精品解析：山东聊城东昌府区2025-2026学年第一学期期末学业水平检测九年级数学试题

2025—2026学年第一学期期末学业水平检测 九年级数学试题 本试卷共8页，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考场号、座号、考号填写在答题卡指定位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 方程的解是（ ） A. B. 2 C. 2或3 D. 2或 2. 在中，，则的值是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（ ） A B. 1 C. D. 2 4. 如图，在中，，为边上一点，过点作，垂足为，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在▱中，为的中点，连接、，分别交于、，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 如图，分别与相切于点A，B，连接并延长与交于点C，D．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 若关于x的一元二次方程各项系数满足，则关于此方程的根的情况，下列说法错误的是（ ） A. 必有两个不相等的实数根 B. 当时，有两个相等的实数根 C. 当a，c同号时，方程有两个正的实数根 D. 当a，b同号时，方程有两个异号实数根 8. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出与支干数目相同的小分支，主干、支干和小分支的总数是，求每个支干长出多少小分支．设每个支干长出x个小分支，那么根据题意可以列方程为（ ） A. B. C D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别交于A，B两点，点C为的中点，反比例函数的图象经过点C．若，则k的值为（ ） A. 3 B. C. D. 4 10. 如图，正八边形的边长为3，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则下列说法正确的是（ ） A. B. 阴影部分的面积为 C. 劣弧的长为 D. 正八边形的面积为 二、填空题：本题共5 小题，每小题3分，共15 分． 11. 若方程的一个根是1，则另一个根是________． 12. 在平面直角坐标系中，点，点都在反比例函数的图象上，则的值为________． 13. 已知抛物线，当时，的取值范围为______． 14. 如图，在矩形中，，边上有一点E，作射线，将射线绕点A顺时针旋转，交的延长线于点G，以线段为邻边作矩形，则_______． 15. 规定：在平面直角坐标系中，一个点作“”变换表示将它绕原点顺时针旋转，一个点作“”变换表示将它向右平移一个单位长度，由数字和组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：如图，点按序列“”作变换，表示点先向右平移一个单位长度得到，再将绕原点顺时针旋转得到再将绕原点顺时针旋转得到，……以此类推．点经过“”变换后得到的点坐标为________． 三、解答题：本题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：； （2）解方程：． 17. 如图，在和中，延长线经过点C，且， （1）求证：； （2）若，，，求的长． 18. 社区里的手工烘焙店推出一款限定曲奇礼盒，每盒成本30元，规定售价不低于成本且不超过54元．试卖期间发现，每天的销量 y（盒）与售价 x（元/盒）是一次函数关系，部分数据如下： 售价x（元/盒） … 35 40 45 … 每天的销量y（盒） … 90 80 70 … （1）若每天销售所得利润为1200元，则售价应定为多少元？ （2）当售价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 19. 如图，在菱形中，，E为的中点，F是上一点，G 为上一点，且，交于点H． （1）求的长； （2）求的值． 20. 某公园有个观望台可以俯瞰全园风景，有左、右两个步道可以登顶，观望台的高为3.04米，如图所示．左侧步道的长度为42米，倾斜角为，右侧步道的倾斜角为支架都与地面垂直，都与地面平行，两支架之间的距离为2米（点B，C，F，E在同一条直线上）． （1）求右侧步道的长度； （2）两步道的底端分别为B，E，求的长．（结果精确到0.1．参考数据：） 21. 如图，圆内接四边形的边过圆心O，过点C的直线与边所在直线垂直于点M． （1）若是的切线，且．求的度数． （2）试猜想与满足什么关系时，直线与相切？并说明理由． 22. 如图，矩形的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，D 是边上的一个动点（不与C，B重合），反比例函数的图象经过点 D 且与边交于点E，连接． （1）如图1，若， ①求反比例函数的表达式； ②连接．求证： （2）如图2，将沿折叠，点B关于对称点为点，连接，求出的最小值． 23. 在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（是常数）． （1）若，且抛物线经过点． ①求该抛物线对应的函数表达式； ②若点 在抛物线上，横坐标为，点的横坐标为，纵坐标与点的纵坐标相同，点在轴上，纵坐标为．当点和点的纵坐标不相等时，作点关于点的对称点，作点关于点的对称点，连接．试说明线段的长度为． （2）若直线经过点，与抛物线交点为，当时，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期期末学业水平检测 九年级数学试题 本试卷共8页，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考场号、座号、考号填写在答题卡指定位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 方程解是（ ） A. B. 2 C. 2或3 D. 2或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用因式分解法求解是解题的关键．通过移项提取公因式将方程转化为两个一次方程的乘积为0的形式，注意不能直接两边除以，否则会丢失一个根． 【详解】解： 移项得， 或 ∴， 故选：C． 2. 在中，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的三角函数定义及勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．先根据正弦定义求出对边的长度，再利用勾股定理求出邻边的长度，最后根据正切定义计算的值即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 故选：A． 3. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】过点作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于、，根据题意得，然后利用平行线分线段成比例定理即可求解． 【详解】解：过点作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于、， 根据题意得， ∵， ∴， 又∵， ∴ 故选：C 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的应用，作出适当的辅助线是解题的关键． 4. 如图，在中，，为边上一点，过点作，垂足为，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，关键是掌握锐角三角函数定义．由锐角的三角函数定义，即可判断． 【详解】解：， ， 、，故不符合题意； 、结论正确，故符合题意； 、，故不符合题意； 、，故不符合题意． 故选：B． 5. 如图，在▱中，为的中点，连接、，分别交于、，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相对应的知识点是解题的关键． 由，推出，，进而推得，根据相似三角形的性质和为的中点可证得，即可证得结论． 【详解】四边形是平行四边形， ，，， ∴， ， 为的中点， ， ， 设，则，， ， ， 故选C． 6. 如图，分别与相切于点A，B，连接并延长与交于点C，D．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据切线长定理得到，得，得，由，得，由即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵分别与相切于点A、B，连接并延长与交于点C、D， ∴，，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了切线长定理，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数的计算，掌握三角函数值的计算是解题的关键． 7. 若关于x的一元二次方程各项系数满足，则关于此方程的根的情况，下列说法错误的是（ ） A. 必有两个不相等的实数根 B. 当时，有两个相等的实数根 C. 当a，c同号时，方程有两个正的实数根 D. 当a，b同号时，方程有两个异号实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，A、B通过根的判别式进行判断，C、D结合根与系数的关系得结论． 【详解】解：∵一元二次方程的各项系数满足， ∴， ∴ ． 当时，，方程有两个相等的实数根，故A错误，符合题意；B正确，不符合题意； 当a，c同号时，方程两根的积为，两根的和为． ∴方程有两个正的实数根，故C正确，不符合题意； 当a，b同号时，两根的和为，两根的积为， ∴方程有两个异号实数根，故D正确，不符合题意， 故选：A． 8. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出与支干数目相同的小分支，主干、支干和小分支的总数是，求每个支干长出多少小分支．设每个支干长出x个小分支，那么根据题意可以列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，准确地理解题意找到等量关系是解题的关键．根据主干、支干、小分支的数量关系，结合总数为列方程即可． 【详解】解：∵主干的数量为1个，每个支干长出个小分支， ∴支干的数量为个，小分支的数量为个， 又∵主干、支干和小分支的总数是121， ∴可列方程为， 故选：A． 9. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别交于A，B两点，点C为的中点，反比例函数的图象经过点C．若，则k的值为（ ） A. 3 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数和一次函数的综合，掌握待定系数法是解题的关键． 先求出，，再求，根据，求出，从而求出点C的坐标，再根据待定系数法即可求解． 【详解】解：直线与x轴和y轴分别交于A，B两点， 当时，，当时，，解得， 则，， 点C为的中点， ， ， ，解得， 直线过一、二、三象限， ， 则， 反比例函数的图象经过点C， ． 故选：C． 10. 如图，正八边形的边长为3，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则下列说法正确的是（ ） A. B. 阴影部分的面积为 C. 劣弧的长为 D. 正八边形的面积为 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，根据多边形内角和定理可判断A；根据正八边形的性质求出圆心角的度数，再根据扇形面积的计算方法进行计算可判断B；运用弧长公式可求劣弧的长即可判断C；构造正方形，求出正方形面积和四角小等腰直角三角形的面积，相减即可判断D． 【详解】解：A、，故选项A错误； B、∵，， ∴，故选项B正确； C、劣弧的长，故选项C错误； D、如图，四边形是正方形， ∴，， ∴；正方形的面积， ∴正八边形的面积为，故选项D错误， 故选：B． 二、填空题：本题共5 小题，每小题3分，共15 分． 11. 若方程的一个根是1，则另一个根是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查方程的根，熟练掌握方程的根是解题的关键．利用一元二次方程根与系数的关系，根据已知根求另一个根． 【详解】解：设方程的另一个根为， 由根与系数的关系，两根之和为 ， 已知一个根，则， 解得， 故答案为． 12. 在平面直角坐标系中，点，点都在反比例函数的图象上，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，代入点求得含参数的函数解析式是解题的关键； 利用反比例函数图象上点的坐标特征，将点和点代入函数解析式，得到关于和的方程，再通过等量代换求出的值． 【详解】解：将点代入得，即， 将点代入得，即， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 已知抛物线，当时，的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质．由二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解． 【详解】解：∵，， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为， ∴函数最大值为3， 将代入得， 将代入得， ∴当时，， 故答案为：． 14. 如图，在矩形中，，边上有一点E，作射线，将射线绕点A顺时针旋转，交的延长线于点G，以线段为邻边作矩形，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据矩形的性质证明即可求解． 【详解】解：如图， ∵四边形均为矩形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 15. 规定：在平面直角坐标系中，一个点作“”变换表示将它绕原点顺时针旋转，一个点作“”变换表示将它向右平移一个单位长度，由数字和组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：如图，点按序列“”作变换，表示点先向右平移一个单位长度得到，再将绕原点顺时针旋转得到再将绕原点顺时针旋转得到，……以此类推．点经过“”变换后得到的点坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标变化规律，根据作“”变换和作“”变换的变换方法依次变换得出最终点的坐标． 【详解】解：点经过“”变换， 作“”变换，把点向右平移一个单位长度， 可得点的坐标为， 作“”变换，把点绕原点顺时针旋转， 可得点的坐标为， 作“”变换，把点绕原点顺时针旋转， 可得点的坐标为， 作“”变换，把点向右平移一个单位长度， 可得点的坐标为， 作“”变换，把点绕原点顺时针旋转， 可得点的坐标为， 作“”变换，把点绕原点顺时针旋转， 可得点的坐标为， 作“”变换，把点向右平移一个单位长度， 可得点的坐标为， 作“”变换，把点绕原点顺时针旋转， 可得点的坐标为， 作“”变换，把点绕原点顺时针旋转， 可得点的坐标为． 故答案为：． 三、解答题：本题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算和解一元二次方程，熟练掌握运算方法是解答本题的关键． （1）原式分别计算特殊角三角函数值，算术平方根、绝对值以及零次幂，然后再进行加减运算即可； （2）方程移项后运用因式分解法求解即可． 【详解】解：（1） ； （2）， ， ， ， ，， ． 17. 如图，在和中，的延长线经过点C，且， （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质，推导出，进而证明是解题的关键． （1）由，得，则，而，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明∽； （2）由相似三角形的性质得，而，，，则 【小问1详解】 证明： ， ，， ， ， ∽； 【小问2详解】 解：∵， ， ，，， ， 的长是 18. 社区里的手工烘焙店推出一款限定曲奇礼盒，每盒成本30元，规定售价不低于成本且不超过54元．试卖期间发现，每天的销量 y（盒）与售价 x（元/盒）是一次函数关系，部分数据如下： 售价x（元/盒） … 35 40 45 … 每天的销量y（盒） … 90 80 70 … （1）若每天销售所得利润为1200元，则售价应定为多少元？ （2）当售价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）售价应定为50元/盒 （2）当售价为54元/盒时，每天获利最大，最大利润为1248元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用、一元二次方程的应用，掌握数学中的“建模”思想是解题关键． （1）运用待定系数法求出y与x之间的函数关系式，根据题意得，解方程即可求解； （2）设每天销售所得利润为w元，确定w与x之间的函数关系式，根据函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设每天的销量y（盒）与售价x（元/盒）之间的关系式为． 把代入，得， 解得， ． 根据题意，得， 解得． ∵规定售价不低于成本且不高于54元/盒， ． 答：售价应定为50元/盒． 【小问2详解】 解：设每天获利w元，根据题意，得 ． ，对称轴是直线， 而， ∴当时，w取最大值，最大值（元）． 答：当售价为54元/盒时，每天获利最大，最大利润为1248元． 19. 如图，在菱形中，，E为的中点，F是上一点，G 为上一点，且，交于点H． （1）求的长； （2）求的值． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质， （1）先证明为等边三角形，进而证明，列出比例式即可求出的长； （2）求出的面积比，进而求出的长，再证明，求出的面积比，进而得到的值即可． 【小问1详解】 解：∵菱形中，， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． 20. 某公园有个观望台可以俯瞰全园风景，有左、右两个步道可以登顶，观望台的高为3.04米，如图所示．左侧步道的长度为42米，倾斜角为，右侧步道的倾斜角为支架都与地面垂直，都与地面平行，两支架之间的距离为2米（点B，C，F，E在同一条直线上）． （1）求右侧步道的长度； （2）两步道的底端分别为B，E，求的长．（结果精确到0.1．参考数据：） 【答案】（1）50米 （2）78.8米 【解析】 【分析】本题考查了解三角形的应用，包括已知正余弦值求解边长，解决本题的关键是熟练掌握正弦与余弦的计算． （1）根据角B的正弦值可求解的长，由此可求解的长度，即可求解的长度； （2）先求解和的长度，由此可求解的长度． 【小问1详解】 解：在中，米，， ． ， ． 在中， 答：右侧步道的长度为50米． 【小问2详解】 解：在中，． 在中，， ． 答：的长约为78.8米． 21. 如图，圆内接四边形的边过圆心O，过点C的直线与边所在直线垂直于点M． （1）若是的切线，且．求的度数． （2）试猜想与满足什么关系时，直线与相切？并说明理由． 【答案】（1） （2）时，与相切．理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定与性质，圆内接四边形的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握圆内接四边形的性质和圆周角定理是解决问题的关键． （1）连接，由切线的性质得到，再根据圆周角定理结合直角三角形的性质求出，根据，得到，利用圆内接四边形的性质，求出，即可解答； （2）当时，与相切，由，得到，根据等腰三角形的性质推出，易证，推出，证明即可得出结论． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵是的切线， ． ， 为的直径， ． ， ． ∵四边形为圆内接四边形， ． 又， ， ． 【小问2详解】 解：当时，与相切． 理由：， ， 又， ， ， ． ， ． 又为的半径， 与相切． 22. 如图，矩形的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，D 是边上的一个动点（不与C，B重合），反比例函数的图象经过点 D 且与边交于点E，连接． （1）如图1，若， ①求反比例函数的表达式； ②连接．求证： （2）如图2，将沿折叠，点B关于的对称点为点，连接，求出的最小值． 【答案】（1）①；②见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）①根据题意，求出，再根据待定系数法即可求解；②根据两边成比例及夹角相等，证明，得，即可求证； （2）连接，，易证，再证，根据“垂线段最短”，得当时，取最小值，可证，得，计算即可． 【小问1详解】 ①解：矩形，点B的坐标为， ，则， ， 反比例函数的图象经过点 D， ， 反比例函数的表达式为； ②证明：设点，代入，得， 点， ， ， ， ， 又，， ， ； 【小问2详解】 解：如图，连接，，交于点F， 由折叠可得，垂直平分， ， ， 设点，代入，得，则 当时，，则点， ，， ，， ， 又，， ， ， ， ， ， 在中，，， 则， 根据垂线段最短，得当时，取最小值， ， ，则，即， ， 的最小值为． 【点睛】本题考查反比例函数图象和几何的综合，掌握待定系数法求反比例函数解析式，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，平行线的判定，勾股定理等知识是解题的关键． 23. 在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（是常数）． （1）若，且抛物线经过点． ①求该抛物线对应的函数表达式； ②若点 在抛物线上，横坐标为，点的横坐标为，纵坐标与点的纵坐标相同，点在轴上，纵坐标为．当点和点的纵坐标不相等时，作点关于点的对称点，作点关于点的对称点，连接．试说明线段的长度为． （2）若直线经过点，与抛物线的交点为，当时，求的最小值． 【答案】（1）①；②见解析 （2）当时，最小值为；当时，最小值为；当时，最小值为 【解析】 【分析】（）①利用待定系数法解答即可求解；②由对称可得点分别是的中点，即得是的中位线，得到，进而由即可求证； （）利用待定系数法可得抛物线的表达式为，对称轴为直线，分，和三种情况，利用二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的综合应用，二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【小问1详解】 解:（）①把，点代入，得， 解得， ∴抛物线对应函数表达式为； ②证明：∵点关于点的对称点为点，点 关于点的对称点为点， ∴点分别是的中点， ∴是的中位线， ， ∵点的纵坐标相等，横坐标分别为，， ， ； 【小问2详解】 解：将代入， 得， 解得， 将代入，得， ∴， ∴抛物线的表达式为，对称轴为直线， 分三种情况讨论： ①当，即时， 则时， 随的增大而减小， ∴当时，取最小值，最小值为； ②当，即时， ∵抛物线的对称轴为直线，开口向上， ∴当时，取最小值，最小值为； ③当时，则时， 随的增大而增大， ∴当时，取最小值，最小值为； 综上可知，当时，最小值为；当时，最小值为；当时，最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $