少万元补偿款？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $