第六章 重点突破1 排列的综合应用-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教A版）

该高中数学课件聚焦排列的综合应用，系统讲解“在”与“不在”“相邻与不相邻”“定序”等有限制条件的排列问题。通过典例导入，衔接计数原理基础，以题型分类为支架，逐步引导学生掌握特殊优先、捆绑法等解题方法。 其亮点在于通过一题多解、变式探究和分层评价，培养学生数学运算与逻辑推理素养。例如用捆绑法解决相邻问题，插空法处理不相邻问题，帮助学生构建数学模型。学生能提升解题能力，教师可借助系统资源实现高效教学。

重点突破1 排列的综合应用 　 第六章 计数原理 学习目标 1.进一步理解排列的概念，掌握几种有限制条件的排列，提升 数学运算的核心素养.　 2.会应用排列知识解决简单的实际问题，提升数学建模、数学 运算的核心素养. 题型一　“在”与“不在”问题 1 题型二　“相邻”与“不相邻”问题 2 题型三　定序问题 3 课时分层评价 5 内容索引 随堂评价 4 题型一　“在”与“不在”问题 返回 从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题. (1)甲在最中间的排法有多少种？ 典例 1 解：依题意，甲在最中间，则甲一定被选中，再从剩下的6名同学中选4名放到除中间位置的其余四个位置，有＝360种排法. (2)(一题多解)甲不在首位的排法有多少种？ 解：法一：把元素作为研究对象. 第一类，不含甲，此时只需从甲以外的其他6名同学中选出5名放在5个位置上，有种排法. 第二类，含有甲，甲不在首位，先从4个位置中选出1个放甲，有4种排法，再从甲以外的6名同学中选出4名排在没有甲的位置上，有种排法.根据分步乘法计数原理，有4×种排法. 由分类加法计数原理知，共有＋4×＝2 160(种)排法. 法二：把位置作为研究对象. 第一步，从甲以外的6名同学中选1名排在首位，有种方法； 第二步，从占据首位以外的6名同学中选4名排在除首位以外的其他4个位置上，有种方法. 由分步乘法计数原理知，共有·＝2 160(种)排法. 法三(间接法)：先不考虑限制条件，从7人中选出5人进行排列，然后把不满足条件的排列去掉. 不考虑甲不在首位的要求，总的可能情况有种，甲在首位的情况有 种， 所以符合要求的排法有－＝2 160(种). (3)甲既不在首位也不在末位的排法有多少种？ 解：把位置作为研究对象，先考虑特殊位置. 第一步，从甲以外的6名同学中选2名排在首末2个位置上，有种方法； 第二步，从剩下的5名同学中选3名排在中间3个位置上，有种方法. 根据分步乘法计数原理，共有·＝1 800(种)方法. 1.(变设问)本例中的问题变为：甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？ 解：从7人中选出5人进行排列，总的情况有种，减去甲在首位的种排法，再减去乙在末位的种排法，注意到甲在首位，同时乙在末位的排法数被减去了两次，所以还需补回种排法，所以共有－2＋＝ 1 860(种)排法. 变式探究 2.(变设问)本例中的问题变为：甲与乙既不在首位也不在末位的排法有多少种？ 解：把位置作为研究对象. 第一步，从甲、乙以外的5名同学中选2名排在首末2个位置，有种 排法； 第二步，从剩下的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有种排法. 根据分步乘法计数原理，共有·＝1 200(种)排法. 规律方法 “特殊”优先原则 常见的“在”与“不在”的有限制条件的排列问题就是典型的特殊元素或特殊位置问题，解题原则是谁“特殊”谁优先，一般从以下三种思路考虑： 1.以元素为主考虑，即先安排特殊元素，再安排其他元素. 2.以位置为主考虑，即先安排特殊位置，再安排其他位置. 3.用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出总排列数，再减去不符合要求的排列数. 对点练1.(1)已知甲、乙、丙等5人站成一列，并要求甲站在乙、丙前面，则不同的安排方法的种数为 A.24 B.26 C.32 D.40 按甲的安排进行分类讨论.①甲排第一，则乙、丙等四人有＝24(种)；②甲排第二，则乙、丙排后3位中的两位，有×＝12(种)；③甲排第三，则乙、丙排最后2位，有×＝4(种).故共有24＋12＋4＝40(种).故选D. √ (2)暑假期间，小明一家5人计划开车回趟老家，车子前排有驾驶座和副驾驶座，后排有3个座位.家人中只有小明和哥哥不会开车，且小明未成年只能坐在后排，则一共有_____种不同的乘坐方式. 54 第一步：考虑小明只能坐在后排，所以小明的坐法有＝3种；第二步：考虑驾驶座的坐法，只能从3人中选1人，坐法有＝3种；第三步：其他3人，还有3个位置，坐法有＝6种.根据分步乘法计数原理，一共有：3×3×6＝54种不同的乘坐方式. 返回 题型二　“相邻”与“不相邻”问题 返回 有3名男生和4名女生相约一起去观看电影，他们的座位在同一排且连在一起.(列出算式，并计算出结果) (1)女生必须坐在一起的排法有多少种？ 典例 2 解：先将4名女生排在一起，有种排法，将排好的女生视为一个整体，再与3名男生进行排列，共有种排法，由分步乘法计数原理，共有×＝24×24＝576(种)排法. (2)女生互不相邻的排法有多少种？ 解：先将3名男生排好，共有种排法，在这3名男生中间以及两边共4个空位中插入4名女生，共有种排法，再由分步乘法计数原理，可得共有×＝6×24＝144(种)排法. (3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的排法有多少种？ 解：先将甲、乙、丙以外的其余4人排好，共有种排法，由于甲、乙相邻，则有种排法，最后将排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人产生的5个空隙中，共有种排法，由分步乘法计数原理，可得共有××＝24×2×20＝960(种)排法. 规律方法 “相邻与不相邻”问题处理策略 处理元素“相邻”与“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则. 1.元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素进行全排列. 2.元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素. 对点练2.(1)七位渔民各驾驶一辆渔船依次进湖捕鱼，甲、乙渔船要排在一起出行，丙必须在最中间出行，则不同的排法有 A.96种 B.120种 C.192种 D.240种 依题意可知，丙排在第4位，则甲、乙两人可能在第1、2或2、3或5、6或6、7位，故不同的排法有4＝4×2×24＝192种.故选C. √ (2)要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，排法种数有__________种. 604 800 先将6个歌唱节目全排列，有种排法，再从7个空格中选出4个舞蹈节目插入，有种排法，故有·＝604 800种排法. 返回 题型三　定序问题 返回 (一题多解)某电视节目的主持人邀请年龄互不相同的5位嘉宾逐个出场亮相.其中有3位老者要按年龄从大到小的顺序出场，出场顺序有多少种？ 解：法一(倍缩法)：5位嘉宾无约束条件的全排列有种，其中3位老者不考虑年龄的顺序有种.因此满足3位老者按年龄从大到小的出场顺序有＝20种. 法二(插空法)：记3位老者按年龄由大到小的顺序为“A，B，C”，则三人形成四个空档(含两端).第4位嘉宾有4种出场方法，第5位嘉宾可选前4位嘉宾形成的5个空档(含两端)，所以共有4×5＝20种出场方法. 法三(空位法)：假设出场顺序依次为1到5的5个位置，除3位老者之外的2人先选位置有种方法，还空下3个位置，3位老者按年龄从大到小的出场顺序只有一种，故共有×1＝20种方法. 典例 3 规律方法 　　在有些排列问题中，常遇到n个元素的全排列中有m(m≤n)个元素必须按照一定的顺序排列的问题.解决这类问题的基本方法有三个： 1.倍缩法：先把定序的m个元素与其他元素一起进行全排列，然后用总排列数除以这m个元素的全排列数，即. 2.插空法：先排这m个元素，只有一种排法，再把剩下的n－m个元素逐个地插空，其排列数为1×(m＋1)×(m＋2)×…×n＝. 3.空位法：先把n－m个元素排在n个位置上有种排法，再在剩下的m个位置排m个元素，只有一种排法，故排列数为×1＝. 对点练3.(1)现有10人排队，其中要求甲、乙、丙、丁、戊五人的先后顺序固定，则不同的排法共有 A.15 120种 B.30 240种 C.40 480种 D.50 640种 先将10人全排列，即为，再将甲、乙、丙、丁、戊五人全排列，即为，故有＝30 240种排法.故选B. √ (2)某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后进行，那么安排这6项工程不同的排法种数是_______. 120 6个元素进行排序，先排除甲、乙、丙之外的3项工程有种排法，再排甲、乙、丙，有1种排法，所以一共有×1＝120种排法. 课堂小结 返回 任务再现 1.有限制条件的排列问题.2.“相邻”与“不相邻”、“在”与“不在”、定序问题 方法提炼 捆绑法、插空法、倍缩法、间接法 易错警示 分类讨论时，出现重复或遗漏，各种方法使用不当 随堂评价 返回 1.在0，1，2，3，4中不重复地选取4个数字，共能组成__________个不同的四位数 A.96 B.18 C.120 D.84 法一：先排首位，有种方法，再排剩余三位，有种方法，最后根据分步乘法计数原理，共有＝96个不同的四位数.故选A. 法二：四位数首位不能为零，故为－＝96个不同的四位数.故选A. √ 2.学校里获奖的3名同学和1名颁奖领导排成一排上台拍照，要求领导站在最边上，则不同的站位顺序共有 A.6种 B.12种 C.18种 D.24种 领导可以在最左边或者最右边，剩余的3名同学全排列即可，则不同的站位顺序共有2＝12种.故选B. √ 3.某节体育课上，胡老师让2名女生和3名男生排成一排，要求2名女生之间至少有1名男生，则这5名学生不同的排法共有____种. 72 依题意知，2名女生不相邻，则有＝6×12＝72种. 4.将A，B，C，D，E，F，G七本书排在书架上，要求A与B相邻，并且C在D的左边，E在D的右边，则不同的排放种数为________.(用数字作答) 返回 依题意知，A与B相邻，则将A与B捆绑，然后要求C在D的左边，E在D的右边，由捆绑法和倍缩法可知，不同的排放种数为＝＝240种. 240 课时分层评价 返回 1.某校高二年级组织学生去某旅游名胜区春游，包含小明在内的6位同学站成一排照相，小明不站在两端，则不同的排法有 A.240种 B.300种 C.360种 D.480种 小明先在中间4个位置选一个，然后再排其他5位同学，共有＝4×120＝480种.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本.若将其随机摆放到书架的同一层上，则相同科目的书相邻的排法有 A.12种 B.18种 C.24种 D.36种 √ 将2本语文书捆绑、2本数学书捆绑，则相同科目的书相邻的排法种数为＝2×2×6＝24种.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.某次数学竞赛获奖的6名同学上台领奖，若甲、乙、丙三人上台的先后顺序已确定，则不同的上台顺序种数为 A.20 B.120 C.360 D.720 √ 因为甲、乙、丙三人上台的先后顺序已确定，所以不同的上台顺序种数为＝120.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.由0，1，2，3这4个数字组成无重复数字的四位数且为偶数，则不同的排法种数为 A.10 B.12 C.18 D.24 当个位数字是0时，无重复数字的四位偶数的个数是，当个位数字是2时，无重复数字的四位偶数的个数是，所以不同的排法种数为＋＝10.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人不全相邻的排法种数为 A.· B.－· C.· D.－ 在8个人全排列的方法数中减去甲、乙、丙全相邻的方法数，就得到甲、乙、丙三人不全相邻的方法数，即－·.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)某班星期一上午要安排语文、数学、英语、物理、化学5节课，且该天上午总共5节课，则下列结论正确的是 A.若数学课不安排在第一节且不在最后一节课，则有72种不同的安排 方法 B.若语文课和数学课必须相邻，且语文课排在数学课前面，则有48种不同的安排方法 C.若语文课和数学课不能相邻，则有72种不同的安排方法 D.若语文课、数学课、英语课、物理课按从前到后的顺序安排，则有10种不同的安排方法 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，若数学课不安排在第一节且不在最后一节课，则数学课有3节课可选，其余科目没有要求，有种安排方法，则一共有3＝72种不同的安排方法，故A正确；对于B，语文课和数学课捆绑在一起，看作一个元素，与余下的科目一起排列，则有＝24种不同的安排方法，故B错误；对于C，先安排英语、物理、化学3节课，有＝6种不同的安排方法，把语文课和数学课安排在英语、物理、化学产生的4个空位上，有＝12种不同的安排方法，则共有6×12＝72种不同的安排方法，故C正确；对于D，若语文课、数学课、英语课按从前到后的顺序安排，则有＝5种不同的安排方法，故D错误.故选AC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.第40届潍坊国际风筝会期间，某学校派5人参加连续6天的志愿服务活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有_______种.(结果用数值表示) 120 在6天里，连续2天的情况，一共有5种，则剩下的4人全排列有种排法，故一共有5×＝120种排法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.班会课上原定有3位同学依次发言，现临时加入甲、乙2位同学也发言，若保持原来3位同学发言的相对顺序不变，且甲、乙的发言顺序不能相邻，则不同的发言顺序种数为____.(用数字作答) 在原来三位同学的发言顺序一定时，他们之间及两边会形成4个空位，插入甲、乙2位同学，有＝4×3＝12(种)方法. 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.从1，2，3，4，…，10十个数中任取两个数，分别做对数的底数与真数，可得到_____个不同的对数值. 69 从10个数中取出两个数的所有排列数为：＝10×9＝90.当1为底数时，不合题意的共有9个，当1为真数时，对数值都是零，应去掉8个，又因为log23与log49相同，log32与log94相同，log24与log39相同，log42与log93相同.所以共有不同对数值90－9－8－4＝69个. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(13分)根据张桂梅校长真实事迹拍摄的电影《我本是高山》引起强烈反响，有3名同学和2名家长相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起.求： (1)甲同学必须坐乙同学左边的坐法有多少种？ 解：因为甲同学必须坐乙同学左边，又一共有5人， 故所求坐法有＝＝60种. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)2名家长互不相邻的坐法有多少种？ 解：依题意，先将3名同学排好，有＝6种坐法， 再在这3名同学之间及两头的4个空位中插入2名家长，有＝12种坐法， 由分步乘法计数原理可知，共有6×12＝72种坐法. (3)2名家长坐一起有多少种？ 解：两名家长捆绑有种，然后与三名学生和整体进行全排，所以有＝48种. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.哈尔滨冰雪大世界是享誉国内外的冬季旅游胜地，2024年年初，来自南方的A，B，C，D，E，F六位南方“小土豆”打卡冰雪大世界，在标志性建筑冰雪城堡前站成一排合影留念，若要求B，C相邻，A与D不相邻，则不同的排队方法种数为 A.36 B.72 C.144 D.288 √ 先将B，C捆绑在一起与E，F排，有＝12种排法，然后在三者排好后形成的4个空中插入A，D两人，有＝12种方法，由分步计数原理得共有12×12＝144种排列方法.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.如图，在两行三列的网格中放入标有数字1，2，3，4，5，6的六张卡片，每格只放一张卡片，则“只有中间一列两个数字之和为7”的不同的排法有 A.16种 B.32种 C.64种 D.96种 √ 依题意，分三步进行；第一步，要求“只有中间一列两个数字之和为7”，则中间的数字为三组数1，6或2，5或3，4中的一组，共有3＝6种排法；第二步，排左列的两数，从剩余的四个数选取两数且这两数字之和不为7，共有＝8种排法；第三步，排右列的两数，剩下的两个数字，共有＝2种排法.由分步计数原理知，共有不同的排法种数为6×8×2＝96.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.在7名运动员中选4名组成接力队，参加4×100接力赛，那么甲、乙两人都不跑中间两棒的安排方法共有______种. 400 若选中甲、乙两人，则甲、乙两人跑第一棒和第四棒，有种选择，再从剩余的5人中选择两人跑中间两棒，有种选择，故有＝40种安排方法；若只选中甲，则甲从第一棒和第四棒选择一个，有种选择，再从剩余的5人中选择3人跑剩余3棒，有种选择，故有＝120种安排方法，若只选中乙，同理可得，有＝120种安排方法，若甲和乙均未选中，则从剩余的5人中选择4人进行全排列，共有＝120种选择，综上，共有40＋120＋120＋120＝400种安排方法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(17分)把1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排成一个数列. (1)45 312是这个数列的第几项？ 解：先考虑大于45 312的数，分为以下两类： 第一类，5开头的五位数有＝24个， 第二类，4开头的五位数有45 321一个， 所以不大于45 312的数有：－－1＝120－24－1＝95(个)， 即45 312是该数列的第95项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)这个数列的第71项是多少？ 解：1开头的五位数有＝24个，2开头的五位数有＝24个，3开头的五位数有＝24个，共有24×3＝72个. 所以第71项是3开头的五位数中第二大的数，即35 412. (3)求这个数列的各项和. 解：因为1，2，3，4，5各在万位上时都有＝24个五位数， 所以万位数上的数字之和为(1＋2＋3＋4＋5)··104，同理，它们在千位，百位，十位，个位上也都有＝24个五位数， 所以这个数列的各项和为(1＋2＋3＋4＋5)··(104＋103＋102＋101＋100)＝15×24×11 111＝3 999 960. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(创新题)已知a1，a2，…，an是1，2，…，n(n≥2，n∈N*)满足下列性质T的一个排列，性质T：排列a1，a2，…，an中有且仅有一个a1＞ ai＋1(i∈{1，2，…，n－1})成立，当n＝5时，满足性质T的数列一共有 A.24个 B.36个 C.48个 D.72个 √ 当n＝5时，a1，a2，…，a5是1，2，3，4，5的一个排列，由排列a1，a2，…，a5中有且仅有一个a1＞ai＋1(i∈{1，2，3，4})，可得a1＝2，a2，a3，a4，a5是1，3，4，5的任意一个排列，则满足性质的数列一共有＝24(个).故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(新情境)小张一次买了三串冰糖葫芦，其中一串有两颗冰糖葫芦，一串有三颗冰糖葫芦，一串有五颗冰糖葫芦.若小张每次随机从其中一串中吃一颗，每一串只能从上往下吃，那么不同的吃完的顺序有__________种.(结果用数字作答) 2 520 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回 依题意，记三串冰糖葫芦从上往下依次为A1，A2，B1， B2，B3，C1，C2，C3，C4，C5，因为每一串只能从上往 下吃，所以A1在A2前被吃，B1在B2前而B2在B3前被吃，即 它们被吃的相对位置是已定的，同理C1，C2，C3，C4，C5 被吃的相对位置也是已定的，所以根据排列中定序问题可得不同的吃完的顺序有＝＝2 520种. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 六 章 计 数 原 理 返回 $