精品解析：广东珠海市金湾区2025-2026学年第一学期期末质量监测九年级数学试题

金湾区2025－2026学年度第一学期义务教育阶段质量监测 九年级数学试题 本试卷共6页，满分120分．考试用时120分钟． 说明： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的学校、姓名、班级、考号等考生信息．用2B铅笔把对应考号栏的标号涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上．如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上断的答案．不准使用铅笔、涂改浪、涂改带等．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生务必保持答题卡的整洁，切勿折叠． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．如图为部分“卦”的符号，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在下列事件中，必然事件是（ ） A. 篮球队员在罚球线上投篮，未投中 B. 掷一次骰子，向上一面的点数是3 C. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D. 任意画一个三角形，其内角和是 3. 一元二次方程 根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 4. 将抛物线y＝2x2向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是( ) A. y＝2x2+3 B. y＝2x2﹣3 C. y＝2(x+3)2 D. y＝2(x﹣3)2 5. 如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C＝25°，则∠BOD的度数是（　　） A. 25° B. 30° C. 40° D. 50° 6. 公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率，请问9月份的销售量关于每月增加的百分率的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在扇形纸扇中，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数（为常数，且）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，从一块直径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥．那么这个圆锥的底面圆的半径是（ ） A. B. C. D. 1 10. 如图，矩形的边分别在轴的正半轴上，为对角线上的点，且．经过点的反比例函数的图象分别与相交于点，连接．若的面积是24，则的值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______． 12. 如图，点D、E分别在△的边的延长线上，且，如果，，那么 ____cm． 13. 若二次函数的图象过三点，则的大小关系是_____． 14. 如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为_______°． 15. 已知二次函数的图象经过点，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是_____．（写出一个即可） 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 小明在解方程时出现了错误，其解答过程如下： （第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （1）小明的解答过程是从第_____步开始出错的； （2）请用适当的方法解方程． 17. 2026年1月珠海市各个景点及酒店在网上的预订量同比迅猛增长，珠海成寒假出游热门地．小华计划寒假来珠海玩，利用抽卡片的游戏选择自己要去的景点．他将备选的4个旅游景点（圆明新园、海洋王国、日月贝、渔女）分别标记在4张完全相同的卡片上，背面朝上洗匀后放置在桌面上． （1）从中随机抽取1张卡片，标记的景点为圆明新园的概率为_____； （2）从中随机抽取1张卡片然后不放回，再随机抽取1张卡片．请用画树状图或列表的方法，求抽取的2张卡片标记的景点为海洋王国和日月贝的概率． 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与反比例函数图象交于两点，已知点，点的横坐标为． （1）求反比例函数的解析式； （2）观察图象，直接写出当时，自变量的取值范围． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 第十五届全运会期间，珠海赛区某官方特许零售店销售“全运纪念徽章套装”，每套徽章套装成本40元，销售单价定为50元时，每月可售出500套．销售单价每上涨1元，月销售量就减少10套，其中销售单价不超过75元． （1）当销售单价定为60元时，月销售量为_____套； （2）设每套徽章套装销售元（），月销售利润为元，求关于函数解析式； （3）若月销售利润达到8000元，求此时的销售单价． 20. 如图，是半圆的直径，点O为圆心，C是半圆上一点，连接． （1）用无刻度直尺和圆规作图：在半圆上确定一点P，使得(保留作图痕迹)； （2）在(1)的条件下,连接，，若，，求四边形的面积． 21. 综合与实践 【问题背景】 珠海日月贝大剧院某场演出开场前，观众排队检票入场，研究排队人数、开放检票通道数与检票时间的关系． 【研究条件】 条件1：观众到达后立即排队检票，在任意时刻都满足，排队人数现场总人数已检票入场人数； 条件2：检票区最多可开放10个检票通道，平均一条通道每分钟可检票8人． 【模型构建】 若演出开场前30分钟开始检票，经调查发现，现场总人数与检票时间(分钟)的关系为：． （1）若开放5个检票通道，当检票时间分钟时，已检票入场的人数为_____人，排队人数与检票时间的函数关系式为_____； 【模型应用】 （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值？并求出最大值； （3）大剧院要求：①排队人数在检票开始10分钟内(包含10分钟)减少；②尽量少开放检票通道以控制运营成本． 若同时满足以上要求，需开设几个检票通道？请说明理由． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 综合与运用 如图1，在中，，，D内一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，使得A，D，E三点在同一直线上，连接． （1）填空：_____．（用含的代数式表示） （2）如图2，若，过点作于点，与交于点． ①探究线段，，之间的数量关系，并证明你的结论． ②，当四边形面积达到最大时，求的长度． 23. 综合与探究 【问题情境】 在平面直角坐标系中，点为第一象限内一个动点，以为边作正方形，使得顶点在轴上方，且线段与轴交于点．过点作交于点，在线段上任取一点，过点作交正方形于点，连接． 【初步探究】 （1）如图1，若点的坐标为，则_____． 【构建联系】 （2）如图2，若， ①求点的坐标． ②求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，若矩形的面积是矩形面积的一半，的度数随点运动是否会发生变化？若改变，请说明理由；若不变，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金湾区2025－2026学年度第一学期义务教育阶段质量监测 九年级数学试题 本试卷共6页，满分120分．考试用时120分钟． 说明： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的学校、姓名、班级、考号等考生信息．用2B铅笔把对应考号栏的标号涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上．如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上断的答案．不准使用铅笔、涂改浪、涂改带等．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生务必保持答题卡的整洁，切勿折叠． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．如图为部分“卦”的符号，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键． 【详解】解：A.是中心对称图形； B.不是中心对称图形； C.不是中心对称图形； D.不是中心对称图形； 故选A． 2. 在下列事件中，必然事件是（ ） A. 篮球队员在罚球线上投篮，未投中 B. 掷一次骰子，向上一面的点数是3 C. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D. 任意画一个三角形，其内角和是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据必然事件的概念判断即可． 【详解】解：A选项中篮球队员在罚球线上投篮，未投中是可能发生也可能不发生的事件，属于随机事件； B选项中掷一次骰子，向上一面的点数是3是可能发生也可能不发生的事件，属于随机事件； C选项中经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是可能发生也可能不发生的事件，属于随机事件； D选项中任意画一个三角形，其内角和是是三角形内角和定理，是必然会发生的事件，属于必然事件； 故选：D． 3. 一元二次方程 的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．求出根的判别式即可解答． 【详解】解：∵， ∴方程无实数根． 故选C． 4. 将抛物线y＝2x2向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是( ) A. y＝2x2+3 B. y＝2x2﹣3 C. y＝2(x+3)2 D. y＝2(x﹣3)2 【答案】C 【解析】 【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，从而选出答案. 【详解】y＝2x2向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是y＝2（x＋3）2，故答案选C. 【点睛】本题主要考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变换规律，解本题的要点在于熟知“左加右减，上加下减”的变化规律. 5. 如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C＝25°，则∠BOD的度数是（　　） A. 25° B. 30° C. 40° D. 50° 【答案】D 【解析】 【分析】由“等弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”推知∠DOB＝2∠C，得到答案． 【详解】解：∵在⊙O中，直径CD垂直于弦AB， ∴， ∴∠DOB＝2∠C＝50° 故选D． 【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 6. 公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率，请问9月份的销售量关于每月增加的百分率的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据题意列函数关系式． 根据每月的增长百分率，依次推导8月、9月的销售量，从而得到9月销售量关于x的函数解析式． 【详解】解：∵7月份销售量为1500个，每月销售量的增长百分率为x， ∴8月份的销售量为个， ∴9月份的销售量． 故选：A． 7. 如图，在扇形纸扇中，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了弧长，根据弧长公式∶求解即可． 【详解】解∵，， ∴的长为， 故选∶C． 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数（为常数，且）的图象可能是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数与一次函数的图象与性质． 根据一次函数经过的象限以及与y轴的交点位置，二次函数的开口方向以及与y轴的交点位置分析即可． 【详解】解：对于，当时，， ∴直线经过，与y轴正半轴相交，故C错误； 对于，，则抛物线开口向上，故B错误； 当时，则直线经过第一、二、三象限；此时二次函数中，则抛物线与y轴负半轴相交，故D正确； 当时，则直线经过第一、二、四象限；此时二次函数中，则抛物线与y轴正半轴相交，故A错误， 故选：D． 9. 如图，从一块直径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥．那么这个圆锥的底面圆的半径是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】先计算的长度，然后围成的圆锥底面周长等同于的长度，根据公式计算即可． 【详解】解：如下图： 连接BC，AO， ∵， ∴BC是直径，且BC=2， 又∵， ∴， 又∵， ， ∴ ， ∴的长度为：， ∴围成的底面圆周长为， 设圆锥的底面圆的半径为， 则：， ∴． 故选： 【点睛】本题考查扇形弧长的计算，圆锥底面半径的计算，解直角三角形等相关知识点，根据条件计算出扇形的半径是解题的关键． 10. 如图，矩形的边分别在轴的正半轴上，为对角线上的点，且．经过点的反比例函数的图象分别与相交于点，连接．若的面积是24，则的值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质、矩形的性质．解题的关键是掌握以上知识点． 设矩形的，，根据得出点D的坐标为．然后利用点D在反比例函数上得到，再结合的面积求出，进而求解即可． 详解】解：设矩形中，，，则． ， ∴． ． ∵点在反比例函数上， ∴． 的面积是24， ∴． 设F点坐标为，则，即． ． ， 解得． ∴． 故选：B． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标的特点，根据关于原点对称的点的坐标，横、纵坐标互为相反数即可求解． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 12. 如图，点D、E分别在△的边的延长线上，且，如果，，那么 ____cm． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定， 根据可得，再根据相似三角形的对应边成比例得出答案. 【详解】解：∵， ∴， ∴. ∵， ∴， 解得. 故答案为：6. 13. 若二次函数的图象过三点，则的大小关系是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次函数值的大小比较． 求出，，，进而比较即可． 【详解】解：对于点，； 对于点，； 对于点，； 故，，， 因此． 故答案为：． 14. 如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为_______°． 【答案】43 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，读懂题意并熟练掌握知识点是解题的关键．设与交于点K，先由三角形内角和定理求出，再根据平行线的性质求解即可． 详解】解：如图，设与交于点K， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15. 已知二次函数的图象经过点，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是_____．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质． 由图象经过点得，由不经过原点得，取合适的值即可． 【详解】解：二次函数图象经过点， ，即， 图象不经过原点， 当时，， 取，则， 该二次函数的表达式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 小明在解方程时出现了错误，其解答过程如下： （第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （1）小明的解答过程是从第_____步开始出错的； （2）请用适当的方法解方程． 【答案】（1）一； （2）． 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键： （1）第一步，移项时没有变号，出现错误； （2）利用配方法解方程即可． 【小问1详解】 解：第一步，移项时没有变号，出现错误； 故答案为：一． 【小问2详解】 解： 解得． 17. 2026年1月珠海市各个景点及酒店在网上的预订量同比迅猛增长，珠海成寒假出游热门地．小华计划寒假来珠海玩，利用抽卡片的游戏选择自己要去的景点．他将备选的4个旅游景点（圆明新园、海洋王国、日月贝、渔女）分别标记在4张完全相同的卡片上，背面朝上洗匀后放置在桌面上． （1）从中随机抽取1张卡片，标记的景点为圆明新园的概率为_____； （2）从中随机抽取1张卡片然后不放回，再随机抽取1张卡片．请用画树状图或列表的方法，求抽取的2张卡片标记的景点为海洋王国和日月贝的概率． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了求概率． （1）直接根据概率公式计算即可； （2）先画出树状图，再根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：共4张卡片，其中圆明新园有1张， 则标记的景点为圆明新园的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的情况，其中2张卡片上标记的景点为海洋王国和日月贝的包含2种， （标记的景点为海洋王国和日月贝）， 答：抽得的2张卡片上标记的景点为海洋王国和日月贝的概率为． 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与反比例函数图象交于两点，已知点，点的横坐标为． （1）求反比例函数的解析式； （2）观察图象，直接写出当时，自变量的取值范围． 【答案】（1）； （2）或． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题． （1）将点代入计算即可； （2）直接根据函数图象作答即可． 【小问1详解】 解：在反比例函数的图象上 解得 反比例函数的解析式为：； 【小问2详解】 解：由函数图象可知，当时，或． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 第十五届全运会期间，珠海赛区某官方特许零售店销售“全运纪念徽章套装”，每套徽章套装成本40元，销售单价定为50元时，每月可售出500套．销售单价每上涨1元，月销售量就减少10套，其中销售单价不超过75元． （1）当销售单价定为60元时，月销售量为_____套； （2）设每套徽章套装销售元（），月销售利润为元，求关于的函数解析式； （3）若月销售利润达到8000元，求此时的销售单价． 【答案】（1）400； （2）； （3）60元． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出二次函数解析式，掌握二次函数的性质，是解题的关键： （1）根据销售单价每上涨1元，月销售量就减少10套，进行求解即可； （2）根据总利润等于每套的利润乘以销量，列出函数关系式即可； （3）令，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：（套）； 故答案为：400； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 当时， 解得或（不合题意，舍去）； 答：此时的销售单价为60元． 20. 如图，是半圆的直径，点O为圆心，C是半圆上一点，连接． （1）用无刻度的直尺和圆规作图：在半圆上确定一点P，使得(保留作图痕迹)； （2）在(1)的条件下,连接，，若，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 分析】本题考查作图—复杂作图， 垂径定理，勾股定理，圆周角定理； （1）过点作交于点，点即为所求； （2）利用勾股定理求出，再求出，利用三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 解：如图，点即为所求； 【小问2详解】 解：∵是直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴四边形的面积． 21. 综合与实践 【问题背景】 珠海日月贝大剧院某场演出开场前，观众排队检票入场，研究排队人数、开放检票通道数与检票时间的关系． 【研究条件】 条件1：观众到达后立即排队检票，在任意时刻都满足，排队人数现场总人数已检票入场人数； 条件2：检票区最多可开放10个检票通道，平均一条通道每分钟可检票8人． 【模型构建】 若演出开场前30分钟开始检票，经调查发现，现场总人数与检票时间(分钟)的关系为：． （1）若开放5个检票通道，当检票时间分钟时，已检票入场的人数为_____人，排队人数与检票时间的函数关系式为_____； 【模型应用】 （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值？并求出最大值； （3）大剧院要求：①排队人数在检票开始10分钟内(包含10分钟)减少；②尽量少开放检票通道以控制运营成本． 若同时满足以上要求，需开设几个检票通道？请说明理由． 【答案】(1)，；(2)在第5分钟时，排队人数有最大值为150；(3)开设3条检票通道，见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解决本题的关键是根据排队人数现场总人数已入场人数，得到二次函数的解析式． （1）根据平均每条通道每分钟可检票人，开通条检票通道时，检票时间分钟时，已入场人数为人；根据排队人数现场总人数已入场人数，可得函数关系式； （2）把整理成顶点坐标式，可得：，根据二次函数的性质即可求出结果； （3）设开通了条检票通道，可得：，可知二次函数的对称轴为，根据题意可知，求出的取值范围，再根据实际情况确定的值． 【详解】（1）解：平均每条通道每分钟可检票人， 开通条检票通道时，检票时间分钟时，已入场人数为人； 排队人数现场总人数已入场人数， 故答案为：，； （2） 图象开口向下 当时，即在第5分钟时，排队人数有最大值为150； （3）解：设开通了条通道， 则． 对称轴为直线 图象开口向下 当时，随的增大而减小 ∵要求排队人数在检票开始后10分钟内(包含10分钟)减少 ，即 又为正整数，要尽量少开放检票通道 取最小值3 即开设3条检票通道． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 综合与运用 如图1，在中，，，D为内一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，使得A，D，E三点在同一直线上，连接． （1）填空：_____．（用含的代数式表示） （2）如图2，若，过点作于点，与交于点． ①探究线段，，之间的数量关系，并证明你的结论． ②，当四边形的面积达到最大时，求的长度． 【答案】（1） （2）①，理由见解析；②． 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得，进而即可求解； （2）①由旋转的性质可得，可证是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质可得，进而即可求解； ②取的中点，推出四点在以为圆心，以长为半径的圆上，点在上运动，当时，的边上的高最大，为定值，则此时的面积最大，即四边形的面积最大，证明，推出，设，则，据此求解即可． 【小问1详解】 解：将绕点按逆时针方向旋转角得到， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①，理由： 将绕点按逆时针方向旋转角得到， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ； ②解：由①得：， ， ， ， ， 取的中点， ， ， ， 四点在以为圆心，以长为半径的圆上，如图： 点在上运动，当时，的边上的高最大，为定值，则此时的面积最大，即四边形的面积最大． 又， ， ， ， ， ， 由①得：是等腰直角三角形， ， ， 设，则， ， ， 解得，， ． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 23. 综合与探究 【问题情境】 在平面直角坐标系中，点为第一象限内一个动点，以为边作正方形，使得顶点在轴上方，且线段与轴交于点．过点作交于点，在线段上任取一点，过点作交正方形于点，连接． 【初步探究】 （1）如图1，若点的坐标为，则_____． 【构建联系】 （2）如图2，若， ①求点的坐标． ②求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，若矩形的面积是矩形面积的一半，的度数随点运动是否会发生变化？若改变，请说明理由；若不变，求的度数． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）不变，． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质． （1）过作轴，垂足为，根据点的坐标可知，根据勾股定理计算即可； （2）①过作轴，垂足为，证明，得到，根据勾股定理求出，进而求出，即可求出点的坐标； ②延长交轴于点，连接，证明，得到，进而得到，根据勾股定理求出，即，证明，可知； （3）设，不妨令正方形边长为1，则，根据矩形的面积是矩形面积的一半得到，化简得，根据勾股定理得到，即，延长到，使得，连接，证明，得到，即，证明，即可得到． 【详解】（1）解：如图，过作轴，垂足为， 则， ∴， 故答案为：； （2）①解：如图，过作轴，垂足为， 又 ， ∴ ②解：延长交轴于点，连接， 由①得： 在和中 又 在和中 ． （3）解：的度数不变 设，不妨令正方形边长为1， 则 化简得： 又 延长到，使得，连接 在和中 在和中 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $