第二十章 勾股定理 单元复习题 2025-2026学年人教版八年级数学下册

第二十章 勾股定理 单元复习题 一、单选题 1．下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．0.3，0.4，0.5 B．3，4，7 C．5，12，13 D．8，15，16 2．如图，在中，，则的长为（    ） A． B． C． D．5 3．的三边长分别为，由下列条件不能判断为直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 4．将一根长为的筷子，置于内径为高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为x cm，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．等腰三角形三边分别为，，，则其底边上的高为（    ） A． B． C． D． 6．一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示.正方形DEFH的边长为2米，，，米，当正方形运动到满足时，的长为（    ）    A．米 B．米 C．米 D．米 7．直角三角形的三边为，，且、都为正整数，则三角形其中一边长可能为（　　） A． B． C． D． 8．中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明．最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽．赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明．如图，已知大正方形面积为64，中心小正方形面积为16，若用m，n表示直角的两条直角边，下列四个说法：①，②，③，④．其中说法正确的是（   ）    A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 二、填空题 9．如图，一棵垂直于地面且高为的大树被台风刮断，，则折断处与地面的距离的长为 m． 10．已知的两直角边a、b满足关系，则第三边c的长为 ． 11．如图，有少数同学为了避开拐角走“捷径”，在长方形的绿化草坪中走出了一条“路”，其实他们仅仅少走了 米． 12．如图，由三个正方形拼成的图形中，字母B所代表的正方形面积是 ． 13．欲检验一矩形画框的两边是否垂直，若测得两边长分别为和，对角线为，则该画框 （填“合格”或“不合格”）． 14．两根木条的长度分别是和，再添加一根木条，钉成一个直角三角形木架，则所添加木条的长度可以是 ． 15．如图，某自动感应门的正上方处装着一个感应器，已知感应器离地面的高度为米，一名学生站在处被感应到，感应门会自动打开，这名学生身高为米，头顶离感应器的距离为米，这名学生从进入感应区到进门，需行进 米． 16．如图圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内离杯底的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁A，离杯口上沿与蜜蜂相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 ． 17．如图，在长方形中，是边上的一点，将沿着翻折，点C恰好落在边上的点E处，则阴影部分的面积为 ．    三、解答题 18．如图，在中，已知是边上的中线，若，求的度数． 19．如图，现测得m，m，m，且m． (1)试说明； (2)求四边形展区（阴影部分）的面积． 20．如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)在折断点C的下方的点P处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点P处吹断，那么行人在距离旗杆底部处是否有被砸到的风险？ 21．利用勾股定理在如图所示的数轴上找出点． 22．如图，在四边形中，，连接，，，以为边向外做正方形，求正方形的面积． 23．如图1，在水平地面上，一辆汽车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，定滑轮与物体的垂直距离是（即），此时测得点A到所在直线的距离；停止位置示意图如图3，此时汽车向前运行（点C，A，D在同一直线上，且直线与地面平行，图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径与物体大小忽略不计，运动过程中绳子总长不变．） (1)求的长； (2)求物体上升的高度． 24．寻求某些股数的规律 (1)对于任何一组已知的勾股数都扩大相同的正整数倍后，就得到了一组新的勾股数．例如：，若把它扩大若把它扩大2倍，3倍就分别是和，····若把它扩大11 倍，就得到________，若把它扩大若把它扩大n倍(n 为正整数)，就得到_________ (2)对于任意一个大于1的奇数，存在下列勾股数： 若勾股数为3，4，5，因为 若勾股数为 5，12，13，则有 ①若勾股数为7，24，25，则有__________ ②若勾股数为 17，，根据以上的规律，求a、b的值． 25．已知a，b，c是的三边长，且． (1)求a，b，c的值． (2)判断的形状． 26．背景介绍： 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明精彩纷呈，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀： 把两个全等的直角三角形如图（1）放置，其三边长分别为a，b，c显然，，，请用a，b，c分别表示出梯形 ，四边形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到．______，______，______，则它们满足的关系式为______，经化简，可得到． （提示：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半） [知识运用] （1）如图（2），铁路上A，B两点（看作直线上的两点）相距30千米，C，D为两个村庄（看作两个点)，，垂足分别为A，B，千米，千米，则两个村庄的距离为______千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图（3）中作出P点的位置并求出的距离． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】根据勾股定理的逆定理分别进行分析，同时勾股数必须是三个正整数，从而得到答案． 【详解】A、∵0.3、0.4、0.5不是正整数，∴此选项不符合题意； B、∵，∴此选项不符合题意； C、∵，∴此选项符合题意； D、∵，∴此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理． 2．A 【分析】本题考查了勾股定理，熟悉定理内容是解题关键；直接由勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，， 由勾股定理得：； 故选：A． 3．B 【分析】本题考查直角三角形的判定，涉及三角形内角和与勾股定理，运用分类分析思想，关键是分别从角和边的角度判断，易错点是对勾股定理的逆定理或角度和为的判定条件理解不透彻；解题思路：分别从角的关系（内角和）和边的关系（勾股定理逆定理）对每个选项逐一分析，判断是否为直角三角形． 【详解】选项A：因为三角形内角和为， ， 所以 ， 则为直角三角形，不符合题意； 选项B：设, ,， 则， 解得， 则, , ， 所以不能判断为直角三角形，符合题意； 选项C：因为 即， 即， 所以为直角三角形，不符合题意； 选项D：因为， 即， 故为直角三角形，不符合题意； 故选B． 4．B 【分析】画出示意图，找出最长和最短的位置，分别求解即可. 【详解】解：如图，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长， ∴； 当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短， 在中，，， ∴， ∴此时， 所以x的取值范围是：． 故选：B．    【点睛】本题考查了勾股定理的应用，能够读懂题意，确定出x的值最大值与最小值的位置是解题关键． 5．B 【分析】根据三线合一，以及勾股定理求解即可． 【详解】解：在三边分别为，，，的等腰三角形中，底边上的高是 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 6．A 【分析】连接，在中应用勾股定理得到，再联立即可求解． 【详解】解：连接，    ∵，，米， ∴米， 在中，， 即， ∵， ∴， 解得米． 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理的内容是解题的关键． 7．A 【分析】本题主要考查了勾股定理、整式的混合运算，根据、都为正整数，可得：，根据勾股定理可得：，整理可得：，从而可得：三角形三边长分别为、、，三角形三边的长度可能是的倍数、的倍数、的倍数，根据三角形三边长的特征判断即可． 【详解】解：、都为正整数， ， 是直角三角形的斜边， 整理得：， 移项、合并同类项得：， 两边同时除以得：， ，， 三角形三边长分别为、、， 三角形三边的长度可能是的倍数、的倍数、的倍数， A选项：当时，， 此时， 三边长分别为、、， 故A选项符合条件； B选项： 不是、、的倍数， 故B选项不符合题意； C选项： 不是、、的倍数， 故C选项不符合题意； D选项： 不是、、的倍数， 故C选项不符合题意． 故选：A． 8．C 【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式变形应用； 由勾股定理可判定①；由完全平方公式变形求得，由三角形面积即可判定②；由及，开方即可判定③；由代入中计算即可判定④． 【详解】解：由勾股定理得：， 另一方面，大正方形面积为64，即， ∴，故①正确； 小正方形面积为16，即，展开得：， ∴， ∴，故②正确； ∵，且， ∴，故③正确； ∵， ∴，故④错误； 故正确的有①②③； 故选：C． 9． 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，解决本题的关键是设出未知数，利用勾股定理建立方程求解． 根据大树垂直于地面被刮断这一条件，构建直角三角形，然后利用勾股定理来求解折断处与地面的距离即可． 【详解】解：设折断处与地面的距离的长为米， ∴米， ∵大树高米，米， 由于大树垂直于地面，被刮断后是直角三角形，其中， 由勾股定理公式可得：， 即，解得． 故答案为：． 10． 【分析】本题考查了勾股定理，非负数的性质，解题的关键是利用非负数的性质求出a，b，再利用勾股定理计算． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴第三边c的长为 故答案为：． 11．4 【分析】本题考查了勾股定理的应用；由勾股定理求出“路”长，再用两直角边和减去“路”长即可． 【详解】解：由题意知，“路”长（米）， 则少走了：（米）； 故答案为：4． 12． 【分析】本题主要考查勾股定理，两个较小的正方形的面积和等于大正方形的面积． 【详解】解：由勾股定理得，字母B所代表的正方形面积． 故答案为：． 13．合格 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，根据勾股定理的逆定理计算即可判断画框的两边是否垂直，掌握勾股定理逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴画框的两边垂直， 故答案为：合格． 14．cm或3cm 【分析】题目中没有明确直角边和斜边，故要分情况讨论，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：当第三根木棒为直角边时，长度 当第三根木棒为斜边时，长度 故第三根木棒的长度为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，分类讨论问题是初中数学的重点，在中考中比较常见，不重不漏的进行分类是解题的关键． 15． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．过点作于E，则米，，得到米，由勾股定理得出米，即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作于E，则米，， 米， 米， 米， 在中， 由勾股定理得：米， 米， 即这名学生从进入感应区到进门，需行进米， 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了平面展开—最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 将杯子侧面展开，建立关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：如图： 将杯子侧面展开，作关于的对称点， 则， 连接，当点、、在同一条直线上时，最短， 则此时为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离，即的长度， ， ∴蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为， 故答案为：． 17． 【分析】此题重点考查轴对称的性质、勾股定理等知识，正确地求出的长并且证明是解题的关键． 由长方形的性质得，由折叠得，则，所以，由勾股定理得，求得，即可由求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是长方形， ， 由折叠得， ， ， ， ， 解得， 故答案为：． 18． 【分析】本题考查了三角形中线的性质和勾股定理的逆定理，解此题的关键是注意数形结合思想的应用．已知是边上的中线，可求出的长度．由根据勾股定理可以确定为直角三角形，从而得出． 【详解】解： 是边上的中线，， ． ，， ． 为直角三角形． ． 19．(1)见解析 (2) 【分析】（1）在中，根据勾股定理逆定理可求证； （2）作的高，用勾股定理，求出高，可求出的面积，减去的面积，即可求出阴影部分面积． 【详解】（1）解：∵中，m，m，mm， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且； （2）解：过点A作于点，则， ∵， ∴m， 在中，m， ∴， ∴， ∵ ∴ 【点睛】本题考查了勾股定理的应用、等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 20．(1)旗杆距地面处折断； (2)行人在距离旗杆底部处没有被砸伤的风险． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）设AC长为，则长，根据勾股定理即可得到结论； （2）如图，由题意可得，求得．根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意得，，， 设AC长为，则长， 在中，由勾股定理可得， ， 解得． 答：旗杆在距地面处折断； （2）如图，由题意可得， ∴． 在中，， 因为， 答：行人在距离旗杆底部处没有被砸伤的风险． 21．见解析 【分析】本题考查了利用勾股定理作无理数，过数表示的点作数轴的垂线，并截取长度，然后与点O连接即为，再以点O为圆心，以为半径画弧与数轴相交，交点即为表示的点． 【详解】解：∵， ∴以水平个单位长度，竖直个单位长度，构造直角三角形，斜边长为， 如图，弧与数轴交点即为表示的点 22．正方形的面积为12.5． 【分析】本题考查的是勾股定理、正方形面积公式.熟记勾股定理是解题的关键． 由已知条件的和均为直角三角形，由两次勾股定理得出，得正方形面积． 【详解】解：∵，， 和均为直角三角形， ， ， ∴正方形的面积为12.5． 23．(1)的长度为 (2)物体上升的高度为 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意得，，在中，由即可求解； （2）根据题意得，，，在中，，因为运动过程中绳子总长不变，由（1）中可求绳子总长，通过绳长即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，， 在中， 答：的长度为． （2）根据题意得，， ， ， 在中，， ，， ， 绳子长为， ， 答：物体上升的高度为． 24．(1)， (2)①；②， 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，勾股数问题，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）先分别求出3，4，5分别扩大11倍和扩大n倍后的数，再根据勾股数的定义可得答案； （2）①仿照题意可得答案；②根据题意找到规律，（m、n都为正整数），则，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵3，4，5分别扩大11倍得到， ∴， 3，4，5分别扩大11倍得到， ∴， 故答案为：，； （2）解：①由题意得， ， 故答案为：； ②，， ，， ，， ……， 以此类推，，（m、n都为正整数）， ∴， ∴， ∴， ∴． 25．(1) (2)是直角三角形 【分析】（1）根据完全平方公式可得，再根据平方的非负性，即可求解； （2）根据勾股定理的逆定理，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意可得：， ， ， ∴， 解得：． （2）解：∵， ∴， ∴是直角三角形． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式，勾股定理逆定理，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，以及勾股定理逆定理的内容． 26．【背景介绍】，，， [知识运用] （1）；（2） 【分析】本题考查了勾股定理的证明，勾股定理的应用，线段垂直平分线的基本作图，熟练掌握勾股定理和基本作图是解题的关键．根据题意，设，根据题意，得，，继而得到，，根据题意，，整理即可． [知识运用] （1）过点C作于点E，判定四边形是矩形，得到，利用勾股定理解答即可； （2）作线段的垂直平分线，与交于点P，则点P即为所求，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：根据题意，设， 根据题意，得，， ∴，， 根据题意，， 整理，得． （1）解：连接 过点C作于点E，由， 则四边形是矩形， ∴， 由勾股定理，得； 故答案为：． （2）解：根据题意，得作线段的垂直平分线，与交于点P，如图所示， 则点P即为所求． 设， 根据题意，得， 故， 根据勾股定理，得， 故， 解得 故的距离为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $