7.4.2 超几何分布-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教A版）

该高中数学课件聚焦超几何分布，通过对比有放回与不放回抽样导入，衔接二项分布，构建知识支架，系统讲解分布列、均值计算及与二项分布的联系。 其亮点是任务驱动结合实例教学，以产品抽样、竞赛选拔等问题培养数学抽象、建模及运算素养。规律方法总结与分层评价助力学生巩固，教师可高效教学，提升学生解决实际问题的能力。

7.4.2　超几何分布 　 第七章 7.4　二项分布与超几何分布 学习目标 1.通过具体实例，了解超几何分布的概念及特征，掌握超几何 分布的均值的计算，培养数学抽象的核心素养.　 2.了解二项分布与超几何分布的区别与联系，会用超几何分布 解决一些简单的实际问题，提升数学建模、数学运算的核心 素养. 任务一　超几何分布的分布列 1 任务二　超几何分布的均值 2 任务三　二项分布与超几何分布的实际应用问题 3 课时分层评价 5 内容索引 随堂评价 4 任务一　超几何分布的分布列 返回 (阅读教材P77－78，完成探究问题1、2) 问题1.已知在10件产品中有4件次品，采取有放回的方式随机抽取3件，设抽取的3件产品中次品数为X，试写出X的分布列. 提示：采用有放回抽样时X服从二项分布，即X～B(3，0.4)，其分布列为P(X＝k)＝(0.4)k(1－0.4)3－k，k＝0，1，2，3. 问题2.已知在10件产品中有4件次品，采取不放回的方式随机抽取3件，设抽取的3件产品中次品数为X，X还服从二项分布吗？你能求P(X＝2)吗？ 提示：若采取不放回抽样时X不服从二项分布；“X＝2”，表示“取出的3件产品中恰有2件次品”，这意味着，从4件次品中取出2件，再从6件正品中取出1件，共有种取法，故P(X＝2)＝. 问题导思 超几何分布：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分 布列为P(X＝k)＝__________，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从____________. 新知构建 超几何分布 超几何分布的特点：①不放回抽样；②考察对象分两类；③实质是古典 概型. 微提醒 (链教材P78例5)某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中的男生人数.求X的分 布列. 解：依题意，知随机变量X服从超几何分布， 所以P(X＝k)＝(k＝0，1，2，3，4). 所以P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝. 所以X的分布列为 典例 1 X 0 1 2 3 4 P 1.(变设问)本例中，求所选出4人中至少1位男生的概率. 解：法一：所选出4人中至少1位男生的概率为P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＋＋＝. 法二：所选出4人中至少1位男生的概率为P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－＝. 变式探究 2.(变条件)如果把本例中的条件“从中选出4人参加数学竞赛考试”改为“从中选出5人参加数学竞赛考试”，求X的分布列. 解：依题意，得P(X＝k)＝(k＝1，2，3，4，5)， 所以P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝， P(X＝5)＝＝. 所以X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 规律方法 求超几何分布的分布列的步骤 对点练1.端午节赛龙舟是我国的传统习俗，一共有8支龙舟队伍，其中专业组2支，业余组6支，从中随机取出3支队伍. (1)求既有专业组又有业余组的概率； 解：依题意，既有专业组又有业余组的概率为＝. (2)设X表示取到业余组的个数，求随机变量X的分布列. 解：依题意，知X的可能取值为1，2，3. 则P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝. 所以X的分布列为 X 1 2 3 P 返回 任务二　超几何分布的均值 返回 (阅读教材P78－79，完成探究问题3) 问题3.我们已经知道，若随机变量X～B(n，p)，则其均值E(X)＝np，方差D(X)＝np(1－p)，用起来非常方便，同样，随机变量X服从超几何分布，有没有类似的结论呢？ 提示：设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数.令p＝，则p是N件产品的次品率，而是抽取的n件产品的次品率，我们猜想E()＝p，即E(X)＝np. 问题导思 设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品 中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数，则E(X)＝________. 注：超几何分布的方差公式推导起来繁琐，且不太好记忆，课标不再作要求，只需利用方差的定义求解即可. 新知构建 (链教材P79例6)某高校实行提前自主招生，老师从6个不同的试题中随机抽取4个让学生作答，至少答对3个才能通过初试，已知某学生能答对这6个试题中的4个. (1)求该学生能通过自主招生初试的概率； 解：该学生通过自主招生初试的概率P＝＋＝， 典例 2 (2)若该学生答对的题数为X，求X的分布列以及均值. 解：该学生答对题的数量X的可能取值为2，3，4. 则P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝. 所以X的分布列为 所以E(X)＝2×＋3×＋4×＝或E(X)＝＝＝. X 2 3 4 P 规律方法 求超几何分布均值的步骤 第1步：验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值； 第2步：根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率； 第3步：利用均值公式或套用超几何分布均值的公式求解. 对点练2.一个袋中装有10个大小与质地相同的黑球、白球和红球.已知从袋中任意摸出2个球，至少得到一个白球的概率是. (1)求袋中的白球个数； 解：依题意，设白球个数为x，至少得到一个白球的概率是， 则不含白球的概率为，可得＝， 即(10－x)(9－x)＝20，解得x＝5. (2)若从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的 均值. 解：依题意，知随机变量X服从超几何分布，其中N＝10，M＝5，n＝3， 所以E(X)＝＝. 返回 任务三　二项分布与超几何分布的实际应用问题 返回 我国是全球制造业大国，制造业增加值自2010年起连续15年位居世界第一，主要产品产量稳居世界前列.为深入推进传统制造业改造提升，全面提高传统制造业核心竞争力，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破.设备生产的零件的直径为X(单位：nm). (1)现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于10 nm的有4个.现从这7个零件中随机抽取3个.记ξ表示取出的零件中直径大于10 nm的零件的个数，求ξ的分布列及数学期望E(ξ). 典例 3 解：依题意，可知ξ可取0，1，2，3. 则有P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝. 所以ξ的分布列为 所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝； 或E(ξ)＝＝＝. ξ 0 1 2 3 P (2)技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立.现任取6个零件进行检测，若合格的零件数η超过半数，则可认为技术攻坚成功.求技术攻坚成功的概率及η的方差. 解：依题意，可知η可能取值为0，1，2，3，4，5，6. 则有P(η＝4)＝)4()2＝，P(η＝5)＝)5()＝，P(η＝6)＝)6＝. 所以技术攻坚成功的概率P(η≥4)＝P(η＝4)＋P(η＝5)＋P(η＝6)＝. 因为η～B(6，)， 所以η的方差D(η)＝6××(1－)＝. 规律方法 二项分布与超几何分布的区别与联系 区别 ①当这n次试验是伯努利试验时(如有放回摸球)，X服从二项分布； ②当n次试验不是伯努利试验时(如不放回摸球)，X服从超几何分布 联系 在不放回n次试验中，如果总体数量N很大，而试验次数n很小，此时超几何分布可近似转化成二项分布 对点练3.某种产品按照产品质量标准分为一等品、二等品、三等品、四等品四个等级，某采购商从采购的该种产品中随机抽取100件，根据产品的等级分类得到如下数据： (1)根据产品等级，按分层抽样的方法从这100件产品中抽取10件，再从这10件产品中随机抽取3件，记这3件产品中一等品的数量为X，求X的分布列及均值； 等级 一等品 二等品 三等品 四等品 数量 40 30 10 20 解：依题意得，抽取的10件产品中，一等品有4件，非一等品有6件， 所以X的可能取值为0，1，2，3. 所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， 等级 一等品 二等品 三等品 四等品 售价/(元/件) 24 22 18 16 P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝. 所以X的分布列为 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. X 0 1 2 3 P (2)若将频率视为概率，从采购的产品中有放回地随机抽取3件产品，求恰好有1件四等品的概率； 解：从采购的产品中有放回地随机抽取3件产品，记抽到四等品的数量为Y，则Y～B(3，)， 所以P(Y＝1)＝××()2＝. 等级 一等品 二等品 三等品 四等品 售价/(元/件) 24 22 18 16 (3)生产商提供该产品的两种销售方案供采购商选择， 方案一：产品不分类，售价均为21元/件. 方案二：分类卖出，分类后的产品售价如下： 从采购商的角度考虑，你觉得应该选择哪种销售方案？请说明理由. 等级 一等品 二等品 三等品 四等品 售价/(元/件) 24 22 18 16 解：依题意得，方案二的产品的平均售价为24×＋22×＋18×＋16×＝21.2(元/件)， 因为21＜21.2， 所以从采购商的角度考虑，应该选择方案一. 返回 课堂小结 任务再现 1.超几何分布的概念.2.超几何分布的均值及应用.3.二项分布与超几何分布的实际应用问题 方法提炼 公式法、定义法 易错警示 混淆超几何分布与二项分布 随堂评价 返回 1.一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10.现从中任取4个球，有如下几种变量，其中服从超几何分布的是 A.X表示取出的最大号码 B.X表示取出的最小号码 C.X表示取出的号码之和 D.X表示取出的黑球个数 由超几何分布的概念知D符合. √ 2.(多选)某企业生产的12个产品中有10个一等品、2个二等品，现从这批产品中任意抽取4个，则其中恰好有1个二等品的概率为 A.1－ B. C.1－ D. 从12个产品中任意抽取4个，基本事件总数为个；其中恰好有1个二等品的基本事件有个，所以恰好有1个二等品的概率P＝；也可由对立事件计算可得P＝1－.故选AD. √ √ 3.有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有7个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同，一次性从中摸出6个球，至少摸到2个白球就中奖，则中奖的概率为________. 记中奖为事件A，概率为P(A)＝＝，所以中奖的概率为. 4.设10名学生代表中有3名女生，从中抽取2名进行采访，则抽到女生人数的均值为___. 返回 法一：设抽到女生人数为X，则随机变量X的可能取值有0，1，2，则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 法二：E(X)＝＝＝. 课时分层评价 返回 1.下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是 A.将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为X B.某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为X C.从7男3女共10名学生干部中选出5名学生干部，记选出女生的人数为X D.盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为X √ 对于A，将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为X，则X服从二项分布，故A不满足； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于B，某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为X，则X服从两点分布，故B不满足；对于C，从7男3女共10名学生干部中选出5名学生干部，记选出女生的人数为X，则X服从超几何分布，故C满足；对于D，盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为X，则X不服从超几何分布，故D不满足.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.国家提出“乡村振兴”战略，各地纷纷响应.某县有7个自然村，其中有4个自然村根据自身特点推出乡村旅游，被评为“旅游示范村”.现要从该县7个自然村里选出3个作宣传，则恰有2个村是“旅游示范村”的概率为 A. B. C. D. √ 依题意，得恰有2个村是“旅游示范村”的概率为P＝＝.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.一箱零件中共有12个零件，其中有3个是尺寸不达标的，从这箱零件中任意选取4个，则不达标的零件全部取到的概率为 A. B. C. D. √ 因为一箱零件中共有12个零件，其中有3个是尺寸不达标的，从中任意选取4个，由超几何分布概率计算公式，不达标的零件全部取到的概率为P＝＝.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.摇奖器内有10个小球，其中8个小球上标有数字2，2个小球上标有数字5，现摇出3个小球，规定所得奖金X(元)为这3个小球上所标数字之和，则获得12元奖金的概率是 A. B. C. D. 当摇出的3个小球有1个标有数字2，2个标有数字5时，X＝12，故P(X＝12)＝＝.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.一箱苹果共有12个苹果，其中有n(2＜n＜7)个是烂果，从这箱苹果中随机抽取3个，恰有2个烂果的概率为，则n＝ A.3 B.4 C.5 D.6 依题意，得＝，即＝，整理得n2－13n＋36＝0，解得n＝4或9，因为2＜n＜7，所以n＝4.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道.现从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，规定至少答对2题才算合格.则下列选项正确的是 A.答对0题和答对3题的概率相同，都为 B.答对1题的概率为 C.答对2题的概率为 D.合格的概率为 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设此人答对题目的个数为ξ，则ξ＝0，1，2，3，P(ξ＝0)＝P(ξ＝3)＝＝，故选项A错误；P(ξ＝1)＝＝，故选项B错误；P(ξ＝2)＝＝，故选项C正确；至少答对2题的概率为＋＝，故选项D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.某医院派出16名护士、4名内科医生组成支援队伍，现在需要从这20人中任意选取3人去A城市支援，设X表示其中内科医生的人数，则P(X＝2)＝____. 依题意，得P(X＝2)＝＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.某12人的兴趣小组中，有5名“三好学生”，现从中任意选6人参加竞赛，用X表示这6人中“三好学生”的人数，则当X取______时，对应的概率为. 依题意，知X服从超几何分布，且＝，所以＝＝，所以X＝2或3. 2或3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.(双空题)某袋中装有大小相同质地均匀的黑球和白球共5个.从袋中随机取出3个球，恰全为黑球的概率为，则黑球的个数为___.若记取出3个球中黑球的个数为X，则E(X)＝____. 3 设袋中黑球有n个，则从袋中随机取出3个球，恰全为黑球的概率为P＝＝，可得n＝3；取出3个球中黑球的个数为X服从超几何分布，所以E(X)＝＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(13分)小明从4双鞋中，随机一次取出2只， (1)求取出的2只鞋都不来自同一双的概率； 解：依题意，得取出的2只鞋都不来自同一双的概率为＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若这4双鞋中，恰有一双是小明的，记取出的2只鞋中含有小明的鞋的个数为X，求X的分布列及均值E(X). 解：依题意，知X的可能取值为0，1，2. 所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝. 所以X的分布列为 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝. X 0 1 2 P 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.某商场推出一种抽奖活动：盒子中装有有奖券和无奖券共10张券，客户从中任意抽取2张，若至少抽中1张有奖券，则该客户中奖，否则不中奖.客户甲每天都参加1次抽奖活动，一个月(30天)下来，发现自己共中奖11次，根据这个结果，估计盒子中的有奖券有 A.1张 B.2张 C.3张 D.4张 √ 设中奖的概率为p，30天中奖的天数为X，则X～B(30，p)，E(X)＝np.若盒子中的有奖券有1张，则中奖的概率为p＝＝，E(X)＝30×＝6； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若盒子中的有奖券有2张，则中奖的概率为p＝＝，E(X)＝30×＝；若盒子中的有奖券有3张，则中奖的概率为p＝＝，E(X)＝30×＝16，盒子中的有奖券越多，中奖率p越大，理论上E(X)就越大，根据题意盒子中的有奖券有2张，更有可能30天中奖11天.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(多选)如图，我国传统珠算算具算盘每个档(挂珠的杆)上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任选3颗，记上珠的个数为X，下珠的个数比上珠的个数多Y，则 A.P(X≠1)＝ B.E(X)＝ C.E(Y)＝ D.D(Y)＝ √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意，知X＝0，1，2.所以P(X＝0)＝＝＝，P(X＝1)＝＝＝，P(X＝2)＝＝＝，则E(X)＝＝，P(X≠1)＝＝，故A错误，B正确；依题意，知Y＝－1，1，3.P(Y＝－1)＝P(X＝2)＝，P(Y＝1)＝P(X＝1)＝，P(Y＝3)＝P(X＝0)＝，E(Y)＝＝，D(Y)＝(－1－)2＋(1－)2＋(3－)2＝，故C、D正确.故选BCD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品.若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收.则该商家拒收这批产品的概率是____. 依题意，知这20件产品中有20－3＝17件合格品，所以该商家接收这批产品的概率为P＝＝＝，故商家拒收这批产品的概率为1－P＝1－＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(17分)为不断改进劳动教育，进一步深化劳动教育改革，现从某单位全体员工中随机抽取3人做问卷调查.已知某单位有N名员工，其中是男性，是女性. (1)当N＝10时，求出3人中男性员工人数X的分布列和均值； 解：依题意，当N＝10时，男性员工有4人，女性员工有6人， X服从超几何分布，X＝0，1，2，3. 所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝. 所以X的分布列为 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. X 0 1 2 3 P 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)我们知道，当总量N足够大而抽出的个体足够小时，超几何分布近似为二项分布.现在全市范围内考虑，从N名员工(男女比例不变)中随机抽取3人，在超几何分布中男性员工恰有2人的概率记作P1，在二项分布中，即男性员工的人数X～B(3，)，男性员工恰有2人的概率记作P2.那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过0.001(即P1－P2≤0.001)的前提下认为超几何分布近似为二项分布.(参考数据：≈24.04) 解：依题意，知男性员工有N人，女性员工有N人， 则P1＝＝＝·，P2＝)2·＝＝0.288， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由于P1－P2≤0.001， 则·－0.288≤0.001， 即·≤0.289＝， 即≤×＝， 依题意，易知(N－1)(N－2)＞0，从而720N(N－1)≤289(N－1)(N－2)， 化简得N2－147N＋578≥0，又N＞0，于是N＋≥147. 由于函数y＝x＋在(，＋∞)上单调递增，且≈24.04， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 从而y＝N＋在N≥25时单调递增， 又142＋≈146.07＜147，143＋≈147.04＞147. 因此当N≥143时，符合题意， 而又考虑到N和N都是整数，则N一定是5的整数倍， 则N至少为145时，我们可以在误差不超过0.001(即P1－P2≤0.001)的前提下认为超几何分布近似为二项分布. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(创新题)已知在(－)n的二项展开式中，第6项为常数项，若在展开式中任取3项，其中有理项的个数为ξ，则E(ξ)＝___. (－)n的二项展开式的通项为Tk＋1＝)n－k(－)k＝ (－)k，(k＝0，1，2，…，n)，依题意，知＝0，解得n＝10，若要取到有理项， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则需要10－2k能被3整除，则k＝2，5，8，即在(－)n的二项展开式中，有理项有3项，无理项有8项，若在展开式中任取3项，其中有理项的个数为ξ，可知ξ的可能取值为0，1，2，3.所以P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝＝，P(ξ＝2)＝＝ ，P(ξ＝3)＝＝.所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至多有1个阴数的概率为 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回 由题意知，10个数中，1，3，5，7，9为阳数，2，4，6，8，10为阴数，若任取的3个数中有0个阴数，则概率为＝；若任取的3个数中有1个阴数，则概率为＝；故这3个数中至多有1个阴数的概率为P＝＋＝.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 七 章 随 机 变 量 及 其 分 布 返回 $