精品解析：福建泉州市泉港区2025-2026学年秋季九年级期末教学质量监测数学试题

2025年秋季九年级期末教学质量监测试卷 数学试题 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列各式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 电影制作中，通过改变物体的大小来模拟远近变化，这类操作既可以帮助讲述故事，也可以增加电影的观赏性．这种原理利用到的图形变换是（ ） A. 位似变换 B. 平移变换 C. 对称变换 D. 旋转变换 3. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 4. 如果，那么的结果是（ ） A. B. C. D. 5. 已知是锐角，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 对于抛物线，下列说法错误的是（    ） A. 对称轴是直线 B. 顶点坐标是 C. 当时，随的增大而减小 D. 当时，的最小值为1 7. 物理课上，同学们做“让小灯泡亮起来”的实验．“智慧小组”的实验电路图如图所示，其中，，，表示电路的开关，L表示小灯泡．当随机闭合两个开关时，灯泡发光的概率是（    ） A. B. C. D. 8. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 9. 如图，中，点E是边的中点，连接并延长，交的延长线于点F，点G是的中点，连接并延长，交于点H，若，则的长为（    ） A. B. 2 C. D. 3 10. 已知关于x方程有两个不相等的实数根，，关于x的方程的根为，给出下面三个结论： ①； ②； ③． 上述结论中，所有可能正确的结论的序号是（ ） A. ① B. ② C. ①③ D. ①②③ 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分. 11. 要使式子 有意义，则x的取值范围是_______． 12. 杜牧《清明》诗中写道“清明时节雨纷纷”，从数学的观点看，诗句中描述的事件是____事件．（填“必然”、“不可能”或“随机”） 13. 已知m是一元二次方程的一个根，则的值为______． 14. 已知某斜坡坡度，则斜坡的坡角的大小为_________． 15. 如图，在中，，的垂直平分线交边于点，若，则________． 16. 如图，在中，，平分，交于点，点是的中点，连接并延长交于点．若，，则的长为______． 三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出10件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出1件，若商场平均每天要盈利600元，每件衬衫应降价多少元？ 20. 山西是华夏文明的发祥地之一，悠久的历史留下了众多文化遗产，周末甲、乙两人从以下四个景区：泽州府城玉皇庙、泽州青莲寺、陵川西溪二仙庙、高平铁佛寺，随机选取一个参观游玩．假设这两人选择到哪个风景区参观游玩不受任何因素影响．且上述四个风景区中每个被选到的可能性都相同． （1）甲选择到高平铁佛寺风景区参观游玩的概率为_______． （2）假设甲去过泽州青莲寺，乙去过高平铁佛寺，各自去过的风景区不再选择，请用列表法或画树状图法，求甲、乙两人选择到同一个风景区参观游玩的概率． 21. 如图，已知． （1）尺规作图：在边上求作一点P，使得；（不写作法，应保留作图痕迹） （2）在（1）条件下，若，求的值． 22. 太谷白塔（如图1）是我国八大白塔之一，是一座具有1700多年历史的八边形七级楼阁式砖木结构塔．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量太谷白塔的高度，他们借助无人机设计了如下测量方案：如图2，无人机在距地面23.4米（米）的点处测得塔顶的仰角为．向靠近塔的方向水平飞行14.8米到达点，再次测得塔顶的仰角为，点，，，，在同一竖直平面内，点，在同一水平直线上，则太谷白塔的高度为多少米？（结果精确到0.1米．参考数据：，） 23. 阅读与思考 下面是小斌同学的数学笔记，请认真阅读并完成相应的任务． 如图1，图2，在学习完“图形的相似”之后，我知道平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 通过思考，如果将图1，图2中所涉及的基本图形综合，是否会有新的结论产生？于是我画出了如图3所示的图形，得出的结论．这个结论可表述为： 如图3，若，则． 下面是该结论的证明过程（不完整）： 证明：∵ ， ∴， ∴① ∵， …… 我进一步思考发现：，和的面积之间存在一定的数量关系． 任务： （1）请将小斌的证明过程补充完整． （2）猜想图3中，和的面积之间存在的数量关系，并说明理由． （3）在图3中，若，，请直接写出的值． 24. 问题背景： （1）如图（1），将绕点逆时针旋转得到，此时三点在同一直线上，求证：平分； 尝试运用： （2）如图（2），在（1）的条件下，，连接，点为的中点，点为的中点，连接，求证：； 拓展创新： （3）如图（3），在中，，点为线段上一动点，在左侧作，当点从点运动至点的过程中，点的运动路径长为___________． 25 图，抛物线与x轴交于A，B 两点，与y轴交于点C． （1）直接写出点 A，B，C 坐标； （2）如图1，连接，点 D 在抛物线上，连接，若，求点 D 的坐标； （3）如图2，点P 在对称轴右侧的抛物线上，非平行y轴的直线l与抛物线有唯一公共点P．平移直线l，使其经过点，与抛物线交于 M，N 两点，连接交 于点 E，Q 为的中点，连接，设点 P 的横坐标为m，若的面积为2，求m 的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季九年级期末教学质量监测试卷 数学试题 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列各式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式的判断，先将各选项中的代数式化为最简二次根式，再依据“化成最简二次根式后被开方数相同的二次根式是同类二次根式”进行判断．解题的关键是掌握同类二次根式的定义：把几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式是同类二次根式． 【详解】解：A．是最简二次根式，被开方数为，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故此选项不符合题意； B．，被开方数为，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故此选项不符合题意； C．，被开方数为，与的被开方数相同，是同类二次根式，故此选项符合题意； D．，不是二次根式，与不是同类二次根式，故此选项不符合题意． 故选：C． 2. 电影制作中，通过改变物体的大小来模拟远近变化，这类操作既可以帮助讲述故事，也可以增加电影的观赏性．这种原理利用到的图形变换是（ ） A. 位似变换 B. 平移变换 C. 对称变换 D. 旋转变换 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查图形变换的位似变换，特别是位似变换在实际场景（电影制作）中的应用． 【详解】首先分析题目中提到的电影制作中通过改变物体大小模拟远近变化这一现象； 然后依次回顾平移变换、对称变换、旋转变换和位似变换的定义和特点． 平移变换只是位置改变，大小和形状不变，B项不符合题意； 对称变换是关于某条直线对称，图形的大小也未发生改变，C项不符合题意； 旋转变换是绕定点旋转一定角度，同样不涉及大小的变化，D项不符合题意； 位似变换可以使图形按照一定比例放大或缩小，与电影中物体大小变化模拟远近的原理相符，A正确．BCD不符合题意． 故选A． 3. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程定义，解决本题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义，即“只含一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程”由此判断选项即可． 【详解】解：A选项：方程整理得，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合一元二次方程定义； B选项：方程，当时，方程变为，是一元一次方程，不一定是一元二次方程； C选项：方程含有两个未知数和，是二元方程，不符合一元二次方程定义； D选项：方程只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程定义． 故选：D． 4. 如果，那么的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据合分比例性质，可得答案．利用合分比性质是解题关键． 【详解】解： ， 故选：B． 5. 已知是锐角，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据是锐角，且得出，再求其正切值，即可求解． 【详解】解：∵是锐角，且 ∴， ∴ 故选：C． 6. 对于抛物线，下列说法错误的是（    ） A. 对称轴是直线 B. 顶点坐标是 C. 当时，随的增大而减小 D. 当时，的最小值为1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握函数的性质． 根据二次函数的性质判断即可． 【详解】解：，， A：抛物线，对称轴为直线，故该选项不符合题意； B：抛物线，顶点坐标为，故该选项不符合题意； C：抛物线的开口向下，对称轴为直线，当时，随的增大而减小，故该选项不符合题意； D：顶点坐标为，函数有最大值，最大值为，故该选项符合题意． 故选：D． 7. 物理课上，同学们做“让小灯泡亮起来”实验．“智慧小组”的实验电路图如图所示，其中，，，表示电路的开关，L表示小灯泡．当随机闭合两个开关时，灯泡发光的概率是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】列表得出共有12种等可能的结果，其中灯泡发光的结果有6种，再由概率公式求解即可． 此题考查了列表法求概率．列表法可以不重不漏地表示出所有等可能的情况，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：列表如下： - - - - 由表可知，共有12种等可能的结果，其中灯泡发光的结果有6种， 灯泡发光的概率为， 故选：A． 8. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵关于一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴的取值范围是且， 故选：． 9. 如图，中，点E是边的中点，连接并延长，交的延长线于点F，点G是的中点，连接并延长，交于点H，若，则的长为（    ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，关键是根据平行四边形的性质得出解答． 根据平行四边形的性质得出，进而利用全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质解答即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 是的中点， ， 在与中， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 10. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，，关于x的方程的根为，给出下面三个结论： ①； ②； ③． 上述结论中，所有可能正确的结论的序号是（ ） A. ① B. ② C. ①③ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、根的判别式及根与系数的关系，利用一元二次方程根与系数的关系表示出，，再用b，c表示出，进而得出，，之间的关系，据此进行分类讨论即可解决问题． 【详解】解：因为关于x的方程有两个不相等的实数根，， 所以，， 则， 又因为关于x的方程的根为， 所以， 则， 所以，， 则当时，，， 所以； 当时，，， 所以； 当，且时，，， 所以； 当，且时，，， 所以． 综上所述，所有可能正确的结论是①；③． 故选：C 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分. 11. 要使式子 有意义，则x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查的是二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数即可得出结论． 【详解】解：要使式子有意义，则 ， 解得：． 故答案为：． 12. 杜牧《清明》诗中写道“清明时节雨纷纷”，从数学的观点看，诗句中描述的事件是____事件．（填“必然”、“不可能”或“随机”） 【答案】随机 【解析】 【分析】本题考查了随机事件的概念，解题的关键是明确必然事件，不可能事件，随机事件的定义． 必然事件是指在一定条件下必然会发生的事件；不可能事件是指在一定条件下必然不会发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．判断诗句描述的事件类型，依据随机事件的定义分析． 【详解】“清明时节雨纷纷”描述是清明时节下雨的情况，在现实中，清明时节可能下雨，也可能不下雨，其发生具有不确定性，符合随机事件的定义．因此，诗句中描述的事件是随机事件． 故答案为：随机． 13. 已知m是一元二次方程的一个根，则的值为______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据题意易得：，从而可得，然后代入并进行计算，即可解答． 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ， ， ， 故答案为：． 14. 已知某斜坡的坡度，则斜坡的坡角的大小为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据坡度、坡角的定义可得出tanα的值，继而可得出α的度数． 【详解】解：由题意得，tanα=， 则α=60°． 故答案为：60°． 【点睛】本题考查了坡度、坡角的定义，注意坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比． 15. 如图，在中，，的垂直平分线交边于点，若，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，勾股定理的应用，求解三角函数值，先证明，，结合勾股定理可得，再利用锐角的正切可得答案． 【详解】解：如图，的垂直平分线交边于点，， ∴，， ∵， ∴， ∴； 故答案为： 16. 如图，在中，，平分，交于点，点是的中点，连接并延长交于点．若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】过作于点，过作交延长线于点，然后证明，又点是的中点，则，从而证明，由勾股定理求出，然后根据角平分线的性质和面积公式可以求出，最后再证明，根据性质的，最后代入求解即可． 【详解】解：如图，过作于点，过作交延长线于点， ∴， ∴， ∴， ∴，, ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴ ∵平分，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，解得：， 经检验：是原方程的解， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，直角三角形斜边上的性中线等于斜边的一半，掌握知识点的应用是解题的关键． 三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，特殊角的三角函数的计算，掌握以上知识，实数的混合运算法则是解题的关键． 根据二次根式的性质化简，二次根式的除法运算法则计算，特殊角的三角函数值的计算，最后再根据实数的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 18. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，解决本题的关键是熟练使用配方法． 先移项，再对进行配方求解即可． 【详解】解：方程为：， 移项得：，配方得：， 即：，开方得：， 解得：，． 19. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出10件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出1件，若商场平均每天要盈利600元，每件衬衫应降价多少元？ 【答案】20元 【解析】 【详解】设每件衬衫应降价x元，则每件盈利（40-x）元，每天可以售出（10+x）件， 由题意，得（40-x）（10+x）=600， 即：（x-10）（x-20）=0， 解，得x1=10，x2=20， 为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，所以x的值应为20， 所以，若商场平均每天要盈利600元，每件衬衫应降价20元. 20. 山西是华夏文明的发祥地之一，悠久的历史留下了众多文化遗产，周末甲、乙两人从以下四个景区：泽州府城玉皇庙、泽州青莲寺、陵川西溪二仙庙、高平铁佛寺，随机选取一个参观游玩．假设这两人选择到哪个风景区参观游玩不受任何因素影响．且上述四个风景区中每个被选到的可能性都相同． （1）甲选择到高平铁佛寺风景区参观游玩的概率为_______． （2）假设甲去过泽州青莲寺，乙去过高平铁佛寺，各自去过的风景区不再选择，请用列表法或画树状图法，求甲、乙两人选择到同一个风景区参观游玩的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，用列表法或画树状图法求概率，利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求事件或的概率． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）记泽州府城玉皇庙、泽州青莲寺、陵川西溪二仙庙、高平铁佛寺四个地点分别为、、、，画出树状图得出所有等可能结果，从中找到甲、乙两人选择到同一个风景区参观游玩的结果数，然后根据概率公式求解可得． 【小问1详解】 解：由题意得，甲选择到高平铁佛寺风景区参观游玩的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：记泽州府城玉皇庙、泽州青莲寺、陵川西溪二仙庙、高平铁佛寺四个地点分别为、、、，画树状图如下： 由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人选择到同一个风景区参观游玩的有2种结果， 甲、乙两人选择到同一个风景区参观游玩的概率为． 21 如图，已知． （1）尺规作图：在边上求作一点P，使得；（不写作法，应保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）的值为． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图：作一个角等于已知角，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的解法，本题的关键是熟练掌握尺规作图：作一个角等于已知角． （1）作即可； （2）设，则，，由（1）中，得，再代入解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解；如图所示： ； 【小问2详解】 解：设，则，， 由（1）中，得， ，且， 整理得， 解得：（负值已舍）， 故的值为． 22. 太谷白塔（如图1）是我国八大白塔之一，是一座具有1700多年历史的八边形七级楼阁式砖木结构塔．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量太谷白塔的高度，他们借助无人机设计了如下测量方案：如图2，无人机在距地面23.4米（米）的点处测得塔顶的仰角为．向靠近塔的方向水平飞行14.8米到达点，再次测得塔顶的仰角为，点，，，，在同一竖直平面内，点，在同一水平直线上，则太谷白塔的高度为多少米？（结果精确到0.1米．参考数据：，） 【答案】太谷白塔的高度约为43.6米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，如答图，延长交于点，分别在和中，表示出和，然后得到求解即可． 【详解】如答图，延长交于点． 由题可知，，，，，． ∴四边形是矩形． ∴． 在中，，， ∴． 在中，，， ∴． ∵， ∴． 解得． ∴（m）． 答：太谷白塔的高度约为43.6米． 23. 阅读与思考 下面是小斌同学的数学笔记，请认真阅读并完成相应的任务． 如图1，图2，在学习完“图形的相似”之后，我知道平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 通过思考，如果将图1，图2中所涉及的基本图形综合，是否会有新的结论产生？于是我画出了如图3所示的图形，得出的结论．这个结论可表述为： 如图3，若，则． 下面是该结论的证明过程（不完整）： 证明：∵ ， ∴， ∴① ∵， …… 我进一步思考发现：，和的面积之间存在一定的数量关系． 任务： （1）请将小斌的证明过程补充完整． （2）猜想图3中，和的面积之间存在的数量关系，并说明理由． （3）在图3中，若，，请直接写出的值． 【答案】（1）证明过程补充完整见解析 （2），理由见解析 （3）的值为3 【解析】 【分析】本题重点考查了相似三角形的性质和判定定理以及三角形面积公式与相似三角形性质综合运用的理解，在解决此类问题时，要善于通过作辅助线构造相似三角形和利用面积关系进行推导． （1）因为，所以．可得，因为，所以，可得，将这两个等式相加并进行变形，得到，进一步变形左右两边同时除以可得结论； （2）如答图，过点作于点，过点作于点，过点作交延长线于点， 因为，可得，因为，进一步变形左右可得，从而得到结论； （3）根据（2）的结论，代入即可求解． 【小问1详解】 解：∴ ② ①＋②得． 左右两边同时除以可得； 【小问2详解】 ，理由如下． 如答图，过点作于点，过点作于点，过点作交延长线于点． ∵， ∵ ∴ ∴ 两边同时乘， 可得， ∴ 【小问3详解】 根据（2）的结论： ， ，，代入可得， ， 解得：， 的值为 3 ． 24. 问题背景： （1）如图（1），将绕点逆时针旋转得到，此时三点在同一直线上，求证：平分； 尝试运用： （2）如图（2），在（1）的条件下，，连接，点为的中点，点为的中点，连接，求证：； 拓展创新： （3）如图（3），在中，，点为线段上一动点，在左侧作，当点从点运动至点的过程中，点的运动路径长为___________． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）1 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，相似三角形的应用，巧妙运算三角函数值证明相似是解题关键． （1）根据旋转的性质和等边对等角的性质，即可证明； （2）延长交于点，连接、，由旋转和等腰三角形的性质，得出，，再结合特殊角的正弦值，证明，得到，即可得到结论； （3）作，作于点，连接，先利用特殊角的正弦值，证明，从而说明、、三点共线，进而得到点在直线上运动线段为点的运动路径，再利用直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：由旋转的性质可知，，， ， ， 平分； （2）解：如图，延长交于点，连接、， 由旋转的性质可知，，，， ， 点为的中点，点为的中点， ，，，， ，即， ，， ， ， ， ， ； （3）解：如图，作，作于点，连接， ，， ， ，， ，即， ， ， ， ， 、、三点共线， 点在直线上运动， 当点在点处时，点在点处；当点在点处时，点在点处，即线段为点的运动路径， ， ，， 在中，， ， ， ， ， 点的运动路径为1． 25. 图，抛物线与x轴交于A，B 两点，与y轴交于点C． （1）直接写出点 A，B，C 的坐标； （2）如图1，连接，点 D 在抛物线上，连接，若，求点 D 的坐标； （3）如图2，点P 在对称轴右侧的抛物线上，非平行y轴的直线l与抛物线有唯一公共点P．平移直线l，使其经过点，与抛物线交于 M，N 两点，连接交 于点 E，Q 为的中点，连接，设点 P 的横坐标为m，若的面积为2，求m 的值． 【答案】（1），， （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据求得方程的解，求出当时的值即可得解； （2）作轴于，设，则，，结合，得出，进而得出，计算即可得解； （3）设，结合直线l与抛物线有唯一公共点P，求出直线l的解析式为，从而可得平移后的直线的解析式为，求出的中点Q的坐标为，得出轴，，求出的解析式为，进而可得，再结合的面积的面积的面积列方程计算即可得解． 【小问1详解】 解：由得出， 解得：，， ∴，， 当时，， ∴ 【小问2详解】 解：如图，作轴于， 设， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：或， 当时，，此时， 当时，，此时， 综上，点D的坐标为或 【小问3详解】 解：设， ∴设直线l的解析式为， 由得， 直线l与抛物线有唯一公共点P， 此方程有两个相等的实数根， ∴， ， ， 直线l的解析式为， 平移后的直线的解析式为， 由得， ， ∴， ∴的中点Q的坐标为， ∴轴，， 设直线的解析式为， ，解得， 的解析式为， 联立，解得， ， 的面积的面积的面积 ， （舍去），， ． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题、二次函数综合—角度问题、二次函数综合—面积问题、解直角三角形、一元二次方程根与系数的关系、求一次函数解析式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $