精品解析：福建省泉州市泉港区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

2024-2025学年福建省泉州市泉港区 九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列计算中，正确的是( ) A. B. C. D. 2. 若关于x的一元二次方程有一个根是，则的值为（　　） A. B. C. D. 3. 已知二次函数，下列关于其函数图象的说法正确的是（　　） A. 开口向上 B. 图象经过原点 C. 对称轴是直线 D. 图象有最低点 4. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小美、小好两人同时出“布”的事件是（　　） A. 随机事件 B. 不可能事件 C. 必然事件 D. 确定性事件 5. 如图，，若，则的值为（ ） A 5 B. 10 C. 15 D. 2.5 6. 如图，在中，，，，分别是，，的对边，则下列式子正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，AE经过△ABC的重心P，如果，那么PE的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 8. 如图，点，，都是正方形网格的格点，连接，，则的正弦值为（ ） A. B. C. D. 2 9. 小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．则原来的方程是( ) A. B. C. D. 10. 如图，抛物线的图象与轴交于，两点，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论：当时，；若且，则；若，则；若，，点在抛物线的对称轴上，且，则．其中正确的是（　　） A B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共24分） 11 最简二次根式与可以合并，则______． 12. 若，则______． 13. 已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是_____.． 14. 如图，河坝横断面迎水坡的坡度为，坝高，则的长度为_________． 15. 如图是某设备的局部设计电路图，随机闭合三个开关，，中的两个，则灯泡亮起来的概率是______． 16. 二次函数的自变量与函数值的对应关系列表如下，则关于的方程的解为______． 三、解答题（共86分） 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 已知二次函数的图象经过点，顶点坐标为． （1）试求该二次函数的表达式； （2）当时，直接写出的取值范围． 20. 如图，在矩形中，． （1）尺规作图：在线段上求作一点，使得；（保留痕迹，不写作法） （2）连接，若点为边的中点，连接，求证． 21. 小明利用“无人机”测量涂岭镇下炉村的下炉石佛（泉港打卡景点：玉笏朝天）的高度．无人机的探测器显示，观测“玉笏朝天”最高点的仰角是，观测“玉笏朝天”底部的俯角是，若与水平面垂直，无人机的观测点与的水平距离为米．请求出“玉笏朝天”的高度． 22. 商场“迎新年”促销活动规定：在不透明的袋中装有2个红球和若干个白球，它们除颜色外其它都相同；凡购物满500元，再摸出1个，摸到白球的概率是． （1）请直接写出袋中白球的个数； （2）该商场采用“在线支付”和“现金支付”两种付款方式满500元均可抽奖．抽奖者从该不透明的袋中同时取出两个球，根据抽奖者的付款方式和球的颜色决定赠送相应券值的礼金券．试判断采用哪种付款方式，获得20元礼金券的概率较大？请说明理由． 在线支付 球 两红 一红一白 两白 礼金券/元 5 20 5 现金支付 球 两红 一红一白 两白 礼金券/元 20 5 20 23. 我国新能源汽车产业凭借技术创新和产品力双重驱动，得到飞跃发展，已经成为全球新能源汽车领域的重要力量．请根据以下素材 素材1 小明代理一新款能源汽车销售，据了解2辆A型新能源汽车、3辆B型新能源汽车的进价共计99万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计91万元． 素材2 在政府加大力度倡导和新能源消费补贴政策的引导下，新能源汽车成为热销产品．小明选择在销售A型新能源汽车的某4S店进行询价调查，调查发现：当A型新能源汽车售价定为25万元/辆时，平均每周销售8辆；每降低0.5万元，平均每周多售出1辆． 素材3 4S店每周销售A型新能源汽车，为了能实现利润为96万元的营业额，决定下调售价 问题解决 任务1 试求出A型新能源汽车、B型新能源汽车每辆的进价． 任务2 请根据以上素材，给4S店建议A型新能源汽车每辆售价． 24. 在中，，E是边上一点，将沿着翻折到， （1）如图1，若E、F、D三点共线， ①求证：； ②若，，求的长． （2）如图2，若，点E是中点，，求的面积． 25. 在平面直角坐标系中，已知二次函数（m为常数）． （1）若，请求出二次函数的表达式． （2）二次函数的图象和直线都经过点，试求的值； （3）已知点，都在该二次函数图象上，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年福建省泉州市泉港区 九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列计算中，正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据二次根式的运算法则进行计算即可． 【详解】A．与不是同类二次根式，不能合并，故此选项错误，不符合题意； B．，故此选项错误，不符合题意； C．，正确，符合题意； D．，故此选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． 2. 若关于x的一元二次方程有一个根是，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，把代入方程即可求解，解题的关键是熟记把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根是， ∴， 解得：， 故选：． 3. 已知二次函数，下列关于其函数图象的说法正确的是（　　） A. 开口向上 B. 图象经过原点 C. 对称轴是直线 D. 图象有最低点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质逐一判断即可，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：、由可知，， ∴开口向下，原选项错误，不符合题意； 、当时，， ∴图象经过原点，原选项正确，符合题意； 、由， ∴对称轴是直线，原选项错误，不符合题意； 、由可知，，则开口向下， ∴图象有最低点，原选项错误，不符合题意； 故选：． 4. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小美、小好两人同时出“布”的事件是（　　） A. 随机事件 B. 不可能事件 C. 必然事件 D. 确定性事件 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，根据事件发生的可能性大小判断，解题的关键是正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：“石头、剪刀、布”的游戏中，小美、小好两人同时出“布”的事件是随机事件， 故选：． 5. 如图，，若，则的值为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 2.5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，掌握以上知识是解题的关键． 根据，则有，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B ． 6. 如图，在中，，，，分别是，，的对边，则下列式子正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，根据余弦、正切的定义逐一判断即可，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：如图， 、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项正确，符合题意； 故选：． 7. 如图，AE经过△ABC的重心P，如果，那么PE的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的考点是三角形重心的性质．解题的关键是理解并运用三角形重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍这一性质． 【详解】三角形的重心是三角形三条中线的交点， 且重心到顶点的距离是它到对边中点距离的 2 倍． 设，则， 因为， 即， 解得， 所以． 故答案选：B． 8. 如图，点，，都是正方形网格的格点，连接，，则的正弦值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查网格中求三角函数值，三角函数定义，勾股定理及其逆定理，连接，设小正方形边长为1，求出，，，即可证明是直角三角形，问题随之得解，根据题目已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接， 设小正方形边长为1， ，，， ， 是直角三角形， ， 在中，，， ， 故选：B． 9. 小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．则原来的方程是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出原方程中，，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵小影在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是和； ∴， 又∵小冬写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和． ∴ A. 中，，，故该选项不符合题意； B. 中，，，故该选项符合题意； C. 中，，，故该选项不符合题意； D. 中，，，故该选项不符合题意； 故选：B． 10. 如图，抛物线的图象与轴交于，两点，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论：当时，；若且，则；若，则；若，，点在抛物线的对称轴上，且，则．其中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象，二次函数的性质等，利用数形结合法得到字母系数的关系式是解题的关键． 由抛物线开口向下，对称轴为直线，得到当时，，据此可判断；根据题意可得直线和直线关于对称轴对称，据此可判断；先由对称轴公式得到，再由，得到，点的坐标为，把代入抛物线解析式中求出，则点的坐标为，据此可判断；先求出，设利用勾股定理得到，则，解得，据此可判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，， ∴当时，即，故正确； 当且时，则直线和直线关于对称轴对称， ∴，故错误； ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 把代入抛物线解析式中得， ∴ ∴， ∴点的坐标为， ∴，故错误； ∵， ∴， 设， ∴，，， ∵， ∴， 解得， ∴，故正确； 综上可知： 正确， 故选：． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 最简二次根式与可以合并，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，解题的关键是理解可以合并的条件—同类二次根式． 根据被开方数相同，列式计算即可． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴与是同类二次根式，即， 解得：， 故答案为：5． 12. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了比例的性质，根据比例性质即可求解，解题的关键是正确理解比例的性质． 【详解】解：∵， ∴设，（）， ∴， 故答案为：． 13. 已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是_____.． 【答案】1 【解析】 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴∆=0， ∴4﹣4m=0， ∴m=1， 故答案为1． 14. 如图，河坝横断面迎水坡的坡度为，坝高，则的长度为_________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据坡度的概念求出，根据勾股定理求出． 【详解】解∶迎水坡的坡比为， ，即， 解得，， 由勾股定理得，， 故答案为：6． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键． 15. 如图是某设备的局部设计电路图，随机闭合三个开关，，中的两个，则灯泡亮起来的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了树状图法或列表法求解概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件，先画出树状图，得到所有的等可能的结果数，再找到能让灯泡发光的结果数，最后依据概率计算公式求解即可，正确画出树状图是解题的关键． 【详解】解：画出树状图， 一共有种等可能得结果，灯泡亮起来的有，，，，共种， ∴灯泡亮起来的概率是， 故答案为：． 16. 二次函数的自变量与函数值的对应关系列表如下，则关于的方程的解为______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，由当时，对应的的值为，则二次函数的对称轴为直线，又当时，，根据二次函数的对称性可得：时，，所以或，然后解方程即可，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由表格可知：当时，对应的的值为， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵当时，， ∴根据二次函数的对称性可得：时，， ∴关于的方程的解为或， ∴，， 故答案为：，． 三、解答题（共86分） 17. 计算：． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了立方根，算术平方根，完全平方公式，根据立方根，算术平方根，完全平方公式运算法则先计算，然后合并即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 18. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】利用因式分解法解即可． 【详解】分解因式得： ∴，或 ∴， 【点睛】本题考查了用因式分解法解一元二次方程，一元二次方程的解法较多，要根据方程的特点选取适当的方法，使解法简便． 19. 已知二次函数的图象经过点，顶点坐标为． （1）试求该二次函数的表达式； （2）当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）该二次函数的表达式； （2）的取值范围为． 【解析】 【分析】（）用待定系数法求出函数表达式； （）由二次函数的性质可得答案； 此题考查了待定系数法求二次函数的解析式、求二次函数的函数值的取值范围，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点，顶点坐标为， ∴设该二次函数的表达式， 则， 解得：， ∴该二次函数的表达式； 【小问2详解】 解：由（）得：该二次函数表达式， ∵， ∴当时，有最小值， 当时，，；，， ∴当时，有最大值， ∴的取值范围为． 20. 如图，在矩形中，． （1）尺规作图：在线段上求作一点，使得；（保留痕迹，不写作法） （2）连接，若点为边的中点，连接，求证． 【答案】（1）作图见解析； （2）证明见解析． 【解析】 【分析】（）根据尺规作图——作一条线段等于已知线段即可； （）由，，则，再根据等腰三角形的性质可得，，则，再通过矩形的性质得到，所以，最后通过相似三角形的判定方法即可求证； 本题考查了尺规作图，矩形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定，掌握知识点知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图，以为圆心，长度为半径画弧，交于点， ∴点即为所求； 【小问2详解】 证明：如图， ∵，， ∴， ∵点为边的中点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴． 21. 小明利用“无人机”测量涂岭镇下炉村的下炉石佛（泉港打卡景点：玉笏朝天）的高度．无人机的探测器显示，观测“玉笏朝天”最高点的仰角是，观测“玉笏朝天”底部的俯角是，若与水平面垂直，无人机的观测点与的水平距离为米．请求出“玉笏朝天”的高度． 【答案】“玉笏朝天”的高度米． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，根据题意可以得到和的长，从而可以求得的长，解题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答． 【详解】解：如图， 由题意可得，，，，， ∴， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴， 答：“玉笏朝天”的高度米． 22. 商场“迎新年”促销活动规定：在不透明的袋中装有2个红球和若干个白球，它们除颜色外其它都相同；凡购物满500元，再摸出1个，摸到白球的概率是． （1）请直接写出袋中白球的个数； （2）该商场采用“在线支付”和“现金支付”两种付款方式满500元均可抽奖．抽奖者从该不透明的袋中同时取出两个球，根据抽奖者的付款方式和球的颜色决定赠送相应券值的礼金券．试判断采用哪种付款方式，获得20元礼金券的概率较大？请说明理由． 在线支付 球 两红 一红一白 两白 礼金券/元 5 20 5 现金支付 球 两红 一红一白 两白 礼金券/元 20 5 20 【答案】（1）个 （2）在线支付 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及抽到两个红球的结果数、抽到一个红球一个白球的结果数、抽到两个白球的结果数，再利用概率公式可求出采用在线支付获得20元的礼金券的概率和采用现金支付获得20元的礼金券的概率，进而可得结论． 【小问1详解】 设白球的个数为，由题意有： ， 解得： 答：有个白球． 小问2详解】 列表如下： 共有种等可能的结果，其中抽到两个白球的结果有种，抽到一个红球一个白球的结果有种，抽到两个红球的结果有种； ∴采用在线支付获得元的礼金券的概率为，采用现金支付获得元的礼金券的概率为． ∵， ∴选择在线支付． 答：选择在线支付获得元礼金券的概率较大． 23. 我国新能源汽车产业凭借技术创新和产品力的双重驱动，得到飞跃发展，已经成为全球新能源汽车领域的重要力量．请根据以下素材 素材1 小明代理一新款能源汽车销售，据了解2辆A型新能源汽车、3辆B型新能源汽车的进价共计99万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计91万元． 素材2 在政府加大力度倡导和新能源消费补贴政策的引导下，新能源汽车成为热销产品．小明选择在销售A型新能源汽车的某4S店进行询价调查，调查发现：当A型新能源汽车售价定为25万元/辆时，平均每周销售8辆；每降低0.5万元，平均每周多售出1辆． 素材3 4S店每周销售A型新能源汽车，为了能实现利润为96万元的营业额，决定下调售价 问题解决 任务1 试求出A型新能源汽车、B型新能源汽车每辆的进价． 任务2 请根据以上素材，给4S店建议A型新能源汽车每辆的售价． 【答案】任务1：A型新能源汽车每辆进价15万元，B型新能源汽车每辆进价23万元；任务2：下调后每辆汽车的售价为21万元或者23万元． 【解析】 【分析】本题考查的考点主要有二元一次方程组的应用以及一元二次方程在销售问题中的应用． 任务1：设型新能源汽车每辆进价为万元，型新能源汽车每辆进价为万元．根据题意可列方程组：进而问题可求解；任务2．：设下调后每辆汽车的售价为万元，则每源汽车的销售利润为万元，根据题意得到，进而问题可求解． 【详解】解：任务1 设型新能源汽车每辆进价为万元，型新能源汽车每辆进价为万元． 根据题意可列方程组： 解得， 答：所以A型新能源汽车每辆进价15万元，B型新能源汽车每辆进价23万元． 任务2：设下调后每辆汽车的售价为万元，则每辆汽车的销售利润为万元，平均每周可售出辆， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 答：下调后每辆汽车的售价为21万元或者23万元． 24. 在中，，E是边上一点，将沿着翻折到， （1）如图1，若E、F、D三点共线， ①求证：； ②若，，求的长． （2）如图2，若，点E是中点，，求的面积． 【答案】（1）①详见解析；② （2） 【解析】 【分析】（1）①由四边形是平行四边形，可得，根据将沿着翻折到，有，故，从而； ②证明，可得，故，有，可得的值，再由得到的值，即可求得； （2）过作于，过作于，由为中点，求得的值，根据沿着翻折到，得，从而得到，然后在和中运用勾股定理求得，再根据得到的值，在中运用勾股定理求得的值，最后根据平行四边形面积公式即可求得答案． 【小问1详解】 ①证明：四边形是平行四边形， ， ， 将沿着翻折到， ， ， ； ②将沿着翻折到， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形，， ，， 由①知， ， ， ， ； 【小问2详解】 过作于，过作于，如图： 为中点，， ， 将沿着翻折到， ，，， ，即， 设，则， ， ， 解得， ， ， ，即， 设，则， ，， ， ， 解得或（舍去）， ， ， 的面积为． 【点睛】本题考查了四边形综合应用，涉及翻折变换，相似三角形判定与性质，勾股定理，解直角三角形，解一元二次方程，平行四边形的面积，解直角三角形的相关计算等知识，掌握翻折的性质和平行四边形性质是解题的关键． 25. 在平面直角坐标系中，已知二次函数（m为常数）． （1）若，请求出二次函数表达式． （2）二次函数的图象和直线都经过点，试求的值； （3）已知点，都在该二次函数图象上，求证：． 【答案】（1） （2）或． （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）把代入解析式即可； （2）把代入两个解析式，联立方程组求解即可； （3）由点，纵坐标相同，即可求得对称轴是直线，即可得出，求得，得到，代入解析式即可得到． 【小问1详解】 解：当时，； 【小问2详解】 ∵数的图象和直线都经过点， ∴， 解得或， 的值为或； 【小问3详解】 证明：∵， ∴对称轴是直线 ∵，都在二次函数的图象上， 对称轴是直线， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $