精品解析：天津2025-2026学年高二第一学期西青统考学校学业质量期末监测数学试题

2025~2026学年度第一学期西青统考学校学业质量期末监测 高二数学试卷 一.选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂到答题卡上. 1. 椭圆的焦点为（ ） A. （） B. （） C. （） D. （） 【答案】D 【解析】 【分析】根据方程分析可知焦点在x轴上，设焦距为，则，由此可得焦点坐标. 【详解】因为，所以椭圆的焦点在x轴上. 设椭圆的焦距为，则，所以. 所以焦点为. 故选：D. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由直线方程得到斜率，进而可得其倾斜角. 【详解】由题意可得直线的斜率为， 设其倾斜角为，则， 又，所以， 故选：B 3. 已知数列是等比数列，若，，则（ ） A. 51 B. C. -13 D. 85 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，求出等比数列公比，再求出前4项和. 【详解】设等比数列的公比为，由，，得，解得， 所以. 故选：A 4. 与直线关于轴对称的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取所求直线上任意一点，可求得关于轴的对称点的坐标，将其代入即可求解. 【详解】设与直线关于轴对称的直线为l, 取l上任意一点，则关于轴的对称点为， 所以在直线上，即，亦即. 故选：D. 5. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，这列数的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每个数都等于它前面两个数的和.后人把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的数列特征，依次写出前前几项即可. 【详解】“斐波那契数列”的前10项依次为：， 所以. 故选：B 6. 已知圆 圆则两圆的公切线条数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】确定两圆的位置关系后可得公切线条数． 【详解】圆标准方程为， 则已知两圆圆心分别为，半径分别为， 圆心距为， 因此两圆外切，它们有三条公切线， 故选：B． 7. 已知等差数列中， ，则（ ） A. 9 B. 6 C. 3 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的性质求解即可. 【详解】因为数列是等差数列， 所以，即，解得. 所以， 故选：A. 8. 若抛物线上的点到其焦点的距离为9，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出抛物线的准线方程，再利用抛物线定义求解. 【详解】抛物线的准线方程为，由点到其焦点的距离为9， 得，解得，而，则， 所以点的坐标为. 故选：D 9. 如图，在正方体中，是的中点，则与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，可求得与夹角的余弦值. 【详解】设正方体的棱长为1， 如图，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以，， 所以与所成角的余弦值是. 故选：C. 10. 已知数列的前n项和，则的值为( ) A. 68 B. 67 C. 65 D. 56 【答案】A 【解析】 【分析】首先利用与之间的关系求出数列的通项公式，然后结合等差数列求和公式即可求解. 【详解】当时，； 当时，符合上式， 所以， 所以． 故选：A. 二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，请将正确的答案填写到答题纸上，试题中包含2个空的，答对1个空的得2分，全部答对的得4分. 11. 抛物线的准线方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】抛物线的准线方程为，由此得到题目所求准线方程. 【详解】抛物线的准线方程是. 【点睛】本小题主要考查抛物线的准线方程，抛物线的准线方程为，直接利用公式可得到结果.属于基础题. 12. 已知直线与直线平行，则的值为_______________________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据两直线平行的充要条件，列方程求解可得. 【详解】由题可知，，解得. 当时，直线的方程为：，即，与直线平行. 故答案为：2. 13. 已知两个数，1的等差中项为2，则以为圆心，2为半径的圆的标准方程为______________________. 【答案】 【解析】 【分析】利用等差中项的定义求出，进而写出圆的标准方程. 【详解】由两个数，1的等差中项为2，得，解得， 所以所求圆的标准方程为. 故答案为： 14. 已知直线与圆相切，则_______________. 【答案】8 【解析】 【分析】利用圆的切线性质列式计算即得. 【详解】圆的圆心为，半径为， 依题意，，所以. 故答案为：8 15. 已知等差数列的前项和为，若，，则__________，设数列的前项和为，则_________________________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先利用等差数列前项和公式求出公差，得到通项，再对进行裂项，最后用裂项相消法求解. 【详解】因为数列为等差数列，，前项和, 所以，故，解得公差， 所以， 由，得，​ 所以， 所以. 故答案为：；. 16. 若直线与圆相切. 给出下列四个结论： ①；②数列为等差数列；③圆可能经过坐标原点；④数列的前10项和为23. 其中，正确结论的序号为______. 【答案】②③④ 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式可求得的通项公式，进而利用等差数列的定义和求和公式逐项判断即可. 【详解】因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离为半径， 即，整理得. 对于①，，故①错误； 对于②，因为， 所以数列是首项为，公差为的等差数列，故②正确； 对于③，假设圆经过坐标原点，则，解得， 令，解得，满足题意，故③正确； 对于④，数列的前10项和为， 故④正确. 故答案为：②③④. 三、解答题：本大题共4小题，共56分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 已知双曲线的焦点在轴上，，且经过点. （1）求该双曲线的标准方程及渐近线方程； （2）过双曲线的右焦点，斜率为的直线交双曲线于两点，求弦长. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）设出双曲线的方程，将，点的坐标代入即可求解； （2）由点斜式可得直线的方程，联立双曲线的方程，求得交点坐标，由两点间的距离公式可得弦长，或根据弦长公式求解. 【小问1详解】 由已知焦点在轴上，可设双曲线的方程为， 将，点的坐标代入方程为，解得，， 所以双曲线的标准方程为， 渐近线方程为. 【小问2详解】 由（1）知，所以半焦距，右焦点为， 如图，作出符合题意的图形， 由点斜式可得直线的方程为， 由，消去得. 法一：解方程得， 将代入，得， 不妨取， 所以. 法二：设，则，， 所以. 18. 如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，，分别是线段和上的点，且，，为线段的中点. （1）求证： 平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求直线到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以C为原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，证明与法向量垂直即可； （2）求出平面的法向量，根据平面夹角公式即可求出； （3）因为平面，只需求出到平面的距离即可. 【小问1详解】 依题意，两两垂直，以C为原点，分别以，，的方向为轴的正方向，建系如图： 得， 所以，，， 设平面的法向量为，则， 令，则平面的一个法向量为， ∴， 又∵平面，∴平面. 【小问2详解】 设平面的一个法向量为， 因为，则， 取， 由（1）知，平面的一个法向量为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 由（1）知平面， 所以点到平面的距离即为直线到平面的距离， 又∵， ∴点到平面的距离为. 19. 已知是等差数列，是公比大于0的等比数列，且，，，. （1）求数列和的通项公式； （2）设数列的前项和为，求. 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）根据，列方程组求解即可； （2）错位相减法求即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 因为是公比大于0的等比数列，且， 所以是各项都为正数的等比数列，设其公比为. 由可得：， 解得或（负值舍去）， 则，； 【小问2详解】 由（1）知， 所以， 两式相减可得 ， 整理得. 20. 已知椭圆方程为，椭圆的一个顶点为，离心率，过椭圆的右焦点的直线与坐标轴不垂直，且交椭圆于A，B两点. （1）求椭圆的标准方程； （2）设是线段（为坐标原点）上一个动点，且，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由椭圆C的一个顶点为，求出，根据离心率及求得，从而得到椭圆C的标准方程； （2）设直线的方程为，并与椭圆方程联立，利用韦达定理及向量垂直的坐标表示，得到的关系式，利用，得到实数的取值范围. 【小问1详解】 易知椭圆的焦点在轴上. 由椭圆C的一个顶点为，得，所以. 设椭圆的焦距为，由，解得：. 所以椭圆C的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）得，所以椭圆的右焦点为. 设直线交椭圆于点，直线的方程为 联立： 将直线代入椭圆方程，消去可得： 恒成立. 则 由是线段（为坐标原点）上一个动点可得. ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴，解得：，符合. 故实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期西青统考学校学业质量期末监测 高二数学试卷 一.选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂到答题卡上. 1. 椭圆的焦点为（ ） A. （） B. （） C. （） D. （） 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 已知数列是等比数列，若，，则（ ） A. 51 B. C. -13 D. 85 4. 与直线关于轴对称的直线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，这列数的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每个数都等于它前面两个数的和.后人把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆 圆则两圆的公切线条数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 7. 已知等差数列中， ，则（ ） A. 9 B. 6 C. 3 D. 15 8. 若抛物线上的点到其焦点的距离为9，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方体中，是的中点，则与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列的前n项和，则的值为( ) A. 68 B. 67 C. 65 D. 56 二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，请将正确的答案填写到答题纸上，试题中包含2个空的，答对1个空的得2分，全部答对的得4分. 11. 抛物线的准线方程为__________． 12. 已知直线与直线平行，则的值为_______________________. 13. 已知两个数，1的等差中项为2，则以为圆心，2为半径的圆的标准方程为______________________. 14. 已知直线与圆相切，则_______________. 15. 已知等差数列的前项和为，若，，则__________，设数列的前项和为，则_________________________. 16. 若直线与圆相切. 给出下列四个结论： ①；②数列为等差数列；③圆可能经过坐标原点；④数列的前10项和为23. 其中，正确结论的序号为______. 三、解答题：本大题共4小题，共56分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 已知双曲线的焦点在轴上，，且经过点. （1）求该双曲线的标准方程及渐近线方程； （2）过双曲线的右焦点，斜率为的直线交双曲线于两点，求弦长. 18. 如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，，分别是线段和上的点，且，，为线段的中点. （1）求证： 平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求直线到平面的距离. 19. 已知是等差数列，是公比大于0的等比数列，且，，，. （1）求数列和的通项公式； （2）设数列的前项和为，求. 20. 已知椭圆方程为，椭圆的一个顶点为，离心率，过椭圆的右焦点的直线与坐标轴不垂直，且交椭圆于A，B两点. （1）求椭圆的标准方程； （2）设是线段（为坐标原点）上一个动点，且，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $