7.4 习题课 二项分布与超几何分布的综合应用-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

习题课　二项分布与超几何分布的综合应用 学习目标　1.能用二项分布解决一些简单的实际问题．　2.了解二项分布与超几何分布的区别与联系，能用超几何分布解决实际应用问题． 一、二项分布的性质 例1　某一批产品的合格率为95%，那么在取出的20件产品中，最有可能有几件产品合格？ 解：设在取出的20件产品中，合格产品有X件，则X服从二项分布，X～B(20, 0.95)， 则恰好有k件产品合格的概率为P(X＝k)＝C×0.95k×0.0520-k(0≤k≤20，且k∈N). ＝＝＝1＋＝1＋(1≤k≤20，且k∈N). 则当k＜19.95时，P(X＝k－1)＜P(X＝k)； 当k＞19.95时，P(X＝k－1)＞P(X＝k)， 所以＜1. 由以上分析可知，在取出的20件产品中，合格品有19件的概率最大，即最有可能有19件合格品． 感悟升华　二项分布概率最大问题可以用≤1(0≤k≤n－1，k∈N)来求，还可以考虑用不等式组(k∈N，1≤k≤n－1)来求． 【即学即用】　1.若X～B(20，)，则P(X＝k)(0≤k≤20且k∈N)取得最大值时，k＝________． 解析：由题意知X服从二项分布， 所以P(X＝k)＝C()k(1－)20-k＝C()k·()20-k，0≤k≤20，且k∈N. 由不等式≤1(0≤k≤19，且k∈N)， 得×≤1，解得k≥6. 所以当k≥6时，P(X＝k)≥P(X＝k＋1)； 当k＜6时，P(X＝k＋1)＞P(X＝k). 因为当且仅当k＝6时，P(X＝k＋1)＝P(X＝k)， 即P(X＝6)＝P(X＝7)， 所以当k＝6或k＝7时，P(X＝k)取得最大值． 答案：6或7 二、二项分布与超几何分布的区别与联系 【知识提炼】　 超几何分布与二项分布的区别与联系 超几何分布 二项分布 区 别 超几何分布是不放回抽样，取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的 二项分布是有放回抽样，每次抽取时的总体没有改变，因此每次抽到某事物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验 联 系 二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取的n件产品中次品数的分布规律，二者的均值相同 对于不放回抽样，当n远远小于N时，每抽取一次后，对N的影响很小，此时超几何分布可以与二项分布近似 例2　已知条件①采用无放回抽取；②采用有放回抽取．请在上述两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上并作答，选两个条件作答的以条件①评分． 问题：在一个口袋中装有3个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同，若________，从这7个球中随机抽取3个球，记取出的3个球中红球的个数为X，求随机变量X的分布列和均值． 解：若选①，由题意，随机变量X的可能取值为0，1，2，3，服从超几何分布， P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 若选②，由题意，随机变量X的可能取值为0，1，2，3，且X～B， 所以P(X＝0)＝C×＝， P(X＝1)＝C××＝， P(X＝2)＝C××＝， P(X＝3)＝C×＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P E(X)＝3×＝. 感悟升华　不放回抽样服从超几何分布，放回抽样服从二项分布，求均值可利用公式代入计算． 【即学即用】　2.甲、乙去某公司应聘面试．该公司的面试方案为：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选．已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响． (1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列； (2)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大？ 解：(1)设X为甲正确完成面试题的数量，Y为乙正确完成面试题的数量． 由题意可得X的可能取值为1，2，3. 所以P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， 所以X的分布列为 X 1 2 3 P 由题意可得Y～B(3，)， 所以P(Y＝0)＝C()0()3＝， P(Y＝1)＝C()1()2＝， P(Y＝2)＝C()2()1＝， P(Y＝3)＝C()3()0＝， 所以Y的分布列为 Y 0 1 2 3 P (2)E(X)＝1×＋2×＋3×＝2， E(Y)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2. D(X)＝×(1－2)2＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝， D(Y)＝np(1－p)＝3××＝. 因为D(X)＜D(Y)，E(X)＝E(Y)， 所以甲发挥的稳定性更强，则甲通过面试的概率较大． 三、二项分布与超几何分布的综合应用 例3　某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：g)，质量的分组区间为[490，495]，(495，500]，…，(510，515]，由此得到样本的频率分布直方图如图． (1)根据频率分布直方图，求这40件产品中质量超过505 g的产品数量； (2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505 g的产品数量，求X的分布列和均值； (3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505 g的产品数量，求Y的分布列和均值． 解：(1)质量超过505 g的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3， 所以质量超过505 g的产品数量为40×0.3＝12. (2)质量超过505 g的产品数量为12，则质量未超过505 g的产品数量为28，X的可能取值为0，1，2，X服从超几何分布． P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 故X的均值为 法一　E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 法二　E(X)＝＝. (3)根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505 g的概率为＝. 从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2重伯努利试验，质量超过505 g的件数Y的可能取值为0，1，2，且Y～B， P(Y＝k)＝C××，k＝0，1，2， 所以P(Y＝0)＝C×＝， P(Y＝1)＝C××＝， P(Y＝2)＝C×＝. 所以Y的分布列为 Y 0 1 2 P 故Y的均值为 法一　E(Y)＝0×＋1×＋2×＝. 法二　E(Y)＝2×＝. 感悟升华　二项分布和超几何分布经常与统计问题综合考查，首先利用统计知识解决频率即概率的问题，再判断要解决的问题是哪种概率分布列，再利用相关知识求解. 【即学即用】　3.交通拥堵指数(TPI)是衡量交通拥堵程度的客观指标，TPI越大代表拥堵程度越高．某平台计算TPI的公式为：TPI＝，并按TPI的大小将城市道路拥堵程度划分为如下表所示的4个等级： TPI [1，1.5) [1.5，2) [2，4) 不低于4 拥堵等级 畅通 缓行 拥堵 严重拥堵 某市2023年元旦及前后共7天与2022年同期的交通高峰期城市道路TPI的统计数据如图： (1)从2022年元旦及前后共7天中任取1天，求这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率； (2)从2023年元旦及前后共7天中任取3天，将这3天中交通高峰期城市道路TPI比2022年同日TPI高的天数记为X，求X的分布列及均值E(X). 解：(1)由题图可知，2022年元旦及前后共7天中，交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的共2天， 所以这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率为. (2)由题图可知，2023年元旦及前后共7天中比2022年同日TPI高的只有1月3日和1月4日这2天， 所以X的可能取值为0，1，2， 则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 1．同时抛掷2枚质地均匀的硬币3次，设2枚硬币均正面向上的次数为X，则X的均值是(　　 ) A． B． C．1 D． 解析：选B.设抛掷2枚硬币一次，2枚硬币均正面向上为事件A，则P(A)＝， 易知X～B，所以E(X)＝3×＝. 2．某篮球运动员进行投篮训练，若投进的概率是，用ξ表示他投篮3次的进球数，则随机变量ξ的标准差为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选D.由题意，随机变量ξ～B(3，)， 故标准差＝＝. 3．已知每门大炮击中目标的概率都是0.5，现有10门大炮同时对某一目标各射击一次．记恰好击中目标3次的概率为A；若击中目标记2分，记10门大炮总得分的均值为B，则A，B的值分别为(　　 ) A．，5 B．，10 C．，5 D．，10 解析：选B.设10门大炮击中目标的次数为X，则根据题意可得X～B， 所以A＝P(X＝3)＝C××＝， 10门大炮总得分的均值B＝10××2＝10. 4．某袋中装有大小相同质地均匀的黑球和白球共5个．从袋中随机取出3个球，恰好全为黑球的概率为，则黑球的个数为________．若记取出的3个球中黑球的个数为X，则D(X)＝________． 解析：设袋中黑球有n个，则从袋中随机取出3个球，恰好全为黑球的概率为P＝＝，可得n＝3，由题意知，随机变量X服从超几何分布， 取出的3个球中黑球的个数X的可能取值为1，2，3，则P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，故X的分布列为 X 1 2 3 P 则E(X)＝×1＋×2＋×3＝，D(X)＝×＋×＋×＝. 答案：3　 学科网（北京）股份有限公司 $$