精品解析：2026年重庆市巴南区全善学校等校九年级下学期第三学月中考模拟数学试题

重庆市2025－2026学年下期第三学月中考模拟 九年级数学试题 总分：150分 时间：120分钟 一、选择题（本题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 实数7的绝对值是（ ） A. 7 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：． 2. 下面是不同学科的图形，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A．不是中心对称图形，不符合题意； B．是中心对称图形，符合题意； C．不是中心对称图形，不符合题意； D．不是中心对称图形，不符合题意． 3. 下列调查中，适用抽样调查的是（ ） A. 乘坐高铁时，对旅客进行安检 B. 调查某种蓝莓的甜度情况 C. 检查载人航天飞船的零部件安全性能 D. 学校定制校服，测量每位学生的身高 【答案】B 【解析】 【分析】调查具有破坏性或范围广难以全面调查时，适用抽样调查；调查要求精度高、事关安全或需要准确个体数据时，适用全面普查． 【详解】解：A．乘坐高铁安检事关公共安全，需要对所有旅客检查，适用普查，不符合要求． B．调查蓝莓甜度会破坏蓝莓，且蓝莓数量大，适用抽样调查，符合要求． C．载人航天飞船零部件对安全性要求极高，必须逐个检查，适用普查，不符合要求． D．学校定制校服需要得到每位学生的准确身高，适用普查，不符合要求． 4. 如图，四边形内接于，连接．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆的内接四边形的性质求出，根据圆周角定理即可计算出答案． 【详解】解：四边形内接于， ， 由圆周角定理可得：． 5. 如图，某民族服饰的花边均是由若干个基本图形组成的有规律的图案，第1个图案由4个基本图形组成，第2个图案由7个基本图形组成，第3个图案由10个基本图形组成，…按此规律，第7个图案中基本图形的个数为（ ） A. 16 B. 19 C. 22 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】根据前三个图形中基本图形的个数得出第n个图案中基本图形的个数即可解答． 【详解】解：观察图形可知：第1个图案由个基本图形组成，； 第2个图案由个基本图形组成，； 第3个图案由个基本图形组成，； ∴第个图案中基本图形的个数为； 当时，基本图形的个数为． 6. 根据中国人民银行最新公布的数据，截至2026年3月末，中国黄金储备为74380000盎司（1盎司克），数据74380000用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：． 7. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将各点横坐标代入反比例函数解析式，求出对应y值后直接比较大小，即可得出结果． 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴将各点横坐标代入解析式，得，，， ∵， ∴． 8. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半．”意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学过的东西就会遗忘部分．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】理解题意，找到剩余知识量的等量关系．每天遗忘百分比为，剩余知识量每天在上一天剩余的基础上按比例衰减，据此列出方程即可． 【详解】解：设原始知识量为， ∵每天遗忘的百分比为， ∴第一天后剩余的知识量为， 第二天后剩余的知识量为， 又∵两天不练丢一半，即两天后剩余知识量为原来的， ∴． 9. 如图，在正方形中，点E是对角线上一点，连接，过点E作的垂线交的延长线于点F，交于点H，且．连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作的垂线，利用正方形性质及垂直关系，通过两次相似三角形的证明，推导出线段与正方形边长的比例，最后计算的值． 【详解】解：过点作于，设正方形边长为，，． ∵四边形是正方形，是对角线， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，．， ∴，， ∴， 又∵， ∴，即，得． ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 化简得，解得． 在中，． 即． 10. 若整式，其中为正整数，n为正整数，均为整数，且满足：．若，则下列说法： ①不存在满足条件的单项式M； ②若，满足条件的整式M恰有7个； ③若M为二次三项式，则满足条件的所有M的和为． 其中正确的个数是（ ）个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目条件，对12分解因数，逐个判断三个说法的正误即可，为正整数，所有系数的乘积非零，故所有系数均不为零，按要求分类计数计算即可． 【详解】解：∵，为正整数，为正整数， ∴所有系数都不为，逐个判断： ① 若是单项式，则只有一个非零项，其余系数均为，与所有系数不为矛盾，故不存在满足条件的单项式，①正确； ② 时，所有系数都是正整数，是的正因数，且，按分类计数：当时，，，满足的正整数解共个，整式为，； 当时，， ，满足的正整数解共个，整式为，； 当时， ，满足条件的正整数解共个，整式为； 当时，， ，满足条件的正整数解共个，整式为； 当时， ，系数的乘积为，满足条件的正整数解共个； 总和为，故②正确； ③ 若为二次三项式，则， ，得 ， 所有满足条件的分别是：， ， ， ，， ， 求和得总和为，故③错误； 综上，正确的个数为． 二、填空题（本题6小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 不透明袋子中有4个红球、3个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球，则摸出红球的概率是_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵袋中总球数为，红球有个， ∴摸出红球的概率为． 12. 若，其中n为正整数，则_______． 【答案】6 【解析】 【分析】找到与相邻的两个完全平方数，确定的取值范围，再结合已知不等式求出正整数的值． 【详解】解：， ， 即， 又，且为正整数， ． 13. 立定跳远动作中，从起跳到落地瞬间的几个身体相关关节的角度，对跳跃成绩起着举足轻重的作用．如图是小李落地瞬间的动作及其示意图：若，，，则的度数_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线的性质得到，根据三角形外角的性质计算即可． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵， ∴． 14. 已知，则_______． 【答案】3 【解析】 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ． 15. 如图，以为直径的与相切于点B，连接，以为边作菱形，点B在边上，连接，，与交于点F，与交于点G．若，，则______，______． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】根据切线的性质，可知，进而推出，然后利用勾股定理算出，；连接，证明，根据相似比得出，之后证明，利用相似三角形的性质求出，最后通过计算得出最终结果． 【详解】解：四边形是菱形， ，， 是的切线， ， ． 在中，． 在中，． ， ， ， ， 如图，连接 为的直径， ，且， ， ， ． ． 16. 一个四位正整数，各数位上的数字互不相等且均不为0.当时，称这个四位数M为“吉祥数”，将M的千位数字与十位数字调换，百位数字与个位数字调换后得到的新四位数记为，规定，的值为__________；将M的千位数字放到个位数字之后得到N，将M的个位数字放到千位数字之前得到，规定，若是完全平方数，且为整数，则满足条件的正整数M的和为__________． 【答案】 ①. 18 ②. 8906 【解析】 【分析】先根据新定义计算第一个空，再用数位表示法化简和，结合完全平方数的性质和整除条件，找出所有符合条件的“吉祥数”，再计算求和． 【详解】解：1. 计算： 已知 ，按规则调换数位得， ； 2.化简和： 对于吉祥数，由定义得 ， 即，，其中，且四个数字互不相等，，， ， 因此； 按规则得，， ， 因此； 3. 根据条件筛选符合要求的： ，由题意是完全平方数， 因为，且各数位互不相等， 所以， 所以或； 条件为整数： 当，即时，原式 ， ∵为整数，则整除，且能被4整除， 若整除，符合的因数为5，13； 当时，，，，，数字互不相等且不为，且满足为整数，符合条件，得； 当时，，，，，数字互不相等且不为，且满足为整数，符合条件，得； 当，即时，原式， 对逐一验证，均不满足原式为整数，无符合条件的； 4. 计算符合条件的的和：． 三、解答题（本大题2个小题，每小题8分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组：． 【答案】不等式组的解集为． 【解析】 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以不等式组的解集为． 18. 为了加深对矩形的判定方法的掌握，某兴趣小组研究了下面的命题，请完成以下作图和填空： （1）尺规作图：在上取一点D，使得，连接，作的角平分线分别与相交于点E，F；（不写作图，保留作图痕迹） （2）在（1）问所作的图形中，已知，若F为中点，求证：四边形是矩形．（请完成下面的填空） 证明：∵F是中点 ∴①______ ∵ ∴ 在与中 ， ∴ ∴ ∵且平分 ∴， ∴ 又∵ ∴四边形是③______， 又∵ ∴四边形是矩形． 【答案】（1） （2）①，②，③平行四边形 【解析】 【分析】（1）以为圆心，为半径，作弧与交于，连接，，再由角平分线的作法作图即可； （2）先利用中点性质和两直线平行的内错角相等，证明，再依据等腰三角形的三线合一性质得到，进而推出四边形是平行四边形，最后证得四边形是矩形． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略． 四、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答应写出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，将解答过程写在答题卡中对应位置上． 19. 为丰富校园课余生活，增强学生体育锻炼意识，某校开展校园体育健康素养知识竞赛，从该校七、八年级两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（满分为100分）进行整理与分析，所有学生的成绩均高于60分，x表示成绩，共分成四组：A：，B：，C：，D：．下面给出了部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩是：61，63，65，68，72，73，76，81，85，88，88，88，88，89，90，94，95，97，99，100； 八年级20名学生的成绩在C组中的数据是：81，85，89，89，89，90； 七年级、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 83 87 a 八年级 83 b 91 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：__________；__________；__________． （2）请根据以上数据进行分析，该校七年级和八年级的学生中，哪个年级的学生掌握体育健康素养知识更好？并说明理由（写出一条理由即可）． （3）若该校七年级有学生1000名，八年级有学生900名，请估计七年级和八年级两个年级竞赛成绩为优秀（）的学生总共有多少名． 【答案】（1）88，89，40； （2）八年级的学生掌握体育健康素养知识更好．理由：该校七、八年级学生掌握体育健康素养知识竞赛成绩的平均数相同，但八年级竞赛成绩的中位数、众数均比七年级学生竞赛成绩的中位数、众数高； （3）610名 【解析】 【分析】（1）利用众数定义求出a的值，先求出八年级20名学生竞赛在A、B组中的数据人数，然后利用中位数定义求出b的值，再求出八年级20名学生竞赛在D组中的数据的人数，即可求出的m值； （2）根据平均数、中位数及众数分析即可得出结果； （3）利用样本估计总体进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵七年级20名学生竞赛成绩中出现次数最多的是88，共计4次， ∴； 八年级20名学生竞赛在A、B组中的数据有（人）， ∵八年级竞赛成绩的中位数是数据从小到大排列后的第10和11个数据，且数据从小到大排列后的第10和11个数据是89，89， ∴； 八年级20名学生竞赛在C组中的数据有6人， ∴八年级20名学生竞赛在D组中的数据有（人）， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（名） 答：估计七年级和八年级两个年级竞赛成绩为优秀（）的学生总共有610名． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式的运算法则进行化简，根据零指数幂求出的值，代入化简结果计算即可. 【详解】解： 原式 ， ， 将代入，原式． 21. 重庆李子坝文创馆深挖山城特色文旅资源，打造轻轨穿楼主题系列文创，其中轻轨纪念摆件、山城叶脉书签销量居高不下．已知一个轻轨纪念摆件的售价比一枚山城叶脉书签售价高15元，且购买三个轻轨纪念摆件和两枚山城叶脉书签共需100元． （1）求一个轻轨纪念摆件和一枚山城叶脉书签的售价分别是多少元？ （2）五一节促销期间，轻轨纪念摆件每个降价元，山城叶脉书签每个降价m元，促销后轻轨纪念摆件总销售额为3500元，山城叶脉书签总销售额为1000元，且轻轨纪念摆件的销量比山城叶脉书签多，求m的值． 【答案】（1）一个山城叶脉书签的售价是11元，一个轻轨纪念摆件的售价是26元 （2）3 【解析】 【分析】（1）设一个山城叶脉书签的售价为元，一个轻轨纪念摆件的售价为元，根据“买三个轻轨纪念摆件和两枚山城叶脉书签共需100元”列方程求解即可； （2）根据“促销后轻轨纪念摆件总销售额为3500元，山城叶脉书签总销售额为1000元，且轻轨纪念摆件的销量比山城叶脉书签多”列分式方程求解即可． 【小问1详解】 解：设一个山城叶脉书签的售价为元，一个轻轨纪念摆件的售价为元． 由题意，得：， 解得； ∴（元） 答：一个山城叶脉书签的售价是11元，一个轻轨纪念摆件的售价是26元； 【小问2详解】 解：由题可列， 解得； 经检验，是原分式方程的解且符合题意． 答：的值是3． 22. 如图，在菱形中，对角线与交于点．，，点沿方向以每秒个单位长度的速度匀速运动，到达点时停止运动．过点作，交对角线于点，连接．设运动时间为秒，点与点之间的距离为，． （1）请直接写出、分别关于的函数表达式，并注明的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）请结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 【答案】（1）， （2） 当时，随的增大而减小，当6时，随的增大而增大． （3） 【解析】 【分析】（1）利用菱形对角线互相垂直平分的性质，先算出边长和对角线长度，再分在上、在上两种情况讨论，通过平行线构造相似三角形，再根据相似三角形的性质求出​的分段函数表达式，最后用三角形面积公式求出​的表达式； （2）根据（1）中得到的函数表达式，在坐标系中分别画出分段函数和反比例函数的图象，再根据图象的变化趋势，描述的增减性性质； （3）结合画出的函数图象，找到与的交点横坐标，再根据图象中在​上方的部分，确定​时的取值范围． 【小问1详解】 解：四边形为菱形， ，，，， ，， ，， 当，点在上， ， ， ， ， ， ，， ， ； 当，点在上，点在上， ， ， 同上可证， ， ， ， ， 综上，关于的函数表达式为； 据图可知，， 则，， 可得． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 23. 如图，有三个驿站A，B，C，其中C在B的正东方向，A在B的东北方向，A在C的北偏西方向，且A、C相距10千米．（参考数据：） （1）求B、C两驿站之间的距离；（结果保留根号） （2）某天，骑行爱好者甲以平均每小时20千米的速度从C向A匀速骑行，15分钟后另一骑行爱好者乙以平均每小时24千米的速度从B向C匀速骑行，当甲到达终点A后，稍作休息（休息时间忽略不计）便以原速返回C，此时乙继续向C前进，但速度变为原来的，如图所示，当甲、乙分别骑行到M、N时，满足，求甲从A到M的时间．（结果保留两位小数） 【答案】（1）千米 （2）0.46小时 【解析】 【分析】（1）过点作，交于点，根据三角函数求出千米，千米，进而得到千米，即可求出B、C两驿站之间的距离； （2）过点作，交于点，设甲从A到的时间为x小时，根据三角函数求出千米，千米，根据行驶轨迹得到千米，可知千米，根据三角函数列方程求解即可． 【小问1详解】 解：过点作，交于点， 由题意得，，10千米，， 在中，， ∴千米，千米， 在中，， ∴千米， ∴千米， 答：、两驿站之间的距离为千米； 【小问2详解】 解：过点作，交于点， 设甲从A到的时间为x小时，则千米，千米， ∴在中，， ∴千米，千米， ∵骑行爱好者甲以平均每小时20千米的速度从C向A匀速骑行， ∴从C向A匀速骑行共计用时小时， ∵15分钟小时， ∴乙开始行驶后甲行驶小时到达终点A， ∴千米， ∴千米， 在中，，， ∴， ∴， 解得，， 答：甲从A到的时间为0.46小时． 24. 抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点．点C与点E关于抛物线的对称轴对称． （1）求该抛物线的解析式； （2）点F是对称轴上一动点，点P为直线下方抛物线上一动点，过点P作y轴的垂线，交于点H．当线段的长度最大时，求周长的最小值； （3）在第（2）问的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，新抛物线与y轴交于点G，点M为抛物线上一动点．若，请直接写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的坐标其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2） （3）解：∵ ，， ∴， ∴ 将抛物线沿射线方向平移个单位，即向左平移个单位，向下平移个单位， ∴ 新抛物线， 将代入得， ∴ ， ∴ ， ①当点在上方时，如图，设抛物线交轴的负半轴于点， 将代入得， 解得或， ∴ 抛物线与轴负半轴交于点， ∴ ， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∵ ，， ∴ 是等腰直角三角形， ∴ ， ∴ ， ∴ 点满足条件，即， ②当点在下方时， 作点关于的对称点，连接， 由对称性得，， 由对称性知垂直平分，由对称可知， ∴， 故射线上(除G外)任意一点M均满足 ∴ ， ∴ ， 设直线的表达式为， 将，代入得， 解得：， ∴ 直线的表达式为， 联立， 解得或， ∴ ， 综上，符合条件的点的坐标为或． 点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）已知抛物线顶点，利用顶点式直接写出解析式，再验证过点． （2）先由抛物线解析式求出对称点的坐标和直线的表达式，设的横坐标为参数，表示的长度并求最大值，确定的位置；再利用轴对称将军饮马模型求的最小值． （3）根据平移向量求出新抛物线表达式，确定点坐标；通过构造全等三角形和等腰直角三角形，将角度条件 转化为；先利用对称性找出一个满足条件的点，再作对称点求出直线与抛物线的另一交点． 【小问1详解】 解：∵ 抛物线顶点为， ∴ 设抛物线解析式为， 又∵ 抛物线过点， ∴ ， 解得：， ∴ ． 【小问2详解】 解：由得，对称轴为直线， ∵ 点与点关于对称轴对称， ∴ ， 设直线的表达式为， 将，代入得， 解得：， ∴ 直线的表达式为， 设，过作轴的垂线交于， 则的纵坐标为， 代入得， ∴ ， ∴ 当时，最大，此时， ∴ ， 作点关于直线的对称点， ∵ 在对称轴上， ∴ ， ∴ 的周长， ∵ ， ∴ 周长的最小值为． 【小问3详解】 略 25. 在等腰中，，点D是边上的中点，点E是平面内任意一点，连接，． （1）如图1，点E在边上，过点E作，垂足为点F，若，，求的长； （2）如图2，当点E在内部，，点F是延长线上一点，且．求证：； （3）若点E始终满足，将线段绕A顺时针旋转，点E的对应点为点F，点G是线段的中点，若点H是线段的中点，．直接写出的最小值． 【答案】（1） （2）连接， ∵， ∴ ∵是等腰直角三角形， ∴ ∴， ∴，， ∵是等腰直角三角形，点是边上的中点， ∴，， ∵ ， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴ ∵ ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据为等腰直角三角形得、的长，由，求出的长，即可得的长； （2）连接，由三角形外角的性质得，证得，得到，，再证，得，，转换即可得； （3）连接，取中点，连接，，过点作于点，连接，，由等腰三角形的性质求，再证得，得，由得，从而证得，得，所以当点在线段上，取得最小值，即为． 【小问1详解】 解：∵等腰中， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴ ∴ ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，连接，取中点，连接，，过点 作于点，连接，， 点是线段的中点，，， ． 点是的中点， ． ， ． ． ，， ． ， ． ． ． 由旋转可得，，． ． ． ， ． ． 点是线段的中点，点是的中点， ． ． ． ， ， ． ． ． 当点在线段上，取得最小值，即为． ，点是线段的中点， ， 的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市2025－2026学年下期第三学月中考模拟 九年级数学试题 总分：150分 时间：120分钟 一、选择题（本题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 实数7的绝对值是（ ） A. 7 B. C. D. 2. 下面是不同学科的图形，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查中，适用抽样调查的是（ ） A. 乘坐高铁时，对旅客进行安检 B. 调查某种蓝莓的甜度情况 C. 检查载人航天飞船的零部件安全性能 D. 学校定制校服，测量每位学生的身高 4. 如图，四边形内接于，连接．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，某民族服饰的花边均是由若干个基本图形组成的有规律的图案，第1个图案由4个基本图形组成，第2个图案由7个基本图形组成，第3个图案由10个基本图形组成，…按此规律，第7个图案中基本图形的个数为（ ） A. 16 B. 19 C. 22 D. 25 6. 根据中国人民银行最新公布的数据，截至2026年3月末，中国黄金储备为74380000盎司（1盎司克），数据74380000用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 7. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半．”意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学过的东西就会遗忘部分．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，点E是对角线上一点，连接，过点E作的垂线交的延长线于点F，交于点H，且．连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 若整式，其中为正整数，n为正整数，均为整数，且满足：．若，则下列说法： ①不存在满足条件的单项式M； ②若，满足条件的整式M恰有7个； ③若M为二次三项式，则满足条件的所有M的和为． 其中正确的个数是（ ）个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本题6小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 不透明袋子中有4个红球、3个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球，则摸出红球的概率是_______． 12. 若，其中n为正整数，则_______． 13. 立定跳远动作中，从起跳到落地瞬间的几个身体相关关节的角度，对跳跃成绩起着举足轻重的作用．如图是小李落地瞬间的动作及其示意图：若，，，则的度数_______． 14. 已知，则_______． 15. 如图，以为直径的与相切于点B，连接，以为边作菱形，点B在边上，连接，，与交于点F，与交于点G．若，，则______，______． 16. 一个四位正整数，各数位上的数字互不相等且均不为0.当时，称这个四位数M为“吉祥数”，将M的千位数字与十位数字调换，百位数字与个位数字调换后得到的新四位数记为，规定，的值为__________；将M的千位数字放到个位数字之后得到N，将M的个位数字放到千位数字之前得到，规定，若是完全平方数，且为整数，则满足条件的正整数M的和为__________． 三、解答题（本大题2个小题，每小题8分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组：． 18. 为了加深对矩形的判定方法的掌握，某兴趣小组研究了下面的命题，请完成以下作图和填空： （1）尺规作图：在上取一点D，使得，连接，作的角平分线分别与相交于点E，F；（不写作图，保留作图痕迹） （2）在（1）问所作的图形中，已知，若F为中点，求证：四边形是矩形．（请完成下面的填空） 证明：∵F是中点 ∴①______ ∵ ∴ 在与中 ， ∴ ∴ ∵且平分 ∴， ∴ 又∵ ∴四边形是③______， 又∵ ∴四边形是矩形． 四、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答应写出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，将解答过程写在答题卡中对应位置上． 19. 为丰富校园课余生活，增强学生体育锻炼意识，某校开展校园体育健康素养知识竞赛，从该校七、八年级两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（满分为100分）进行整理与分析，所有学生的成绩均高于60分，x表示成绩，共分成四组：A：，B：，C：，D：．下面给出了部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩是：61，63，65，68，72，73，76，81，85，88，88，88，88，89，90，94，95，97，99，100； 八年级20名学生的成绩在C组中的数据是：81，85，89，89，89，90； 七年级、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 83 87 a 八年级 83 b 91 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：__________；__________；__________． （2）请根据以上数据进行分析，该校七年级和八年级的学生中，哪个年级的学生掌握体育健康素养知识更好？并说明理由（写出一条理由即可）． （3）若该校七年级有学生1000名，八年级有学生900名，请估计七年级和八年级两个年级竞赛成绩为优秀（）的学生总共有多少名． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 重庆李子坝文创馆深挖山城特色文旅资源，打造轻轨穿楼主题系列文创，其中轻轨纪念摆件、山城叶脉书签销量居高不下．已知一个轻轨纪念摆件的售价比一枚山城叶脉书签售价高15元，且购买三个轻轨纪念摆件和两枚山城叶脉书签共需100元． （1）求一个轻轨纪念摆件和一枚山城叶脉书签的售价分别是多少元？ （2）五一节促销期间，轻轨纪念摆件每个降价元，山城叶脉书签每个降价m元，促销后轻轨纪念摆件总销售额为3500元，山城叶脉书签总销售额为1000元，且轻轨纪念摆件的销量比山城叶脉书签多，求m的值． 22. 如图，在菱形中，对角线与交于点．，，点沿方向以每秒个单位长度的速度匀速运动，到达点时停止运动．过点作，交对角线于点，连接．设运动时间为秒，点与点之间的距离为，． （1）请直接写出、分别关于的函数表达式，并注明的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）请结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 23. 如图，有三个驿站A，B，C，其中C在B的正东方向，A在B的东北方向，A在C的北偏西方向，且A、C相距10千米．（参考数据：） （1）求B、C两驿站之间的距离；（结果保留根号） （2）某天，骑行爱好者甲以平均每小时20千米的速度从C向A匀速骑行，15分钟后另一骑行爱好者乙以平均每小时24千米的速度从B向C匀速骑行，当甲到达终点A后，稍作休息（休息时间忽略不计）便以原速返回C，此时乙继续向C前进，但速度变为原来的，如图所示，当甲、乙分别骑行到M、N时，满足，求甲从A到M的时间．（结果保留两位小数） 24. 抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点．点C与点E关于抛物线的对称轴对称． （1）求该抛物线的解析式； （2）点F是对称轴上一动点，点P为直线下方抛物线上一动点，过点P作y轴的垂线，交于点H．当线段的长度最大时，求周长的最小值； （3）在第（2）问的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，新抛物线与y轴交于点G，点M为抛物线上一动点．若，请直接写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的坐标其中一种情况的过程． 25. 在等腰中，，点D是边上的中点，点E是平面内任意一点，连接，． （1）如图1，点E在边上，过点E作，垂足为点F，若，，求的长； （2）如图2，当点E在内部，，点F是延长线上一点，且．求证：； （3）若点E始终满足，将线段绕A顺时针旋转，点E的对应点为点F，点G是线段的中点，若点H是线段的中点，．直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $