4.1.3 独立性与条件概率的关系-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦“独立性与条件概率的关系”，通过问题导思（如条件概率公式成立条件、事件AB含义）导入，衔接条件概率与独立事件定义，对比互斥事件构建知识支架，帮助学生理解概念逻辑。 其亮点在于以问题驱动培养数学抽象和逻辑推理，通过对比表格（独立与互斥事件区别）、分层题型（判断、概率计算）及真题应用（新高考Ⅰ卷）提升数学运算能力。采用合作探究与随堂演练结合，学生能深化理解，教师可高效开展分层教学。

4.1.3　独立性与条件概率的关系 　 第四章　4.1　条件概率与事件的独立性 知识层面 1．结合条件概率理解相互独立事件的充要条件，会对事件的独立性进行判断．　 2．掌握相互独立事件的概率的乘法公式，会求相互独立事件同时发生的概率. 素养层面 通过对独立事件概念的学习，培养数学抽象、逻辑推理素养；通过相互独立事件的概率乘法公式的应用，提升逻辑推理、数学运算素养. 新知导学 1 课时测评 4 合作探究 2 内容索引 随堂演练 3 新知导学 返回 在条件概率P(B|A)＝ 中， 问题导思 问题1.条件概率成立的条件是什么？ 提示：P(A)>0. 问题2.事件AB的含义是什么？ 提示：事件A与事件B同时发生． 新知构建 知识点　独立性与条件概率的关系 1．独立性与条件概率的关系 当_________且P(AB)＝__________时，由条件概率的计算公式有P(A|B)＝ ＝ ＝P(A)，即P(A|B)＝P(A)．也就是说，此时事件A发生的 概率与已知事件B发生时事件A发生的概率相等．也就是事件B的发生，不会影响事件A发生的概率． 2．两个事件独立的条件 当P(B)>0时，A与B独立的充要条件是P(A|B)＝______． P(B)>0 P(A)P(B) P(A) 3．相互独立事件与互斥事件的区别   相互独立事件 互斥事件 条件 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响 不可能同时发生的两个事件 符号 相互独立事件A，B同时发生，记作：AB 互斥事件A，B中有一个发生，记作：A∪B(或A＋B) 计算公式 P(AB)＝P(A)P(B) P(A∪B)＝P(A)＋P(B) 1.从必修的内容中我们已经知道，A与B相互独立(简称为独立)的充要条件是P(AB)＝P(A)P(B)，而且A与B独立的直观理解是，事件A是否发生不会影响事件B是否发生的概率，事件B是否发生也不会影响事件A是否发生的概率； 2．多个事件之间的相互独立也可借助条件概率来理解，“A1，A2，···，An相互独立”也可说成“A1，A2，···，An相互不影响”．需要强调的是，同以前一样，实际问题中，我们常常依据实际背景去判断事件之间是否存在相互影响，若可认为事件之间没有影响，则认为它们相互独立；已知事件相互独立时，根据每个事件发生的概率可以方便地求出它们同时发生的概率． 微提醒 自主检测 √ √ √ 2．抛掷3枚质地均匀的硬币，A＝{既有正面向上又有反面向上}，B＝{至多有一个反面向上}，则A与B的关系是 A．互斥事件 B．对立事件 C．相互独立事件 D．不相互独立事件 √ √ 4．明天上午李明要参加“青年文明号”活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率为0.80，乙闹钟准时响的概率为0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是______． 设两个闹钟至少有一个准时响的事件为A，则P(A)＝1－(1－0.80)(1－0.90)＝1－0.20×0.10＝0.98. 0.98 5．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是______． 记事件M为甲队以4∶1获胜，则甲队共比赛五场，且第五场甲队获胜，前四场甲队胜三场负一场，所以P(M)＝0.6×(0.62×0.52×2＋0.6×0.4×0.52×2)＝0.18. 0.18 返回 合作探究 返回 题型一　相互独立事件的判断 　判断下列各对事件是否是相互独立事件． (1)甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”； 思路点拨　利用独立性概念的直观解释进行判断． 解：相互之间没有影响，是相互独立事件． 例1 (2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”； 思路点拨 计算“从8个球中任取一球是白球”发生与否，事件“从剩下的7个球中任意取出一球还是白球”的概率是否相同进行判断． (3)一筐内有6个苹果和3个梨，“从中任意取出1个，取出的是苹果”与“把取出的水果放回筐内，再从筐内任意取出1个，取出的是梨”． 解：从9个水果中任意取出1个，取出的是苹果与把取出的水果放回筐内，再从筐内任意取出1个，取出的是梨，这两个事件间发生与否有影响，不是相互独立事件． 思路点拨　利用事件的独立性定义式判断． 规律方法 判断事件是否相互独立的方法 1．定义法：事件A，B相互独立⇔P(A∩B)＝P(A)·P(B)． 2．由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响． 3．条件概率法：当P(A)>0时，可用P(B|A)＝P(B)判断． 对点练1.(1)下列事件中，A，B是相互独立事件的是 A．一枚硬币掷两次，A＝“第一次为正面”，B＝“第二次为反面” B．袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸两球，A＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球” C．掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为偶数” D．A＝“人能活到20岁”，B＝“人能活到50岁” √ 把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A项是相互独立事件；B中是不放回地摸球，显然A事件与B事件不相互独立；对于C，A，B应为互斥事件，不相互独立；D是条件概率，事件B受事件A的影响．故选A． (2)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B A．相互独立但不互斥 B．互斥但不相互独立 C．相互独立且互斥 D．既不相互独立也不互斥 √ 对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件．故选A． 思路点拨 明确已知事件的 概率及其关系 把待求事件的概率表 示成已知事件的概率 选择公式，计算求值 → → 例2 (2)求恰好有2人被选中的概率； (3)求3人中至少有1人被选中的概率． 规律方法 1．求相互独立事件同时发生的概率的步骤 (1)首先确定各事件之间是相互独立的； (2)确定这些事件可以同时发生； (3)求出每个事件的概率，再求积． 2．使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们能同时发生． 对点练2.一个袋子中有3个白球，2个红球，每次从中任取2个球，取出后再放回，求： (1)第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率； 解：记“第1次取出的2个球都是白球”的事件为A，“第2次取出的2个球都是红球”的事件为B，“第1次取出的2个球中，1个是白球、1个是红球”的事件为C，“第2次取出的两个球都是白球”的事件为D，很明显，由于每次取出后再放回，A，B，C，D都是相互独立事件． (2)第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率． 返回 解：记“第1次取出的2个球都是白球”的事件为A，“第2次取出的2个球都是红球”的事件为B，“第1次取出的2个球中，1个是白球、1个是红球”的事件为C，“第2次取出的两个球都是白球”的事件为D，很明显，由于每次取出后再放回，A，B，C，D都是相互独立事件． 随堂演练 返回 √ 2．某机械加工零件由两道工序组成，第一道的废品率为a，第二道的废品率为b，假设这道工序是否出废品是彼此无关的，那么产品的合格率为 A．ab－a－b＋1 B．1－a－b C．1－ab D．1－2ab 由题意知，两工序出正品的概率分别为1－a，1－b，又这两道工序是否出废品是彼此无关的，故产品的合格率为(1－a)(1－b)＝ab－a－b＋1，故选A． √ 3．(2021·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则 A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回 课时测评 返回 1．(多选)下列各对事件中，互为相互独立事件的是 A．掷一枚骰子一次，事件M“出现偶数点”；事件N“出现3点或6点” B．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球” C．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到黑球” D．甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M“从甲组中选出1名男生”，事件N“从乙组中选出1名女生” √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 根据事件的特点易知，事件M是否发生对事情N发生的概率没有影响，故M与N是相互独立事件，故A，B，D属于相互独立事件．对于C：由于第一次摸到球不放回，因此会对第二次摸到球的概率产生影响，所以这两个事件不是相互独立事件． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2．已知事件A与B独立，当P(A)＞0时，若P(B|A)＝0.32，则P(B)＝ A．0.34 B．0.68 C．0.32 D．1 √ 因为事件A与B独立，P(A)＞0，则P(B|A)＝P(B)＝0.32.故选C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为y(若指针停在边界上则重新转)，x，y构成数对(x，y)，则所有数对(x，y)中，满足xy＝4的概率为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，则停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________． 依题意得，事件“该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮”意味着“该选手在回答前面4个问题的过程中，要么第一个问题答对且第二个问题答错，第三、四个问题都答对；要么第一、二个问题都答错，第三、四个问题都答对”，因此所求事件的概率为[0.8×(1－0.8)＋(1－0.8)2]×0.82＝0.128. 0.128 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8．已知一箱产品中有3件一等品，2件二等品，1件三等品．若从箱中任意 取出3件产品检测，则抽出的3件产品中恰有1件一等品的概率是____．若从箱中逐一不放回地抽取产品进行检测，直到检测出三等品为止，当检测 停止时，恰好取出了1件一等品的概率是_____． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．(10分)甲、乙两名射击运动员一次射击命中目标的概率分别是0.7，0.6，且每次射击命中与否相互之间没有影响，求： (1)甲射击三次，第三次才命中目标的概率；(3分) 解：记“甲第i次射击命中目标”为事件Ai，“乙第i次射击命中目标”为事件Bi，依题意得P(Ai)＝0.7，P(Bi)＝0.6，且Ai，Bi(i＝1，2，3)相互独立． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)甲、乙两人在第一次射击中至少有一人命中目标的概率；(3分) 解：“甲、乙两人在第一次射击中至少有一人命中目标”为事件C． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (3)甲、乙各射击两次，甲比乙命中目标的次数恰好多一次的概率．(4分) 解：设“甲在两次射击命中目标i次”为事件Mi(i＝0，1，2)，“乙在两次射击命中目标i次”为事件Ni(i＝0，1，2)， 因为事件“甲、乙各射击两次，甲比乙命中目标次数恰好多一次”可表示为M1N0＋M2N1，M1N0，M2N1, 为互斥事件， 所以甲、乙各射击两次，甲比乙命中目标的次数恰好多一次的概率为： P(M1N0＋M2N1)＝P(M1N0)＋P(M2N1) ＝0.067 2＋0.235 2＝0.302 4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10．(10分)甲、乙两人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果互不影响．已知前2局中，甲、乙各胜1局． (1)求再比赛2局结束这次比赛的概率；(4分) 解：记“第i局甲获胜”为事件Ai(i＝3，4，5)，“第j局乙获胜”为事件Bj(j＝3，4，5)． 由于各局比赛结果相互独立及事件A3A4与B3B4互斥，故P(A)＝P(A3A4)＋P(B3B4) 设“再比赛2局结束这次比赛”为事件A，则A＝A3A4＋B3B4. ＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(B4) ＝0.6×0.6＋0.4×0.4＝0.52. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)求甲获得这次比赛胜利的概率．(6分) 解：记“第i局甲获胜”为事件Ai(i＝3，4，5)，“第j局乙获胜”为事件Bj(j＝3，4，5)． 记“甲获得这次比赛胜利”为事件C，因前两局中，甲、乙各胜1局，故若甲获得这次比赛胜利，只需在后面的比赛中，甲再胜2局，从而C＝A3A4＋B3A4A5＋A3B4A5. 由于各局比赛结果相互独立及事件A3A4，B3A4A5，A3B4A5两两互斥，故P(C)＝P(A3A4)＋P(B3A4A5)＋P(A3B4A5)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(A4)P(A5)＋P(A3)P(B4)P(A5)＝0.6×0.6＋0.4×0.6×0.6＋0.6×0.4×0.6＝0.648. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12．(5分)从1，2，3，4，5，6，7中任取两个不同的数，事件A为“取到的两个数的和为偶数”，事件B为“取到的两个数均为奇数”则P(B|A)＝ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13．(10分)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下： 累计负两场者被淘汰：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束． 经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为 . (1)求甲连胜四场的概率；(3分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)求需要进行第五场比赛的概率；(3分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (3)求丙最终获胜的概率．(4分) 解：设A为甲输，B为乙输，C为丙输，则丙最终获胜的概率为： P＝P(ABAB)＋P(BABA)＋P(ABACB)＋P(BABCA)＋P(ABCAB)＋P(ABCBA)＋P(BACAB)＋P(BACBA)＋P(ACABB)＋P(ACBAB)＋P(BCABA)＋P(BCBAA) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14．(5分)(2022·全国乙卷)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1，p2，p3，且p3>p2>p1>0.记该棋手连胜两盘的概率为p，则 A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大 C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15．(15分)某公司招聘员工，指定三门课程考试，有两种考试方案． 方案一：在三门课程中，至少有两门及格为考试通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过． 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别为a，b，c，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．那么应聘者应选择哪种考试方案？ 解：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A，B，C，则P(A)＝a，P(B)＝b，P(C)＝c. ＝ab(1－c)＋bc(1－a)＋ac(1－b)＋abc ＝ab＋bc＋ca－2abc， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回 因为a，b，c∈[0，1]， 故P1≥P2. 即采用方案一，该应聘者通过的概率大． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 四 章 　 概 率 与 统 计 返回 1．(多选)下列说法正确有 A．对事件A和B，若P(B|A)＝P(B)，则事件A与B相互独立 B．若事件A，B相互独立，则P(∩)＝P()×P() C．如果事件A与事件B相互独立，则P(B|A)＝P(B) D．若事件A与B相互独立，则B与相互独立 若P(B|A)＝P(B)，则P(A∩B)＝P(A)·P(B)，故A，B相互独立，所以A正确；若事件A，B相互独立，则，也相互独立，故B正确；若事件A，B相互独立，则A发生与否不影响B的发生，故C正确；B与相互对立，不是相互独立，故D错误． 设A表示甲晋级，B表示乙晋级，C表示两人中恰有一人晋级，则P(A)＝，P(B)＝，所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝×＋×＝. 题型二　在事件相互独立的情形下求概率 甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位，甲、乙两人只有一人被选中的概率为，甲、乙两人都被选中的概率为，丙被选中的概率为，其中乙被选中的概率大于甲被选中的概率，且各自能否被选中互不影响． (1)求3人同时被选中的概率； 4．甲、乙两人同时参加公务员考试，甲笔试、面试通过的概率分别为和；乙笔试、面试通过的概率分别为和.若笔试、面试都通过则被录取，且甲、乙是否被录取相互独立，则该次考试甲、乙同时被录取的概率是____；只 有一人被录取的概率是_____． 3．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，则等于 A．2个球不都是红球的概率 B．2个球都是红球的概率 C．至少有1个红球的概率 D．2个球中恰有1个红球的概率 分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件A、B，则P(A)＝，P(B)＝，由于A、B相互独立，所以1－P()P()＝1－×＝.根据互斥事件可知C正确． 4．甲、乙两人比赛下中国象棋，若甲获胜的概率是，下成和棋的概率是，则乙获胜的概率是 A． B． C． D． 6．某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，，，且各轮问题能否正确回答互不影响，则该选手被淘 汰的概率为________． 所以甲第三次才命中目标的概率为： P(12A3)＝P(1)P(2)P(A3)＝0.3×0.3×0.7＝0.063. 所以甲、乙两人在第一次射击中至少有一人命中目标的概率为： P(C)＝1－P(1)P(1)＝1－0.3×0.4＝0.88. A． B． C． D． 事件A＝“取到的两个数之和为偶数”所包含的基本事件有：(1，3)，(1，5)，(1，7)，(3，5)，(3，7)，(5，7)，(2，4)，(2，6)，(4，6)，所以P(A)＝＝，事件B＝“取到的两个数均为奇数”所包含的基本事件有(1，3)，(1，5)，(1，7)，(3，5)，(3，7)，(5，7)，所以P(AB)＝＝，所以P(B|A)＝＝.故选C． 解：甲连胜四场只能是前四场全胜，P＝＝. 应聘者用方案一考试通过的概率为： P1＝P(AB)＋P(BC)＋P(AC)＋P(ABC) $