6.3 数学探究 杨辉三角的性质与应用-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教用课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦杨辉三角的性质与应用，从二项式展开式系数切入，通过观察各行数字规律，搭建从二项式系数到对称性、递归性等性质的学习支架，帮助学生建立前后知识联系。 其亮点在于引导学生用数学眼光多角度观察数字规律，通过猜想、实验、证明等数学思维探究性质，用数学语言精准表达规律。例如结合行和为2ⁿ⁻¹、平方和等于中间项等实例，采用观察-规律-表达-结论的教学方法，助力学生发展探究能力，教师可高效开展教学。

数学探究　杨辉三角的性质与应用 1 一、杨辉三角性质的探究 1. 结合杨辉三角与二项式（a＋b）n的展开式的二项式系数如图①，发现 有如下规律： 数学·选择性必修第三册 且具有如下性质： （1）第n行的数是二项式（a＋b）n的展开式的系数； （2）当行数n为偶数时， 最大； （3）当行数n为奇数时， 和 最大. 数学·选择性必修第三册 2. 对杨辉三角中的数从不同视角采用圈一圈、连一连、算一算等方法，结 合数学探究中的猜想、实验、证明等手段得到各数字之间存在如下性质： （1）对称性：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即 ＝ ，如 图②； （2）递归性：除1以外的数都等于肩上两数之和，即 ＝ ＋ ； 数学·选择性必修第三册 （3）第n行奇数项之和与偶数项之和相等，即 ＋ ＋ ＋…＝ ＋ ＋ ＋…，如图③； 数学·选择性必修第三册 （4）第n行数的和为2n，即 ＋ ＋ ＋…＋ ＝2n，如图④； 数学·选择性必修第三册 （5）第n行各数平方和等于第2n行中间的数，即（ ）2＋（ ）2＋ （ ）2＋…＋（ ）2＝ ，如图⑤； 数学·选择性必修第三册 （6）自腰上的某个1开始平行于腰的一条线上的连续n个数的和等于最后 一个数斜右下方的那个数，即 ＋ ＋ ＋…＋ ＝ ，如图 ⑥. 数学·选择性必修第三册 二、杨辉三角性质的应用 【例】　如图称为杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列， 是我国古代数学伟大成就之一. 数学·选择性必修第三册 杨辉三角中，我们称最上面一行为第0行，第1行有2个数，第2行有3个 数，…，第10行有11个数. （1）求杨辉三角中第10行的各数之和； 解： 杨辉三角中第10行的各数之和为 ＋ ＋ ＋…＋ ＝ 210＝1 024. （2）求杨辉三角中第2行到第15行各行第3个数之和. 解： 杨辉三角中第2行到第15行各行第3个数之和为 ＋ ＋ ＋ ＋…＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＋…＋ ＝ ＋ ＋ ＋…＋ ＝ ＋ ＋…＋ ＝…＝ ＋ ＝ ＝ ＝560. 数学·选择性必修第三册 【规律方法】 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路 数学·选择性必修第三册 训练　（1）在杨辉三角中，除每行两边的数都是1外，其余每一个数都是 它“肩上”两个数的和，它的开头几行如图所示，那么在杨辉三角中出现 三个相邻的数，其比为3∶4∶5的行数为（　B　） 第0行 1 第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 4 6 4 1 第5行 1 5 10 10 5 1 ︙ ︙ B A. 58 B. 62 C. 63 D. 64 数学·选择性必修第三册 解析： 根据题意，设所求的行数为n，则存在正整数k，使得连续三 项 ， ， 满足 ＝ 且 ＝ ，化简得 ＝ 且 ＝ ，解得k＝27，n＝62，故第62行会出现满足条件的三个相邻的数. 数学·选择性必修第三册 （2）我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算法》 一书中用如图所示的三角形解释二项式系数的规律， 现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列， 得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6， 4，1，…，记作数列{an}，则a14＝ ；若数列 {an}的前n项和为Sn，则S67＝ ⁠. 4 2 048 数学·选择性必修第三册 解析： 由题意可得a14＝4.由杨辉三角可知，行数与该行的项数相 等，则第k行最后一项在数列{an}中的项数为 .设a67位于第k （k∈N*）行，则 ＜67≤ ，解得k＝12，且第11行最后 一项在数列{an}中的项数为 ＝66，∴a67位于杨辉三角的第12行第1 个，而第一行各项的和为20＝1，第二行各项的和为21＝2，第三行各项的 和为22＝4，依此类推，第k行各项的和为2k－1，∴S67＝（20＋21＋22＋… ＋210）＋ ＝ ＋1＝211＝2 048. 数学·选择性必修第三册 $