第八章 成对数据的统计分析 章末综合提升-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教A版）

该高中数学单元复习课件系统梳理了成对数据的统计分析核心内容，涵盖相关与回归（线性相关条件、样本相关系数、回归模型及最小二乘法）和独立性检验（分类变量、列联表、卡方检验），通过知识框架图将知识点逻辑串联，帮助学生构建完整的统计分析知识网络。 其亮点在于采用“分层探究-教考衔接-精准检测”的复习策略，如通过氮氧化物排放量折线图分析线性相关性，结合高考真题溯源教材，培养学生数学眼光和逻辑推理能力。分层例题与检测题设计满足不同学生需求，助力教师精准教学，有效巩固统计分析知识与应用能力。

章末综合提升 　 第八章 成对数据的统计分析 体系构建 1 分层探究 2 教考衔接 3 内容索引 单元检测卷 4 体系构建 返回 返回 分层探究 返回 探究点一　线性回归分析 氮氧化物是一种常见的大气污染物，下图为我国2016年至2024年氮氧化物排放量(单位：万吨)的折线图，其中年份代码1～9分别对应年份2016～2024. 已知yi≈12 000，≈1 100， ≈7.7，tiyi≈51 800. (1)可否用线性回归模型拟合y与t的关系？请分别根据折线图和相关系数加以说明. 典例 1 解：从折线图看，各点落在一条直线附近，因而可以用线性回归模型拟合 y与t的关系，依题意，知＝(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9)＝5， 相关系数r＝≈＝－≈－0.97. 故可以用线性回归模型拟合y与t的关系. (2)若根据所给数据建立回归模型＝－138t＋2 023，可否用此模型来预测2026年和2036年我国的氮氧化物排放量？请说明理由. 附：相关系数r＝. 解：可以预测2026年的氮氧化物排放量，但不可以 预测2036年的氮氧化物排放量. 理由如下： ①2026年与所给数据的年份较接近，因而可以认为 短期内氮氧化物排放量将延续该趋势，故可以用此模型进行预测； ②2036年与所给数据的年份相距过远，而影响氮氧化物排放量的因素有很多，这些因素在短期内可能保持不变，但从长期看很有可能会变化，因而用此模型预测可能是不准确的. 规律方法 解决回归分析问题的一般步骤 第1步：画散点图.根据已知数据画出散点图； 第2步：判断变量的相关性并求线性回归方程.通过观察散点图，直观感知两个变量是否具有相关关系；在此基础上，利用最小二乘法求回归系数，然后写出线性回归方程； 第3步：实际应用.依据求得的线性回归方程解决实际问题. 对点练1.某机构统计了新驾驶员一年内扣除的驾照分x(单位：分)及该年对应的新驾驶员数量y(单位：万人)，得到如下数据表格： 已知x与y线性相关. (1)求y关于x的线性回归方程； 新驾驶员一年内扣除的驾照分x(分) 3 4 5 6 7 新驾驶员数量y(万人) 1 1.1 1.5 1.9 2.2 解：由＝×(3＋4＋5＋6＋7)＝5，＝×(1＋1.1＋1.5＋1.9＋2.2)＝1.54， 有＝＝0.32，＝1.54－0.32×5＝－0.06， 故y关于x的线性回归方程为＝0.32x－0.06. (2)求y与x的相关系数(精确到0.01). 参考数据：＝135，＝12.91，xiyi＝41.7，≈0.493. 参考公式：相关系数r＝，对于一组具有线性相关关系的数据(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，其回归直线＝x＋的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝＝，＝－. 新驾驶员一年内扣除的驾照分x(分) 3 4 5 6 7 新驾驶员数量y(万人) 1 1.1 1.5 1.9 2.2 解：y与x的相关系数 r＝ ＝ ＝≈2×0.493≈0.99. 新驾驶员一年内扣除的驾照分x(分) 3 4 5 6 7 新驾驶员数量y(万人) 1 1.1 1.5 1.9 2.2 探究点二　独立性检验 为了解某校男生1 000米测试成绩与身高的关系，从该校2 000名男生中随机抽取100人，得到测试成绩与身高的数据如下表所示： (1)该校2 000名男生中身高在175 cm及以上的人数约为多少？ 典例 2 　　身高范围 (cm) 测试成绩　　 [160，165) [165，170) [170，175) [175，180) [180，185) 合格 3 12 18 22 15 不合格 2 9 5 5 9 解：样本中，身高在175 cm及以上的频率为＝0.51， 用该频率估计该校男生身高在175 cm及以上的概率， 则该校2 000名男生中身高在175 cm及以上的人数约为2 000×0.51＝ 1 020(人). 　　身高范围 (cm) 测试成绩　　 [160，165) [165，170) [170，175) [175，180) [180，185) 合格 3 12 18 22 15 不合格 2 9 5 5 9 (2)根据表中数据，依据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析体育成绩合格与身高在[170，180)范围内是否有关. 附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 解：列2×2列联表如下： 零假设为H0：体育成绩合格与身高在[170，180)范围内无关联. 根据列联表中的数据，经计算得到χ2＝≈4.762＞3.841＝x0.05， 根据小概率值α＝0.05的独立性检验，可以推断H0不成立，因此可以认为体育成绩合格与身高在[170， 180)范围内有关，此判断犯错误的概率不大于0.05.   身高在[170，180) 身高不在[170，180) 合计 合格 40 30 70 不合格 10 20 30 合计 50 50 100 规律方法 独立性检验问题的一般步骤 第1步：认真读题，指出相关数据，得出2×2列联表； 第2步：根据2×2列联表中的数据，计算统计量χ2； 第3步：通过统计量χ2与已知临界值的比较判断“X与Y有关系”的把握的大小. 对点练2.近年来，解放军强军兴军的深刻变化，感召了越来越多的高中优秀青年学子献身国防，投身军营.2024年高考，很多高考毕业学生报考了军事类院校.从某地区内学校的高三年级中随机抽取了900名学生，其中男生500人，女生400人，通过调查，有报考军事类院校意向的男生、女生各100名. (1)完成给出的列联表，并分别估计该地区高三男、女学生有报考军事类院校意向的概率；   有报考意向 无报考意向 合计 男生       女生       合计       解：根据已知条件，填写2×2列联表如下： 男生有报考军事类院校意向的概率为＝， 女生有报考军事类院校意向的概率为＝.   有报考意向 无报考意向 合计 男生 100 400 500 女生 100 300 400 合计 200 700 900 (2)根据小概率值α＝0.10的独立性检验，能否认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关. α 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 xα 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 解：零假设为H0：学生有报考军事类院校的意愿与性别无关联. 根据列联表中的数据，经计算得到χ2＝≈3.214＞2.706＝x0.10， 根据小概率值α＝0.10的独立性检验，推断H0不成立，因此可以认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关，此判断犯错误的概率不大于0.10. 返回 参考公式及数据：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. 教考衔接 返回 (2024·天津卷)下列图中，线性相关系数最大的是 真题 1 √ 选项A中的散点有明显的从左下角到右上角沿直线分布的趋势，且散点集中在一条直线的附近.故选项A中的线性相关系数最大.故选A. 溯源：(人教A版P100图8.1-5) 点评：教材中图8.1-5旨在通过相关系数大小之间的关系让学生感悟散点图的直观显示，而真题直接抛弃了数据关系，直接给出变量间的直观显示，反推相关系数的大小之间的关系，二者考查本质几乎相同，体现了真题来源于教材而高于教材的命题规则. (2024·上海卷)已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是 A.气候温度高，海水表层温度就高 B.气候温度高，海水表层温度就低 C.随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势 D.随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势 真题 2 √ 对于A，B，当气候温度高，海水表层温度变高变低不确定，故A，B错误.对于C，D，因为相关系数为正，故随着气候温度由低到高时，海水表层温度呈上升趋势，故C正确，D错误.故选C. 溯源：(人教A版P96T3)下表给出了一些地区的鸟的种类数与该地区的海拔高度的数据，鸟的种类数与海拔高度是否存在相关关系？如果是，那么这种相关关系有什么特点？ 点评：教材习题让学生观察到随着海拔高度的降低，鸟的种类数量有减少的趋势，两变量正相关，而真题考查气候问题与海水温度之间的相关关系，二者都是研究变量间的相关关系，是教材习题的变式的典范. 地区 A B C D E F G H I J K 海拔高度/m 1 250 1 158 1 067 457 701 731 610 670 1 493 762 549 鸟的种类/种 36 30 37 11 11 13 17 13 29 4 15 (2024·全国甲卷(理))某工厂进行生产线智能化升级改造.升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据 如下： (1)填写如下列联表： 能否有95％的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有 99％的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？ 真题 3   优级品 合格品 不合格品 总计 甲车间 26 24 0 50 乙车间 70 28 2 100 总计 96 52 2 150   优级品 非优级品 甲车间     乙车间     解：填写如下列联表： 则完整的2×2列联表如下：   优级品 非优级品 甲车间 26 24 乙车间 70 30   优级品 非优级品 总计 甲车间 26 24 50 乙车间 70 30 100 总计 96 54 150 χ2＝＝4.687 5. 因为χ2＝4.687 5＞3.841，所以有95％的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异； 因为χ2＝4.687 5＜6.635，所以没有99％的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异. (2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率p＝0.5.设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果＞p＋1.65，则认为该工厂产品的优级品率提高了.根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？(≈12.247) 附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. α 0.050 0.010 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 解：由题意可知＝＝0.64， 又p＋1.65＝0.5＋1.65×≈0.5＋1.65×≈0.57， 所以＞p＋1.65，所以能认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了. α 0.050 0.010 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 溯源：(人教A版P132例3)某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良.采用有放回简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到了如下数据：抽到接受甲种疗法的患儿67名，其中未治愈15名，治愈52名；抽到接受乙种疗法的患儿69名，其中未治愈6名，治愈63名.试根据小概率值α＝0.005的独立性检验，分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好. (P134练习T1)对于例3中的抽样数据，采用小概率值α＝0.05的独立性检验，分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好. 点评：教材例题与习题采用不同的小概率值，研究同一对成对数据之间的关联性，而真题也同样从95％的把握和99％的把握研究两个变量之间关联性问题，典型的换汤不换药，这也是教材习题的另一种变式. 返回 单元检测卷 返回 1.关于回归分析，下列说法错误的是 A.回归分析是研究两个具有相关关系的变量的方法 B.运用最小二乘法求得的回归直线一定过点(，) C.回归模型中一定存在随机误差 D.散点图能明确反映变量间的关系 对于A，回归分析是研究两个具有相关关系的变量的方法，故A说法正确；对于B，运用最小二乘法求得的回归直线一定过点(，)，故B说法正确；对于C，因为相关关系是一种非确定关系，所以回归模型中一定存在随机误差，故C说法正确；对于D，散点图反映的是两个变量间的关系，但存在误差，故D说法错误.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2.根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2＝6.147，依据小概率值α＝0.01的独立性检验(x0.01＝6.635)，可推断 A.变量X与Y不独立 B.变量X与Y不独立，此推断犯错误的概率不超过0.01 C.无法判断变量X与Y是否独立 D.变量X与Y独立 √ 零假设为H0：变量X与Y独立.因为χ2＝6.147＜6.635＝x0.01，所以依据小概率值α＝0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为变量X与Y独立.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 3.已知一组数据(xi，yi)(1≤i≤10且i∈Z)的线性回归方程为＝7x＋a，若xi＝70，yi＝500，则a的值为 A.－1 B.0 C.1 D.2 √ 由于xi＝70，yi＝500，所以＝7，＝50.将(7，50)代入＝7x＋a，所以7×7＋a＝50，解得a＝1.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 4.有甲、乙两种过滤水中重金属的设备，为了检验使用这两种设备与过滤后水中重金属含量的关系，各过滤了15瓶受重金属污染的相同水体，调查得出以下数据： 根据以上数据，则χ2＝ A. B. C. D. √   重金属含量高 重金属含量低 设备甲 6 9 设备乙 1 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 依题意，得如下2×2列联表： 所以χ2＝＝.故选A.   重金属含量高 重金属含量低 合计 设备甲 6 9 15 设备乙 1 14 15 合计 7 23 30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 5.为了了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到统计数据表： 根据上表可得线性回归方程＝0.76x＋.据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为 A.11.4万元 B.11.8万元 C.12.0万元 D.12.2万元 √ 年收入x/万元 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 年支出y/万元 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 因为＝＝10，＝＝8，所以＝－0.76＝8－0.76×10＝0.4，所以＝0.76x＋0.4.当 x＝15时，y＝0.4＋0.76×15＝11.8.故选B. 年收入x/万元 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 年支出y/万元 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 6.假设有两个分类变量X与Y，它们的可能取值分别为和，其2×2列联表为 则下列选项中使X与Y的关系最弱的m的取值为 A.8 B.9 C.14 D.19 √ 　　 Y X　　 y1 y2 总计 x1 10 18 28 x2 m 26 m＋26 总计 m＋10 44 m＋54 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 在两个分类变量的列联表中，当的值越小时，认为两个分类变量有关的可能性越小.令＝0，得10×26＝18m，解得m≈14.4，又m为整数，所以当m＝14时，X与Y的关系最弱.故选C. Y X　　 y1 y2 总计 x1 10 18 28 x2 m 26 m＋26 总计 m＋10 44 m＋54 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 7.已知由样本数据(xi，yi)(i＝1，2，3，…，10)组成的一个样本，变量x，y具有线性相关关系，其线性回归方程为＝x＋，并计算出变量x，y之间的相关系数为－0.96，xi＝－8，yi＝－15，则线性回归直线经过 A.第一、二、三象限 B.第二、三、四象限 C.第一、二、四象限 D.第一、三、四象限 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由相关系数为－0.96，知x，y负相关，所以＜0.又xi＝－8，yi＝－15，求得样本中心点为(－0.8，－1.5)，由于(－0.8，－1.5)在经验回归直线上，且点在第三象限，所以经验回归直线经过第二、三、四象限.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8.假设有两个变量X和Y的2×2列联表如下：χ2＝＝n(－)(－).对于同一样本，以下数据能说明X和Y有关系的可能性最大的一组是 A.a＝45，c＝15 B.a＝40，c＝20 C.a＝35，c＝25 D.a＝30，c＝30 Y X　　 y1 y2 总计 x1 a 10 a＋10 x2 c 30 c＋30 总计 60 40 100 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 根据独立性检验的方法和2×2列联表可得，当相差越大，则分类变量X和Y有关系的可能性越大，即a，c相差越大，相差越大.由各选项可得A满足条件.故选A. Y X　　 y1 y2 总计 x1 a 10 a＋10 x2 c 30 c＋30 总计 60 40 100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 9.下面各图中，散点图与样本相关系数r符合的有 √ √ √ 对于A，散点图上所有点都在一条斜率小于0的直线上，所以样本相关系数r＝－1，故A正确；对于B，散点图上所有点都在一条斜率大于0的直线上， 所以样本相关系数r＝1，故B错误；对于C，散点图上所有点从左到右是向下的带状分布，所以－1＜r＜0，故C正确；对于D，散点图中x，y之间几乎不存在线性相关关系，所以样本相关系数r＝0，故D正确. 故选ACD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10.某公司过去五个月的广告费支出x (单位：万元)与销售额y(单位：万元)之间有下列对应数据： 工作人员不慎将表格中y的第一个数据丢失.已知y与x具有线性相关关系，且线性回归方程为＝6.5x＋17.5，则下列说法正确的有 A.销售额y与广告费支出x正相关 B.丢失的数据(表中▲处)为30 C.该公司广告费支出每增加1万元，销售额一定增加6.5万元 D.若该公司下月广告费支出为8万元，则销售额约为75万元 广告费支出x / 万元 2 4 5 6 8 销售额y/ 万元 ▲ 40 60 50 70 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 对于A，由线性回归方程为＝6.5x＋17.5，可知＝6.5，则销售额y与广告费支出x正相关，故A正确；对于B，设丢失的数据为m，由表中的数据可得＝5，＝，把点(5，)的坐标代入线性回归方程，可得＝6.5×5＋17.5，解得m＝30，故B正确；对于C，该公司广告费支出每增加1万元，销售额不一定增加6.5万元，故C不正确；对于D，若该公司下月广告费支出为8万元，则销售额约为6.5×8＋17.5＝69.5(万元)，故D不正确.故选AB. 广告费支出x / 万元 2 4 5 6 8 销售额y/ 万元 ▲ 40 60 50 70 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 11.某中学为更好地开展素质教育，现对外出研学课程是否和性别有关做了一项调查，其中被调查的男生和女生人数相同，且男生中选修外出研学课程的人数占男生总人数的，女生中选修外出研学课程的人数占女生总人数的.如果依据α＝0.05的独立性检验认为选修外出研学课程与性别有关，但依据小概率α＝0.01的独立性检验认为选修外出研学课程与性别无关，则调查人数中男生可能有 附： χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. A.150人 B.225人 C.300人 D.375人 √ √ α 0.05 0.01 xα 3.841 6.635 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 设男生人数为5n(n∈N*)，根据题意可得2×2列联表如下： 则χ2＝＝，根据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为选修外出研学课程与性别有关，但根据α＝0.01的独立性检验，认为选修外出研学课程与性别无关，则3.841≤＜6.635，解得38.025 9≤n＜65.686 5，则190.129 5≤5n＜328.432 5.故选BC. k   男生 女生 合计 选修外出研学课程 3n 不选修外出研学课程 2n 合计 5n 5n 10n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 12.某单位通过对数据的统计与分析得知，日用电量y(单位：度)与当天的平均气温x (单位：℃)之间具有线性相关关系，且y关于x 的线性回归方程为＝－2x＋60.据此可以预测，当某天的平均气温为－4 ℃时，日用电量的度数估计为_____. 68 由线性回归方程知，当某天的平均气温为－4 ℃时，日用电量的度数估计为－2×(－4)＋60＝68. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 13.为了考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到了如下的列联表： 依据小概率α＝0.01的独立性检验认为这种药物对预防疾病_____效果(填“有”或“无”). 是否服用药 是否患病 总计 患病 未患病 服用药 10 46 56 没服用药 22 32 54 总计 32 78 110 有 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 因为χ2＝≈6.979＞6.635，所以根据小概率值α＝0.01的独立性检验认为这种药物对预防疾病有效果. 是否服用药 是否患病 总计 患病 未患病 服用药 10 46 56 没服用药 22 32 54 总计 32 78 110 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 14.将某保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中6个区域，统计这些区域内的某种水源指标xi和某植物分布的数量yi(i＝1，2，…，6)，得到样本(xi，yi)，且其相关系数r＝，记y关于x的线性回归方程为＝＋x.经计算可知：＝9，＝550，(yi－)2＝256，则＝_____. 参考公式：＝，r＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 因为＝9，＝550，所以(xi－)2＝－6＝550－6×92＝64，由r＝＝＝，解得(xi－)(yi－)＝120，所以＝＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 15.(本小题满分13分)某水果店对某个新品种水果进行试销，需了解试销价格x(单位：元/斤)对销售量y(单位：斤)的影响情况，现得到5对销售数据，并对得到的数据进行初步处理，得到如图所示的散点图. (1)由散点图看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用样本相关系数加以说明；(结果精确到0.01) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解：依题意，得＝＝5，＝＝14， (xi－)2＝10，(yi－)2＝112，(xi－)(yi－)＝－32， 所以r＝＝≈－0.96， 由样本相关系数r≈－0.96，可以推断y与x这两个变量负相关，且线性相关程度很强，从而可以用线性回归模型拟合y与x的关系. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)求y关于x的线性回归方程. 参考数据：≈8.367. 解：由(1)可得＝＝－＝－3.2，＝－＝14－ (－3.2)×5＝30， 所以＝－3.2x＋30. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 16.(本小题满分15分)为了给学生提供更为丰富的校园文化生活，学校增设了两门全新的课程A，B，学生根据自己的兴趣爱好在这两门课程中任选一门进行学习.学校统计了学生的选课情况，得到如下表格. (1)根据上表，依据小概率值α＝0.005的独立性检验，分析选择课程与性别是否有关联.   选择课程A 选择课程B 男生 40 60 女生 20 80 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解：零假设为H0：选择课程与性别无关. 根据列联表中的数据，经计算得到 χ2＝＝≈9.524＞7.879＝x0.005. 根据小概率值α＝0.005的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为选择课程与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005.   选择课程A 选择课程B 男生 40 60 女生 20 80 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)现从男生的样本中，按分层抽样的方法选出5人组成一个小组，再从这5名男生中抽取3人做问卷调查，求这3人中选择课程B的人数比选择课程A的人数多的概率. 附：χ2＝. α 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 3.841 6.635 7.879 10.828 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解：选出的5名男生中，选择课程A的人数为5×＝2， 选择课程B的人数为5×＝3， 这3人中选择课程B的人数比选择课程A的人数多有如下两种可能： 选择课程B有3人，选择课程A有0人，此种有种选法； 选择课程B有2人，选择课程A有1人，此种有种选法； 记“这3人中选择课程B的人数比选择课程A的人数多”为事件M， 所以P(M)＝＝. α 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 3.841 6.635 7.879 10.828 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 17.(本小题满分15分)为更好探索有机农业的发展，返乡新农人小王在试验田按有机标准改良土壤，经过了三年置换期后，在2017年采用轮作等方式种植有机胡萝卜，并记录了2017－2023年这7年的有机胡萝卜的亩产量，得到数据如下表. (1)从这7年的有机胡萝卜的亩产数据中任取3年的数据，若至少有2年的亩产量不低于0.5吨/亩，求3年的亩产量都高于0.5吨/亩的概率； 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 年份代码x 1 2 3 4 5 6 7 亩产量y(吨/亩) 0.4 0.5 0.8 1.1 1.5 1.7 0.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解：由表知，这7年的有机胡萝卜的亩产数据中，有5年的亩产量不低于0.5吨/亩，2年的亩产量低于0.5吨/亩， 记A＝“这7年中任取3年，至少有2年的亩产量不低于0.5吨/亩”，B＝“这7年中任取3年，3年的亩产量都高于0.5吨/亩”， 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 年份代码x 1 2 3 4 5 6 7 亩产量y(吨/亩) 0.4 0.5 0.8 1.1 1.5 1.7 0.2 则P(A)＝＝，P(AB)＝＝， 所以P(B｜A)＝＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)已知这7年间有一年由于天气原因，导致胡萝卜损失很大.若剔除天气因素导致的异常，经计算，y与x有线性关系，求出该线性回归方程，并预测在排除气候因素影响的情况下，2025年小王的有机胡萝卜的亩产量. 附：＝，＝－. 解：由表可知，2023年的数据异常，剔除2023年的数据， 则剩余6年的数据中，＝＝3.5，＝＝1， 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 年份代码x 1 2 3 4 5 6 7 亩产量y(吨/亩) 0.4 0.5 0.8 1.1 1.5 1.7 0.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (xi－)(yi－)＝(1－3.5)(0.4－1)＋(2－3.5)(0.5－1)＋(3－3.5)(0.8－1)＋(4－3.5)(1.1－1)＋(5－3.5)(1.5－1)＋(6－3.5)(1.7－1)＝4.9， (xi－)2＝(1－3.5)2＋(2－3.5)2＋(3－3.5)2＋(4－3.5)2＋(5－3.5)2＋(6－3.5)2＝17.5， 所以＝＝＝0.28， 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 年份代码x 1 2 3 4 5 6 7 亩产量y(吨/亩) 0.4 0.5 0.8 1.1 1.5 1.7 0.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 所以＝－＝1－0.28×3.5＝0.02， 所以y与x的经验回归方程为＝0.28x＋0.02. 当x＝9时，＝0.28×9＋0.02＝2.54(吨/亩). 所以在排除气候因素影响的情况下，预测2025年小王的有机胡萝卜的亩产量为2.54吨/亩. 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 年份代码x 1 2 3 4 5 6 7 亩产量y(吨/亩) 0.4 0.5 0.8 1.1 1.5 1.7 0.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18.(本小题满分17分)为了了解高中学生课后自主学习数学时间x(分钟/每天)和他们的数学成绩y(分)的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据(表一). 表一： (1)请用相关系数说明该组数据中变量y与变量x之间的关系可以用线性回 归模型拟合(结果精确到0.001)； 编号 1 2 3 4 5 学习时间x 30 40 50 60 70 数学成绩y 65 78 85 99 108 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解：＝＝50， ＝＝87， r＝ 编号 1 2 3 4 5 学习时间x 30 40 50 60 70 数学成绩y 65 78 85 99 108 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ＝ ＝， 编号 1 2 3 4 5 学习时间x 30 40 50 60 70 数学成绩y 65 78 85 99 108 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 又xiyi＝22 820，xi的方差为200，yi的方差为230.8，≈1 074， 则r＝＝＝≈≈0.996. r值非常接近于1，故变量y与变量x之间的关系可以用线性回归模型拟合. 编号 1 2 3 4 5 学习时间x 30 40 50 60 70 数学成绩y 65 78 85 99 108 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)求y关于x的经验回归方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩； 解：＝＝＝＝1.07， ＝－＝87－1.07×50＝33.5， 故＝1.07x＋33.5，当x＝100时，＝140.5， 故预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩为140.5分. 编号 1 2 3 4 5 学习时间x 30 40 50 60 70 数学成绩y 65 78 85 99 108 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (3)基于上述调查，某校提倡学生周六在校自主学习.经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生.按照是否参与周六在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到2×2列联表(表二).依据小概率值α＝0.001的独立性检验分析“周六在校自主学习与成绩进步”是否有关联. 表二：   没有进步 有进步 合计 参与周六在校自主学习 35 130 165 未参与周六在校自主学习 25 30 55 合计 60 160 220 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (参考数据：xiyi＝22 820，yi＝435，xi的方差为200，yi的方差为230.8，≈1 074) 附：r＝，＝，＝－， χ2＝. α 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解：零假设为H0：周六在校自主学习与成绩进步无关. 根据列联表中的数据，经计算得到 χ2＝ ＝＝ ≈12.22＞10.828＝x0.001， 根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为周六在校自主学习与成绩进步有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001. α 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19.(本小题满分17分)直播带货是扶贫助农的一种新模式，这种模式是利用主流媒体的公信力，聚合销售主播的力量助力打通农产品产销链条，切实助力农民增收.我国南方某蜜桔种植县通过网络平台直播销售蜜桔，其中每箱蜜桔重5千克，单价为40元/箱，已知最近5天单日直播总时长x(即所有主播的直播时长之和，单位：小时)与蜜桔的单日销售量y(单位：百箱)之间的统计数据如下表： 可用线性回归模型拟合y与x之间的关系. (1)试求变量y与x的线性回归方程＝x＋； 直播总时长x 8 9 11 12 15 单日销售量y 67 63 80 80 85 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解：依题意，得＝＝11，＝＝75， 又xiyi＝4 218，＝635， 所以＝＝＝＝＝3.1， 所以＝－＝75－3.1×11＝40.9， 所以经验回归方程为＝3.1x＋40.9. 直播总时长x 8 9 11 12 15 单日销售量y 67 63 80 80 85 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)若每位主播每天直播的时间不超过4小时，要使每天直播带货销售蜜桔的总金额超过60万元，则至少要请几位主播进行直播？ 解：依题意，得40×100·＝4 000(3.1x＋40.9)＞600 000， 解得x＞≈35.2，又＝8.8， 所以至少要请9位主播进行直播. 直播总时长x 8 9 11 12 15 单日销售量y 67 63 80 80 85 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (3)直播带货大大提升销量的同时，也增加了坏果赔付的成本.该蜜桔平均每箱按80个计算，若客户在收到货时有坏果，则每个坏果要赔付1元.现有甲、乙两款包装箱，若采用甲款包装箱，成本为t(1≤t≤5)元/箱，且每箱坏果的个数X服从P(X＝i)＝，若采用乙款包装箱，成本为t元/箱， 直播总时长x 8 9 11 12 15 单日销售量y 67 63 80 80 85 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 且每箱坏果的个数Y服从P(Y＝i)＝请运用概率统计的相关知识分析，选择哪款包装箱获得的利润更大？ 附：＝，＝－，xiyi＝4 218，＝635. 直播总时长x 8 9 11 12 15 单日销售量y 67 63 80 80 85 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解：对于乙款包装箱， 由m＋m＋m＋＝1，所以m＝. 设采用甲款包装箱每箱获得的利润的均值为E1， 则E1＝40－E(X)－t＝40－1×［0×＋1×＋2×()2＋3×()3＋4×()4＋5×()5］－t＝－t. 设采用乙款包装箱每箱获得的利润的均值为E2， 则E2＝40－E(Y)－t＝40－1×［0×＋1×()2＋2×()3＋3×()4］－t＝－t. 直播总时长x 8 9 11 12 15 单日销售量y 67 63 80 80 85 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 令－t＝－t，解得t＝. 因为1≤t≤5，所以令－t＞－t解得t∈(，5］， 令－t＜－t解得t∈［1，). 综上所述，当t＝时，采用两款包装箱获得的利润一样； 当t∈(，5］时，采用甲款包装箱获得的利润更大； 当t∈［1，)时，采用乙款包装箱获得的利润更大. 返回 直播总时长x 8 9 11 12 15 单日销售量y 67 63 80 80 85 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 谢 谢 观 看 ！ 第 八 章 成 对 数 据 的 统 计 分 析 返回 $